1.5等腰三角形（6知识点+8题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第1章 三角形 1.5等腰三角形 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解等腰三角形的概念、性质与判定定理​ . 掌握等腰三角形和等边三角形的尺规作图方法​ . 运用等腰三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题 . . 一： 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 二： 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 三：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 四： 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 五： 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 六：直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 考点一： 格点图中画等腰三角形 1．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点C共有5个． 故答案为：5． 4．图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，线段AB的端点A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以AB为底边画一个等腰； (2)在图2中，以AB为一边画一个面积为7的． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，使得，画出图形即可； （2）由四边形ABCD是平行四边形判断，且，通过对边平行且相等找出合适的即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴为所作等腰三角形． （2）解：如图所示， ∴为所作面积为7的平行四边形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握和应用等腰三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 考点二. 根据等角对等边证明等腰三角形 5．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 6．如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 7．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 8．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 考点三.根据等角对等边求边长 9．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边以及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 10．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 11．如图．在平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，根据等角对等边求得，结合已知条件即可求得． 【详解】四边形是平行四边形， ,， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 12．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，BE平分∠ABC交AD于点E，CF⊥BE交AD于点F，则EF的长是（    ） A．2 B．2.2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】先证∠ABE=∠AEB，则AB=AE=4，同理可证FD=CD=4，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=4，AD∥BC，AD=BC=6， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， 则∠ABE=∠AEB， ∴AE=AB=4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∵CF⊥BE， ∴∠EBC+∠FCB=90°， ∴∠FCB=∠FCD， 同理可证：DF=CD=4， ∴EF=AE+FD-AD=4+4-6=2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AE=AB是解题的关键． 考点四.等腰三角形的性质和判定 13．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，可证，可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵ ，   ∴，   ∴ ，   ∴，   ∴，，   ∴，   在和中：   ，     ∴ ∵，   ∴   在和中：   ∴ ，   ∴，   ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，在中，，分别是的中点，交于点．求证：≌．小明和小聪、小颖三人的证明过程如下． 小明：分别是的中点， ． 又，． 小聪：分别是的中点，． 又，． 小颖：，． 对于三位同学的证明方法，正确的是（    ） A．小明、小聪 B．小明、小颍 C．小聪、小颖 D．小明、小聪、小颖 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理(边边边)、(边角边)、(角边角)、 (角角边)，关键是根据题目给出的条件，判断哪位同学的证明过程是正确的．根据 (边角边)：如果两个三角形的两条对应边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；SSS(边边边)：如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等的判定条件，即可解答． 【详解】解：小明：∵，点，分别是，的中点， ∴.AD = AE， 又∵，， ∴≌，正确； 小聪：∵，点，分别是，的中点， ∴AD = AE， 又：，， ∴≌，正确； 小颖：∵，，， 不能利用证明≌，错误； 故选：A． 15．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：如图所示，点P在上时，，顶点为， ，， ， 如图所示，点P在上时，若，顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 综上所述，顶点为或或， 故选：B． 16．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 考点五.等边三角形的判定和性质 17．如图，，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．若点同时出发，当是等边三角形时，运动时间的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． 有一个角为的等腰三角形是等边三角形，根据等边三角形的判定方法可知，当点运动到射线上且时，是等边三角形． 【详解】由题意，得，解得， 当P、Q运动的时间是6s时，是等边三角形． 故选：． 18．如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形是解答此题的关键．过P作的平行线，交于M；则也是等边三角形，在等边中，是上的高，根据等边三角形三线合一的性质知；易证得，则；此时发现的长正好是的一半，由此得解． 【详解】解：过P作，交于M； 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 又， ， ； 又， ∴， 在和中， ； ； 故选：B． 19．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ , 即， ， ∴， 是等边三角形， ， 故选：C． 20．如图，在中，，，为中点，将绕点顺时针旋转得到，点分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形即可得到结论． 【详解】解：，，为的中点， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ∴， 故选：B 考点六.含30度角的直角三角形 21．如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 作于，根据直角三角形的性质，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案． 【详解】解：如图，作于，则，    ∵， ∴， ，平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 22．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵将沿方向平移得到， ， ，， ， 故选：D． 23．如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题综合考查角平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形面积计算．解题核心是通过构造辅助线，将分散的条件关联起来，利用角平分线性质得到，再结合直角三角形和等腰三角形的性质确定与的长度，最终代入面积公式求解。 【详解】解：过点E作，交于点D， 点E在的平分线上，且 ， ， ， 在中，，（即）， ， ，点E在的平分线上， ， ， , , ， ． 故选：C． 24．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 考点七.斜边的中线等于斜边的—半 25．在中，，是边上的中线，若，则的长（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，关键在于明确斜边及中线的定义．根据定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接应用即可求解． 【详解】解：由题知，在中，，是边上的中线， ． 又， ． 故选：B． 26．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 27．如图，梯子斜靠在墙面上，点P是的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，点P是的中点， ∴是直角三角形斜边上的中线， 即， ∵为定值， ∴为定值， 即点C和点P之间的距离始终不变 故选：A 28．在中，，是的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，是的中点，且， ∴， 即的长为． 故选：C． 考点八.直角三角形的两个锐角互余 29．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 30．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 31．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 32．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线是解题的关键．如图所示过点E作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 一、单选题 1．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为7，底角为．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（   ） A．三条边长分别是7，5，5 B．两个角是，它们的夹边为7 C．两条边长分别为5，7，它们的夹角为 D．两条边长是5，一个角是 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的定义．结合等腰三角形的定义，判断三角形是否全等，即可得到答案． 【详解】解：A、两个三角形三边分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意； B、两个三角形的两个角及夹边分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意； C、两个三角形的两条边及夹角分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意； D、两个三角形两条边相等，但一对相等的角不是夹角，不能证明全等，本选项符合题意； 故选：D． 2．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 3．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 4．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 5．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 6．如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 由、得出可判断①；由①可证明可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，即，故②符合题意； 由，不能判定是等边三角形，则③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 8．如图，图1中的梯形可以经过旋转和轴对称形成图2中的图案，下列关于梯形的结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了轴对称的性质和梯形的性质以及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．通过观察图中梯形之间的数量关系可求出梯形的内角度数分别是度、度，而且是腰与上底相等的等腰梯形，从而确定它所满足的条件． 【详解】解：通过观察图例可知：拼接点处有3个角，分别是，所以可知梯形满足的条件是： ①等腰梯形，则 ②底角为60°（或120°），则 ③梯形的腰与上底相等．则 连接， 观察图2可得，，，， ， ， ， 由图2可得，， ， ， 故C错误； 故选：C． 9．如图，在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 故， 故选：A． 10．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 2、 填空题 11．在中，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 证明是等边三角形，则，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 是等边三角形， ， 的周长为， 故答案为：9． 12．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 13．如图，在中，，，，的平分线相交于点，过作交于点，交于点，则的周长等于 ． 【答案】18 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．平行结合角平分线，推出，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵过点D作的平行线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∴的周长为 ； 故答案为：18． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 15．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 1.5等腰三角形 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解等腰三角形的概念、性质与判定定理​ . 掌握等腰三角形和等边三角形的尺规作图方法​ . 运用等腰三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题 . . 一： 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作 ，相等的边叫做 ． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“ ”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“ ”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的 、 分别相等． （2）等腰三角形 的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到 等于 ． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为 ，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 二： 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边 的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 三：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念： 的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个 都相等，并且每一个角都等于 ． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 四： 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都 的三角形是等边三角形． （2）三个角都 的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 的 是等边三角形． 五： 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明 ． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个 等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 六：直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于 的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为 的直角三角形．使用该定理可以确定 角形． 考点一： 格点图中画等腰三角形 1．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 4．图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，线段AB的端点A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以AB为底边画一个等腰； (2)在图2中，以AB为一边画一个面积为7的． 考点二. 根据等角对等边证明等腰三角形 5．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 6．如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 7．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 8．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 考点三.根据等角对等边求边长 9．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 11．如图．在平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 12．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，BE平分∠ABC交AD于点E，CF⊥BE交AD于点F，则EF的长是（    ） A．2 B．2.2 C．2.5 D．3 考点四.等腰三角形的性质和判定 13．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 14．如图，在中，，分别是的中点，交于点．求证：≌．小明和小聪、小颖三人的证明过程如下． 小明：分别是的中点， ． 又，． 小聪：分别是的中点，． 又，． 小颖：，． 对于三位同学的证明方法，正确的是（    ） A．小明、小聪 B．小明、小颍 C．小聪、小颖 D．小明、小聪、小颖 15．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 16．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点五.等边三角形的判定和性质 17．如图，，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．若点同时出发，当是等边三角形时，运动时间的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 18．如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 19．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，为中点，将绕点顺时针旋转得到，点分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点六.含30度角的直角三角形 21．如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 22．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 23．如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 24．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 考点七.斜边的中线等于斜边的—半 25．在中，，是边上的中线，若，则的长（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 27．如图，梯子斜靠在墙面上，点P是的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 28．在中，，是的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 考点八.直角三角形的两个锐角互余 29．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 30．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 31．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 32．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 一、单选题 1．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为7，底角为．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（   ） A．三条边长分别是7，5，5 B．两个角是，它们的夹边为7 C．两条边长分别为5，7，它们的夹角为 D．两条边长是5，一个角是 2．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 4．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，图1中的梯形可以经过旋转和轴对称形成图2中的图案，下列关于梯形的结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 10．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．在中，，则的周长为 ． 12．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 13．如图，在中，，，，的平分线相交于点，过作交于点，交于点，则的周长等于 ． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 15．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$