第2章 对称图形-圆（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第2章 对称图形-圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据四边形内接于，得到；根据，得到，利用平行线的性质得到，再运用三角形内角和定理解答即可． 【规范解答】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C； 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质, 掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【规范解答】解：如图，连接， 由切线性质得：，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【思路引导】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．根据折叠的性质可得；根据线段中点的定义可得；根据垂径定理可作判断③延长交于E，连接，根据垂径定理可作判断④． 【规范解答】解：过D作，交于，连接、， 由折叠得：，， ∴，故B正确； ∵点D是的中点， ∴，故A正确； ∵， ∴， 由折叠得：， ∴；故C正确； 延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴不平分，故D错误； 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 【规范解答】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 5．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，、、、四个点在上，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查圆周角定理，等边对等角，连接，平行线的性质，求出，等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【规范解答】解：连接，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 作点A关于的对称点，由轴对称的性质确定的最小值为的长，再利用圆的知识和勾股定理求出的长． 【规范解答】由题知，的半径为1，为的直径，故， 如图，作点A关于的对称点，连接，，， 则， 当三点共线时，取得最小值，为的长， 点A是半圆上的一个三等分点， ， 点B是弧的中点， ， 点与点关于直径对称， ， ， 又， 由勾股定理得，， 的最小值为． 故选：A． 7．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，⊙上三点、、，，，则长为（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】D 【思路引导】连接，过点作垂线，利用圆周角定理可得，根据已知条件可知，为等腰三角形，从而可得，，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图：连接，过点作的垂线，垂足为点D， ， 与是同弧所对的圆周角和圆心角，且， ， 是圆的半径，且， ，为等腰三角形， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【规范解答】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据面积公式求解即可． 【规范解答】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示： 点P为内一点，且满足． ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 的面积是， 故选：A． 【考点评析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题． 10．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【思路引导】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【规范解答】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 【答案】寸 【思路引导】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的直径，，则CD的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质．利用圆周角定理求得，，再利用直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：为的直径， ， 由圆周角定理得， 则． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而求出，的长，垂径定理求出的长，进而求出的长即可． 【规范解答】解：由题意，为圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∵圆O的半径垂直弦于点C， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2 16．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）工人师傅用一张半径为24，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查圆锥的计算，正确运用弧长公式求出扇形的弧长是解题关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长，即圆锥底面的周长，即可求出圆锥底面的半径． 【规范解答】解：扇形的半径为24，圆心角为， 扇形弧长为 ，即圆锥的底面周长为 ， 圆锥底面半径为 ， 故答案为：10． 17．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定②正确；由得到四点共圆，利用圆周角定理即可得到平分，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；综上所述即可得到答案． 【规范解答】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故②正确； ∵， ∴四点共圆，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题综合性强、难度较大，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．过B点作于H点，如图，设，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，再利用等腰直角三角形的性质得到，所以，接着根据旋转的性质得到，设，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2，，然后计算的值． 【规范解答】解：过B点作于H点，如图， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点A逆旋转一定的角度至， ∴， 设， ∵，， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，为直径，与相切于点C，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由切线性质可得，即．再由弦，可知．又由得，最后根据等量代换即可证明． （2）由垂径定理可知．设的半径为r，在中，根据勾股定理可列出关于r的方程，即可求出圆的半径，从而求出长度，再判断，即可求出． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵切于点C， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 设的半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 由（1）可知，． 又∵，， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强．熟练掌握各知识点是解本题的关键． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位的平面直角坐标系中，点、、，是的边上一点，经平移后得到 ，点P的对应点为． (1)写出点、的坐标； (2)在图中画出绕点O逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点A运动路径的长（结果保留）． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图——平移变换，旋转变换，弧长公式； （1）根据点的坐标得到平移方式向右平移个单位，向上平移个单位，然后写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质做出点A，B，C的对应点，依次连接即可得到； （3）利用勾股定理求出长，然后根据弧长公式计算解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点的对应点坐标为， ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图，即为所作； （3）解：， ∴点A运动路径的长为， 故答案为：． 21．（本题8分）（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180度 (2)120度；90度 (3) 【思路引导】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系． （1）运用弧长公式计算即可； （2）运用弧长公式计算即可； （3）由（1）、（2）可得规律为． 【规范解答】（1）解：设的度数为，则， ∵， ∴，即． （2）解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∴， 即， 同理：当时，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∴． 22．（本题8分）（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是，连接． (1)如图1，当点E恰好在上时，求的大小； (2)如图2，若，点F是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图3，若点F为中点，求证：C、E、F三点共线． 【答案】(1) (2)平行四边形，见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解； （3）通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论； 【规范解答】（1）【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点是边的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， ，为等边三角形， ， ，，， ， ， ， 而， 四边形是平行四边形； （3）证明：如图，连接，，， 将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， 为中点， ， ， 而， 点、点、点、点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线； 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23．（本题8分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，是上的点，于点，且与交于点，是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)当点为的中点时，求的度数； (3)若，，求的长； (4)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) (4)，理由见解析． 【思路引导】（1）首先连接，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质，证明，从而得到平行于，再由垂直于，推出垂直于，即可证明是切线． （）连接、．证明是等边三角形，四边形是菱形，得，进而利用圆周角定理及直角三角形的性质即可得解． （）过点作垂直于于，连接、．因为是切线，垂直于，垂直于，垂直于，所以四边形是矩形，从而得到，．在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，再根据垂径定理，，求出的长度，最后用得到的长度． （）过作于，连接，证明，，得，，从而即可得解． 【规范解答】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； （3）解：过点作于，连接、， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 过作于，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵，，平分， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴． 【考点评析】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、圆内接四边形的性质，圆心角定理、垂径定理、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键． 24．（本题8分）（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【规范解答】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 25．（本题10分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 【答案】（1） （2）见解析. （3）的最小值. （4）长的范围是 【思路引导】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围． （1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值． （2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q． （3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径． （4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为． 【规范解答】（1）分别为的圆心角和圆周角， ∴ 所在的圆的半径长 当点P在的中垂线上时，面积的最大， 延长交于点G，则，在等腰中，， 则 ∴ 则面积的最大值 故答案为：． （2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q； （3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，， ∴ ∴ ∴，而圆的半径为4， 则的最小值． （4）∵的面积 ∴而则， ∴ 则 即若的面积的最小值为 则长的范围是． 26．（本题10分）（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． (1)如图1，若是的直径，求证：与相切； (2)若是的直径， ，求的度数． (3)如图2，若，求的最大值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)10 【思路引导】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键． （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得； （2）先判断出得出，进而求出，即可求出答案； （3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，进而判断出是等边三角形，进而判断出，即可求出答案． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ，即， 为的半径， ∴与相切； （2）解：是的直径， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ； （3）解：连接，在上截取， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 当为直径，即时，取最大值是10． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第2章 对称图形-圆 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，、、、四个点在上，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 7．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，⊙上三点、、，，，则长为（    ） A． B．6 C．8 D． 8．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 13．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的直径，，则CD的长度为 ． 15．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ． 16．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）工人师傅用一张半径为24，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 17．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，为直径，与相切于点C，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位的平面直角坐标系中，点、、，是的边上一点，经平移后得到 ，点P的对应点为． (1)写出点、的坐标； (2)在图中画出绕点O逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点A运动路径的长（结果保留）． 21．（本题8分）（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 22．（本题8分）（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是，连接． (1)如图1，当点E恰好在上时，求的大小； (2)如图2，若，点F是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图3，若点F为中点，求证：C、E、F三点共线． 23．（本题8分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，是上的点，于点，且与交于点，是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)当点为的中点时，求的度数； (3)若，，求的长； (4)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（本题8分）（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 25．（本题10分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 26．（本题10分）（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． (1)如图1，若是的直径，求证：与相切； (2)若是的直径， ，求的度数． (3)如图2，若，求的最大值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$