18.卷11 第5章 直角三角形 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 卷11 第5章基础诊断卷（A卷） 考查内容：直角三角形 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意. （第1题图） 1.［2025新疆乌鲁木齐六十八中月考］如图所示， 为直角 三角形， ，，与 互余的角有( ) C A. B. C.和 D. 【解析】因为 ，所以与互余.因为 ， 所以 ，所以 ,所以与 互余.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 （第2题图） 2.［2025湖南常德津市期末］如图，有3个村庄可以用点， ， 来表示，若，且千米，在上有个水源 ， 若水源到，两个村庄的距离相等，则水源到 村的距离为 ( ) C A.3千米 B.4千米 C.5千米 D.6千米 【解析】因为，所以 .因为水源到， 两个村庄的距离相 等，所以 千米，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 （第3题图） 3.［2025湖南怀化中方期末］如图，在 中， ， ，则边上的高 的长为 ( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】因为,所以.因为 ,所以 .因为，所以 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 4.［2025广东湛江期末］如图，已知，，若用“”判定 和 全等，则需要添加的条件是( ) D （第4题图） A. B. C. D. 【解析】因为，，所以 .在 和 中，所以，所以用“”判定 和全等，需要添加的条件是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 5.［2025湖北咸宁期末］以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是 ( ) C A.4，3，6 B.5，6，12 C.6，8，10 D.7，20，25 【解析】因为 ，所以长为4，3，6的三条线段围成的三角形不是直角 三角形，故A不符合题意；因为 ，所以长为5，6，12的三条线段不能围 成三角形，故B不符合题意；因为 ，所以长为6，8，10的三条线段围 成的三角形是直角三角形，故C符合题意；因为 ，所以长为7，20， 25的三条线段围成的三角形不是直角三角形，故D不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第6题图） 6.［2025山东淄博期末］如图，分别以直角三角形的三边为边， 向外作三个正方形，，， 是分别以直角三角形的三边长为 直径的圆的面积.若，，则 的值为( ) C A. B.10 C.100 D. 【解析】设面积为,,的三个圆对应的半径分别为，，，则 ， ，所以，.根据勾股定理可得 ，即 ，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 （第7题图） 7.［2025湖南长沙开福区期末］如图，平分， 于点，点在上，若，，则 的面积为 ( ) C A.2 B.4 C.5 D.10 （第7题图） 【解析】如图，作于点.因为平分， 于点，所以，所以 的面积为 ，即 的面积为5，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 （第8题图） 8.［2025河南邓州期末，中］如图是一块四边形地 ，已知 ，， ，， ， 则这块地的面积为( ) A A. B. C. D. （第8题图） 【解析】如图，连接.因为， ， ，所以 .因为 ，，所以，即 为 直角三角形，且 ,所以这块地的面积为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 （第9题图） 9.［2025山东菏泽月考，中］如图，在 和 中，， ，添加下 列条件后，能使这两个三角形全等的有( ) B 和 边上的高相等； ②角平分线和角平分线 相等； 和 边上的中线相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 【解析】当添加和边上的高相等时，设和边上的高分别为和 . 在和中，所以 ,所以 .在和中，所以 ， 故①正确.当添加角平分线和角平分线相等时，因为 ，所以 .在和中， 所以 ，所以.同①可证 ，故②正 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 确.当添加和边上的中线相等时，无法确定和 全等，故③错 误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10.规律探究［2024山东德州庆云期末，偏难］如图,正方形 的边长为1，以为边作第2个正方形，再以 为边作第3个正方形， ，按照这样的规律作下去，第 个正方形的边长为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题可知第1个正方形的边长为 ,第2个正方形的边长为 ,第3个正方形的边长为, ,所 以第个正方形的边长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南郴州北湖区期中］若直角三角形的两个锐角的度数之差为 ，则 较小的锐角度数为____. 【解析】设较小锐角度数为，则较大锐角度数为 .依题意有 ，解得 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 12.［2025江苏南京建邺区期末］若直角三角形斜边上的中线与高线的长分别是5和 4，则这个三角形的面积是____. 20 【解析】因为直角三角形斜边上的中线是5，所以直角三角形的斜边长为10，所以 这个三角形的面积为 .故答案为20. 上分总结 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在本题中用此等量关系，可直接得到斜 边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 （第13题图） 13.［2025湖南永州东安期末］如图，在 中， ，，垂足为点，若， ， 则 ___. 3 【解析】因为 ， ， ，所以 ， ,所以 .因 为，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 （第14题图） 14.［2025湖南益阳安化期末］如图，一个无盖的长方体盒子的长、 宽、高分别为,,,一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒 的表面爬到盒顶的点 ，则它爬行的最短路程是_______. 图（1） 【解析】分两种情况： ①如图（1），展开后连接，则 的长就是蚂蚁爬行的最短路程.在 中，由勾股定理得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 图（2） ②如图（2），展开后连接，则 的长就是蚂蚁爬行的最短路程.在 中，由勾股定理得 .因为 ， 所以它爬行的最短路程是,故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 （第15题图） 15.新教材如图，四边形中，， ， ，则 的度数为______. （第15题图） 【解析】如图，作于.因为,所以 .因为 ，所以，所以 ，所以 .因为， ，所以 .易知 ，所以 ，所以 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 16.［2025广西桂林全州期末］如图，已知的面积是21，， 分别平分 和，于，且，则 的周长为____. 14 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 （第16题图） 【解析】如图，作，，垂足分别为， ，连接 .因为，分别平分和， ，所以 .因为 的面积是21，所以 ，所以 ，所以 ，所以，所以 的周长为14， 故答案为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 17.易错题［2025浙江舟山期末，中］在中，已知 ， ，，是上一点，且，则 的长是______. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【解析】在中， .因 为，所以.当点在 中点处时，如图所示， 因为，且点为中点，所以.当点 不在 中点处时，过点作的垂线，垂足为.因为 ， 所以 .在 中，.在 中， ，所以 .综上所述， 的长为或.故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18.［2025浙江宁波期中，偏难］如图，在长方形中， ， ，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在 和 上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点 恰好落在长方形的对 角线上时（不与长方形顶点重合），点 运动的路程为_ __________. 2或 （第18题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 【解析】分类讨论：①当点落在对角线上时，连接 ，如图（1）.因为将长 方形沿折叠，点的对应点为，所以，.因为点 为线 段的中点，所以，所以， .因为 ，所以 ，即 ，所以，所以，所以 ， ，所以，所以 ，所以 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 所以此时点 运动的路程为2. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 ②当点落在对角线上时，作于点，如图（2）.由折叠知 .因 为在长方形中，， ， ，所以 ，易得 ，所以 ，所以 ，所以.因为 ，所以 ，所以 ，所以.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以此时点 运动的路程为 .综上可知，点运动的路程为2或.故答案为2或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 19.［2025江苏扬州宝应期末］（6分）如图，在中， ， 垂足为，，垂足为，是的中点，连接， . （1）求证： ； 【证明】因为，，所以 .因为是 的中点， 所以，，所以 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （2）连接，若，.判断 的形状，并说明理由. 【解】 是等边三角形.…………（4分） 理由：由（1）可得，.因为，所以 .因为 ，所以，所以 是等边三角形.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 20.［2025山东滨州邹平期末］（6分）如图，在中， ， ， 是的角平分线，它们相交于点 . 图（1） 图（2） （1）如图（1），连接，求证：点在 的平分线上； 图（1） 【证明】如图（1）所示，过点作，， 的垂线，垂 足分别为，，.因为，是 的角平分线，所以 ，，所以，所以点在 的平分 线上.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2）如图（2），延长交于点，过点作于点，于点 .求 证： . 图（2） 【解】如图（2）所示，过点作，交 的延长线于 点.因为是的角平分线，， ，所 以.因为 ，所以 .因为 是的平分线，所以 ，所以 ，所以，所以 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 21.［2025湖南娄底涟源期末］（8分）如图，在中，，是过点 的直线，于，于点 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 （1）若，在的同侧（如图（1））,且.求证： ； 【证明】因为，，所以 .在 和 中，所以 ,…………（2分） 所以，.因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）若,在的两侧（如图（2）），且，与 仍垂直吗？若是,请 给出证明；若不是，请说明理由. 【解】.证明：同（1）可证得 ，所以 ，.因为 ，所以 ，即 ，所以 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22.［2025河南郑州中牟期末］（8分）用四个全等的直角三角形拼成如图（1）所 示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为 ， ，斜边长为 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （1）请利用图（1）证明： ； 【证明】由题意得， ，即，所以 .…………（4分） （2）如图（2），将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，得 到图形，若该图形的周长为80， ，求该图形的面积. 【解】由题意得.设，则.在 中， 由勾股定理得，即，解得 ，所以 ,所以该图形的面积为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 23.［2025广东佛山三水区期末］（8分）综合与实践 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气 候，有极强的破坏力.如图（1）所示，有一台风中心沿东西方向由向 移动， 已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为 ， ，，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 （1）求 的度数. 【解】因为，即，所以 是直角三角形， 所以 .…………（2分） （2）海港 受台风影响吗？为什么？ 【解】海港受台风影响.理由如下：过点作于点.因为 是直角三 角形， ,所以 ，所以 ，所以 .因为以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，,所以海港 受台风影响.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 （3）［中］如图（2）所示，若台风的速度为， ，即 当台风从点处运动到点处时，海港持续受到影响，则海港 受台风影响持续的 时间有多长？ 【解】过点作于点.由（2）知,在 中， .因为,,所以 .因为 台风的速度为，所以 .…………（7分） 答：海港受台风影响持续的时间为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 24.探究性问题［2025浙江宁波海曙区期末］（10分）【问题背景】如图（1）， 在中， ，，，求 的长. 图（1） 图（2） 图（3） 小明的思路：如图（2），作于点，在的延长线上取点 ，使得 ，连接，易得， 为等腰三角形，由 和 ，易得 ， 为等腰三角形，依据已知条件可得和 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 解决下列问题： 【初步感知】 （1）图（2）中，___， ____； 9 12 【解】由题意易得是的垂直平分线，所以，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 .因为，所以，所以 ， 所以，所以 ，所以 . 在和中，由勾股定理得 ，即 ，所以 ，故答案为9，12.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 【特例探究】 （2）［偏难］在中，，，的对边分别为，， .如图（3），当 时，用含，的式子表示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 【解】由题意得，,,.如图，作交 的延长线于点，在的延长线上取点，使得 ，连接 ，则是边的垂直平分线，所以, ，所以 .因为 ， ，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 ， ，所以，所以 ，所以 ，所以. …………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 在中，，在中， ， 所以，即 ，所以 . …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 $$