著名的不等式（柯西不等式、排序不等式与切比雪夫不等式、权方和不等式、琴生不等式）讲义——2026届高三数学一轮复习

著名的不等式 （柯西不等式、排序不等式与切比雪夫不等式、 权方和不等式、琴生不等式） 题型一　柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(++…+)(++…+)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立). 例1　 已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值. 思维升华　掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法. 跟踪训练1　设a=(1，-2)，b=(x，y)，若x2+y2=16，则a·b的最大值为　　　　　.  题型二　排序不等式和切比雪夫不等式 1.排序不等式 给定两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn. 那么 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1+a2+…+an 　　　　(反序和)　　　　　　(乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn. 　　　　(同序和) 其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一个排列. 该不等式所表达的意义是和式aj在同序和反序时分别取得最大值和最小值. 2.切比雪夫不等式 对于两个实数数列{an}，{bn}， 若有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn， 则有aibi≥， 类似地，若有a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn， 则有aibi≤. 切比雪夫不等式证明： 因为有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn， 所以由排序不等式易知，最大的和为同序和，即a1b1+a2b2+…+anbn， 于是有以下一系列共n个式子： a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2， …， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1， 将这n个式子分别相加，同时对右式进行因式分解，整理可得aibi≥. 反向情况可由最小的和为逆序和推得，得证. 例2　已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≥B≥C.设P=，Q=acos C+bcos B+ccos A，则P，Q的大小关系为(　　) A.P≥Q B.P=Q C.P≤Q D.不能确定 思维升华　在比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小时，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系. 跟踪训练2　若A=++…+，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(　　) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 题型三　权方和不等式 1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有+≥(当且仅当x∶y=∶时，等号成立). 2.一般形式：设ai，bi均为正数(i=1，2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当==…=时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 例3　(1)若x>0，y>0，+=2，则6x+5y的最小值为　　　　　　.  (2)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为　　　　　　.  思维升华　(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次. 跟踪训练3　(1)已知正数x，y满足x+y=1，则+的最小值为　　　　　　.  (2)已知a+b+c=1，且a，b，c>0，则++的最小值为(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 题型四　琴生不等式 1.凹(凸)函数的定义 设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数； 反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数. 2.琴生不等式 (1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”). (2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，λi=1，有f(λixi)≤λif(xi). 说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式. 例4　半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　　.  思维升华　琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值. 跟踪训练4　设x1，x2，…，x2 025>0，且x1+x2+…+x2 025=1，则W=++…+的最小值为　　　　　　.  课时精练 [分值：40分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+y的最小值是(　　) A.-5 B.-6 C.3 D.4 2.设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是(　　) A.(0，30] B.(20，30] C.[20，30] D.[20，30) 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变形，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则+≥，当且仅当=时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 4.若实数x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为(　　) A.14 B. C.29 D. 5.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是(　　) A. B.3 C. D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.若a>1，b>1，则+的最小值为　　　　.  7.半径为R的球的内接三棱锥的体积V的最大值为　　　　　　.  8.设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为 　. 学科网（北京）股份有限公司 $$著名的不等式 （柯西不等式、排序不等式与切比雪夫不等式、 权方和不等式、琴生不等式） 题型一 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当 ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) �2 + �2· �2 + �2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当 ad=bc时，等号成立). (2) �2 + �2· �2 + �2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当 ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥( �� + ��)2(a，b，c，d≥0，当且仅当 ad=bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(�12+�22+…+��2)(�12+�22+…+��2)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当 bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数 k，使得 ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等 号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数 k，使α=kβ时，等号成立). 例 1 已知 x，y∈R，3x2+2y2≤6，求 2x+y的最值. 解 方法一 由柯西不等式得 (2x+y)2≤[( 3�)2+( 2�)2] 23 2 + 1 2 2 =(3x2+2y2) 43+ 1 2 ≤11. 当且仅当 3x· 1 2 = 2y· 2 3 ， 即 � = 4 11 11 , � = 3 11 11 或 � =− 4 11 11 , � =− 3 11 11 时等号成立， 于是 2x+y的最大值为 11，最小值为- 11. 方法二 由柯西不等式得 |2x+y|≤ ( 3�)2 + ( 2�)2 23 2 + 1 2 2 = (3�2 + 2�2) 4 3 + 1 2 ≤ 11， 当且仅当 3x· 1 2 = 2y· 2 3 ， 即 � = 4 11 11 , � = 3 11 11 或 � =− 4 11 11 , � =− 3 11 11 时等号成立， 于是 2x+y的最大值为 11，最小值为- 11. 思维升华 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等 方法. 跟踪训练 1 设 a=(1，-2)，b=(x，y)，若 x2+y2=16，则 a·b 的最大值为 . 答案 4 5 解析 ∵a=(1，-2)，b=(x，y)， ∴a·b=x-2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2， 即 5×16≥(x-2y)2， ∴-4 5≤x-2y≤4 5，(*) 当且仅当 b=ka， 即 � = 4 5 5 , � =− 8 5 5 时，(*)式中右边等号成立， 或 � =− 4 5 5 , � = 8 5 5 时，(*)式中左边等号成立， ∴当 x=4 55 ，y=- 8 5 5 时，a·b 的最大值为 4 5. 题型二 排序不等式和切比雪夫不等式 1.排序不等式 给定两组实数 a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果 a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn. 那么 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1��1+a2��2+…+an��� (反序和) (乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn. (同序和) 其中 i1，i2，…，in是 1，2，…，n的一个排列. 该不等式所表达的意义是和式 � Σ � = 1 aj���在同序和反序时分别取得最大值和最小值. 2.切比雪夫不等式 对于两个实数数列{an}，{bn}， 若有 a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn， 则有 1 � � Σ � = 1 aibi≥ 1 � � Σ � = 1 �� 1 � � Σ � = 1 �� ， 类似地，若有 a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn， 则有 1 � � Σ � = 1 aibi≤ 1 � � Σ � = 1 �� 1 � � Σ � = 1 �� . 切比雪夫不等式证明： 因为有 a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn， 所以由排序不等式易知，最大的和为同序和，即 a1b1+a2b2+…+anbn， 于是有以下一系列共 n个式子： a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2， …， a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1， 将这 n个式子分别相加，同时对右式进行因式分解，整理可得1 � � Σ � = 1 aibi≥ 1 � � Σ � = 1 �� 1 � � Σ � = 1 �� . 反向情况可由最小的和为逆序和推得，得证. 例 2 已知锐角三角形 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 A≥B≥C.设 P=�+�+� 2 ， Q=acos C+bcos B+ccos A，则 P，Q的大小关系为( ) A.P≥Q B.P=Q C.P≤Q D.不能确定 答案 C 解析 由题意知π 2 >A≥B≥C>0， 则 a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C， 则由排序不等式有 Q=acos C+bcos B+ccos A ≥acos B+bcos C+ccos A =R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A)， Q=acos C+bcos B+ccos A ≥bcos A+ccos B+acos C =R(2sin Bcos A+2sin Ccos B+2sin Acos C)， 两式相加得 Q=acos C+bcos B+ccos A ≥ 1 2 R(2sin Acos B+2sin Bcos A+2sin Bcos C+2sin Ccos B+2sin Ccos A+2sin Acos C) =R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)] =R(sin C+sin A+sin B) =�+�+� 2 =P. 思维升华 在比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小时，对于没有给出大小关系的情况，要根据 各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系. 跟踪训练 2 若 A=�12+�22+…+��2，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中 x1，x2，…，xn都是正数，则 A 与 B的大小关系为( ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 答案 C 解析 依序列{xn}的各项都是正数，不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn则 x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列. 由排序不等式，得 x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1，即�12+�22+…+��2≥x1x2+x2x3+…+xnx1. 题型三 权方和不等式 1.二维形式：已知 x，y，a，b均为正数，则有� � +� � ≥ ( �+ �)2 �+� (当且仅当 x∶y= �∶ �时，等号成立). 2.一般形式：设 ai，bi均为正数(i=1，2，…，n)，实数 m>0，则 � Σ � = 1 �� �+1 �� � ≥ ( � Σ �=1 ��)�+1 ( � Σ �=1 ��)� ，当且仅当 �1 �1 =�2 �2 =…=�� �� 时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 例 3 (1)若 x>0，y>0， 1 2�+� + 3 �+� =2，则 6x+5y的最小值为 . 答案 13 2 +2 3 解析 1 2�+� + 3 �+� = 1 2�+� + 12 4(�+�) = 1 2 2�+� +(2 3) 2 4(�+�)≥ (1+2 3)2 6�+5� =13+4 3 6�+5� ， 即 2≥13+4 3 6�+5� ， 因为 x>0，y>0，则 6x+5y≥13 2 +2 3， 当且仅当 1 2�+� = 2 3 4(�+�) ， 即 x=3 3−4 4 ，y=5− 3 2 时取等号. (2)已知正数 x，y，z满足 x+y+z=1，则 � 2 �+2� + � 2 �+2� + � 2 �+2�的最小值为 . 答案 1 3 解析 � 2 �+2� + � 2 �+2� + � 2 �+2� ≥ (�+�+�)2 �+2�+�+2�+�+2� =1 3 ， 当且仅当 � �+2� = � �+2� = � �+2� ， 即 x=y=z=1 3 时取等号. 思维升华 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多 1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为3 2 次，分母为1 2 次. 跟踪训练 3 (1)已知正数 x，y满足 x+y=1，则 1 �2 + 8 �2 的最小值为 . 答案 27 解析 1 �2 + 8 �2 =1 3 �2 +2 3 �2 ≥ (1+2)3 (�+�)2 =27，当且仅当1 � =2 � ，即 x=1 3 ，y=2 3 时取等号. (2)已知 a+b+c=1，且 a，b，c>0，则 2 �+� + 2 �+� + 2 �+� 的最小值为( ) A.1 B.3 C.6 D.9 答案 D 解析 ∵a+b+c=1， ∴ 2 �+� + 2 �+� + 2 �+� =2 1 2 �+� + 1 2 �+� + 1 2 �+� ≥ 2×(1+1+1)2 �+�+�+�+�+� =9， 当且仅当 a=b=c=1 3 时等号成立. 题型四 琴生不等式 1.凹(凸)函数的定义 设连续函数 f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点 x1，x2，都有 f �1+�2 2 ≤ �(�1)+�(�2) 2 ，则称 f(x) 为[a，b]上的凹函数； 反之，若有 f �1+�2 2 ≥ �(�1)+�(�2) 2 ，则称 f(x)为[a，b]上的凸函数. 2.琴生不等式 (1)琴生不等式：若 f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点 x1，x2，…，xn∈[a，b]，有 f �1+�2+…+�� � ≤ 1 � [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当 x1=x2=…=xn时取“=”). (2)加权琴生不等式：若 f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意 xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)， � Σ � = 1 λi=1， 有 f( � Σ � = 1 λixi)≤ � Σ � = 1 λif(xi). 说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式. 例 4 半径为 R的圆的内接三角形的面积的最大值是 . 答案 3 3 4 R2 解析 设☉O的内接三角形为△ABC. 显然当△ABC是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值(因为若△ABC是钝角三角形，可将钝角(不妨 设为 A)所对边以圆心为对称中心作中心对称成为 B'C'.因此，S△AB'C'>S△ABC). 设∠AOB=2α，∠BOC=2β，∠COA=2γ， α+β+γ=π. 则 S△ABC= 1 2 R2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 由讨论知可设 0<α，β，γ≤π 2 ，而 y=sin x在(0，π]上是凸函数. 则由琴生不等式知 sin2�+sin2�+sin2� 3 ≤sin 2(�+�+�) 3 = 3 2 . 所以 S△ABC≤ 1 2 R2×3× 3 2 =3 3 4 R2， 当且仅当△ABC是正三角形时，等号成立. 思维升华 琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利 用琴生不等式证明或求最值. 跟踪训练 4 设 x1，x2，…，x2 025>0，且 x1+x2+…+x2 025=1，则 W= �11−�1+ �2 1−�2 +…+ �2 025 1−�2 025 的最小值 为 . 答案 2 025 2 024 解析 构造函数 f(x)= � 1−� ， 易证函数 f(x)= � 1−� 在(0，1)上为凹函数. 由琴生不等式，得 f �1+�2+…+�2 025 2 025 ≤ �(�1)+�(�2)+…+�(�2 025) 2 025 ， 即 1 2 025 �1 1−�1 + �2 1−�2 +… + �2 025 1−�2 025 ≥ 1 2 025 1− 12 025 . 所以 W= �1 1−�1 + �2 1−�2 +…+ �2 025 1−�2 025 ≥ 2 025 2 025−1 =2 025 2 024 ，当且仅当 x1=x2=…=x2 025时，W的最小值为 2 025 2 024 . 课时精练 [分值：40分] 一、单项选择题(每小题 5分，共 25分) 1.实数 x，y满足 3x2+4y2=12，则 z=2x+ 3y的最小值是( ) A.-5 B.-6 C.3 D.4 答案 A 解析 ∵实数 x，y满足 3x2+4y2=12， ∴ �2 4 +� 2 3 =1， ∴ �2 4 + � 2 3 (16+9)≥(2� + 3�)2， 即-5≤2x+ 3y≤5，当且仅当 3 3x=8y， 即当 � =− 8 5 , � =− 3 3 5 时，左边取等号， 当 � = 8 5 , � = 3 3 5 时，右边取等号， ∴z=2x+ 3y的最小值是-5. 2.设 a1，a2，a3，a4是 1，2，3，4的一个排列，则 a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是( ) A.(0，30] B.(20，30] C.[20，30] D.[20，30) 答案 C 解析 由排序不等式得 a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30， a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20， ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30]. 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变形，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 a，b， x，y>0，则� 2 � +� 2 �≥ (�+�)2 �+� ，当且仅当 � � =� � 时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)=2 � + 9 1−2� 0 < � < 1 2 的最 小值为( ) A.16 B.25 C.36 D.49 答案 B 解析 因为 a，b，x，y>0，则� 2 � +� 2 � ≥ (�+�)2 �+� ， 当且仅当� � =� � 时，等号成立， 又 0<x<1 2 ，即 1-2x>0， 于是得 f(x)=2 2 2� + 3 2 1−2� ≥ (2+3)2 2�+(1−2�) =25，当且仅当 2 2� = 3 1−2� ，即 x=1 5 时，等号成立， 所以函数 f(x)=2 � + 9 1−2� 0 < � < 1 2 的最小值为 25. 4.若实数 x+2y+3z=1，则 x2+y2+z2的最小值为( ) A.14 B. 1 14 C.29 D. 1 29 答案 B 解析 根据柯西不等式得 (x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1， 即 x2+y2+z2≥ 1 14 ， 当且仅当 x= 1 14 ，y=1 7 ，z= 3 14 时等号成立. 5.在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是( ) A.3 2 B.3 C. 3 2 D.3 3 2 答案 D 解析 因为 y=sin x在区间(0，π)上是凸函数，根据琴生不等式可得， sin�+sin�+sin� 3 ≤sin �+�+� 3 =sin π 3 = 3 2 ， 得 sin A+sin B+sin C≤3 32 ， 当且仅当 A=B=C=π 3 时等号成立， 即 sin A+sin B+sin C的最大值是3 3 2 . 二、填空题(每小题 5分，共 15分) 6.若 a>1，b>1，则 � 2 �−1 + � 2 �−1 的最小值为 . 答案 8 解析 � 2 �−1 + � 2 �−1≥ (�+�)2 �+�−2 ， 令 a+b-2=t， 则(�+�) 2 �+�−2 =(�+2) 2 � =t+4 � +4≥8， 当且仅当 � �−1 = � �−1 , � + � − 2 = 2, 即 a=b=2时取等号， 所以 � 2 �−1 + � 2 �−1 的最小值为 8. 7.半径为 R的球的内接三棱锥的体积 V的最大值为 . 答案 8 3 27 R3 解析 设三棱锥为 P-ABC，△ABC的外接圆半径为 r， 则 S△ABC=2r2sin A·sin B·sin C ≤2r2 sin�+sin�+sin�3 3 ≤2r2 sin �+�+�3 3 =2r2 3 2 3 =3 3 4 r2， 当且仅当 A=B=C=60°时，等号成立， 若球心 O到平面 ABC的距离为 h， 则 V≤1 3 S△ABC(R+h)≤ 3 4 r2(R+h) = 3 4 (R2-h2)(R+h)= 3 8 (R+h)(R+h)(2R-2h) ≤ 3 8 �+ℎ+�+ℎ+2�−2ℎ 3 3 =8 3 27 R3， 当且仅当三棱锥 P-ABC为正四面体时，等号成立. 8.设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 sin �+�+� 3 的取值范围为 . 答案 1 2 ， 3 3 解析 在长方体中有 sin2α+sin2β+sin2γ=1， 注意到 sin2α=1-sin2β-sin2γ=cos2β-sin2γ =1 2 (1+cos 2β)-1 2 (1-cos 2γ) =cos(β+γ)·cos(β-γ)>0， 因为β，γ均为锐角，所以 cos(β-γ)>0. 从而 cos(β+γ)>0，即 0<β+γ<π 2 . 同理 0<α+β<π 2 ，0<γ+α<π 2 . 又 y=cos x在 0， π 2 上为凸函数， 由琴生不等式有 3cos (�+�)+(�+�)+(�+�) 3 ≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α) ≥cos(α+β)·cos(α-β)+cos(β+γ)·cos(β-γ)+cos(γ+α)·cos(γ-α) =sin2α+sin2β+sin2γ=1， 则 cos 2�+2�+2� 3 ≥ 1 3 ，即 sin �+�+� 3 ≤ 3 3 . 另一方面，sin2α=cos(β+γ)·cos(β-γ) >cos2(β+γ)=sin2 π 2 − � − � ， 由α，β+γ均为锐角，则α>π 2 -β-γ. 从而α+β+γ>π 2 . 又α→0+，β→0+，γ→π 2 ，有�+�+� 3 → π 6 . 综上，1 2 <sin �+�+� 3 ≤ 3 3 .