第11章 简单几何体（复习讲义）高二数学沪教版2020必修第三册

第11章 简单几何体（复习讲义） 1.准确理解简单几何体的定义、分类及各自的构成要素，能清晰区分不同几何体的特征。 2.熟练掌握各类简单几何体的几何性质，能运用这些性质解决相关问题。 3.精准记忆并理解简单几何体的表面积和体积计算公式，能根据不同几何体的参数正确选择公式进行计算。 知识点01.柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点02.锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 知识点03.多面体与旋转体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 知识点04.球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 题型一 柱体体积有关计算 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 【变式1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【变式1-4】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 题型二 柱体的表面积与侧面积 【例2】（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【变式2-2】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【变式2-4】（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 题型三 柱体中截面的有关计算 【例3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，圆柱的轴截面是正方形，E是半圆弧AB的中点，则异面直线和所成角的大小为 . 【变式3-1】（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 题型四 柱体中最短距离 【例4】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 题型五 椎体体积有关计算 【例5】（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 【变式5-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，、分别为棱、中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且， ①求四棱锥的体积； ②求二面角的大小. 【变式5-4】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 题型六 椎体的表面积与侧面积 【例6】（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 【变式6-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为 ． 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）如图，已知三棱锥中，平面，，，，.    (1)求点到平面的距离； (2)求三棱锥的表面积. 【变式6-3】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【变式6-4】（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 题型七 椎体中截面的有关计算 【例7】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【变式7-1】（23-24高二上·上海嘉定·期中）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ． 【变式7-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【变式7-3】（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【变式7-4】（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 题型八 椎体中的最短距离 【例8】（2023·上海宝山·一模）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【变式8-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离是 . 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 题型九 球的表面积与体积 【例9】（24-25高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【变式9-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 题型十 多面体与球体内切外接问题 【例10】（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【变式10-2】（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【变式10-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 基础巩固通关测 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 2．（24-25高二上·上海·期末）若球的半径为1，则其表面积为 . 3．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 4．（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 5．（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 6．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 7．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 8．（22-23高二上·上海静安·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 9．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 二、解答题 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 11．（23-24高二上·上海·期中）在正三棱柱中，已知它的底面边长为2. (1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积. (2)若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（23-24高二上·上海·期末）如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（    ） A．的值等于1 B． C．的值等于2 D． 2．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣.因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称.现有一张如图所示的A4纸，长，宽分别是其四条边的中点，课堂上，在数学老师的带领下，同学们发现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，可以得到一个四面体.课后，小金同学继续思考研究，并得到如下两个命题：①四面体的外接球半径；②四面体的内切球半径，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 4．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 5．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 6．（23-24高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 . 三、解答题 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 8．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 简单几何体（复习讲义） 1.准确理解简单几何体的定义、分类及各自的构成要素，能清晰区分不同几何体的特征。 2.熟练掌握各类简单几何体的几何性质，能运用这些性质解决相关问题。 3.精准记忆并理解简单几何体的表面积和体积计算公式，能根据不同几何体的参数正确选择公式进行计算。 知识点01.柱体 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 3.祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 4.柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 5.柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点02.锥体 1.棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 3.锥体的体积 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 4.锥体表面积与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 知识点03.多面体与旋转体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 知识点04.球 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 4.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 5.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 题型一 柱体体积有关计算 【例1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、证明面面平行 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 【变式1-1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 【答案】或 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解. 【详解】①如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. ②如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. 故答案为：或. 【变式1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【答案】/0.1875 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】分别取的中点，连接，结合棱柱的结构特征可得几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解. 【详解】连接,分别取其中点，连接，如图，    则，且，可得几何体是三棱柱， 又，且，于是平面， 而平面，则，同理，又平面， 因此平面，即三棱柱是直三棱柱， 由正方体的棱长为1，得， 所以直三棱柱的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题中信息，作出几何体，再证明该几何体是直三棱柱是本题的关键. 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、求点面距离 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值. 【变式1-4】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、面面平行证明线面平行 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 题型二 柱体的表面积与侧面积 【例2】（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为40，如图所示， 所以弧的长度为， 曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为10的矩形， 所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、棱柱的结构特征和分类、证明线面垂直 【分析】首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果. 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作，证明. 【变式2-2】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】（1）先根据题意求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积求出其高，进而即可求出圆柱的表面积； （2）由题意可得，从而得到异面直线与所成角为，再求出，，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】（1）设圆柱的高为， 由是底面圆的直径，且，， 则,则圆柱的底面半径为， 又圆柱的体积为，解得， 所以圆柱的表面积为． （2）连接，， 由题意可得， 则异面直线与所成角为直线与所成角，即， 又结合（1）可得,， 在中，有， 在中，有， 所以， 故异面直线与所成角的大小为．    【变式2-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】（1）求出圆柱的底面半径和高即可求解； （2）把异面直线和所成的角转化为和的夹角即可得解. 【详解】（1）设圆柱上底面的圆心为，在中，是的中点， 则，， . （2）分别是的中点，， 异面直线和所成的角等于和的夹角， 在中，， ， 所以异面直线和所成的角的余弦值为. 【变式2-4】（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点面距离、求线面角、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解． 【详解】（1）由题意知，平面，所以直线与平面的夹角，即为， 易知，， 又， 故，进而有，， 由圆柱的表面积为， 可得，故， 故直线与平面的正切值为． （2）设点到平面的距离为， 则， 故，又， 因为平面，平面,所以， 又，平面, 所以平面，平面,即， 在中，， 故， 所以，即点到平面的距离为．    题型三 柱体中截面的有关计算 【例3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，圆柱的轴截面是正方形，E是半圆弧AB的中点，则异面直线和所成角的大小为 . 【答案】 【知识点】反三角函数、求异面直线所成的角、圆柱轴截面的有关计算 【分析】由，可得异面直线BC和所成角的大小与相等，由，可得，即可得异面直线BC和所成角的大小. 【详解】 连接，由，故异面直线BC和所成角的大小与相等， 设正方形边长为，则，底面半径， E是半圆弧AB的中点，则， 又平面且平面，故， 故.故， 即异面直线BC和所成角的大小为. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 题型四 柱体中最短距离 【例4】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将将底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【详解】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 【点睛】关键点睛：立体几何折线段最值问题都会展开几何体为一个平面处理，待求表达式中含有，联想到含的直角三角形的边长关系，是解题突破口. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 题型五 椎体体积有关计算 【例5】（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 【答案】/0.5 【知识点】证明面面平行、判断线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面即为平面，平面即为平面，计算出，，，计算出. 【详解】取的中点，的中点，的三等分点分别为， 其中靠近，连接，， 由中位线可知， 因为平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面， 且到平面的距离，到平面的距离，平面与的距离，三者相等， 故平面即为平面，平面即为平面， 故，， 设四面体的体积为， 由于，， 故点到底面的距离为点到平面的距离的， 故，同理可得， 故， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）先证明平行四边形再应用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合线面垂直判定定理及线面平行判定定理应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）异面直线与所成角为，则 又因为平面，则平面， 平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， . 【变式5-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，、分别为棱、中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且， ①求四棱锥的体积； ②求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②. 【知识点】求二面角、证明面面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论； （2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知，根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果. 【详解】（1）为中点，，， ，，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面； ，分别为，中点，， 平面，平面，平面； ，，平面，平面平面. （2）①平面平面，平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角， 即；，则， 平面，平面，，； 作，则由平面平面，平面平面得平面，且， 四棱锥的体积为； ②，，平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， ，，， 即二面角的大小为. 【变式5-4】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出、、的值，结合余弦定理计算即可． （3）计算长，证明平面，利用三棱锥体积转化即可得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角为； （3）因为正方形，所以，且，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 题型六 椎体的表面积与侧面积 【例6】（23-24高二上·上海·期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据题意，求得底面圆的半径以及圆锥的母线长，再由多面体的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】平面于，连接并延长与交于点，计算，，计算得到答案. 【详解】如图所示：平面于，连接并延长与交于点，    则是中点，是中心，， ，侧面积为. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）如图，已知三棱锥中，平面，，，，.    (1)求点到平面的距离； (2)求三棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】 （1）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离； （2）计算出三棱锥每个面的面积，相加即可得出三棱锥的表面积. 【详解】（1）解：因为，，，则， 则，所以，. 因为平面，、平面，所以，，， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为，则， 设点到平面的距离为，由，即， 可得. （2）解：因为平面，平面，则， 所以，，， 故三棱锥的表面积为. 【变式6-3】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）根据表面积公式即可求解； （2）根据线线平行可得为异面直线与所成的角，即可利用三角形的边角关系求解； （3）根据线面垂直可得即为直线与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）圆锥的底面圆半径为2，， 故母线长， ． （2）底面，底面，， 又，即，，平面， 平面， 取中点，连接，则，且． 为异面直线与所成的角． 由平面，，可得平面，平面，得． 在中，求得， 在中，可得． 所以异面直线与所成的角的大小为 （3）底面，底面，， 又是中点，故， 平面， 平面， 故即为直线与平面所成角， 由于，， 故， 因此. 【变式6-4】（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、棱锥表面积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）三棱锥体积最大时为到的距离最大时，最大为半径，然后根据表面积公式求出表面积. （3）反向延长至，是得，则为的最小值. 【详解】（1）   证明：由题意面，面， 则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，面，面， 所以平面 （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径1， 此时，，， 因为， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的表面积. （3）如图，将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上， 因为，，，， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 题型七 椎体中截面的有关计算 【例7】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 【变式7-1】（23-24高二上·上海嘉定·期中）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【知识点】圆锥中截面的有关计算、求线面角 【分析】做出截面三角形，根据三角形面积公式，当截面面积最大时，为等腰直角三角形，结合线面角的定义，确定为所求，解出即可. 【详解】设圆锥的母线长为，过顶点的截面顶角为， 由题可知截面为等腰三角形， 所以截面的面积， 所以当时，， 如图所示， 为面积最大截面，且为等腰直角三角形， 为边上的高，所以， 又圆锥轴截面顶角为， 所以， 由线面角定义知，为所求， 在中，， 故，所以圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 故答案为： 【变式7-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 【变式7-3】（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱锥的展开图、棱锥中截面的有关计算 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 【变式7-4】（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2)或； (3) 【知识点】棱锥中截面的有关计算、求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【详解】（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 题型八 椎体中的最短距离 【例8】（2023·上海宝山·一模）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将三角形和三角形展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案. 【详解】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 【变式8-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离是 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开两次为扇形，计算出，然后利用余弦定理可求解最短路程. 【详解】设圆锥的顶点为，将圆锥侧面沿着母线展开两次为扇形，如下图所示：      设，圆锥的底面圆周长为，展开后扇形的半径为，则， 可得，在中，，， 由余弦定理得. 因此，点沿侧面绕两周回到点的最短距离为. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 题型九 球的表面积与体积 【例9】（24-25高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可. 【详解】球心的截面图如图， 则，由截面圆的周长为，得， 解得，球的半径是， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解决跟球和圆柱有关的问题时，一般是作出其轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故答案为： 题型十 多面体与球体内切外接问题 【例10】（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【答案】2 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解. 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 【变式10-2】（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题、多面体与球体内切外接问题 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 【变式10-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、棱柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 基础巩固通关测 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期末）若球的半径为1，则其表面积为 . 【答案】 【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积. 【详解】由球体表面积为. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【分析】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结，根据题中条件，以及正棱锥的结构特征，求出底面积和高，即可得出体积. 【详解】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结， 由正棱锥的结构特征可知：O为S在底面的射影，为正四棱锥为的高， 因为正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则， 则底面积，， 因此， 所以该正四棱锥的体积为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 【答案】3 【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可. 【详解】根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以所以. 故答案为：3. 5．（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】圆锥的侧面积. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式来求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 8．（22-23高二上·上海静安·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 9．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 二、解答题 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】（1）因为圆锥母线长为6，底面圆半径长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为； （2）圆锥的表面积为. 11．（23-24高二上·上海·期中）在正三棱柱中，已知它的底面边长为2. (1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积. (2)若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积； （2）先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积. 【详解】（1）正三棱柱的两个底面积之和为， 正三棱柱的侧面积为， 故正三棱柱的表面积为； 正三棱柱的体积为； （2）因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角， 故， 所以，故， . 能力提升进阶练 一、单选题 1．（23-24高二上·上海·期末）如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（    ） A．的值等于1 B． C．的值等于2 D． 【答案】D 【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为， 则，所以， 则水的体积为； 设倒置后液面面积为，则， 则水的体积为，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】设到平面的距离为， ， ， 解得，所以线段的最小值等于. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期末）折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣.因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称.现有一张如图所示的A4纸，长，宽分别是其四条边的中点，课堂上，在数学老师的带领下，同学们发现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，可以得到一个四面体.课后，小金同学继续思考研究，并得到如下两个命题：①四面体的外接球半径；②四面体的内切球半径，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【分析】得到一个对棱相等的四面休，将四面体放到一个长宽高分别为的长方体中，则四面体的对梭分别为，结合已知可求得长方体的体对角线长即为外接球的半径判断①，利用等体积法可求得内切球的半径判断②. 【详解】将纸沿图示虚线折起，使得四点重合为一点， 可以得到一个对棱相等的四面休， 因为纸长，宽，根据纸折起后的情况， 可得， 把此四面体放到一个长方体中，如图所示： 设长方体的长宽高分别为，则四面体的对梭分别为 ， 则有 由上述方程组可得，则， 因为四面体的外接球就是长方体的外接球， 而长方体的外接球直径等于长方体的体 对角线长，所以外接球半径为， 所以①是真命题； 由（*）可得， 则四面体的体积等于长方体的体积减去四个等体积的三棱锥体积， 长方体体积为， 一个三棱锥的体积为， 所以，计算四面体的表面积为， 根据四面体的体积公式（为表面积，为内切球半径），可得，解得，所以②是真命题. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据题意分析可知黑“电子狗”、 黄“电子狗”过6段后又回到起点，根据周期性分析求解. 【详解】由题意可知：黑“电子狗”爬行路线为， 即过6段后又回到起点， 同理，黄“电子狗”爬行路线为， 也是过6段后又回到起点， 所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点， 黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A， 此时的距离为． 故答案为：．    6．（23-24高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 . 【答案】/0.5 【知识点】组合体的切接问题、圆柱表面积的有关计算 【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径. 【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱， 其中分别在棱上， 要使圆柱体侧面积最大和体积最大， 则需其底面圆为正四棱柱的内切圆， 连接，设圆柱的底面圆半径为，高为， 则，，连接，则点在上， 在平面内，平行，则，即， 解得，， 圆柱侧面积为， 故当时，圆柱侧面积最大. 故答案为： 三、解答题 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆锥表面积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】（1）直接计算表面积即可. （2）确定圆锥的展开图为半圆，再利用余弦定理计算得到答案. （3）正方体的外接球在圆锥内相切时最大，根据中，，解得答案. 【详解】（1），，则，圆锥的表面积为. （2）设圆锥展开扇形的圆心角为，，故，如图所示： ，，故. 动点从点出发运动到点所经过的最短距离为. （3）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，球心在上，作于， 设球半径为，，则在中，，解得， ，解得，即的最大值为. 8．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 【答案】(1)存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析. (2)新棱柱的表面积为或 【知识点】棱柱表面积的有关计算、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）运用经过两条平行线有且只有一个平面证明即可. （2）重新组合后有三种情况，分别计算三种情况下的表面积即可. 【详解】（1）存在点位于的中点处时，点F在平面上. 理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，    因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又是的中点，为的中点，所以， 所以， 所以点、、、四点共面，即点F在平面上. （2）①如图所示，    由题意知，，，则， 所以此三棱柱的表面积为（）. ②如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. ③如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. 综述：新棱柱的表面积为或. 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】几何图形中的计算、证明面面垂直、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解. （2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可. （3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可. 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为 （2）由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 （3） 将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， ，所以，，，所以在三角形中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明线面垂直、求异面直线所成的角、面面平行证明线面平行 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角. （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$