第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 目录 01 常考题型过关练 题型01 线面垂直判定定理（特殊图形） 题型02 线面垂直判定定理（三线合一） 题型03 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 题型04 线面垂直判定定理（全等与相似） 题型05 线面垂直判定定理（空间向量） 题型06 线面垂直性质定理 题型07 面面垂直判定定理 题型08 面面垂直性质定理 题型09 翻折问题综合 题型10补全条件及图形证空间中的垂直关系 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 线面垂直判定定理（特殊图形） 1．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．    (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 2．如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点． （）求证：平面． （）求证：平面． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证： (1)平面ABCD； (2)平面PAD. 02 线面垂直判定定理（三线合一） 4．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面． 5．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 03 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 6．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 7．如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面 8．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设为上一点，且，求点到平面的距离． 9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 10．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 11．如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 12．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求以为棱，与为半平面的二面角的大小； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论． 04 线面垂直判定定理（全等与相似） 13．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 14．如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 05 线面垂直判定定理（空间向量） 16．在三棱锥中，为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明： ； (2)若，取中点，证明：平面； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长. 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 20．在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 21．如图，在平行六面体中，，，为的中点. (1)若平面，求的值； (2)当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 06 线面垂直性质定理 22．如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. (1)证明：； (2)从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 23．如图所示，已知中，，且，现将沿BC翻折到，满足． (1)求证：； (2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值． 24．已知多面体中，，且，，.    (1)证明：； (2)若，求多面体的体积. 25．在直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点.    (1)求证：； (2)当时. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）若平面与直线交于点F，直接写出的值. 26．如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； (3)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 27．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 07 面面垂直判定定理 28．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 29．如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 30．如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，M为线段的动点. (1)若直线平面，求证：为的中点： (2)求证：平面平面 (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 31．如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 32．如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，.    (1)证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 08 面面垂直性质定理 33．如图，在多面体中，为等边三角形， ， .点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.    (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 34．如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 35．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面． (1)证明：平面ABC． (2)若，，求直线BC与平面所成角的正弦值． 36．如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.    (1)证明：； (2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 37．在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面． (1)求证：； (2)若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 09 翻折问题综合 38．如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 39．如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． (1)求证：； (2)当时，若点关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 40．如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 41．如图，中，，，，点，满足，．将沿DE翻折至，使得． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 42．已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 43．如图，在平面四边形中，为线段上一点，满足，将沿向上翻折至，连接. (1)若，证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值. 10补全条件及图形证空间中的垂直关系 44．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 45．如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 46．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 47．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 48．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 1．如图，在矩形中，是的中点，连接交于点，将沿直线折起，使点到点的位置，刚好点在平面内的正投影是点．过作线段平行且等于，连接，，，．设，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．在中，为的中点，，将沿翻折至，此时． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角的正切值． 3．如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 4．如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 5．已知四棱柱的各棱长均为2，，，，．    (1)证明：； (2)请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 6．在三棱锥中，，，与平面所成的角为． (1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． (2)若，，求二面角的取值范围． 7．在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为 （其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱AC，的中点，. (1)求证：平面平面ABF； (2)若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 8．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 9．在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角. (1)当为棱的中点时，        (i)证明: 平面； (ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置； (2)当最小时，求 . 10．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，. (1)求证：平面； (2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上. （i）用表示PQ的长； （ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求. 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 目录 01 常考题型过关练 题型01 线面垂直判定定理（特殊图形） 题型02 线面垂直判定定理（三线合一） 题型03 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 题型04 线面垂直判定定理（全等与相似） 题型05 线面垂直判定定理（空间向量） 题型06 线面垂直性质定理 题型07 面面垂直判定定理 题型08 面面垂直性质定理 题型09 翻折问题综合 题型10补全条件及图形证空间中的垂直关系 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 线面垂直判定定理（特殊图形） 1．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．    (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）∵底面，底面， ∴． 又，，平面， ∴平面． （2）由题意易知四边形为直角梯形， ∴． ∴． 2．如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点． （）求证：平面． （）求证：平面． 【答案】(1) 证明见解析. (2)证明见解析. 【详解】分析：（1）证明线面平行，只需在面内找一条直线与已知线平行即可，取中点为，证明四边形是平行四边形即可；（2）证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，，即可得证. 详解： （）证明：取中点为， ∵在中，是中点，是中点， ∴，且， 又∵底面是菱形， ∴， ∵是中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面． （）证明：设，则是中点， ∵底面是菱形， ∴， 又∵，是中点， ∴， 又， ∴平面． 点睛：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证： (1)平面ABCD； (2)平面PAD. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点, 所以. 又因为平面ABCD， 平面ABCD， 所以平面ABCD. （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD是矩形， 所以. 又，平面PAD， 所以平面PAD. 02 线面垂直判定定理（三线合一） 4．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面． 【答案】证明见解析. 【详解】∵在中，D是AB的中点，， ∴, ∵E是PB的中点，D是AB的中点， ∴， ∴， 又，，平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 又，，平面，平面， ∴平面． 5．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 03 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 6．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）在中，E，F分别是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）在中， ， 所以，所以． 因为平面，平面， 所以． 又因为平面平面． 所以平面． 因为平面，所以 在中，因为，E为的中点， 所以． 又因为平面平面． 所以平面． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 7．如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【详解】，得， 因为为正三角形，所以为正三角形.因为为的中点.所以，因为，所以，因为，平面， 所以平面 8．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设为上一点，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在直三棱柱中， ，分别为的中点， ∵∴，即， 又是直三棱柱， 所以平面，平面，所以, 平面,, ∴平面，平面,则， ∵分别为的中点，且 ∴四边形为正方形，则，又， 平面，∴平面； （2）由（1）知，即，又是直三棱柱，∴平面， ∴，则点M到平面GBC的距离即为， ∴， 由（1）知，，且，∴， 设点点到平面的距离为，则，∴，则， 即点点到平面的距离为． 9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以 . 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 10．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点为的中点 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 11．如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）由题意知为等腰直角三角形，又为的中点， 所以，，， 由，解得， 当时，有，即， 而平面，故平面； （2）以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又， 所以 所以，，所以，    于是， 设平面的法向量为， 则，不妨取，解得， 设，则，， 因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面和平面的交线为，平面， 所以，又为上异于的一点，所以，即与共线， 设为，则， 故， 因此. 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或， 当时，则， 当时，则， 因此或. 12．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求以为棱，与为半平面的二面角的大小； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)30° (3)存在，证明见解析 【详解】（1）因为在底面菱形中，，，， 根据勾股定理，可得， 因为，所以平面． （2）如图9，作于点于点，连接． 因为，由（1）可知平面， 因为平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，易知即为与为半平面的二面角所求角． 设，，，则． 由于，所以． （3）    棱上是存在一点，当是棱的中点时，使得平面. 证明：如图10，连接交于点，连接， 在平面中，过点作，在平面中，过点作． 因为是中点，所以． 又因为，所以．所以是棱的中点，连接. 因为平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面，所以 平面. 因为平面，所以平面 平面. 因为平面，所以 平面 04 线面垂直判定定理（全等与相似） 13．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 【答案】见解析 【详解】 E，F分别是棱，的中点， 在Rt△和Rt△中，， 所以Rt△ Rt△，所以△， 因为，所以， 所以，即， 又因为正方体中，平面,平面， 所以，和平面EAB内的两条相交直线， 所以平面EAB. 14．如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由（1）知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在中，，， ， 二面角的正弦值是. 05 线面垂直判定定理（空间向量） 16．在三棱锥中，为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明： ； (2)若，取中点，证明：平面； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为为中点，所以 ，且. 因为平面平面，所以 平面. 因为平面，平面平面，所以 （2）因为是中点，所以. 在中，，故 . 已知，可得：. 在中，，解得，所以. 在中，，所以，所以.在中，. 因为，且，所以 ，得.在中，，所以. 因为平面，所以平面. （3）过作 交于，过作 交于，由题意知.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则. 由，得，. 设平面与平面的法向量为别为和. 有，令，则，所以.有，令，则，所以. 设平面与平面的夹角为，有. 所以平面与平面的夹角的余弦值为 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在四棱锥中，∵平面，平面，平面，，. ∵，∴以点为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示. 则由题可知，，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，，即平面的一个法向量为. ∴，即，∴平面. （2）由题可设，，∴，. 设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，，即平面的一个法向量为. 由（1）知平面的一个法向量为. ∴. ∵平面与平面的夹角为， ∴，解得，即的长. 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，设平面的法向量， 则，取，得， 又，所以，即，所以平面； （2）设平面的法向量，， 则，取，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）以为原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则， 因为为棱BC的中点，为棱CD的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， ， ，故 ， 所以平面； （2）设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 由（1）知平面的法向量为 则， 所以二面角的正弦值为 （3）设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以    解得：， 所以点到面的距离为. 20．在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）     平面，平面，平面平面， ， 连接，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， ，又由题意知，四边形是等腰梯形， ，同理， ，平面，平面， 底面ABCD是菱形，， 以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形的边长为2，，，， ，，， ，，，，， ，，， 设，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ，，即平面； （2）设，，， ，，， ，， 又在上，设，即，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值. 21．如图，在平行六面体中，，，为的中点. (1)若平面，求的值； (2)当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）若平面，又平面，所以，所以， 所以，又，， 所以 ，所以， 所以，所以； （2） 当时，由（1）可得，同理可得， 所以，，所以， 又，平面，所以平面， 连接交于，过作于，连接 因为四边形是平行四边形， 则是的中点，所以，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以是平面和平面的夹角的平面角， 因为，所以是等边三角形，所以， 所以的高为，所以， 又 ， 所以，在中，， 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 06 线面垂直性质定理 22．如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. (1)证明：； (2)从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）取的中点，连接、，因为， 所以，又，所以， 所以，即，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）因为，，又，所以，所以四边形为矩形， 如图以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系， 则，，，； 若选条件①：，显然平面，设 ， 则，，所以，与矛盾，故条件①不符合题意； 若选条件②：，显然平面，设 ， 则，解得，则， 所以，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 解得或（舍去），所以的值为； 若选条件③：二面角的大小为. 由（1）可知即为二面角的平面角，即，又， 所以， 则，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 解得或（舍去），所以的值为. 23．如图所示，已知中，，且，现将沿BC翻折到，满足． (1)求证：； (2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取AD中点M，连接BM，CM， ∵，， ∴，同理可得， 又∵，∴，  ． ∵，平面CBM，∴平面CBM， ∵平面CBM，∴. （2）过点D作交CB的延长线于点F，连接AF,过点D作交AF的延长线于点O. ∵, ∴ ∴. 在中，E为CD的中点, 由平行四边形对角线平方和定理得知：. ∴, ∵，由（1）知，且，平面ADF， ∴平面ADF， ∵平面ABC，∴平面平面ADF ∵平面平面 在中，，同理可得. 又，则DO为D到平面ABC的距离. 由余弦定理得. ∴. 则. ∵E为DC中点, ∴E到平面ABC的距离为. ∴AE与平面ABC所成角的正弦值为. 24．已知多面体中，，且，，.    (1)证明：； (2)若，求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）连接BD，DF，如图所示    在中，，，， 则， 所以，即， 同时 ，可得， 同理可得， 又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF； 又因为平面BDF，所以． （2）由（1）知，又，则， 作于点，则,解得. 又平面BDF，，所以平面BDF， 又平面BDF，所以， 又，平面，所以平面， 多面体 三棱锥 四棱锥 矩形 . 25．在直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点.    (1)求证：； (2)当时. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）若平面与直线交于点F，直接写出的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）证明：连接，    因为，E为中点，所以， 因为是直三棱柱的侧棱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面； 因为平面， 所以. （2）（ⅰ）因为，所以为等边三角形， 设中点为O，则， 因为平面， 设的中点为M，则，， 以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，，，，，，， 因为D，E为中点，所以，， 所以，， 因为，，所以平面， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，， 所以， 设平面与平面的夹角为，则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅱ）， 原因如下：设，易知，所以， 又，则， 易知平面，因此，解得； 因此，即. 26．如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； (3)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【详解】（1）因为直线平面平面， 且平面平面，所以； （2）过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （3）由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线与平面夹角的正弦值为. 27．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接，    在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面，因为平面， 所以， 又为直角，所以 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由（1），所以． （3）建立空间直角坐标系，    则，，，，， 因此，． 设平面的法向量为， 则，， 所以，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为． 所以． 07 面面垂直判定定理 28．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 29．如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图：    因为，，所以为等边三角形，， 又，所以，又， 所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 又，，为平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）取中点，中点，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系，    所以，，，，，. 设，因为 ， 解得，所以. 设平面的法向量为， 则 ，取； 设平面的法向量为， 则 ，取. 那么，，. 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以 ，又，所以. 30．如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，M为线段的动点. (1)若直线平面，求证：为的中点： (2)求证：平面平面 (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图所示，连接，交于点，连接， 因为直线平面，且平面平面，平面， 所以， 又因为四边形为正方形，所以点为的中点，所以为的中点. （2）证明：因为四边形为正方形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （3）解：因为四边形为正方形，且平面，所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 则， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 连接，由四边形为正方形，可得， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 则，解得或（舍）， 所以. 【点睛】 31．如图，在四棱锥中，底面平面.    (1)证明：平面平面PAB. (2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. （2），直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，    设平面PCD的法向量为，则， 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 32．如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，.    (1)证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    如图，取的中点，连接. 因四边形为直角梯形，且，则， 又为等边三角形，， 因平面， 故平面，又平面,则， 又，因平面, 故平面又平面， 平面平面. （2）    由（1）知平面因平面,则平面平面， 过作，交于，因平面平面,故平面, 即为直线与平面所成的角，则， 由（1）知平面 因平面故， 而，则 于是，. 如图，以为原点，所在直线为轴，过点在面中与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则 于是，， 设平面的法向量为, 由， 则可取； 又, 设平面的法向量为, 由，则可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 08 面面垂直性质定理 33．如图，在多面体中，为等边三角形， ， .点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.    (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为 ，由（1）知平面， 所以平面. 如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴， 分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系，    所以， 所以. 因为点为上一点，设， 所以. 因为，则，所以， 所以，所以，所以. 设平面的法向量为，所以， 所以，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 34．如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为线段中点. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面， 平面平面，，平面， 又平面，则， 又，，，平面，则平面， 而平面，于是，底面是正方形，， 是棱的中点，则，，，平面， 因此平面，而平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得， ，令，得， ，即， 整理得，则， 所以线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且为线段中点． 35．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面． (1)证明：平面ABC． (2)若，，求直线BC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：取O为内一点， 作OE垂直AB，交AB于点E，作OF垂直BC，交BC于点F， 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理，因为，且平面，所以平面． （2）解：因为BC，BA，两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 令，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 36．如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.    (1)证明：； (2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）取的中点，连接，过作‖，交于， 因为F为线段的中点，，所以‖， 因为，所以，所以， 由（2）可知平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为‖，，， 所以四边形为矩形， 所以， 因为，所以, 因为，所以， 所以， 因为，，所以为等边三角形， 所以，， 设，则， 因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 若点E到平面的距离是，则， 所以，解得， 所以， 所以.    37．在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面． (1)求证：； (2)若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 证明：取中点，连接， 为正三角形，， 为中点，， 面，面面，面面 平面，又面， ，面， 所以面， 又面 （2）方法一：由（1）可知面，以为原点，边上的高为轴，边所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， ， 设，则，记平面的一个法向量为 ， 令，则， 为平面的一个法向量， ， 与平面所成角余弦值为正弦值为． ， 或， 又． 设面的一个法向量为 ，取，则， ∴为平面的一个法向量， 设面的一个法向量为， ， 取， 为平面的一个法向量， 由图可知二面角的平面为锐角，二面角的余弦值为． 方法二：由（1）面 过作，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 设 所以， 设平面的法向量为 ，令得，， 所以为平面的一个法向量， 与平面所成角余弦值为， 与平面所成角正弦值为． ，或 又 因为平面的法向量 设平面的法向量为 ，令得，， ∴为平面的一个法向量， ，下同法一 方法三：由（1）可知面，平面， ，又，，平面， 所以面，平面， 面面， 与平面所成角为，设， ，又为的中点， 在中，， 或，又． 过作交于，过作于，连接， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为． 09 翻折问题综合 38．如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，， 依题意，，则，由，得， 而，，是梯形的中位线，于是，， 而平面，，则平面， 而平面，于是，又平面，且和一定相交， 因此平面，而平面，所以平面平面. （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由平面，，得平面，过作平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， 令， 则， 由平面，得平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为. 39．如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． (1)求证：； (2)当时，若点关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：连接，由，得， 由，得， 所以， 所以，即， 由平面平面平面，平面平面， 得平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面，且平面， 所以． （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则令，则， 平面的一个法向量为， 由题可知， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 40．如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析 (2)存在，是的靠近的三等分点，理由见解析. 【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以， 由于分别是边，的中点，所以， 所以， 折叠过程中，平面， 所以平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）存在，理由如下： 当平面平面时，由于平面平面，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 依题意可知 ，， 设，则， 平面的法向量为， ， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 设平面与平面所成角为， 由于平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 解得, 所以当是的靠近的三等分点时，平面与平面所成角的余弦值为. 41．如图，中，，，，点，满足，．将沿DE翻折至，使得． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得． 又，∴，∴，，（翻折前后保持不变） 又，AD，平面， ∴平面，又因为平面，∴． 又，∴． 易知，在中，，，， 由余弦定理得， ∴，∴． 又，AB，平面， ∴平面． （2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则即， 令，则，，． 记直线与平面所成的角为，则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 42．已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在直角梯形中，因为，故，. 又E，F分别是，的中点，所以，所以. 所以在折叠后的几何体中，有，， ，平面，所以平面. （2）如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 所以两两垂直，且，. 所以中，，. 所以. 又. 设点到平面的距离为， 则 . 即点到平面的距离为. （3）过作于点，过作于点，连接. 因为平面平面，所以平面，平面， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 所以即为二面角的平面角. 因为，所以 . 在中，. 即二面角的正切值为. 43．如图，在平面四边形中，为线段上一点，满足，将沿向上翻折至，连接. (1)若，证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接， 由已知易得均为等边三角形， 则，由于，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）由，， 所以，则， 以为坐标原点，所在直线为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 10补全条件及图形证空间中的垂直关系 44．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 45．如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面 平面，又平面 平面 ， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. （2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由（1），， , ， ，, 设平面的法向量为， 由，取， 易知平面PDE的法向量为， 设平面和平面的夹角为,故. 46．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 47．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）是的中点，． 要满足平面，需满足， 又平面，平面平面 如图，过作下底面的垂线交下底面于点， 过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹． （2）易知可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 母线长为，母线与底面所成角为45°，，，，， 取的位置如图所示，连接， ，，即， 则，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面所成的角为，则 ， ． 48．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 【答案】(1)存在，点M的位置见解析 (2) 【详解】（1）因为四棱台的上、下底面都是正方形，且底面ABCD， 所以可以以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则 ， 假设在底面内存在点M，满足平面CPQ，则可设， 有，则，即， 所以，， 故在底面内存在点，满足平面CPQ. （2）设，因为点T在平面CPQ内，所以可设， 则， 所以，所以，则， 连接，， 设平面CPTQ将四棱台分成上、下两部分的体积分别为， ， ，， 取的中点，连接，则，， 又平面，平面，所以平面， ， 所以， ， ，所以， 所以所求的上、下两部分的体积比为.    1．如图，在矩形中，是的中点，连接交于点，将沿直线折起，使点到点的位置，刚好点在平面内的正投影是点．过作线段平行且等于，连接，，，．设，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意，， 又，，∴， ∴， ∴，∴． 又∵平面，平面，∴． ∵，，平面，∴平面． 又∵平面，∴． （2）由（1）可知，，，两两垂直．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．在中，为的中点，，将沿翻折至，此时． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【详解】（1）由题意，知为的中点，，所以为等腰三角形， 又，所以，过点作于点， 连接，则，又， 所以，又平面SAB，， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）由题意，知为等腰三角形，， 设外接圆的圆心为外接圆的圆心为，由（1），知平面平面， 设四面体外接球的球心为，连接， 取的中点，连接， 则，所以，又， 所以，所以； （3）方法一：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设， 因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上，当平面时，四面体的体积最大， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则即令，得， 所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的正切值为4． 方法二：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设，因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上， 当平面时，四面体的体积最大， 过点作于点，过点作于点， 易得，所以， 所以二面角的补角正切值为， 所以平面与平面夹角的正切值为4． 3．如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点， 所以，因为四边形为菱形， 所以，所以. 因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面， 又平面，所以. （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 4．如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图（一）中，，，则，即，. 在图（二）中，都在平面内，则平面， 由平面，则， 由，G为的中点，则， 都在平面内， 所以平面，又平面， 平面平面. （2） ，则，则，又，. 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，. ，，. 设，则，由（1）知. ，可得，， 设平面的法向量为，则， ，取，则，又， ，即所求线面角正弦值为. 5．已知四棱柱的各棱长均为2，，，，．    (1)证明：； (2)请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）取AD中点O，连接，BO，因为， 所以为正三角形．    所以，又，所以， 因为，平面， 所以平面，因为 平面，所以， （2）若选①③： （i）在四棱柱中，点G在棱上， 因为，DG平面，平面， 所以平面，由（1）可知：AD⊥平面， 所以， 所以，即，OA⊥OB， 以O为坐标原点，为一组正交基底建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以，    所以，， 设平面的一个法向量为， 则令， 则，因为平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为得： ， 即，因为，所以． （ii）方法1： 因为，平面的一个法向量为， 设直线GB与平面所成的角为θ， 则， 所以直线GB与平面所成的角的正弦值为． （ii）方法2： 因为点G为棱中点，连接OG、，因为平面ABCD， 又平面ABCD，所以，又，，平面， ，所以BO⊥平面，    所以为直线GB与平面所成的角， 在中，，所以． 所以直线GB与平面所成角的正弦值为． 若选②③： （i）因为，在中，由余弦定理得， 因为四边形是平行四边形，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 下同（i）的解法. 若选①②，则点G的位置不确定，与题意不符合． 6．在三棱锥中，，，与平面所成的角为． (1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． (2)若，，求二面角的取值范围． 【答案】(1)①证明见解析；②1； (2). 【详解】（1）（i）由⊥平面，平面，得⊥， 由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥， 又，，平面，则⊥平面， 又平面，则⊥，而，平面， 所以平面PCD； （ii）由，得，，则， 过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，， 则，，， 则平面的一个法向量为， 设点关于平面对称的点为，则， ，要最小，则需三点共线， 此时的最小值为的长，其中，且， 则且，而，解得， 故，； 所以△CGH周长的最小值为. （2）PB与平面BCD所成的角， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆， 设，， 设平面的法向量为，则， 令，得，平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，， 则 ， 令，则， 又在上单调递减，因此， 所以二面角的取值范围为. 7．在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为 （其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱AC，的中点，. (1)求证：平面平面ABF； (2)若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①平面的点法式方程为，平面的一般式方程为；② 【详解】（1）由四边形是正方形，所以 ， 由于，，故， 所以，即， 由题得平面，又平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）①由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 因为平面过定点， 所以平面的点法式方程为， 即平面的一般式方程为； ②设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 8．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外） (3) 【详解】（1）因为点在平面内的射影恰在棱上，所以， 又因为，所以， 因为和的面积均为，所以因为与均为锐角，所以， 再根据余弦定理可知，所以， 又，平面，所以平面； （2）因为的面积为，，所以点D到直线AB的距离为1， 因此在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动. 由题意知平面，，所以直线与平面所成的角为. 如图，平面与圆柱斜交，则平面与圆柱侧面的交线就是点的运动轨迹， 易知该交线为椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外）. （3）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 下面求椭圆方程：由圆柱的底面半径，可知椭圆的短半轴长为1， 由，可知椭圆的长半轴长， 所以椭圆方程为，记该椭圆为. 又，即，所以为的一个焦点， 设的另一个焦点为，则， 设，在中，由余弦定理知， 解得. 直线与的另一个交点即为，同理可得. 下面求的最值： 方法一：注意到， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此. 方法二：，令，令， 则，设，则（另一值舍去）. 当时，，当时，， 因此为的极小值点，也是最小值点，故. 9．在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角. (1)当为棱的中点时，        (i)证明: 平面； (ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置； (2)当最小时，求 . 【答案】(1)(i)证明见解析；(ii) 在上，且； (2). 【详解】（1）(i)因为，所以， 所以，又底面为平行四边形，所以底面为矩形， 因为为直四棱柱，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以, 则， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面； (ii)因为平面，平面， 所以平面平面，过在底面内作， 因为平面平面， 所以平面，即到平面为， 到直线的距离为，由题可知， 由抛物线定义知的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界）， 以中点为原点，所在直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为：， 设，，最大时，最大， ，当时，，当时，， 所以，所以当时，最大，即最大， 此时在上，且. （2）作，连接， 因为，且为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，由直角三角形面积易得：， 因为，为平面内两条相交直线， 所以平面，同理 ， 所以，所以四边形是矩形， 所以， 因为，所以， 所以二面角 的平面角即为, 同理二面角的平面角即为. 当与（或）重合时，， ， 当当不与（或）重合时，设， ， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，最小时，最小， 此时， 综上. 10．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，. (1)求证：平面； (2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上. （i）用表示PQ的长； （ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，，， 又，则. 记为弧的中点，则， 又因为平面平面，且平面，平面平面， 则，又因为，则. 又根据题意知球心为，截面圆圆心为，连接， 则，，则， 又平面，平面，且， 则平面，又平面，则， 所以为平面与的夹角，即 ， 又，所以，已知，又为中点， 所以，则，即， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）（i）连接，延长交于， 由（1）性质可知， ，，如图， 在中，， 由余弦定理得，， 则，在中，，， 则，由于三点共线， 所以在中，由， 又，所以． （ii）如图，过作，垂足为，连接， 因为平面，平面平面且交线为， 因此平面，所以即为与平面所成角的平面角． 设平面 ，连接，过作，垂足为. 由平面，则，平面，平面， 则平面，平面，平面平面， 则，同理，由可得， 则四边形是平行四边形，则，且平面， 又平面，则， 则，且， 则， 则， 故， 令，则， 构造函数， 则， 在上单调递增， 并存在唯一零点， 故在上单调递增，在上单调递减． 则当时，有最大值， 由DQ与平面ABC所成角的范围为， 故当与平面所成角最大时，． 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故 ； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【详解】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；    （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面 平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$