卷10 第13章 勾股定理 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学配套课件（华东师大版2024）

数 学 八年级上册 华东师大版 1 2 卷10 第13章提优验收卷（B卷） 考查内容：勾股定理 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025江苏苏州姑苏区校级月考］中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为 股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理.小立发现勾是9，股是40，则弦 为( ) A A.41 B.31 C.7 D.49 【解析】因为 ，所以弦为41，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5 2.［2025广东兴宁月考］若直角三角形的三边长分别为3，4，，则 的值为 ( ) D A.10 B.7 C.25 D.25或7 【解析】当长为的边为斜边时，由勾股定理得；当长为 的 边为直角边时，由勾股定理得.综上所述， 的值为25或7.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第3题图） 3.［2024广东佛山期中］学过“勾股定理”后，老师和“几何小分队” 的队员们到操场上测量如图所示的旗杆 的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米; ②当抓紧绳子一头将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距 离为1米，到旗杆的距离 为9米. 根据以上信息，得出旗杆 的高度为( ) B A.10米 B.13米 C.15米 D.17米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 【解析】设旗杆的高度为米，则绳子的长为 米.由题意得， ，，,， .在 中，由勾股定理得， ，解得 ， 旗杆 的高度为13米，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第4题图） 4.［2025浙江宁波月考］如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B， C，D的面积分别是9，16，1，9，则最大的正方形 的面积是 ( ) C A.47 B.39 C.35 D.25 （第4题图） 【解析】如图，由题意可知，正方形 的面积等于正方形A与正方 形B的面积之和，正方形 的面积等于正方形C与正方形D的面积之 和，正方形的面积等于正方形与正方形 的面积之和，所以正方 形的面积等于正方形A，B，C，D的面积之和，即正方形 的面积 为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第5题图） 5.新考法［2024湖南郴州二模］如图所示为雷达图，规定1个单位 长度代表，在点 处，每过一个单位长度有一个圆，这些同 心圆被平均分成十二份.一艘海洋科考船在点处用雷达发现， 两处鱼群，那么， 两处鱼群的距离是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 【解析】如图，连结 .因为同心圆被平均分成十二份，所以 .又因为1个单位长度代表 ，所以 ，，所以在 中，根据勾股定理可 得，，所以 . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2025河北唐山月考］如图，在网格图（每个小正方形的边长均 为1）中，以为一边作直角三角形，要求顶点 在格点 （网格线的交点）上，则图中不符合条件的点是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，， ，所以 ，所以是直角三角形.因为 ， ，，所以，所以 是直 角三角形.因为，， ，所以 ，所以是直角三角形.因为 ， ，，，所以 不是直角 三角形.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2025河南郑州月考，中］小彬用 打印机制作了一个底面周长 为、高为 的圆柱形粮仓模型（如图（1）），示意图如 图（2），是底面直径， 是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩 色装饰带，使装饰带经过， 两点（接头不计），则装饰带的长 度最短为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，侧面展开图为长方形.由题意可得，当 时符合要求，且点为的中点.因为，所以 . 又因为，所以，所以 ，所以 ，所以装饰带的长度最短为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.［2025陕西西安月考，中］如图，已知长方形 沿 着直线折叠，使点落在处，交于 ， ，，则 的长为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】因为是由 翻折得到的，所以 ， .设 ，则 .在与中， 所 以，所以.在中， ，所以 ，解得，所以 的长为5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第9题图） 9.［2025安徽阜阳月考，中］如图，圆柱形笔筒的内部底面直径 是，内壁高为.将一根长 的铅笔放置于笔筒中 （铅笔的直径忽略不计），若铅笔露在笔筒外的长度为，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】当铅笔与笔筒底面垂直时，最大，所以最大为 .当铅笔如题 图放置时，最小.在中， ，所以 ,所以最小为.故的取值范围是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第10题图） 10.［2025广东深圳校级月考，难］如图， 与 均为直角三角形，且 ， ，，点是 的中点，则 的长为( ) B A.3 B.5 C.4 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】如图，延长交的延长线于点 .因为 ，所以 ，所以 .因为点是的中点，所以 .在 和中， 所以 ，所以，. 因为 ，所 以，所以.因为，所以 .因 为 ，所以， ，所以 .在中，由勾股定理得 ，所以 ,所以 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025黑龙江佳木斯月考］如图，在中， ， 分别以， 为边向外作正方形，且它们的面积分别为9和25， 则 的面积为___. 6 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以，所以 .由题意得 ，所以的面积为 .故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.［2024江苏南京模拟］用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不 大于 ”时,第一步应假设直角三角形中__________________. 每个锐角都大于 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时， 第一步应假设直角三角形中每个锐角都大于 ，故答案为每个锐角都大于 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第13题图） 13.［2025辽宁沈阳期末］如图是一个三级台阶，它的每一级 的长、宽和高分别为，和，和 是这个台阶的 两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，它想到点 处去吃可口 的食物，若这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点 ，则蚂 蚁爬行的最短路线长度是____ . 13 【解析】将台阶面展开，连结,如图，则最短路线为 .因 为， ，所以 ，所以 ，所以蚂蚁爬 行的最短路线长度为 .故答案为13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.［2025安徽滁州月考，中］如图，在中，，， 于点，为上任意一点，则 ____. 96 （第14题图） 【解析】因为，，，所以 .故答案为96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 15.［2025江苏扬州江都区月考，中］小惠同学用31个等距离的结（两头各有1个结） 把一根绳子分成等长的30段，她用一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学 拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第____个结，拉紧绳子后才会得到一个以第 6个结为直角顶点的直角三角形. 18 【解析】记每两个结之间的绳长为一个单位长度.因为小淇拉住第6个结，所以小淇 和小惠之间的距离为5个单位长度.根据勾股数5，12，13，且 ， 所以小婷与小淇之间的距离为12个单位长度或13个单位长度.因为得到一个以第6个 结为直角顶点的直角三角形，所以小婷同学应该拉住第 （个）结.故答 案为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 16.［2025山东济南月考,难］公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》 题时给出了“赵爽弦图”.将图（1）的两个“赵爽弦图”中的两个全等的小正方形和八 个全等的直角三角形按图（2）方式摆放围成正方形 ，阴影处为空隙.记空隙 处正方形、正方形的面积分别为， ，则下列四个判断： ;；③若点是线段的中点，则 ， 其中正确的序号是______. ①② 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】设“赵爽弦图”中，每个直角三角形的较短直角边长为 ，较长直角边长为 ，斜边长为，则,每个小正方形的边长为，正方形 的边长 为，正方形的边长为，正方形的边长为，，， ,, ,故① 正确.， , ,,故②正确. 点是线段 的中点， ,即,,, ,故③不正确.综上, 正确的是①②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025陕西西安碑林区月考］（8分）如图，在中， ， ，，是延长线上的点，连结.若，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解】因为，，，所以 ， ， ， 所以 ， 所以是直角三角形，且 .…………（4分） 在中，由勾股定理得 ,所以 ， 所以 ， 所以的长为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 18.跨学科问题［2025江苏连云港月考］（10分）小丽在物理实验 课上利用如图所示的“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理. 她用激光笔从量角器左边缘点处发出光线，经量角器中心 处 （此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点 处也在量角器的边缘上，且，在量角器的0刻度线上，， . 小丽在实验中还记录下了， .依据记录的数据，求量角器的半 径 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解】因为，所以 .设.因为 ，所 以.在中， ， ，…………（5分） 所以，解得，所以 ，所以量角器的 半径的长为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 19.［2025河南平顶山月考］（10分）如图的消防车上的云梯最多能伸长到25米， 车高4米.某栋楼发生火灾，在这栋楼的 处有一位老人需要救援，救人时消防车上 的云梯伸长至最长，且刚好碰到楼房需要救援的位置，此时消防车与楼房的距离 为15米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （1）求 处与地面的距离. 【解】在中，因为米，米， 米， 所以,所以 米，…………（4分） 所以 （米）. 答： 处与地面的距离是24米.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的 处有一个小孩没有及时 撤离，为了能成功地救出小孩，消防车向着火的楼房靠近的距离 为多少米？ （消防车上的云梯依旧伸至最长，且刚好碰到 处） 【解】由题意得米.因为米， （米）， 所以,所以 米，…………（9分） 所以 （米）. 答：消防车向着火的楼房靠近的距离 为8米.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 20.［2025江西南昌月考］（12分）如图（1）的弦图中有四个全等的直角三角形. 图（1） 图（2） 图（3） （1）弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边的 长为，较短的直角边的长为，斜边长为 ，结合图（1），试验证勾股定理； 【解】根据题意得 ， 所以，则 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）［中］如图（2），将图（1）中的四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状. 已知外围轮廓线（实线）的周长为24， ，求该飞镖状图案的面积； 【解】设，则.因为 ，所以 ,所以 ，…………（6分） 所以，所以，解得 ，所以该飞镖 状图案的面积是 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （3）［中］如图（3），将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 、正方形、正方形的面积分别为，， .若 ，求 的值. 【解】设每个直角三角形的面积都为 ， 所以，，所以 .又因为 ，所以 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 21.［2024江苏扬州仪征期中］（12分）定义：我们把三角形某边上高的长度与这 边中点与高线垂足之间的距离的比值称为三角形该边的“中偏度值”． （1）［中］如图，在中， ，，，求 中 边的“中偏度值”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 图（1） 【解】如图（1），在中， ， ， ，所以 ,所以 .…………（1分） 过作于，设是斜边 上的中线，所以 . 因为 ， 所以 ，…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 所以,所以 ，所以 ，…………（4分） 所以中边的“中偏度值”为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）［偏难］在中，，，边上的高 ，求 中 边的“中偏度值”． 图（2） 【解】如图（2），当为锐角三角形时，设是中 边 上的中线.因为，所以 .因为 ， ，，所以 ， ,所以, ,所以 ，所以，所以 ，…………（7分） 所以中边的“中偏度值”为 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 图（3） 如图（3），当为钝角三角形时，设是中 边上的中线. 因为，所以 .因为， ， ，所以 , ,所以, ，所以 4，所以，所以 ， 所以中边的“中偏度值”为 ． 综上所述，中边的“中偏度值”为6或 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.探究性问题［2025山东青岛月考］（14分）如图，在 中， ，，，动点从点处出发沿射线以 的 速度移动，设移动的时间为 . 备用图（1） 备用图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【尝试探究】 （1）求 的长； 【解】在中， ，所以 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解决问题】 （2）［中］当为直角三角形时，求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【解】由题意知.①当为直角时，如图（1），此时点与点 重 合，，即 ；…………（5分） ②当为直角时，如图（2），此时 . 在中， ， 在中， ， 即，解得 . 故当为直角三角形时，或 .…………（8分） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［难］当为轴对称图形时，求 的值. 【解】①如图（3），当时， ；…………（9分） ②如图（4），当时，，所以 ；（11分） ③如图（5），当时，在中， ，所以 ，解得 . 综上所述，当为轴对称图形时，或或 .（14分） 图（3） 图（4） 图（5） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 $$