第2章 对称图形——圆 复习课-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

2)2,解得r=4,∴.OC=OA=4,∴.OE=OA-AE=4-2=2, ∴.∠OCE=30°，.∠AOC=60°，∴.S翻影部分=Sm形c-S△DE= 0×x×华-号×2×25=经-25.141)证明：四 边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴.∠ABE=∠BCG ∠AFB=90°，.∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF= I∠BAE=∠CBG, 90°，，∴.∠EBF=∠BAF在△ABE和△BCG中，AB=BC, ∠ABE=∠BG, .△ABE≌△BCG(ASA).(2)如图，连接OF.·∠ABE= 90°，∠AEB=55°，.∠BAE=90°-55°=35°，.∠BOF= 2∠BAE=70°.，四边形ABCD是边长为4的正方形，∴.OB 号AB=2∴BF的长为202- 180 9 D G 综合与实践 1.(1)如图1，，AB=AD=2,AC⊥BD,∴.∠BAC=∠CAD 合∠BAD=60:AB=AC,∴△ABC是等边三角形，BC= AC-AB-2,d=CE-2AC-1. 图1 图2 图3 (2)如图2，AB=AD,AC⊥BD,∠BAD=90°，∴∠ABD= ∠ADB=45°，.AE=√2，d2=CE=AC-AE=2-√2. (3)60°2一√3解析：如图3，，AB=AD,∠ABD=60°， △ABD是等边三角形，∠BAD=60°.又，C是BD的中 点，.ACLBD,∴∠BMC-∠BAD=30,BE=号AB= 1,.AE=√JAB-BE=√5，∴.d,=CE=AC-AE=2-√3. (4)d1>d2>d3越小(5)02.任务1：如图1，设圆心为 O,则点O在CD的延长线上，连接AO,设桥拱的半径为rm, 则OD=(-4)m0CLAB,∴AD=BD=号AB=8m ,OD十AD=OA2,∴.(r-4)2+82=2,解得r=10,∴.圆形 桥拱的半径为10m.任务2：根据题图3状态，货船不能通 过圆形桥拱，至少要增加10t的货物才能通过.理由如下：如 图2，当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M,连接OE OH..四边形EFGH为矩形，.EH∥FG.,OC⊥AB,∴.OM EH,.EM-EH-6 m,.OM-OE-ENF-8 m. .'OD=OC-CD=6 m,.'DM=OM-OD=2 m<2.1 m, ∴.根据题图3状态，货船不能通过圆形桥拱.，货船的载质量 每增加1t,船身下降0.01m..船在水面部分可以下降的高 度为(2.1一2)÷0.01=10(t),∴.至少要增加10t的货物才能 通过. D 图 图2 课时提优计划作业本·数 3 复习课 知识梳理 1.(1)②定点定长圆心半径(2)线段圆心(3)部 分直径优劣(4)圆心圆上圆(5)相同不相等 重合2.(1)轴对称过圆心的任意一条直线(2)弦 弦所对的两条弧(3)圆心(4)①弧弦②两个圆心角 两条弧两条弦③相等(5)①一半相等②直角90° ③互补3.(1)=外内(2)一个圆(3)①外接圆三 条边垂直平分线三角形三个顶点②三个内角的平分线 三条边(4)①< >②(1)外端这条半径且只 有一个半径（ⅱ）且只有一个半径切点4.(1)①各 边相等、各角也相等②内接外接外接外接③轴对 称”中心偶数中心对称中心(2)①1=感 ②S前形=R 360 S期形=乞R(3)S侧=元l 题组提优训练 考点一：1.B解析：：AB是⊙O的直径，且AB⊥CD,∴.DE= 2CD=z×8=4在R△OED中，OE=VOD-DE- √/5-4=3，∴.BE=OB-OE=5-3=2.2.B解析：如图，连 接AC,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.'∠BEC=20°， ∴∠BAC=∠BEC-20°，∴.∠ABC=70°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，∴.∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°， D (第2题) (第4题) 3.D解析：连接OE.,OB=OE,.∠OBE=∠OEB. :∠AOB=3∠D=∠OBE+∠D,∴∠OBE=2∠D, ∴∠OEB=2∠D.:∠OEB=∠D十∠DOE,∴.∠DOE= ∠D,∴.DE=OE=OB.4.C解析：如图，延长O℃交⊙O 于点D,交AB于点E,连接OA、OB、AC、BC.,C为折叠后 AB的中点，∴.AC=BC,∴AC=BC.OA=OB,.OC垂直平 分AB,AE=BE=号AB=合X8=4在R△AB0中，由勾 股定理得OE=√OA-AE=√53-4g=3,∴.DE=OD OE=5-3=2.由折叠的性质，得CE=DE=2,∴.OC=OE CE=3-2=1.5.60°解析：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC十∠ADC=180°.，四边形OABC是菱形，∴.∠ABC= ∠AOC,∴·∠AOC+∠ADC=180°.由圆周角定理得∠ADC= 2∠AOC,∠ADC=60.6.13解析：如图，设圆材的圆 心为O,延长CD交⊙O于点E,连接OA,根据题意，得CE过 点O,且OCLAB,则AD=BD=号AB=号×10=5（寸）.设 圆形木材半径为r寸，则OD=(r一1)寸，OA=r寸.在 Rt△ODA中，OA2=OD+AD,即产=(r-1)2+52,∴.r 13,即⊙0的半径为13寸. (第6题) (第7题) 学·九年级上册(SK版) 7.4解析：如图，作直径CD,连接BD.CD为⊙O的直径， ∴∠CBD=90.:∠D=∠A=60,.BD=5BC=-5×43=4, 3 3 ∴CD=2BD=8,∴0C=4,即⊙0的半径是4.8.（号，0） 解析：如图，连接CE,过点E作EF⊥AC于点F.,点A、B、C 的坐标分别为（一2,0）、(0,2)、(4,0)，∴.OA=OB=2,OC=4, △OBA是等腰直角三角形，.∠BAC=45°，∴∠BEC= ∠BAC=45°.，∠DBC=45°，∴.∠BCE=90°，∴.△BCE是等 腰直角三角形，∴.BC=CE.∠CBO十∠BCO=∠BCO十 ∠FCE=90°，.∠OBC=∠FCE.在△OBC和△FCE中， ∠OBC=∠FCE, ∠BOC=∠CFE=90°，∴.△OBC≌△FCE(AAS),∴.FC= BC=CE, OB=2,FE=OC=4,.OF=OC一FC=4-2=2,.点E的坐 标为(2，一4).设直线BE的函数表达式为y=kx十b, 证一4解得二，3直线E的函数表达式为 b=2, y=-3x十2，当y=0时，x= 点D的坐标为（号，0） 2 DE (第8题) (第9题) 9.(1)D是AB的中点，DC⊥AB,∴.AC=BC= 合AB= 号×6=3(m,DC经过圆心，设铁桥的桥拱ADB所在圆的圆 心为O,如图，连接OA、OC,设半径OA=OD=R,OC=OD- DC=R一1.在Rt△ACO中，由勾股定理得OA2=OC十AC2, 即R2=(R一1)2+32，解得R=5,即主桥拱所在圆的半径长为 5m(2)如图，设OD与EF相交于点G,连接OF.EF∥AB, OD⊥AB,.OD⊥EF,∴.∠OGF=90°.在Rt△OGF中，OG 5-1-1=3(m),0F=5m,.FG=√OF2-0G=√52-32= 4(m),∴.EF=2FG=8m,即此时水面的宽度为8m. 10.(1)△ABC是等腰直角三角形.理由如下：，AC为⊙O的 直径，∴∠ABC=∠ADC=90°.：∠ADB=∠CDB,∴.AB= BC,.AB=BC,∴△ABC是等腰直角三角形.(2)①：AB= √2，AD=1,∴BC=√2，.AC=√2AB=2.,AC为⊙O的直 径，∴.∠ADC=90°，∴.DC=√AC-AD=√22-1严=√3. ②如图，过点E作EF⊥AD于点F.∠ADB=∠CDB, ∠ADC=90°，∴.∠ADB=45.∠DFE=∠AFE=90°， △DEF是等腰直角三角形，∴.DE=√2EF.,AC=2,AD 1,∠ACD=30,∠CAD=60,EF-9AE,AE= 竖号 3 2 3 D 课时提优计划作业本·数 ·3 考点二：l.C解析：如图，连接AD.:四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，∴.∠BAD十∠BCD=18O°.，∠BAE+∠BCD= 236°，∴.∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°， ∠EAD=56°.，EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D,.EA= ED,.∠EDA=∠EAD=56°，.∠E=180°-/EDA /EAD=180°-56°-56°=68°. (第1题) (第3题) 2.A解析：连接AQ、AP.,PQ切⊙A于点Q,∴∠AQP= 90°，.AQ+QP2=AP2,.PQ=Ap8-AQ=AP2-1.当 AP最小时，PQ最小，即当AP⊥x轴时，PQ最小，此时点 P的坐标为（一4,0）.3.D解析：如图，过点O分别作 OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F,连接OA、 OB、,OC.易证四边形OECD是正方形，设OE=OD=OF=r, 则EC=CD=r,.AE=AF=b-r,BD=BF=Q-r,,'AF十 BF=AB,6-7+a-T=C,r=a+S,d=a十b-c,故 2 A选项正确，：S=S十Sm十Sm,∴方h方a叶 2raab=a+6+eir=a0+e即d=g平0。 a+b+c 故B选项正确；d=a十b-c,a2十=c2,∴.d=(a十b c)2=(a+b)2-2c(a十b)+c2=a2+2ab+-2ac-2bc+c2= 2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+ b(a-c)]=2(c-a)(c-b),∴.d=√2(c-a)(c-b),故C选项 正确；由排除法可知，D选项错误.4.105°解析：如图，连 接OC.PC是⊙O的切线，∴.OC⊥PC,.∠OCP=90°. ∠BCP=35°，.∠OCB=90°-∠BCP=55°.OC=OB, ∴.∠OBC=∠OCB=55°，.∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC= 70°.，∠AOB=140°，.∠AOC=360°-∠AOB-∠B0C= 150,∠ABC=号∠A0C=75,∴∠ADC=180°-∠ABC= 180°-75°=105° 5.(1)证明：如图，连接OD.CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠BCD,∴AD=BD,∠AOD=∠BOD.AB为 ⊙0的直径，∴∠A0D=∠B0D=号×180°=90,0D1AB DE∥AB,∴.OD⊥DE.OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O 的切线.(2)如图，过点B作BH⊥CD于点H.:AB为⊙O 的直径，∴.∠ACB=∠ADB=90°.AC=3√2，BC=√2， ∴AB=√C+BC=2√5.由(1)知，AD=BD,∴∠ACD= ∠BCD,BD=AD-=号AB=号X25=VId.:∠BCD= 2∠ACB=2×90=45,BH=CH=号BC=9XVE= 1,∴.DH=√BD-BH平=√（√/10）2-1？=3，.CD=CH+ DH=1+3=4. 学·九年级上册(SK版) 3. C H 考点三：1.C2.C解析：如图，连接OD、OE.AB=AC, ∠ABC=∠C=70°.OE=OB,∴.∠OEB=∠ABC=70°， ∴.∠OEB=∠C=70°，∴.OE∥AC.在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠C=180°，AB=10,.∠A=180°-∠ABC-∠C=180° 70°-70=40,0A=0D=号AB=5.:0E∥AC,∠A= ∠AD0-40°=∠DOE,DE的长为40xX5_10x 180 9 D B 0 3.18°解析：由正五边形的性质可知，BG所在的直线是正五 边形ABCDE的对称轴，∴.∠DFG=90°.，∠FDG是正五边 形ABCDE的外角，∠FDG=360°=72，∠BGC=180° 5 ∠DFG-∠FDG=180°-90°-72°=18°.4.60π解析：这 个扇形纸片的面积是2×2x×5×12=60x(cm2).5.28.7 解析：根据题意，得72r:04_72m0C=36,.0A-0C- 180 180 90≈28.7(m),即AC≈28.7m6.4π解析：OE=AB= 4,∴.BC=√2AB=4√2.O为BC的中点，.OB=OC= 之BC-2反.四边形ABCD为矩形，∠OBE-90,BE- √OE-OB=V√42-(2J2)2=2√2，∴.OB=BE,∴.∠BOE 45°，同理可得∠COF=45°，∴.∠EOF=180°-∠BOE ∠00F=90,Sm=器×x·0E=47.5+ 解析：如图，连接AF、EF根据题意易知△AEF是等边三角 形，S0=S一S原一5四=方xX2-器X不X 2-(0×xx2-×2×9×2）=5+ 2 3 直击中考前沿 1.D解析：AD=AD,·∠ABD=2∠AOD=40.:以 AB为直径的⊙O与AC相切于点A,∴.∠BAC=90°，∴∠C= 90°一∠ABD=90°-40°=50°.2.B解析：如图，连接OA 由题意，得CD⊥AB,AD=BD=0.5m,设拱门所在圆的半径 为rm,∴.OA=OC=rm,CD=2.5m,.OD=(2.5-r)m 在Rt△ADO中，由勾股定理得OA2=AD+OD,即2= 0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,∴.拱门所在圆的半径为1.3m AD B (第2题) (第3题) 课时提优计划作业本·数 3 3.B解析：如图，连接BC.OD=DC,BD⊥OC,∴BC= OB.:OB=OC,.△OBC是等边三角形，∠BOC=60°. :∠AOB=80°，.∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-60°= 20,AC的长为203-号.4A解析：如图，连接0A 180 AO,过点A作AB⊥OO于点B.,OA=OO=AO=2, ∴.△A00是等边三角形，∴∠A00=60°，0B=合00=1， AB=VE-下=月，S9w=Saw-Sw=g0× xX23-2X5X号-7-5，S4=Sew+S0 爱+子-暂-5. 5.5解析：根据题意可知，圆锥的底面周长为10πcm,则圆 维底面圆的半径为=5(cm。662解析：如图，连接 OC.OB=OC,∠OBC=28°，∴.∠OCB=∠OBC=28°， ∴.∠B0C=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°， ∴∠A=7∠B0C=62. (第6题) (第7题) 7.8π解析：如图，过点C作CM⊥AB于点M,则AM= BM=号AB=3.:六条等弧所对应的弦构成一个正六边形， 中心为点0，∠A0B=360=60.:0A=OB,△A0B是 6 等边三角形，.∠OAB=∠OBA=60°.，C是△AOB的内心， ∠CAB=∠CBA=合×60=30，∠ACB=12:在R△4MC 中，AM=√3，∠CAM=30°，∴.AC=2CMAC=AP+ CMP,即(2CM02=(W3)2+CP,∴.CM=1,∴.AC=2,∴.AB的 长为1292-经，∴花窗的周长为弩×6=8x890 180 解析：·AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角 的度数为180°.，∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧可以拼接为半 圆，∠1+∠2+∠3+∠4=合×180=90.9.3解析： 由对折可知，四边形AOMD是矩形，∠EOM=∠FOM,则OM= AD,DM=CD.如图，过点E作OM的垂线，垂足为P,则 EP-DM-CD.OE-OM-AD,CD-AD,:EP- 号0E,∠E0P=30,则∠B0F=30×2=60,∴E的长为 60π×2_2π 1803 学·九年级上册(SK版) 4 10.2或2一√5或2+√5解析：AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB,∴.当DE的长为正整数时，DE=1或DE=2.当 DE=2时，即DE为直径，又，DE⊥AB,∴.将DBE沿DE翻 折交直线AB于点F,此时点F与点A重合，故FB=2;当 DE=1,且点C在线段OB之间时，如图1，连接OD,此时 OD=2AB=1,又：DELAB,DC=2DE=2,OC VOD-DC-∴BC-0B-0C-2≥5，BF=2BC 2-√3；当DE=1,且点C在线段OA之间时，如图2，连接 0D,同理可得0C=停BC=0B+0C=2生5， .BF= 2BC=2+√3.综上所述，线段FB的长为2或2一√3或2十√3. D 图1 图2 11.2√7解析：如图，连接MP、MQ.PQ是⊙M的切线， .MQ⊥PQ,∴.PQ=√Pf-MQ=√P-4,当PM最小 时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，直线y=x十4与x轴 的交点A的坐标为（一4,0），与y轴的交点B的坐标为(0， 4),∴.OA=OB=4,∴.∠BAO=45°，AM=8,当MP⊥AB时 MP-号AM-号X8=42,PQ的最小值为√42-4 2 √28=2√7」 E G (第11题) (第12题) 12.(1)CD为直径，∠CAD=90°.∠AFE=∠ADC= 60°，∴.∠ACD=90°-∠ADC=90°-60°=30°，.∠ABD= /ACD=30°. (2)证明：①如图，延长AB.,四边形ABCD 是圆内接四边形，∴·∠CBM=∠ADC.又∠AFE=∠ADC, ∴∠AFE=∠CBM,∴.EF∥BC.②如图，过点D作DG∥ BC交⊙O于点G,连接AG、CG.,DG∥BC,.∠BCD ∠CDG,.BD=CG,∴.BD=CG.,四边形ACGD是圆内接 四边形，∠GDE=∠ACG.EF∥DG,∴∠DEF=∠GDE, .∠DEF=∠ACG..∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴∠AFE=∠AGC.,AE=AC,.△AEF≌△ACG(AAS), ,∴.EF=CG,∴，EF=BD.13.(1)证明：如图1，连接OC ,∠CAO是△ACE的一个外角，.∠CAO=∠CEA+ ∠ACE,即∠CAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE.,'∠CEA= ∠CAD,∴.∠DAB=∠ACE.AC=BD,∴.∠ABC=∠DAB, ,∠ABC=∠ACE.AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠DAB+∠CAD=90°.又.OA=OC,.∠OCA= ∠OAC=∠DAB+∠CAD,,∴.∠ACE+∠OCA=90°，即 ∠OCE=90°.又，OC是⊙O的半径，∴.CE是⊙O的切线. (2)如图2，连接OD.设∠DAB=x,则∠CEA=2∠DAB= 2x.∠CEA=∠CAD,∠CAD=2x.AC=BD,.∴∠ABC ∠DAB=x.:AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°，∠ABC+ ∠BAC=90°，即∠ABC+∠DAB+∠CAD=90°，∴.x十x+2x= 90°，解得x=22.5°，.∠BOD=2∠DAB=2×22.5=45°.又 OA=8,OD=OB=8,BD的长为45X8=2元 180 课时提优计划作业本·数 3 图1 图2 14.(1)证明：如图1，连接OE,过点O作OG⊥AB于点G. ,⊙O与AD相切于点E,∴OE⊥AD.四边形ABCD是正 方形，AC是正方形的对角线，.∠BAC=∠DAC=45°，.OE= OG.OE为⊙O的半径，.OG为⊙O的半径..OG⊥AB, ∴.AB与⊙O相切.(2)如图1，，AC为正方形ABCD的对 角线，∴∠DAC=45°.：⊙O与AD相切于点E,∴.∠AEO= 90°，由(1)可知AE=OE,设AE=OE=OC=OF=R在Rt△AEO 中，AE+EOY=AY,∴.AP=R2+R2.'R>0,∴.AO=√2R 又，正方形ABCD的边长为√2+1，.在Rt△ADC中，AC= √/AD+CD=√2(W2+1).,OA+OC=AC,∴.√2R+R= √2(W2+1),.R=√2，.⊙O的半径为√2.(3)如图2，连接 FN、ON,设CM=k.,CM:FM=1:4,.CF=5k,.OC= ON=2.5k,.∴.OM=OC-CM=1.5k.在Rt△OMN中，由勾股 定理得MN=2k:在Rt△CMN中，由勾股定理得CN=√5k. 又：FC=5k=2R=2X2=22,k=22,CN=5× 5 2W2_2√10 5 5 图1 图2 第3章数据的集中趋势和离散程度 3.1平均数 第1课时算术平均数 课堂演练 1.B2.B解析：(12×3+13×5+14×8+15×5+16× 3)÷24=14(岁).3.D解析：根据题意可知，小明和小桐 投球的平均成绩小于8m,小刚投球的平均成绩大于8m,只 有小凯投球的平均成绩大约是8m.4.95.946.60 7.责×(2+3-5+10+12+8-1+2-5+4-10-2+5+5)= 2(分)，83十2=85（分），.这个小组的平均成绩为85分 课后拓展 8.B9.B解析：数据4,5,6,5的平均数为4十5+6+5 5,∴.添加数据5，新数据的平均数仍然是5.10.A11.A 解析：设五位评委给选手圆圆打分为a,b,c,d,e,其中a<b< c<dKe,则x=是(a+b+c+a0,y=(b++d+e),= }+e+d0∴x-x=a+b叶c+d)-gb+c+a》= 2(3a-b-c-0.:a<b,a<c,a<d,∴a+a+a<b叶c+d,即 3a一b一c一d0,∴.x一之<0，∴.z>x.同理可得y>z,..y>z> x.12.7解析：2,3,4，，z2,的平均数是5，.2十3十 4+x十x2十3=5×6，…十2十=21，则，2,3的平均 数是21÷3=7.13.(a十1)解析：根据题意，得2+x十3 1-一4-1=0，解得x=1,故2号学生的身高为(a十1)cm 学·九年级上册(SK版)课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))) 复习课 知识梳理 1.圆的有关概念 (I)定义：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端，点A所形 成的图形叫作圆，固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径.②圆是到 的距离 等于 的点的集合，定点就是 ,定长就是 (2)弦、直径：连接圆上任意两点的 叫作弦，经过 的弦叫作直径. (3)弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的 叫作圆弧.圆的任意一条 的两个 端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆，大于半圆的弧叫作 弧，小于半圆的弧叫 作 弧 (4)圆周角、圆心角：顶点在 的角叫作圆心角；顶点在 ,并且两边都 和 相交的角叫作圆周角 (5)等圆、等弧：圆心 ,半径 的两个圆叫作同心圆；能够互相 的两 个圆叫作等圆；能够互相重合的弧叫作等弧. 2.圆的性质 (1)轴对称性：圆是 图形， 都是它的对称轴， (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分 以及 (3)中心对称性：圆是中心对称图形， 是它的对称中心. (4)圆心角、弧、弦之间的关系： ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。 ②在同圆或等圆中，如果 中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. ③圆心角的度数与它所对的弧的度数 (5)圆周角的性质： ①圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的 ,同弧或等弧所对的圆周 角 ②直径（或半圆）所对的圆周角是 的圆周角所对的弦是直径， ③圆内接四边形的对角 3.与圆有关的位置 (1)点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么点P在⊙O上 台→d r;点P在⊙O 台d>r;点P在⊙O 台d<r. (2)圆的存在性定理：不在同一条直线上的三点确定 (3)三角形的外心、内心： ①外心：三角形的外心是三角形 的圆心，是三角形 的交点， 它到 的距离相等 ②内心：三角形的内心是 的交点，它到三角形 的距离相等， 94 第2章对称图形—圆 (4)直线与圆的位置关系： ①如果⊙O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,那么直线1与⊙O相交台 d r;直线l与⊙O相切台d r;直线l与⊙O相离台d r. ②圆的切线： (①)判定方法：经过半径的 并且垂直于 的直线是圆的切线；与圆 有 公共点的直线是圆的切线；与圆心的距离等于 的直线是圆的 切线。 ()性质：圆的切线与圆有 公共点；圆心到圆的切线的距离等 于 ;圆的切线垂直于经过 的半径， ()切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心的连线 平分两切线的夹角. 4.正多边形与圆 (1)正多边形的定义及性质： ① 的多边形叫作正多边形 ②一般地，用量角器把一个圆(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆 的 正n边形，这个圆是这个正n边形的 圆正多边形的 圆 的圆心叫作正多边形的中心， 圆的半径叫作正多边形的半径， ③正多边形都是 图形，一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都经 过正n边形的 .如果一个正多边形有 条边，那么它又是 图 形，对称中心就是这个正多边形的 (2)弧长与扇形面积： ①在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n的关系为 ②在半径为R的圆中，圆心角度数为n的扇形面积为 ;在半径为R的圆中，弧 长为1的扇形面积为 (3)圆锥的展开图：在圆锥中，连接圆锥的顶点与底面圆上的任意一点的线段叫作圆锥的母 线.设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r,它的侧面积为 题组提优训练 目/考点一/圆的有关概念及性质 1.(2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8, OD=5,则BE的长为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第1题) (第2题) 2.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径.若∠BEC= 20°，则∠ADC的度数为 A.100° B.110° C.120° D.130° 《95 一课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)>》号 3.如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上（不与点A、C重合），点D在AC的延长线上，连接 BD交⊙O于点E.若∠AOB=3∠D,则下列关系正确的是 () A.DE=EB B.2DE=EB C.3DE=DO D.DE=OB (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，将半径为5的⊙O折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC的长为() A.2 B.3 C.1 D.√2 5.(2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形OABC是菱形，则∠D的度数 为 6.【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁 中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”问题翻译为：如图，现有圆形木材埋 在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半 径为 寸 E (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=60°，BC=4√3，则⊙O的半径是 8.在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为（一2,0）、(0,2)、(4,0)，E是△ABC外 接圆上的一点，BE交线段AC于点D.若∠DBC=45°，则点D的坐标为 9.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为6，拱高CD(孤的中点 到水面的距离)为1m. (1)求主桥拱所在圆的半径， (2)若水面下降1m,求此时水面的宽度. B 96 第2章对称图形—圆 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，且∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明. (2)若AB=√2，AD=1. ①求线段DC的长； ②味鼎的值 目/考点二/直线与圆的位置关系 1.(2024·泸州)如图，EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D,点B、C在⊙O上.若∠BAE+ ∠BCD=236°，则∠E的度数为 A.56° B.60 C.68° D.70° D D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（一4，一3），⊙A的半径为1，P为x轴上一 动点，PQ切⊙A于点Q,则当PQ的长最小时，点P的坐标为 () A.(-4,0) B.（-5,0) C.（-4,0)或(-5,0) D.(-3,0) 3.【数学文化】(2024·滨州)刘徽（今山东滨州人）是我国魏晋时期伟大的数学家，中国古典数 学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题 多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形 式.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b,则可以用含c、a、b的式 子表示出△ABC的内切圆直径d.下列表达式错误的是 A.d=a+b-c B.d=2ab a+b+c C.d=√/2(c-a)(c-b) D.d=|(a-b)(c-b) 《97 、课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)》 4.(2024·包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点 C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,连接OA、OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则 ∠ADC的度数为 5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥ AB,交CB的延长线于点E. (1)求证：ED是⊙O的切线 (2)若AC=3√2，BC=√2，求BD、CD的长. 目/考点三/与圆有关的计算 1.【新情境】(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥 的母线长为40cm,底面圆的半径为30cm,则该圆锥的侧面积为 () A.700πcm B.900πcm2 C.1200πcm D.1600πcm2 2.(2024·广安)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆， 与AC、BC分别相交于点D、E,则DE的长为 () A晋 B5π 9 C.10z D.25x 9 9 D (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2024·广元)F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD的延长线交于 点G,则∠BGC的度数为 4.(2024·通辽)如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底 面半径为5cm、母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2. (结果用含π的式子表示) 98》 第2章对称图形—圆 5.【新情境】(2024·内蒙古)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路 如图，AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O,所对的圆心角都是72°， 点A,C、O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36，则公路宽AC的长 是 m.（π取3.14，计算结果精确到0.1) (第5题) (第6题) (第7题) 6.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC=√2AB,O为边BC的中点，OE=AB=4,则扇形 EOF的面积为 7.(2024·资阳)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以点A为圆心、AD的长为半径作弧 交AB于点E,再以AB为直径作半圆，与DE交于点F,则图中阴影部分的面积为 直击中考前沿 1.(2024·山西)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连 接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为 A.30° B.40° C.45 D.50° (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段 CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为 ) A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m 3.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接OC, D是OC上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则AC的长为 A.否 B晋 C. D.π 4.(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O的一个直径端点与半圆O的圆 心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ) C A暂-3 C-3 D- 99 课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))》 5.(2024·扬州)若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的 半径为 cm. 6.(2024·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠BAC的度数 为 (第6题) (第7题) 7.(2024·苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图， 由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心 C恰好是△ABO的内心.若AB=2√3，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为 (结果保留π) 8.(2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上， ∠1、∠4的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2十∠3+∠4的度数为 (第8题) (第9题) 9.(2024·临夏)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD,OM为折痕，以点O为圆心、OM的 长为半径作弧，分别交AD、BC于E、F两点，则EF的长为 .(结果保留π) 10.(2024·江西)如图，AB是⊙O的直径，AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦 DE⊥AB,将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时，线段FB的长 为 y↑/y=x+4 (第10题) (第11题) 11.(2024·凉山)如图，⊙M的圆心为M(4,0),半径为2，P是直线y=x十4上的一个动点，过 点P作⊙M的切线，切点为Q,则PQ的最小值为 100) 第2章对称图形—圆 12.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点 E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC;②EF=BD. 13.(2024·辽宁)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD, 点E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD. (1)如图1，求证：CE是⊙O的切线 (2)如图2，若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求BD的长， 图1 图2 14.(2024·绥化)如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OC的长为半径的 ⊙O与AD相切于点E,与AC相交于点F. (1)求证：AB与⊙O相切. (2)若正方形ABCD的边长为W2十1，求⊙O的半径 (3)如图2，在(2)的条件下，若M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点 N.当CM:FM=1:4时，求CN的长. 图1 图2 《101