14.上分专题（三） 全等三角形模型-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（湘教版2024）

数 学 八年级上册 湘教版 1 2 上分专题（三） 全等三角形模型 重难上分 攻克难点 3 类型1 平移模型 类型2 对称模型 类型3 手拉手模型 类型4 一线三等角模型 类型5 半角模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 平移模型 母题学方法 上分攻略 把三角形沿着某一条直线平移，所得到的三角形与三角形 全等. 1.［2024湖南长沙天心区期中］如图，点，，，在一条直线上， ， ， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 5 （1）如图（1），求证： ； 【证明】因为，所以，即 . 在和中， 所以，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 6 （2）如图（2）， ， ，平分交于点，求 的度数. 【解】在中， ， ，所以 .由（1）可知 ，所以 .因为平分交于点 ，所以 .又因为是 的一个外角，所以 ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 类型2 对称模型 母题学方法 上分攻略 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三 角形称为对称型全等三角形，解题关键是利用公共边或公共角相等得到三角形全等. 2.［2025湖南株洲校级月考］如图，，， 分别是 ，的中点，，交于点，连接 ，则此图中全等三 角形有( ) C A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 1 2 3 4 5 6 7 9 【解析】因为，,分别是,的中点，所以 ， ，所以，.在和 中， 所以，所以.在和 中， 所以,所以.在和 中， 所以，所以.在和 1 2 3 4 5 6 7 10 中，所以 .综上，此图中全等三角形有4对. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 类型3 手拉手模型 母题学方法 上分攻略 两个三角形共用一个顶点，分别有两条边对应相等，称为“手拉手模型”.解题的关 键是将等角加（减）公共角得到两个对应角相等. 3.［2024湖南湘潭校级月考］如图所示， ， ，， ， ，则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 12 【解析】因为，所以 ，即 .在与中，所以 ， 所以 ，所以 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 13 子题练变式 4.［2025湖南娄底月考］ 图（1） （1）如图（1），和中，， ， ，连接，，与 全等的三角形是_______，此 时线段和 的数量关系是_________； 【解析】因为，所以 ， 所以.在和中， 所以 ，所以，故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）如图（2），和中，， ， ，连接，，两线交于点，请判断线段和线段 的 数量关系和位置关系，并说明理由. 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 15 【解】，.理由如下：因为 ，所以 ,所以.在和 中， 所以，所以， .因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 .综上所述,, . 1 2 3 4 5 6 7 16 类型4 一线三等角模型 母题学方法 上分攻略 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型，利用三等角关系可找到三角 形全等所需的角相等条件如 . 5.［2024湖南岳阳期中］如图，中， ， ，点，分别在，上（点不与， 两点重合）， 且，若，则 的长为___. 2 【解析】因为，所以.又因为，所以 .因为 ，，所以 . 因为，所以，所以， .因为 ，所以，所以 . 故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 18 子题练变式 6.［2025湖南株洲校级月考］ 图（1） （1）如图（1），是线段上一点， ， ， ，.线段，， 之间有怎样的数量关系？ 请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 19 【解】.理由：因为，，所以 ， 所以 .因为 ，所以 ，所以 .在和中，所以 ， 所以，.因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 20 图（2） （2）如图（2），若点在 的延长线上，其余条件与（1）相 同，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 【解】不成立，线段,,之间的数量关系为 . 理由如下：因为， ，所以 ， 所以 .因为 ，所以 ，所以 . 在和中， 所以 ，所以，.因为 ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 21 类型5 半角模型 母题学方法 上分攻略 半角模型的突出特点是有一个角是另一个角的 ，通常情况下两个角共顶点，解题 思路一般需要证两次全等. 图（1） 如图（1）, ， ，先证 ，再证 . 图（2） 如图（2）, ， ，先证 ，再证 . 7.［2025浙江宁波江北区校级月考］ （1）如图（1），在四边形中，， ，， 分别是 边，上的点，且.求证： . 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 24 图（1） 【证明】如图（1），延长到点，使，连接 . 在和中， 所以 , 所以，.因为 ，所以 ,所以.又因为 ，所以 ，所以.因为 ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）如图（2），在四边形中，， ，， 分 别是边，延长线上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 26 图（2） 【解】（1）中的结论不成立， . 理由：如图（2），在上截取，使，连接 .因为 ， ，所以 . 又因为，，所以 ，所以 ，.又因为 ，所以 ，所以 ,所以 .又因为，，所以 ，所以 .因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 27 $$