第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 证明线线垂直的方法 3 知识点2 线面垂直的判定定理与性质定理 4 知识点3 三垂线定理及其逆定理 6 知识点4 面面垂直的判定定理与性质定理 7 题型破译 8 题型1 线面垂直判定定理（特殊图形） 9 题型2 线面垂直判定定理（三线合一） 10 【方法技巧】线面垂直判定定理（三线合一） 题型3 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 12 【方法技巧】线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 题型4 线面垂直判定定理（全等与相似） 16 【方法技巧】线面垂直判定定理（全等与相似） 题型5 线面垂直判定定理（空间向量） 21 【方法技巧】线面垂直判定定理（空间向量） 题型6 线面垂直性质定理 26 【方法技巧】线面垂直性质定理 题型7 面面垂直判定定理 33 【方法技巧】面面垂直判定定理 题型8 面面垂直性质定理 40 【方法技巧】面面垂直性质定理 题型9 翻折问题综合 46 【方法技巧】翻折问题综合 题型10 补全条件及图形证空间中的垂直关系 53 04真题溯源·考向感知 59 05课本典例·高考素材 65 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）证明线面垂直 （2）证明面面垂直 （3）面面垂直证线面垂直 （4）线面垂直证明线线垂直 单选题 填空题 解答题 北京卷T14（5分） 北京卷T8（4分） 北京卷T17（13分） 北京卷T9（4分） 北京卷T16（13分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以解答题（中高档） 或选择、填空题（中档）考查。核心考查：线线垂直、线面垂直、面面 垂直的判定定理与性质定理。易错点：线面垂直判定漏 “两直线相交”，面面垂直性质中未找交线，忽略 “线在面内” 的条件。 复习目标： 1.掌握线线、线面、面面垂直的定义及判定定理； 2.能运用性质定理推导垂直关系（如面面垂直⇒线面垂直）； 3.学会转化垂直关系（线面垂直⇌线线垂直，面面垂直⇌线面垂直）； 4.结合几何体证明垂直关系，计算相关线段长度； 5.解决含参数的垂直问题（如确定参数使线面垂直）。 知识点1 证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 知识点2 线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，则这条直线与这个平面垂直 若，，，， ，则 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 若，，则 自主检测1在三棱锥中，为的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面. 自主检测2如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． (1)求证：； (2)当时，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：设的中点为,连接,连接,则, 又因为为等腰直角三角形,, , 又是正三角形,, 又因为平面,则面, 面,. （2）【法一】由题意知,,又由, 得为等腰直角三角形,且; 又,得,,且,在面内, 所以面,面,得面面且交线为, 设的中点为,则,面. 以为坐标原点,过点与平行的直线为轴,分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系, 得,，,, 为的中点,得, ,; 设平面的一个法向量为， 则，， 可取； 平面的一个法向量可取， 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【法二】 取的中点,连结,则,且,, ,,,又,面, 又,面,而平面，, 过作于,,且, 又,平面,面, 而平面，得, 为二面角的平面角, ,, 所以平面和平面夹角的余弦值为. 知识点3 三垂线定理及其逆定理 （1）射影： 已知空间中的平面以及点A，过A作的 垂线 l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的 射影 (也称为投影)；空间中，图形F上 所有点 在平面内的 射影 所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的 一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的 射影 垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 斜线 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点4 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 自主检测1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且    (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为底面是正方形，侧面是等边三角形，且， 则面平面 又平面，则平面平面 （2）取的中点，是等边三角形， 由（1）知平面平面，平面平面，则平面 由 自主检测2如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为，是中点，所以，， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，， 因为，，，所以； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 即三棱锥的高为， 而， 所以. 题型1 线面垂直判定定理（特殊图形） 例1-1如图，在正方体中，    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面. （2）因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角形，因此， 又，且，平面， 所以平面. 【变式训练1-1】如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C为圆上任意一点．求证：平面PAC． 【答案】证明见解析 【详解】因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面ABC． 因为AB是圆的直径，所以． 因为平面ABC，平面平面，所以平面PAC． 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 题型2 线面垂直判定定理（三线合一） 例2-1如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． (1)求证：平面; (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析, (2)见解析. 【详解】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,, 平面平面, 平面,得证; （2）证明：由题知,D是的中点, , 平面,平面且, 故平面得证. 方法技巧 （1）识别空间中的等腰三角形（如两腰相等的三角形），确定底边中点。 （2）利用 “三线合一”，得到顶点与中点的连线垂直于底边。 （3）在底面内找另一条与底边相交的直线，证明该连线也垂直于这条直线。 （4）根据线面垂直判定定理，因连线垂直于面内两条相交直线，故连线垂直于该平面。 （5）注意等腰三角形的顶点与底面的位置关系，确保连线与底面的垂直性可证。 【变式训练2-1】如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】由底面ABCD，得， 由，知为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故． 由题意知，又AB是PB在平面ABCD内的射影，故， 是平面内两条相交直线，从而平面，故． 因为，，是平面内两条相交直线, 所以平面． 题型3 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 例3-1（2025·北京丰台·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵在中，，，， ∴，故. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. （2）    分别取，中点，连接，，则，. ∵，∴. ∵为等边三角形，∴，故. ∵平面，平面，∴. ∵，∴，故，，两两垂直. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则即 令，则，，∴. 设直线与平面所成角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 方法技巧 （1）计算目标直线与平面内两条相交直线的线段长度，得到三边关系。 （2）用勾股定理判断线线垂直（若两边平方和等于第三边平方，则夹角为直角）。 （3）用余弦定理计算夹角余弦值，若为 0，则两直线垂直。 （4）证明目标直线与平面内这两条垂直相交的直线分别垂直。 （5）结合线面垂直判定定理，得出目标直线垂直于该平面。 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB； 【答案】证明见解析 【详解】∵ABCD为矩形 ∴ ∵PA=2，AD=2， ∴ ∴ 又∵ ，平面PAB ∴AD⊥平面PAB. 【变式训练3-2】如图，已知线段为圆柱的三条母线，为底面圆的一条直径，是母线的中点，且. (1)求证：平面DOC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接. 因为为底面圆的直径， 所以为的中点，. 又因为，所以. 由圆柱的性质知平面，而平面， 所以，又，且平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，为母线的中点， 所以， ， ， ， 所以，则. 又平面，且， 所以平面. （2）连接，易知平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为，则令，得. 设平面的法向量为，则令，得. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式训练3-3】如图，三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，点满足． (1)证明：平面． (2)若，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：三棱锥中的三条棱两两互相垂直， ，，，平面， 平面，平面， ， 设，，中， ，则，， 点满足, ， 在中，由余弦定理得，， ，，即， 又，，平面， 平面． （2）三棱锥中的三条棱两两互相垂直， 以为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ， ,， ，， 设异面直线与所成角为， 则异面直线与所成角的余弦值 ， 故异面直线与所成角的余弦值为.    题型4 线面垂直判定定理（全等与相似） 例4-1（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）选择①②， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由②知，，，，所以， 又在平面内相交于点A，所以平面， 选择①③， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面， 选择②③， 由②知，，，，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面 （2）由（1）知，平面， 又为正方形，所以， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则。 所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 方法技巧 （1）通过全等三角形对应边相等、对应角相等，推出线线垂直（如对应角为直角）。 （2）利用相似三角形对应角相等，若原三角形有直角，则相似三角形对应角也为直角，得线线垂直。 （3）在平面内找两条相交直线，证明目标直线与它们分别垂直（借助全等或相似的垂直关系）。 （4）确认两条直线相交，满足线面垂直判定定理的条件。 （5）通过全等或相似的性质，转化线段或角度关系，辅助垂直判定。 【变式训练4-1】如图，在四棱锥中，已知是的中点. (1)证明：平面； (2)若，点是的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）是的中点，， 连接，，， 在和中，，， ，， 平面，平面. （2）因为是的中点， 所以点到平面的距离就是点到平面的距离的一半， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 故， 设点为的中点，则， 所以，， 因为， 所以，故， 所以点到平面的距离为. 【变式训练4-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； （3）由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 题型5 线面垂直判定定理（空间向量） 例5-1（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； (2)M为线段CD的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点， 由，得，解得， ，， ，则，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面的法向量为，， 设平面的法向量为，则，取，得， 由图知二面角的平面角是锐角，设为， 因此， 所以二面角的余弦值为. 方法技巧 （1）建立空间直角坐标系，确定目标直线的方向向量及平面内两个不共线向量的坐标。 （2）计算方向向量与两个平面向量的点积，若均为 0，则方向向量与两平面向量垂直。 （3）或证明目标直线的方向向量与平面的法向量平行（共线）。 （4）验证目标直线不在该平面内（如直线上一点坐标不满足平面方程）。 （5）根据向量垂直关系，判定目标直线垂直于该平面。 【变式训练5-1】在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，3. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，    则． 平面的法向量为， ，令，则， ， 平面； （2）平面的法向量为， ，令，则， 平面与平面夹角为， ； （3）设，且， 与平面所成角为， ， 即， 解得或，故或， 所以. 【变式训练5-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在四棱锥中，∵平面，平面，平面，，. ∵，∴以点为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示. 则由题可知，，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，，即平面的一个法向量为. ∴，即，∴平面. （2）由题可设，，∴，. 设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，，即平面的一个法向量为. 由（1）知平面的一个法向量为. ∴. ∵平面与平面的夹角为， ∴，解得，即的长. 【变式训练5-3】如图，在多面体中，平面，平面，平面，四边形为菱形，，． (1)若是靠近点的三等分点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，交于点， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面平面，所以，即四边形为矩形， 又四边形为菱形，所以， 以为原点，以为轴，以为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 则，， 所以，， 又平面，平面，且与相较于点， 所以平面； （2）由（1）知，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，且由题意知， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 题型6 线面垂直性质定理 例6-1（2025·北京海淀·三模）如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））． (1)求证：； (2)若，，求直线与平面所成的角的正弦值； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相交，理由见解析 【详解】（1），平面， 平面， 平面 （2）是等腰直角三角形且，则到的距离为2， ，所以，可由所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得 ， 设面的法向量， 令， 设直线与平面所成角为， ， （3） 延长交于点，连接，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，平面，所以平面平面， 由平面平面，即， 因为平面，所以与平面相交. 例6-2如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，   因为，，可得且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：作交于H，连接，， 由（1）平面，平面所以平面平面， 因为平面平面，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又因为，所以， 因为，可得 又因为，所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面， 因为，且平面，所以， 同理可证，，，即， 由（1）知，所以，所以截面为矩形， 设，其中，则， 所以矩形的面积， 当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为. 方法技巧 （1）若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内所有直线，可直接用此推导线线垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行，可用于证明线线平行。 （3）已知线面垂直，需证线线垂直时，只需确认另一条直线在平面内。 （4）已知两直线垂直于同一平面，可直接得出两直线平行，无需额外证明。 （5）利用性质定理将线面垂直转化为线线垂直，为后续证明搭桥。 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，点O为AC中点． 所以，且，故在同一条直线上， 在中，由余弦定理，可得， 又，，故得， 解得，又，，故是等边三角形，则， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）可得，， ，， 在中，由余弦定理可得， 又，，，， 因，则， 又，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）已得，故可知平面， 即是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【变式训练6-2】如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱台中，取AC的中点O，连接BO，，， 由，得， 由平面平面，平面平面， 平面，得平面， 而平面，则， 又，，则四边形是菱形，故， 而，，平面，因此平面， 又平面，所以． （2）取中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，直线两两垂直， 以点O原点，直线OB，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， ，， ， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成的角为， ， 当且仅当时等号成立． 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【变式训练6-3】三棱台中中，平面，，，. (1)证明：； (2)若，则当二面角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，故， 因为，且平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，可得 所以，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）以为原点，以所在直线分别为轴和轴，以过点垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，， 设，因为，可得，所以， 所以， 设平面一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面一个法向量为，则， 取，可得 ，所以， 因为二面角的余弦值为，可得，即， 所以， 可得，解得或， 又因为，所以. 题型7 面面垂直判定定理 例7-1如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且平面. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，故， 又，故，故， 由平面，平面,得， 又，平面，平面， 故平面， 又平面，故平面平面. （2）如图： 作，由平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 记四棱锥的体积为， 则， 而， 由平面，则，故， 于是，当且仅当时，取等号， 由，得，， 由，得， 故，当且仅当取等号，于是， 故. 故四棱锥体积的最大值为. 例7-2如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形， ，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形， 所以，，， 所以，，所以， 所以平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 方法技巧 （1）在一个平面内找一条直线，证明该直线垂直于另一个平面。 （2）证明这条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线（用线面垂直判定定理）。 （3）确认这条直线属于第一个平面（即第一个平面经过这条垂线）。 （4）根据面面垂直判定定理，两平面垂直。 （5）优先找两平面的棱的垂线，简化证明（如棱在一个平面内，证其垂线垂直于另一个平面）。 【变式训练7-1】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．    (1)求证：平面平面BDEF； (2)求四面体ADEF的体积； (3)求直线AD与平面ABF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO． 因为四边形ABCD为菱形，所以， 且O为AC中点，， 所以．又平面BDEF， 所以平面BDEF．又平面ABCD， 所以平面平面BDEF． （2）由题知平面BDEF， ． （3）连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且， 所以为等边三角形．因为O为BD中点， 所以．又，AC，平面ABCD， 所以平面．故OA，OB，OF两两垂直， 所以建立空间直角坐标系，如图所示，    因为，四边形ABCD为菱形，， 所以．因为为等边三角形， 所以．所以， 所以． 设平面ABF的法向量为，则 令，解得． 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为 ， ， 所以AD与平面ABF所成角的余弦值为． 【变式训练7-2】在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面 平面； (2)若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； (3)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）平面，平面，平面平面， ， 设，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面，， 又由题意知，四边形是等腰梯形，，同理， ，平面，平面， 平面，， 底面ABCD是菱形，， 平面，，∴ 平面， 平面，∴，则； 菱形的边长为2，，，， ，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴，∴ ， ∵过的平面分别交，于点，∴平面， 平面，∴平面 平面； （2）由（1）知平面，且，以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    ，，，，， ， 由（1）知且 平面，∴， 又在等腰梯形中，∴， ∵，平面，∴平面， ∴平面的一个法向量即为，∴， 设，∵， ∴，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 当时取最大值，此时； （3）设，，设平面的法向量为， ，令，， 设，，， ，，，，， 又在上，设，即， ，， ，， 设平面的法向量为， ，令，， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值 【变式训练7-3】如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 题型8 面面垂直性质定理 例8-1（2025·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， (1)求证：平面； (2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； (3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面. （2）取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又因为矩形，所以，，且是中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （3）由（1）可知平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面平面， 因为为等边三角形， 所以，平面， 所以平面， 连接，所以是直线与平面所成角， 在矩形中，， 在正中，， 所以， 因为， 因此， 即直线与平面所成角为 方法技巧 （1）两平面垂直时，在一个平面内找垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面。 （2）过平面内一点作另一个平面的垂线，该垂线必在第一个平面内。 （3）已知面面垂直，需证线面垂直时，先找两平面的交线，再在平面内作交线的垂线。 （4）利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而推导线线垂直。 （5）注意 “在平面内” 这一条件，避免忽略导致错误（如垂线需在平面内才垂直于另一平面）。 【变式训练8-1】（2025·北京·二模）如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面平面，平面平面， 所以平面． 由分别为中点，得， 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面． （2）选择条件①②： 因为， 所以，则． 所以． 由平面，得． 故两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，即. 令，则．于是． 易知平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件①③； 由平面，得． 因为， 所以平面． 所以．故两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略． 选择条件②③； 由平面，得． 因为， 所以平面． 所以．故两两垂直． 又因为， 所以． 如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略． 【变式训练8-2】（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中， ．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面 ，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 【变式训练8-3】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 题型9 翻折问题综合 例9-1（2025·北京海淀·三模）如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为． (1)设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系． (2)若点为线段的靠近点的三等分点 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)相交 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）相交 （证明一（寻找交线）：如图，在平面中，因为为梯形，所以延长，交于点．连接， 因为，，所以平面，平面，所以即为交线，与相交于点． 证明二（反证法）：假设直线和直线不相交，由于两直线都在平面内，所以． 又平面，平面，所以平面． 又平面，平面平面，所以，矛盾！ 故直线和直线相交, （2）（ⅰ）证明：在中，，又， 所以． 所以翻折后，． 因为平面，平面，平面平面． 所以是二面角的平面角，． 又，，所以由余弦定理得， 所以，因此． 因为，，又，平面． 所以面， 又因为面，所以． 因为，，，平面， 所以平面． （ⅱ）因为，所以，． 又由（ⅰ）知，，所以两两垂直． 如图，以为原点，分别为轴正方向 建立空间直角坐标系，，，， ，， 设平面的法向量 由，得 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 所以． 故与平面所成角的正弦值为. 方法技巧 （1）翻折前后，折线两侧的图形全等，对应边、对应角不变，保留原垂直关系。 （2）确定翻折后的交线（折线），分析原垂直关系在翻折后是否仍成立（如与折线垂直的线可能仍垂直）。 （3）找翻折后平面内的两条相交直线，证明某直线与它们垂直，用线面垂直判定定理。 （4）利用翻折前后的长度不变量，结合勾股定理等证明线线垂直。 （5）关注翻折后的角度变化，仅与折线相关的垂直关系可能保留，其他需重新验证。 【变式训练9-1】在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，，， 在三角形中，由正弦定理可得，， ，又，故， 所以，即， 因为，，，所以，则有， ，平面，所以平面，. （2）由（1）平面，且平面， 所以平面平面.平面平面， 在平行四边形中，，即，故平面. 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，    设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段PC上存在点，使二面角的余弦值为，且. 【变式训练9-2】如图甲所示，在平面四边形中，为等腰直角三角形，，为正三角形，E，F分别为中点，连接分别交于点O，G．将四边形沿向上翻折（如图乙所示），使得平面平面，二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在平面四边形中，因为为正三角形，所以， 因为， ， 所以≌，所以， 因为，所以，为的中点， 因为E，F分别为中点，所以∥， 所以， 所以将四边形沿向上翻折后，， 因为∥，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）因为在平面四边形中，为等腰直角三角形，， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以，， 因为为的中位线，， 所以， 由（1）知，所以为二面角的平面角， 所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，可得， 则为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 则为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则 ， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【变式训练9-3】如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.    (1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有 平面； (2)若，①证明：平面平面； ②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）取PA中点G，连FG，EG，    因为分别为的中点，则∥，且， 由题意可知：∥，且， 则∥，且，可知四边形CFGE为平行四边形， 则∥，且平面，平面， 所以∥平面. （2）①在四边形中，连接，    由题意可知：是以边长为2的等边三角形，则， 且，则， 可知，即，且， 若，且，则，可知， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以平面平面； ②取中点，中点，连， 则，∥，可得， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平行四边形的高即为等边的高， 设点到平面的距离为， 若，则，解得， 即，可知为中点， 以为原点，OA，OH，别为轴建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离 . 题型10 补全条件及图形证空间中的垂直关系 例10-1如图，在直三棱柱中，，． (1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； (2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，， 又，平面，故平面． 又平面，故平面平面，这两个平面的交线为． 在中，作，则有平面； （2）如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，． 设平面的法向量， 则即可取． 可取平面的法向量， 由题意得．得，平面的一个法向量为； 又平面的法向量，则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【变式训练10-1】如图，在三棱锥中，平面，，，，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时. （2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点， 、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 【变式训练10-2】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)点为的中点，证明见解析 (2) 【详解】（1）当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，设， 则，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 设，则，因为，， 所以，则，解得，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 取，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练10-3】如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .    (1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值； (2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2)①存在，，② 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 因为∥平面，，平面， 所以平面∥平面， 因为平面平面，平面平面， 所以∥， 因为是的中点，所以；    （2）①存在点，当点与点重合，即时，平面， 理由如下：当点与点重合时，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 即当点与点重合，时，平面； ②在矩形中作于，延长交于点，折起后得，    设，则， 因为， 所以， 因为，所以， 因为， 所以∽，得，即，得， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以点与点重合， 因为要使得点的射影落在线段上，所以， 则，解得， 在中，， 所以 ， 当且仅当，即时，， 当时，，，则是的中点， 所以点到平面的距离为. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查点面距离的求法，解题的关键是要弄清折叠前后的边角面的关系，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 1．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 【答案】 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，    由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 1．如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：取的中点R，连接QR，AR,如图： . ∵Q是的中点，.而. ∴四边形ABQR是平行四边形，. 在正方形中，∵P，R分别是的中点， . ， 即. 【点睛】此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面几何的知识进行证明. 2．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证. 【详解】证明：底面ABC，底面ABC，. ∵O在CD上,. 又， 平面POC.平面POC，. 【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直. 3．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）见解析；  （2）见解析；  （3）见解析. 【解析】（1）通过证明，，即可得证； （2）通过平行关系转化证明即可得证； （3）通过证明平面，证明. 【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP， ∵P为的中点，. 又∵Q为的中点，， . ∴四边形CDPQ为平行四边形，. 又，D为AB的中点，. （2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC. ，由（1）知. 又，. （3）由（1）（2）知，，而. 平面. 平面，. 【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目. 4．如图，在直三棱柱中，，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵直三棱柱中，. ∴四边形为正方形. 连接，则. ∵直棱柱中，底面ABC，底面ABC，. ，即. 又. 平面. 平面. 又，平面. 平面. 【点睛】此题考查线面垂直的证明，对线面垂直的判定和性质的综合使用，最终证明线面垂直. 5．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析 【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证. 【详解】解：直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知. 因此，平面平面VBC. 由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC， 可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系. 6．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【答案】平面GEF，平面GSE，平面GSF. 【详解】解：折前 ∴折后. 又SG，EG，FG交于一点G. 根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF， 同理可证：平面GSE，平面GSF. 【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直. 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】垂直，证明见解析 【详解】解：垂直，证明如下：   底面ABCD，平面ABCD， 又底面ABCD为正方形，，而. 平面PAB 平面PAB，. ，E为PB的中点， .而, 平面PBC. 平面AEP， ∴平面平面PBC. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 证明线线垂直的方法 3 知识点2 线面垂直的判定定理与性质定理 4 知识点3 三垂线定理及其逆定理 5 知识点4 面面垂直的判定定理与性质定理 5 题型破译 6 题型1 线面垂直判定定理（特殊图形） 6 题型2 线面垂直判定定理（三线合一） 7 【方法技巧】线面垂直判定定理（三线合一） 题型3 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 8 【方法技巧】线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 题型4 线面垂直判定定理（全等与相似） 9 【方法技巧】线面垂直判定定理（全等与相似） 题型5 线面垂直判定定理（空间向量） 11 【方法技巧】线面垂直判定定理（空间向量） 题型6 线面垂直性质定理 12 【方法技巧】线面垂直性质定理 题型7 面面垂直判定定理 14 【方法技巧】面面垂直判定定理 题型8 面面垂直性质定理 16 【方法技巧】面面垂直性质定理 题型9 翻折问题综合 18 【方法技巧】翻折问题综合 题型10 补全条件及图形证空间中的垂直关系 20 04真题溯源·考向感知 21 05课本典例·高考素材 23 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）证明线面垂直 （2）证明面面垂直 （3）面面垂直证线面垂直 （4）线面垂直证明线线垂直 单选题 填空题 解答题 北京卷T14（5分） 北京卷T8（4分） 北京卷T17（13分） 北京卷T9（4分） 北京卷T16（13分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以解答题（中高档） 或选择、填空题（中档）考查。核心考查：线线垂直、线面垂直、面面 垂直的判定定理与性质定理。易错点：线面垂直判定漏 “两直线相交”，面面垂直性质中未找交线，忽略 “线在面内” 的条件。 复习目标： 1.掌握线线、线面、面面垂直的定义及判定定理； 2.能运用性质定理推导垂直关系（如面面垂直⇒线面垂直）； 3.学会转化垂直关系（线面垂直⇌线线垂直，面面垂直⇌线面垂直）； 4.结合几何体证明垂直关系，计算相关线段长度； 5.解决含参数的垂直问题（如确定参数使线面垂直）。 知识点1 证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 知识点2 线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，则这条直线与这个平面垂直 若，，，， ，则 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 若，，则 自主检测1在三棱锥中，为的中点.证明：平面.    自主检测2如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． (1)求证：； (2)当时，求平面和平面夹角的余弦值． 知识点3 三垂线定理及其逆定理 （1）射影： 已知空间中的平面以及点A，过A作的 l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的 (也称为投影)；空间中，图形F上 在平面内的 所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的 与平面的一条斜线在该平面内的 垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点4 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 自主检测1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且    (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离 自主检测2如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 题型1 线面垂直判定定理（特殊图形） 例1-1如图，在正方体中，    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式训练1-1】如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C为圆上任意一点．求证：平面PAC． 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 题型2 线面垂直判定定理（三线合一） 例2-1如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． (1)求证：平面; (2)求证：平面． 方法技巧 （1）识别空间中的等腰三角形（如两腰相等的三角形），确定底边中点。 （2）利用 “三线合一”，得到顶点与中点的连线垂直于底边。 （3）在底面内找另一条与底边相交的直线，证明该连线也垂直于这条直线。 （4）根据线面垂直判定定理，因连线垂直于面内两条相交直线，故连线垂直于该平面。 （5）注意等腰三角形的顶点与底面的位置关系，确保连线与底面的垂直性可证。 【变式训练2-1】如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 题型3 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理） 例3-1（2025·北京丰台·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 方法技巧 （1）计算目标直线与平面内两条相交直线的线段长度，得到三边关系。 （2）用勾股定理判断线线垂直（若两边平方和等于第三边平方，则夹角为直角）。 （3）用余弦定理计算夹角余弦值，若为 0，则两直线垂直。 （4）证明目标直线与平面内这两条垂直相交的直线分别垂直。 （5）结合线面垂直判定定理，得出目标直线垂直于该平面。 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB； 【变式训练3-2】如图，已知线段为圆柱的三条母线，为底面圆的一条直径，是母线的中点，且. (1)求证：平面DOC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式训练3-3】如图，三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，点满足． (1)证明：平面． (2)若，求异面直线与所成角的余弦值． 题型4 线面垂直判定定理（全等与相似） 例4-1（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 方法技巧 （1）通过全等三角形对应边相等、对应角相等，推出线线垂直（如对应角为直角）。 （2）利用相似三角形对应角相等，若原三角形有直角，则相似三角形对应角也为直角，得线线垂直。 （3）在平面内找两条相交直线，证明目标直线与它们分别垂直（借助全等或相似的垂直关系）。 （4）确认两条直线相交，满足线面垂直判定定理的条件。 （5）通过全等或相似的性质，转化线段或角度关系，辅助垂直判定。 【变式训练4-1】如图，在四棱锥中，已知是的中点. (1)证明：平面； (2)若，点是的中点，求点到平面的距离. 【变式训练4-2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 题型5 线面垂直判定定理（空间向量） 例5-1（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； (2)M为线段CD的中点，求二面角的余弦值. 方法技巧 （1）建立空间直角坐标系，确定目标直线的方向向量及平面内两个不共线向量的坐标。 （2）计算方向向量与两个平面向量的点积，若均为 0，则方向向量与两平面向量垂直。 （3）或证明目标直线的方向向量与平面的法向量平行（共线）。 （4）验证目标直线不在该平面内（如直线上一点坐标不满足平面方程）。 （5）根据向量垂直关系，判定目标直线垂直于该平面。 【变式训练5-1】在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 【变式训练5-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长. 【变式训练5-3】如图，在多面体中，平面，平面，平面，四边形为菱形，，． (1)若是靠近点的三等分点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 题型6 线面垂直性质定理 例6-1（2025·北京海淀·三模）如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））． (1)求证：； (2)若，，求直线与平面所成的角的正弦值； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由． 例6-2如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 方法技巧 （1）若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内所有直线，可直接用此推导线线垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行，可用于证明线线平行。 （3）已知线面垂直，需证线线垂直时，只需确认另一条直线在平面内。 （4）已知两直线垂直于同一平面，可直接得出两直线平行，无需额外证明。 （5）利用性质定理将线面垂直转化为线线垂直，为后续证明搭桥。 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【变式训练6-2】如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式训练6-3】三棱台中中，平面，，，. (1)证明：； (2)若，则当二面角的余弦值为时，求的值. 题型7 面面垂直判定定理 例7-1如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且平面. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； 例7-2如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形， ，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 方法技巧 （1）在一个平面内找一条直线，证明该直线垂直于另一个平面。 （2）证明这条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线（用线面垂直判定定理）。 （3）确认这条直线属于第一个平面（即第一个平面经过这条垂线）。 （4）根据面面垂直判定定理，两平面垂直。 （5）优先找两平面的棱的垂线，简化证明（如棱在一个平面内，证其垂线垂直于另一个平面）。 【变式训练7-1】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．    (1)求证：平面平面BDEF； (2)求四面体ADEF的体积； (3)求直线AD与平面ABF所成角的余弦值． 【变式训练7-2】在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面 平面； (2)若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； (3)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【变式训练7-3】如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 题型8 面面垂直性质定理 例8-1（2025·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， (1)求证：平面； (2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； (3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 方法技巧 （1）两平面垂直时，在一个平面内找垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面。 （2）过平面内一点作另一个平面的垂线，该垂线必在第一个平面内。 （3）已知面面垂直，需证线面垂直时，先找两平面的交线，再在平面内作交线的垂线。 （4）利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而推导线线垂直。 （5）注意 “在平面内” 这一条件，避免忽略导致错误（如垂线需在平面内才垂直于另一平面）。 【变式训练8-1】（2025·北京·二模）如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练8-2】（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中， ．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【变式训练8-3】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型9 翻折问题综合 例9-1（2025·北京海淀·三模）如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为． (1)设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系． (2)若点为线段的靠近点的三等分点 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 方法技巧 （1）翻折前后，折线两侧的图形全等，对应边、对应角不变，保留原垂直关系。 （2）确定翻折后的交线（折线），分析原垂直关系在翻折后是否仍成立（如与折线垂直的线可能仍垂直）。 （3）找翻折后平面内的两条相交直线，证明某直线与它们垂直，用线面垂直判定定理。 （4）利用翻折前后的长度不变量，结合勾股定理等证明线线垂直。 （5）关注翻折后的角度变化，仅与折线相关的垂直关系可能保留，其他需重新验证。 【变式训练9-1】在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【变式训练9-2】如图甲所示，在平面四边形中，为等腰直角三角形，，为正三角形，E，F分别为中点，连接分别交于点O，G．将四边形沿向上翻折（如图乙所示），使得平面平面，二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【变式训练9-3】如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.    (1)若为的中点，证明：在翻折过程中均有 平面； (2)若，①证明：平面平面； ②记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离. 题型10 补全条件及图形证空间中的垂直关系 例10-1如图，在直三棱柱中，，． (1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； (2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【变式训练10-1】如图，在三棱锥中，平面，，，，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练10-2】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练10-3】如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .    (1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值； (2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离. 1．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 1．如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：. 2．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 3．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 4．如图，在直三棱柱中，，求证：. 5．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 6．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$