15.上分专题（四） 等腰三角形中的分类讨论-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 上分专题（四） 等腰三角形中的分类讨论 重难上分 攻克难点 3 类型1 腰和底不确定时的分类讨论 类型2 遇中线分周长时的分类讨论 类型3 高的位置不确定时的分类讨论 类型4 分类讨论计数 类型5 遇动点时的分类讨论 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 腰和底不确定时的分类讨论 1.［2024广东广州海珠区期中］如图，为等边三角形，是 边上的中线， 点是边上一点，若是等腰三角形，求 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 5 【解】因为为等边三角形，所以 ，.因为是 边上 的中线，所以 ， .分三种情况：当 时， 如图（1），则 ，所以 ；当 时，如图（2），则 ，所以 ；当 时，点 落在的延长线上，不符合题意.综上所述，的度数是 或 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 6 类型2 遇中线分周长时的分类讨论 2.［2024山东临沂兰山区期中］在中，，中线 将这个三角形的 周长分成9和12两部分，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 7 【解】因为是边的中线，所以.因为 ，所以 .分两种情况：如图（1），当， 时， 解得，；如图（2），当， 时，解 得，.综上所述， 的长为5或9. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 3.［2025江苏苏州高新区月考］已知等腰三角形的周长为 ，一腰上的中线把 等腰三角形分成周长之差为 的两个三角形，求这个等腰三角形的腰长. 【解】设腰长为，底边长为 . ①若腰比底边长，根据题意得解得 ②若底边比腰长，根据题意得解得 故这个等腰三角形的腰长是或 . 1 2 3 4 5 6 7 9 类型3 高的位置不确定时的分类讨论 4.［2024黑龙江绥化北林区期中］已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，求这个等腰三角形顶角的度数. 【解】如图（1），当高在三角形内部时，顶角是 ；如图（2）， 当高在三角形外部时，顶角是 .综上所述，这个等腰三角形顶角 的度数是 或 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 10 类型4 分类讨论计数 5.［2024北京顺义区期末］如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线 上存在点，使得，均为等腰三角形，求满足条件的点 的个数. 1 2 3 4 5 6 7 11 【解】 为等腰三角形时，分三种情况：如图， 当时，以为圆心， 长为半径画圆，交 直线于点，；当时，以为圆心， 长为半径画圆，交直线于点，；当 时， 作的垂直平分线，交直线于点.因为直线 是 边的垂直平分线，所以以直线 上任意一点 （与的交点除外）与， 为顶点的三角形均为等腰三角形，所以满足条件的点 的个数共有5个. 1 2 3 4 5 6 7 12 类型5 遇动点时的分类讨论 6.［2024重庆渝北区期中］如图，在中， ， ， ，，点是边上的一个动点，点从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒.当点在边 上运 动时，求出发几秒后，是以 为腰的等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 13 【解】分两种情况：当时，如图（1）.因为 ，所以 .当时，如图（2）.因为，所以 .因为 ，所以 ， ，所以 ， 所以，所以，所以 .综上所述， 当点在边上运动时，出发22秒或24秒后，是以 为腰的等腰三角形. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 14 7.［2024江苏扬州期中］如图，中，， ，点在 边上 运动不与，重合，连接.作，交于点 . （1）当时，判断 的形状并证明. 【解】为直角三角形，证明如下：因为， ，所以 ，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 15 （2）［难］在点的运动过程中， 可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，请说明理由. 【解】可以是等腰三角形，理由如下：分三种情况： 时， ，所以 ； 时， ，所以 ； 时， ，所以，点与点 重合，不合题意，舍去.综上所述，的度数为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 16 $$