第2章 有理数的运算（复习讲义）数学青岛版2024七年级上册

第2章 有理数的运算（复习讲义） 1．准确运用加、减、乘、除四则运算法则，包括符号处理（如异号相加/相乘的结果判定）。 ①理解并熟练运用有理数加法法则；②理解并熟练运用有理数减法法则；③理解并熟练运用有理数乘法法则；④理解并熟练运用有理数除法法则。 2．正确使用运算律简化计算，例如通过凑整法优化复杂表达式。 ①掌握有理数加法的运算律；②能够利用有理数乘法运算律进行简便运算。 3．理解乘方的概念并掌握有理数的乘方运算。 ①理解乘方及其相关概念；②熟练掌握有理数的乘方运算；③能够在实际问题中灵活运用有理数的乘方。 4．掌握有理数的混合运算顺序，并能用有理数运算解决实际问题。 ①掌握有理数的混合运算运算法则；②能够用有理数运算解决简单的实际问题。 知识点01：有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 知识点02：有理数加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点03：有理数减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点4：有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负数；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值积。 （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0。 知识点5：有理数乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝b×a （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点6： 倒数 （1） 定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点7：有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个非0的数都得0。 知识点8：有理数的乘方 定义：这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或a的n次方） 知识点7：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点8：科学计数法 科学记数法：一般的，一个大于10的数可以表示成aX10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 知识点8：准确数与近似数 与实际完全符合的数是准确数，由四舍五入得到的与实际相近的数是近似数。 近似数的精确度： （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 知识点9：有理数的混合运算 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 题型一 有理数加法中的符号问题 【例1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A． 转换为：，不符合题意． B． 转换为：，不符合题意． C． 转换为：，不符合题意． D． 转换为：，与题目目标一致． 故选D． 【变式1-1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-2】已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【解析】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式1-3】把写成省略加号和括号的形式为 ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 题型二 有理数减法的实际应用 【例2】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【解析】解：； 因此，这天的日温差是6℃， 故选：B 【变式2-1】比低的气温是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】解：． 故选：C． 【变式2-2】如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（  ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【解析】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵ ∴日温差最大的一天是星期二， 故选：B 【变式2-3】如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　) 2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图    A．1日 B．2日 C．4日 D．5日 【答案】C 【解析】解：1日的温差为：， 2日的温差为：， 3日的温差为：， 4日的温差为：， 5日的温差为：， 所以4日的温差最小． 故选：C． 题型三 有理数加减中的简便运算 【例3】计算：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式3-1】用简便方法计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 【变式3-2】下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式3-3】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【解析】解： ． 题型四 倒数 【例4】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：的倒数是． 故选：D 【变式4-1】下列各组的两个数互为倒数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和0.5 【答案】B 【解析】解：A、，则和不互为倒数，故本选项不符合题意； B、，则和互为倒数，故本选项符合题意； C、，则和不互为倒数，故本选项不符合题意； D、，则和0.5不互为倒数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】的倒数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】1. 求倒数：的倒数为． 2. 求相反数：的相反数为． 正确答案应为． 故选：C． 【变式4-3】的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】解：将转化为分数形式为，则其倒数为 故选：C． 题型五 有理数乘除混合运算 【例5】计算． 【答案】12 本题考查了有理数的乘除混合运算，化除为乘是解题的关键． 【解析】解： ． 【变式5-1】18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ； （2） ． 【变式5-2】《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 【变式5-3】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【解析】解：， ，输出； 故答案为：128． 题型六 有理数四则混合运算的实际应用 【例6】甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸，由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点．甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距 千米．（交换乘客的时间略去不计） 【答案】255 【解析】解：由题意可知，上午8时同时从两个车站出发，到站时已是下午2点， 则往返总时间为小时， 所以，两地的距离为千米， 故答案为：255． 【变式6-1】200千克的面粉第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去（   ）千克． A．40 B．20 C．38 D．160 【答案】C 【解析】解：（千克）， （千克）， （千克） 答：两次共用去38千克． 故选：C． 【变式6-2】小明到新华书店去买故事书和漫画书，他带的钱可以买12本故事书或9本漫画书．现在小明用这些钱买了4本故事书和一些漫画书．问小明共买了 本书． 【答案】10 【解析】解：设总钱数为1，则故事书单价为，漫画书单价为， 买4本故事书花的价钱：， 则买漫画书的数量：， 则总本书为：（本）， 故答案为：10． 【变式6-3】有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 【答案】(1)70米；60米 (2)10500米 (3)3300米 【解析】（1）解：小仪： 小琳：， 答：小仪行走的速度为每分钟70米，小琳行走的速度60米． （2）解： ； ； 答：若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距10500米． （3）解： ； ； 答：小姜与A地的距离3300米． 题型七 有理数的乘方 【例7】下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】A： ，， ， 故该选项不符合题意； B：，， ， 故该选项不符合题意； C：，，， ， 故该选项符合题意； D：，，， ， 故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【答案】(1)9 (2)9 (3) (4) 【解析】（1）解：， 故答案为：9； （2）， 故答案为：9； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【变式7-2】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【解析】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【变式7-3】一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m， ……， 第次剪完后剩下铜丝的长度是m． 故答案为：C． 题型八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例8】我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m，将数字21500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：． 故选：D． 【变式8-1】已知地球上海洋面积约为，数据435000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：数据435000000用科学记数法可表示为， 故选：C． 【变式8-2】据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（    ） A．1.1亿用科学记数法表示为 B．9700万用科学记数法表示为 C．1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D．1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 【答案】D 【解析】解：选项A：亿即，符合科学记数法规则，正确，不符合题意； 选项B：9700万即，符合规则，正确，不符合题意； 选项C：亿与9700万的差为，正确，不符合题意； 选项D：亿与9700万的和为，科学记数法应为，而选项D写为，此时不满足，错误，符合题意； 故选：D 【变式8-3】某市在一次扶贫活动中，共捐款元，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点． 【解析】解：． 故答案为：． 题型九 将用科学记数法表示的数变回原数 【例9】截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【解析】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式9-1】34．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 【变式9-2】嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 【变式9-3】2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到，其中修复红树林的亩数用科学记数法表示为，则原数表示是 ． 【答案】146200 【解析】解：， 故答案为：146200． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：的倒数是， 故选：． 2．据初步统计，截至2023年1月31日24时，首次推出的竖屏看春晚累计观看人次达到亿，网友好评如潮，总点赞数为亿，将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：亿， 故选：A． 3．两个负数相加，其和一定是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．0 【答案】B 【解析】解： 设＜ ＜ ∴， 故选择B． 【点睛】本题考查有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题关键． 4．曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【解析】解： （天） 答：需要20天能完成任务． 故选：B． 5．已知三个数，12，，“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【解析】解：， ， ， ∴“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为． 故选：A． 二、填空题 6．计算： ， ， ． ． 【答案】 4 5 【解析】解：； 故答案为：；4；5；． 7．计算： ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 8．如图，从A地到北京原来要付120元，使用需要付 元，如果从B地到北京使用优惠了9元，则原来要付 元． 【答案】 108 90 【解析】解：（元） （元） 从A地到北京原来要付120元，使用需要付108元，如果从B地到北京使用优惠了9元，则原来要付90元， 故答案为：108,90． 9．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为1时，则输出的结果 ． 【答案】 【解析】解：当输入的数为1时， ， ， ， ， ， ，即输出的结果， 故答案为： 10．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】 【解析】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．某市出租车起步价是7元，千米以后按每千米元计费，不足1千米按1千米计算．妈妈和琳琳从家乘出租车去“悦为书吧”看书，她家到书吧的路程是千米．请你帮琳琳计算一下，她们乘坐出租车需要多少元？ 【答案】元 【解析】解：（千米） 千米按照6千米进行计算 （元） 答：她们乘坐出租车需要元． 13．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 14．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【解析】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 15．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】(1)3.2 (2)3，3.6 (3)19.4万人 【解析】（1）解：10月2日的游客人数是：（万人）． 故答案为：． （2）解：1日游客数为：（万人）， 2日游客数为：（万人）， 3日游客数为：（万人）， 4日游客数为：（万人）， 5日游客数为：（万人）， 6日游客数为：（万人）， 7日游客数为：（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为万人． 故答案为：． （3）解：七天游客总数：（万人）． 答：这七天总共有万人游客去麦积山风景区． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【解析】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 2．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 3．如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【解析】解：∵a+b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟知有理数加法运算法则是解本题的关键． 4．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【解析】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 5．若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【解析】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 二、填空题 6．《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【解析】解：． 故答案为：47000． 7．若与互为倒数，则 ． 【答案】 【解析】解∶∵与互为倒数， ∴， ∴， 故答案为∶． 8．已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【答案】①⑤ 【解析】解：①∵由数轴可知，， ∴， ∴①对； ②由数轴可知，， ∴， ∴②错； ③，， ∴， ∴③错； ④由数轴可知，， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴， ∴④错； ⑤∵，， ∴， ∴⑤对． 故答案为：①⑤． 9．对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：； 故答案为：． 10．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】 【解析】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为（分）； 如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间 分钟，丙在第分钟进入最后一间房完成分钟，则最少需要分钟 故答案为：；． 三、解答题 11．计算 (1) (2)． 【答案】(1)0 (2) 【解析】（1）解： ； （2） ． 12．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 13．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】(1) (2)亏了，亏了8元 (3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【解析】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 14．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在会展路路口的东方向，距离会展路路口有5千米 (2)这一天摩托车共耗油4.05升 【解析】（1）解： （千米）， 答：A处在会展路的东方向，距离会展路有5千米． （2）解： 答：这一天摩托车共耗油4.05升． 15．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【解析】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算（复习讲义） 1．准确运用加、减、乘、除四则运算法则，包括符号处理（如异号相加/相乘的结果判定）。 ①理解并熟练运用有理数加法法则；②理解并熟练运用有理数减法法则；③理解并熟练运用有理数乘法法则；④理解并熟练运用有理数除法法则。 2．正确使用运算律简化计算，例如通过凑整法优化复杂表达式。 ①掌握有理数加法的运算律；②能够利用有理数乘法运算律进行简便运算。 3．理解乘方的概念并掌握有理数的乘方运算。 ①理解乘方及其相关概念；②熟练掌握有理数的乘方运算；③能够在实际问题中灵活运用有理数的乘方。 4．掌握有理数的混合运算顺序，并能用有理数运算解决实际问题。 ①掌握有理数的混合运算运算法则；②能够用有理数运算解决简单的实际问题。 知识点01：有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 知识点02：有理数加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点03：有理数减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点4：有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负数；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正数。积的绝对值等于各个因数的绝对值积。 （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0。 知识点5：有理数乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝b×a （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点6： 倒数 （1） 定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点7：有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个非0的数都得0。 知识点8：有理数的乘方 定义：这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或a的n次方） 知识点7：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点8：科学计数法 科学记数法：一般的，一个大于10的数可以表示成aX10"的形式，其中1≤a<10,n是正整数。这种记数方法叫做科学记数法。 知识点8：准确数与近似数 与实际完全符合的数是准确数，由四舍五入得到的与实际相近的数是近似数。 近似数的精确度： （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 知识点9：有理数的混合运算 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 题型一 有理数加法中的符号问题 【例1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【变式1-3】把写成省略加号和括号的形式为 ． 题型二 有理数减法的实际应用 【例2】我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【变式2-1】比低的气温是（   ） A．2 B． C． D．4 【变式2-2】如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（  ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【变式2-3】如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　) 2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图    A．1日 B．2日 C．4日 D．5日 题型三 有理数加减中的简便运算 【例3】计算：． 【变式3-1】用简便方法计算：． 【变式3-2】下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 题型四 倒数 【例4】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列各组的两个数互为倒数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和0.5 【变式4-2】的倒数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-3】的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 题型五 有理数乘除混合运算 【例5】计算． 【变式5-1】18．计算： (1)； (2)． 【变式5-2】《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【变式5-3】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 题型六 有理数四则混合运算的实际应用 【例6】甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸，由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点．甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距 千米．（交换乘客的时间略去不计） 【变式6-1】200千克的面粉第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去（   ）千克． A．40 B．20 C．38 D．160 【变式6-2】小明到新华书店去买故事书和漫画书，他带的钱可以买12本故事书或9本漫画书．现在小明用这些钱买了4本故事书和一些漫画书．问小明共买了 本书． 【变式6-3】有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 题型七 有理数的乘方 【例7】下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式7-1】计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【变式7-2】当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【变式7-3】一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 题型八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例8】我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m，将数字21500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知地球上海洋面积约为，数据435000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（    ） A．1.1亿用科学记数法表示为 B．9700万用科学记数法表示为 C．1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D．1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 【变式8-3】某市在一次扶贫活动中，共捐款元，数据用科学记数法表示为 ． 题型九 将用科学记数法表示的数变回原数 【例9】截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【变式9-1】34．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到，其中修复红树林的亩数用科学记数法表示为，则原数表示是 ． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．据初步统计，截至2023年1月31日24时，首次推出的竖屏看春晚累计观看人次达到亿，网友好评如潮，总点赞数为亿，将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．两个负数相加，其和一定是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．0 4．曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 5．已知三个数，12，，“它们的和”与“它们的绝对值的和”的差为（   ） A． B． C．6 D．8 二、填空题 6．计算： ， ， ． ． 7．计算： ． 8．如图，从A地到北京原来要付120元，使用需要付 元，如果从B地到北京使用优惠了9元，则原来要付 元． 9．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为1时，则输出的结果 ． 10．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．某市出租车起步价是7元，千米以后按每千米元计费，不足1千米按1千米计算．妈妈和琳琳从家乘出租车去“悦为书吧”看书，她家到书吧的路程是千米．请你帮琳琳计算一下，她们乘坐出租车需要多少元？ 13．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 14．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 15．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 2．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 3．如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 4．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 二、填空题 6．《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 7．若与互为倒数，则 ． 8．已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 9．对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 10．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 三、解答题 11．计算 (1) (2)． 12．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 13．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 14．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 15．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$