1.4.2角平分线的性质及逆定理 讲义2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

朗道成就梦想 办学宗旨：以人为本 成就师生 服务社会 会 教育改变人生 办学理念：注重思维训练 培养科学精神 神 1.4.2 角平分线的性质及逆定理 一、学习目标 1、知道线段、角是轴对称图形并会验证。 2、掌握角的平分线的性质。 3、能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题。 二、课堂引入 1.4.2 角平分线的性质与逆定理 1.角平分线的性质 （1）探究活动一： 1、在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考：它是轴对称图形吗？ 结论： 角是轴对称图形 角平分线所在的直线是它的对称轴. 2、在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，分别作出点P到OA、OB的垂线，垂足分别是点D、E，对折一下，你发现了什么？ 通过探究你有什么收获？ 定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何语言： ∵OC平分∠AOB，P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE ． 交流与发现：下图中PD＝PE吗？ 在上面的两个图，告诉我们： 不是随便在角平分线上找一点，随便在边OA上找一点D,和边OB上找一点E,总能得到PD=PE的. 可见：要想得到PD=PE,必须满足两个条件： (1)OC是∠AOB的平分线，点P在OC上； (2)PD⊥OA，PE⊥OB， 才能得出PD=PE，两者缺一不可． 例题：如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，则下列结论：①∠DOP=∠EOP；②∠OPD=∠OPE；③PD=PE；④OD=OE中，正确的有 ． 2. 角平分线的逆定理 （2）探究活动二： 角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，若点P在∠AOB内部， PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，点P在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE ， ∴ OP平分∠AOB. （3）尺规作图画角的平分线（第9章已学过） 【典型例题】 例1．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=5，则P点到OB的距离是 ． 例2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若AC＝3，DE＝2，AB＝4，则S△ABC＝ ． 例3.已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上,DE⊥AB,F为AC上一点,且∠DFA=1000,则( ) A.DE>DF B.DE<DF C.DE=DF D.不能确定DE、DF的大小 变式： 1、 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC． 求证：（1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 三、课堂练习 1．角平分线上的任意一点到这个角的两边的_______相等；角平分线可以看作是到_____________的所有点的集合． 2．如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2 cm，则PN＝________cm． 　 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D． (1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是_______； (2)若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是_______． 4．如图，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，要求使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置． 6．已知∠AOB和C、D两点，求作点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 7.如图，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BF与CE相交于点D，且BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上. 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为_______． 9．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝_______． 10．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28 cm2，AB＝16 cm，AC＝12 cm，求DE的长． ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$