第03讲 三角函数的图象与性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 三角函数的图象与性质 目录 01 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 五点法作图 3 知识点2 三角函数图象与性质 4 知识点3 三角函数的周期性 5 知识点4 三角函数奇偶性 5 知识点5 三角函数对称性 5 知识点6 三角函数的图象变换 6 题型破译 6 题型1 三角函数定义域 6 题型2 三角函数值域（最值） 7 【方法技巧】三角函数值域的两种常见模型 题型3 三角函数的周期 8 【方法技巧】三角函数周期的处理 题型4 三角函数的单调性 9 题型5 三角函数的奇偶性 10 题型6 三角函数的对称性 10 题型7 三角函数图象变换 11 题型8 根据图象求解析式 12 题型9 三角函数实际应用 14 题型10 三角函数零点问题 16 题型11 三角函数恒成立与能成立问题 18 04真题溯源·考向感知 21 05课本典例·高考素材 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数的图象与性质 （2）三角函数图象的平移变换 （3）三角函数的实际应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T8（4分） 北京卷T6（4分） 北京卷T17（13分） 考情分析：三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用， 该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。 复习目标： 1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数、的图象. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质. 3.了解参数对函数图象变化的影响. 4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 知识点1 五点法作图 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 自主检测已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 知识点2 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 知识点3 三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 自主检测函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数 知识点4 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 自主检测已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 知识点5 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 自主检测1函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 知识点6 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 自主检测已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型1 三角函数定义域 例1-1函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 例1-2函数的定义域为 【变式训练1-1】函数的定义域为 【变式训练1-2】函数的定义域为 . 【变式训练1-3】求函数的定义域； 题型2 三角函数值域（最值） 例2-1函数的值域是（   ） A． B． C． D． 例2-2函数，的最大值与最小值之和为 . 方法技巧 三角函数值域的两种常见模型 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 【变式训练2-1】函数在上的最大值是 . 【变式训练2-2】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式训练2-3·变考法】求函数的定义域与值域，并作其图像． 题型3 三角函数的周期 例3-1下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 例3-2下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是 ① ② ③ ④ 方法技巧 三角函数周期的处理 （1）对形如或的周期为，对形如的周期为； （2）对形如或的周期为，对形如的周期为 【变式训练3-1·变考法】下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2·变载体】下列函数中不是周期函数的是（   ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A． B． C． D． 【变式训练3-3】求函数的最小正周期． 题型4 三角函数的单调性 例4-1函数的单调递增区间是 ． 例4-2设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【变式训练4-1】已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【变式训练4-2】已知函数，，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【变式训练4-3】已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 题型5 三角函数的奇偶性 例5-1若是偶函数，则 例5-2已知，且，则 【变式训练5-1】已知常数，函数为偶函数，则 . 【变式训练5-2·变考法】若函数为偶函数，则 . 【变式训练5-3·变题型】已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 题型6 三角函数的对称性 例6-1已知函数，则函数图象的一条对称轴方程可以是 ．（写出一条即可） 例6-2已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则 . 【变式训练6-1】函数图象的对称中心是 ． 【变式训练6-3】函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【变式训练6-4·变载体】已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 题型7 三角函数图象变换 例7-1已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 例7-2如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式训练7-2】将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 题型8 根据图象求解析式 例8-1已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 例8-2已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【变式训练8-1】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【变式训练8-2·变考法】如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的序号是 ． ①； ②函数为奇函数； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象的对称轴为直线； ⑤函数的单调递增区间为． 题型9 三角函数实际应用 例9-1筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 例9-2阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【变式训练9-1】已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 【变式训练9-3】水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 题型10 三角函数零点问题 例10-1已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 例10-2已知函数的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数， （ⅰ）求函数在区间的最大值和最小值； （ⅱ）求函数在区间内的所有零点的和． 【变式训练10-1】已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【变式训练10-2】已知函数（，，）的图象上两点，及部分图象如下. (1)求函数的解析式； (2)若，，且，求的值； (3)将的图象沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位得到的图象.试讨论关于x的方程在区间上解的个数. 【变式训练10-3】已知． (1)求的最小正周期与对称中心； (2)若，求的值域； (3)若，方程有三个实数解，且，求取值范围． 题型11 三角函数恒成立与能成立问题 例11-1已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 例11-2已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【变式训练11-1】已知函数 (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若对任意，都有，求m的最大值. 【变式训练11-2】已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若关于的方程在内有两个不相等的实数解，求的取值范围． 【变式训练11-3】已知函数图象相邻的两个最高点和一个最低点恰好能构成一个边长为4的等边三角形，且直线是图象的一条对称轴． (1)求的解析式． (2)设，的值域为． ①求； ②对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 1．当时，函数（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减 2．下列命题中正确的是（　　） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减 3．函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 5．求下列函数的最大值和最小值，并写出分别取得最大值和最小值时自变量α的值： (1)，； (2)，； (3)，． 6．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 7．画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 8．请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 9．画出函数的图象，并讨论其基本性质． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角函数的图象与性质 目录 01 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 五点法作图 3 知识点2 三角函数图象与性质 4 知识点3 三角函数的周期性 5 知识点4 三角函数奇偶性 6 知识点5 三角函数对称性 6 知识点6 三角函数的图象变换 7 题型破译 8 题型1 三角函数定义域 8 题型2 三角函数值域（最值） 10 【方法技巧】三角函数值域的两种常见模型 题型3 三角函数的周期 12 【方法技巧】三角函数周期的处理 题型4 三角函数的单调性 15 题型5 三角函数的奇偶性 17 题型6 三角函数的对称性 19 题型7 三角函数图象变换 21 题型8 根据图象求解析式 24 题型9 三角函数实际应用 29 题型10 三角函数零点问题 33 题型11 三角函数恒成立与能成立问题 39 04真题溯源·考向感知 44 05课本典例·高考素材 48 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数的图象与性质 （2）三角函数图象的平移变换 （3）三角函数的实际应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T8（4分） 北京卷T6（4分） 北京卷T17（13分） 考情分析：三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用， 该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。 复习目标： 1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数、的图象. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质. 3.了解参数对函数图象变化的影响. 4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 知识点1 五点法作图 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 自主检测已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 【答案】(1)作图见解析; (2)最大值为 2， . 【详解】（1）由 ，得 ， 列表如下: 0 1 2 1 0 1 画出函数 的图象，如图: （2）当 ，即 时， ， 所以函数 的最大值为 2，此时 的集合为 . 知识点2 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 知识点3 三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 自主检测函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】D 【详解】， 由于，且的定义域为全体实数， 所以是奇函数， 注意到它的周期为. 故选：D. 知识点4 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 自主检测已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【详解】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 知识点5 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 自主检测1函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，不是对称轴； 时，不是对称轴； 时，是对称轴； 时，不是对称轴； 故选：C 知识点6 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 自主检测已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 题型1 三角函数定义域 例1-1函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 例1-2函数的定义域为 【答案】 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 【变式训练1-1】函数的定义域为 【答案】 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 【变式训练1-2】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练1-3】求函数的定义域； 【答案】. 【详解】由题意得，所以，， 如图所示可得函数定义域为. 题型2 三角函数值域（最值） 例2-1函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 例2-2函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 方法技巧 三角函数值域的两种常见模型 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 【变式训练2-1】函数在上的最大值是 . 【答案】1 【详解】， 当时，， 所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有. 故答案为： 【变式训练2-2】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又函数在区间上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以函数最小值为0，最大值为1；所以函数的值域为； （2）， 因为，所以当时，函数取最大值0； 当时，函数取得最小值-4， 所以函数的值域为． 【变式训练2-3·变考法】求函数的定义域与值域，并作其图像． 【答案】答案见解析 【详解】由已知，设， 可知，函数的定义域为： ，值域为R； 当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变； 当时，在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）. 题型3 三角函数的周期 例3-1下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 例3-2下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是 ① ② ③ ④ 【答案】②④ 【详解】对于选项①，在上是增函数，但不具有周期性， 不合题意，①错误； 对于选项②，在上是增函数，最小正周期为， 符合题意，②正确； 对于选项③，，最小正周期为，但在上是减函数， 不符合题意，③错误； 对于④选项，在上是增函数，最小正周期为，符合题意， ④正确. 故选②④ 方法技巧 三角函数周期的处理 （1）对形如或的周期为，对形如的周期为； （2）对形如或的周期为，对形如的周期为 【变式训练3-1·变考法】下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，易知满足，为偶函数， 画出函数图象如下图所示：    最小正周期为，满足题意，即A正确； 对于B，易知为奇函数，因此B错误； 对于C，易知为奇函数，可知C错误； 对于D，易知满足为偶函数， 其图象如下图所示：    显然其最小正周期为，不合题意，即D错误. 故选：A 【变式训练3-2·变载体】下列函数中不是周期函数的是（   ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，易知的图象如下： 显然其不是周期函数，即A符合题意； 对于B，易知的周期为，所以B不合题意； 对于C，易知的周期为，所以C不合题意； 对于D，根据表示不超过的最大整数可知的周期为1，即D不合题意. 故选：A 【变式训练3-3】求函数的最小正周期． 【答案】 【详解】 ． 则最小正周期. 题型4 三角函数的单调性 例4-1函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】函数， 所以，所以， 所以函数的单调递增区间是， 故答案为：. 例4-2设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期，即．因为，所以， 所以． 因为函数的图象关于点对称，所以， 即． 又，所以，所以． （2）令，，得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 【变式训练4-1】已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 【变式训练4-2】已知函数，，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，增区间为，减区间为， 【详解】（1）由题设知 ∵  ∴； （2）∴， ， ∴的值域为， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为， 【变式训练4-3】已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2)对称中心为，，单调递增区间为，. 【详解】（1）∵函数， ∴，，即，， ∴的定义域为， ∵， ∴的最小正周期是； （2）令，，解得，，此时， ∴函数的对称中心为，， 令，解得，， 所以的单调递增区间为，. 题型5 三角函数的奇偶性 例5-1若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 例5-2已知，且，则 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且 ， 即， 显然，则， 即，解得. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 【变式训练5-2·变考法】若函数为偶函数，则 . 【答案】 【详解】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 【变式训练5-3·变题型】已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 题型6 三角函数的对称性 例6-1已知函数，则函数图象的一条对称轴方程可以是 ．（写出一条即可） 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【详解】函数， 由，解得， 所以函数图象的一条对称轴方程可以是. 故答案为： 例6-2已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则 . 【答案】 【详解】依题意，，或， 或，或， 解得或或或，， 而，则，，所以. 故答案为： 【变式训练6-1】函数图象的对称中心是 ． 【答案】 【详解】 ，令， 所以函数的对称中心为. 故答案为： 【变式训练6-3】函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 【变式训练6-4·变载体】已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型7 三角函数图象变换 例7-1已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 例7-2如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等， 由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为， 对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求； 对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求. 故选：D. 【变式训练7-1】已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】， ， 故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象. 故选：D 【变式训练7-2】将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 则的最小值为， 故选：B． 【变式训练7-3】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 题型8 根据图象求解析式 例8-1已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 例8-2已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【答案】①③ 【详解】由图可知，设函数的最小正周期为， 则，所以，由及， 又，所以， 又，所以， 所以， 对①：由，即， 令，则为函数的一条对称轴；故①正确； 对②：由，即， 令， 故函数的图象不关于点对称，故②不正确； 对③：的图象向右平移个单位长度可得： ，故③正确； 对④：因为，所以， 由函数在上不单调， 所以函数在上不单调；故④不正确； 故答案为：①③. 【变式训练8-1】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：D. 【变式训练8-2·变考法】如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A 【变式训练8-3】函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的序号是 ． ①； ②函数为奇函数； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象的对称轴为直线； ⑤函数的单调递增区间为． 【答案】①③⑤ 【详解】由函数的部分图象，得，周期， 则，由，得，， 而，因此，，， 对于①，，①正确； 对于②，，不是奇函数，②错误； 对于③，函数的最小正周期为，③正确； 对于④，由，解得，， 所以图象的对称轴为直线，，④错误； 对于⑤，令，解得，， 函数的单调递增区间为，⑤正确， 所以说法正确的序号是①③⑤. 故答案为：①③⑤ 题型9 三角函数实际应用 例9-1筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时47.5秒，故D错误． 故选：D． 例9-2阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 【变式训练9-1】已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 【变式训练9-2】某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练9-3】水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【详解】（1）由题意，，则， 由题意，即，又，则. . （2）由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 题型10 三角函数零点问题 例10-1已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为 (2)实数的取值范围 【详解】（1） ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则， 所以的单调递增区间为； （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 所以，与有两个交点， 作出，的图象如图所示，所以， 所以实数的取值范围. 例10-2已知函数的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数， （ⅰ）求函数在区间的最大值和最小值； （ⅱ）求函数在区间内的所有零点的和． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1）由函数的图象，可得，又，所以，即， 又，所以，又，即， 根据五点对应法，可得，所以，所以. （2）（ⅰ） ， 因为，可得， 当即时，可得； 当即时，可得； （ⅱ）令，得， 因为，解得， 故，所以， 所以函数在区间内的所有零点的和为. 【变式训练10-1】已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. (1)求，的值； (2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又，，所以， 又图象相邻的两个对称中心间的距离为，所以， 综上，. （2）由（1）知， ， 在区间上有且只有一个零点， 所以，解得. 【变式训练10-2】已知函数（，，）的图象上两点，及部分图象如下. (1)求函数的解析式； (2)若，，且，求的值； (3)将的图象沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位得到的图象.试讨论关于x的方程在区间上解的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由图可知，， 因此，， 由M，N点在图象上， 则，由图解得， 可得，得，则， 从而可得，综上. （2）由，令，解得， 则函数的对称轴为直线， 由，，且， 则，且， 因此， 从而. （3）根据题意得， ， 从而原方程可整理为 不妨记，， 则在上单调， 且得到， 因此原方程等价于即在内解的情况. 也即，解的情况. 因为，当且仅当时等号成立，结合图像 因此：当，即时，原方程无解； 当时，，时，原方程有唯一解； 当时，，时，原方程有两个不等实根， 当时，，时，原方程只有一个不等实根， 综上所述：当或时，原方程只有一个不等实根； 当，原方程有两个不等实根；当时，原方程无解. 【变式训练10-3】已知． (1)求的最小正周期与对称中心； (2)若，求的值域； (3)若，方程有三个实数解，且，求取值范围． 【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为 (2) (3) 【详解】（1）， 所以的最小正周期为，由，解得， 所以的对称中心为； （2）因为，所以，所以， 即的值为； （3）当时，令， 由题意方程在上有三个实数解，分别为且， 即函数与的图象在区间上有三个交点，作出函数图象，如图： 则，由正弦函数的对称性可知，，， 则，解得，又，所以， 故，即取值范围为． 题型11 三角函数恒成立与能成立问题 例11-1已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 故的最小值为． （2）令，则有解，即有解， 因为时，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最小值；当时，取最大值3，即， 因为有解，所以实数a的取值范围为． 例11-2已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为 (2) 【详解】（1）由题意可得， 令， 化简得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解法一： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法二： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法三： ， 又，得，， 所以，， 当，即时，，不等式恒成立，所以； 当，即时，不等式可化为， 又，所以， 解得； 综上，的取值范围为. 【变式训练11-1】已知函数 (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若对任意，都有，求m的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）依题意，. （2）函数 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. （3）当时，，而， 而在上单调递增，在上单调递减， 由，，得，解得， 所以m的最大值是. 【变式训练11-2】已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若关于的方程在内有两个不相等的实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由，得 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 由题知，函数与的图象在内有两个交点， 由，得，令，则， 所以函数与的图象在内有两个交点， 当时，单调递增，当时，单调递减， 函数与的图象如图所示，则， 所以的取值范围为． 【变式训练11-3】已知函数图象相邻的两个最高点和一个最低点恰好能构成一个边长为4的等边三角形，且直线是图象的一条对称轴． (1)求的解析式． (2)设，的值域为． ①求； ②对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【详解】（1）如图，是边长为4的等边三角形，它的高为， 即，得． 因为，所以的最小正周期，由，解得, 又直线是图象的一条对称轴， 所以，，解得，． 因为，所以，则． （2）①当时，， 所以，故． ②由①知的最大值为， 所以不等式转化为 即存在，使得不等式成立． 令，． 因为抛物线的对称轴方程为， 所以， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 1．当时，函数（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减 【答案】B 【详解】函数，， ，为减函数，，为增函数， ，为减函数， 故选：B 2．下列命题中正确的是（　　） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减 【答案】B 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 显然函数在上不单调，A错误； 由，得函数在上单调递减，B正确； 由，得在、上单调递增，CD错误. 故选：B 3．函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的单调递增的区间是， 函数的单调递增的区间是， 由，可得函数和都单调递增的区间是. 故选：A. 4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：B. 5．求下列函数的最大值和最小值，并写出分别取得最大值和最小值时自变量α的值： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)当时，有最小值1；当时，有最大值2 (2)当时，有最小值；当时，有最大值3 (3)当时，有最小值；当时，有最大值 【详解】（1）根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，当时，有最小值1；当时，有最大值2. （2）根据余弦函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 所以，当时，有最小值；当时，有最大值3. （3）根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增， 且，， 所以，当时，有最小值；当时，有最大值. 6．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【详解】（1）定义域为R， 又，且， 故既不是奇函数，又不是偶函数； （2）的定义域为R， 又，故为奇函数； （3）定义域为R， 且，故为偶函数； （4）定义域为R， 且，故为偶函数. 7．画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    8．请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 【答案】见解析 【详解】由题意，当时；当时，故可作图：    由图象可得，函数具有如下性质： ①定义域；②值域；③偶函数；④最小值正周期为； ⑤在上单调递增，上单调递减；在上； ⑥当时函数取最大值0，当时函数取最小值. 9．画出函数的图象，并讨论其基本性质． 【答案】答案见解析 【详解】因为函数的最小正周期. 1.列表： 0 x y 0 3 0 -3 0 2.描点； 3.用光滑的曲线顺次连接各点所得图象，如图所示；      4.函数的周期，将所得图象向左、右分别扩展，就得到函数的图象，如图所示．         5.性质： 定义域：R 值域： 最小正周期： 单调递增区间：； 单调递减期间：. 对称轴：， 对称中心： 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$