专题2.8 圆锥的侧面积（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.8 圆锥的侧面积 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：与圆锥相关的概念 1 知识点梳理02：圆锥的侧面积和全面积 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求圆锥侧面积 2 考点2：求圆锥底面半径 3 考点3：求圆锥的高 4 考点4：求圆锥侧面展开图的圆心角 5 考点5：圆锥的实际问题 6 考点6：圆锥侧面上最短路径问题 8 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 15 知识点梳理01：与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点梳理02：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 考点1：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在中，，现以为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【变式训练2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 考点2：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【变式训练1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）五育课堂上“奇妙”手工课堂开课啦！一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 考点3：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【变式训练2】（19-20九年级上·贵州黔东南·期末）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 考点4：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【变式训练2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 考点5：圆锥的实际问题 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练1】（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【变式训练2】（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    考点6：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【变式训练1】（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式训练2】（2020·山东东营·一模）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 cm． 1．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 3．（2016·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    基础夯实 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 7．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的侧面积．      8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 10．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 培优拔高 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 16．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 17．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），求这个圆锥形漏斗的侧面积及侧面展开图的圆心角． 18．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，内接于，，点E在直径的延长线上，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径． 19．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 20．（19-20九年级·江苏扬州·阶段练习）如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即，如T（60°）＝1． （1）理解巩固：T（90°）＝　　，T（120°）＝　　； （2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q． ①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数； ②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 圆锥的侧面积 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：与圆锥相关的概念 1 知识点梳理02：圆锥的侧面积和全面积 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求圆锥侧面积 2 考点2：求圆锥底面半径 4 考点3：求圆锥的高 6 考点4：求圆锥侧面展开图的圆心角 8 考点5：圆锥的实际问题 11 考点6：圆锥侧面上最短路径问题 14 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 28 知识点梳理01：与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点梳理02：圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 考点1：求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在中，，现以为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，圆锥侧面积的求解，熟练掌握勾股定理和圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 先由勾股定理求出母线，再由求解即可． 【规范解答】解：由题意得：母线 ∴， 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【规范解答】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 【变式训练2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则，得到，可知时，，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：． 【规范解答】解：设小圆的直径为x， 若扇形弧长与底面圆的周长相等， 则， ∴， ∵随着的增大而增大， 且当时，， 即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：， 故答案为：． 考点2：求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积 【规范解答】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是， 则围成的圆锥的全面积是． 【变式训练1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）五育课堂上“奇妙”手工课堂开课啦！一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键．根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，进而求出正方形的对角线长，根据正方形的性质求出正方形的边长． 【规范解答】解：设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴， ∴正方形的对角线的长， 正方形的边长为， 故答案为： 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 【答案】 【思路引导】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面半径为．根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解． 【规范解答】解：设圆锥的底面半径为． 由题意得：， 解得， 答：这个圆锥形生日帽的底面半径为． 考点3：求圆锥的高 【典例精讲】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【规范解答】解：∵将半径为4的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可． 【规范解答】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 【变式训练2】（19-20九年级上·贵州黔东南·期末）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】cm 【思路引导】作OC⊥AB于C，如图，根据折叠的性质得OC等于半径的一半，即OA＝2OC，再根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAC＝30°，则∠AOC＝60°，所以∠AOB＝120°，则利用弧长公式可计算出弧AB的长＝2π，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，得到圆锥的底面圆的半径为1，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【规范解答】解：作OC⊥AB于C，如图， ∵将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O， ∴OC等于半径的一半，即OA＝2OC， ∴∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， 弧AB的长＝＝2π， 设圆锥的底面圆的半径为r， ∴2πr＝2π，解得r＝1， ∴这个圆锥的高＝＝2(cm)， 故答案为：2cm． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，弧长公式的计算，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握弧长公式的计算是解题的关键． 考点4：求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查的是求解圆锥展开图的圆心角，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【规范解答】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【思路引导】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【规范解答】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【变式训练2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【规范解答】（1）解：弧的长度=底面圆的周长； （2）解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； （3）解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 考点5：圆锥的实际问题 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为 ，进而得到 ，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【规范解答】解：设的长为 ， 四边形为正方形， 则 ，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得 ， 故选：C． 【变式训练1】（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【思路引导】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【规范解答】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【变式训练2】（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的侧面积与底面积的计算，先由扇形面积公式计算出帐篷的侧面需要的材料，设帐篷的底面半径为，则，求出底面半径，从而得出帐篷的底面需要的材料，即可得解． 【规范解答】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：， 设帐篷的底面半径为，则， 解得：， 帐篷的底面需要的材料为， 制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：． 考点6：圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【变式训练1】（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【变式训练2】（2020·山东东营·一模）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 cm． 【答案】3． 【思路引导】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【规范解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：BP＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 1．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【规范解答】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 2．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【规范解答】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 3．（2016·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    【答案】 【思路引导】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 【规范解答】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 基础夯实 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【规范解答】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的关系． 圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关系即可求解． 【规范解答】解：由扇形面积与弧长的关系得， ， 解得， 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得， ， 解得， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，求扇形的面积，解题的关键是熟练掌握扇形和弧长的关系． 利用圆锥的高和母线求出底圆的半径，再求出底圆的周长，底圆周长即为侧面扇形的弧长，利用扇形面积和弧长的关系即可求解． 【规范解答】解：圆锥的底圆半径为， ∴圆锥侧面扇形弧长等于底圆周长为， ∴圆锥的侧面积为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【思路引导】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【思路引导】本题考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根据弧长公式即可得出答案． 【规范解答】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【规范解答】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的侧面积．      【答案】 【思路引导】本题考查了求圆锥的侧面积，根据含30度角的直角三角形的性质得出底面圆的半径为，进而根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可求解． 【规范解答】解：圆锥的母线与高的夹角为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径为， 它的侧面积． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【思路引导】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【规范解答】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【思路引导】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【规范解答】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 10．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【思路引导】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【规范解答】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【考点评析】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 培优拔高 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键． 连接，求出，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 【规范解答】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 12．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【规范解答】解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，，将绕直角边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆锥的计算．先根据勾股定理计算出，然后分类讨论：当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4；当将绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为3，再分别根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积； 当将绕直角边所在直线旋转一周， 得到的几何体侧面积． 故选：C． 14．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的侧面积计算及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 由底面直径求半径；用勾股定理求母线长；代入侧面积公式得结果． 【规范解答】圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）． 由底面直径为，得底面半径； 圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理： ； 因此，侧面积为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．过B点作于H点，如图，设，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，再利用等腰直角三角形的性质得到，所以，接着根据旋转的性质得到，设，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2，，然后计算的值． 【规范解答】解：过B点作于H点，如图， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点A逆旋转一定的角度至， ∴， 设， ∵，， ∴． 故答案为：． 16．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【规范解答】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），求这个圆锥形漏斗的侧面积及侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥形漏斗的侧面积为，,侧面展开图的圆心角为． 【思路引导】本题主要考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面积，代入数进行计算即可；再根据即可求出圆心角． 【规范解答】解：圆锥的侧面积； 设侧面展开图的圆心角为， 则：， ． 答：这个圆锥形漏斗的侧面积为，侧面展开图的圆心角为． 18．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，内接于，，点E在直径的延长线上，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）依据题意，由，从而，又，则，结合，可得，则，故，进而可得，最后可以判断得解； （2）依据题意，，从而，又，又在中，，则，又，，可得弧的长为，再设扇形所围成圆锥的底面半径为r，可得，从而求出r，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 又∵， ∴弧的长为 设扇形所围成圆锥的底面半径为r， ∴． ∴． ∴以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径为． 【考点评析】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理，圆周角定理，展开图折叠成几何体、三角形的外接圆与外心、圆锥的计算，解题时要熟练掌握切线的性质是关键． 19．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 【答案】(1) (2)上下两部分体积的比为 【思路引导】本题考查了勾股定理、扇形面积、圆锥体积，关键是勾股定理及面积相等关系的应用． （1）由得：，代入数值即可求解； （2）绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，由勾股定理及面积关系可求得；由勾股定理求得，进而求得，再由面积关系可求得；绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥，下面部分用大圆锥体积减去这两个圆锥体积的和，即可求得两部分体积比． 【规范解答】（1）解：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长为， 由，得； 即该圆锥侧面展开图的面积为； （2）解：绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，如图， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 由勾股定理得，则； ∵， ∴； ∵绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥， ∴上面部分体积为：， 下面部分体积为：， ∴ ． 20．（19-20九年级·江苏扬州·阶段练习）如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即，如T（60°）＝1． （1）理解巩固：T（90°）＝　　，T（120°）＝　　； （2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q． ①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数； ②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68） 【答案】（1），；（2）①160°；②11.61． 【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角； ②根据T（A）的定义解答即可． 【规范解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC， 则 ∴T（90°）＝， 如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°， ∴BD＝AB， ∴BC＝AB， ∴T（120°）＝； 故答案为：，； （2）①∵圆锥的底面直径PQ＝8， ∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π， 设扇形的圆心角为n°， 则＝8π， 解得：n＝160， ∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°； ②∵160°÷2＝80°， ∴T（80°）≈1.29， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$