精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024—2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期末（第一章~第六章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应体现在三视图中． 左视图是从物体的左边看，所得的图形．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得：该立体图形的左视图是： 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，进行配方后再进行判断即可． 【详解】解：， 移项，得： 配方，得：， 即：； 故选A． 【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤：1化，2移，3配，是解题的关键． 3. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，可得共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种， ∴该小孩为女孩的概率为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 4. 下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出∆＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2），然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：2x2﹣5x﹣2＝0， 因为Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】此题考查利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，正确掌握计算公式及一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． 5. 如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135，设道路的宽度为xm，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形，将水平方向和竖直方向的小路进行平移，则草坪区域可以构成一个长方形，找出该长方形的长和宽，根据面积公式即可列出方程． 【详解】解：将水平方向的小路均向上平移，竖直方向的小路均向右进行平移，则草坪区域可以构成长为m，宽为m的矩形， ∵草坪的面积为135， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查列一元二次方程、图形的平移，读懂题意，通过平移将草坪区域拼成矩形是解题的关键． 6. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由三角形中位线的性质可得出，，即证明四边形为平行四边形，即当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形．结合平行线的性质得出当时，， 即此时四边形是矩形． 【详解】如图，连接， ∵E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形． ∵当时，， ∴当时，四边形是矩形． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线的性质．正确连接辅助线是解题关键． 7. 如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则 的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接 、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 、， 轴， 轴， ， ， ； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，连接 ，动点从点 出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为，若与 的对应关系如图所示，则图中（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，代数式求值，根据点运动到 点时的面积可求出的值，再根据点运动到 点时的路程，可得到的值，进而得到的值，代入代数式计算即可求解，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 当点在运动且到达 点时， ， ∴， 当点运动到 点时，点的运动路程为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先将，化成，再代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图， 和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 11. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如下： 由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种， 概率为：， 故答案为：． 12. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 【答案】或． 【解析】 【分析】首先将点代入及，求出点 的坐标，再根据反比例函数的对称性求出点坐标，然后找出正比例函数落在反比例函数图象上方时对应的 的取值范围即可． 【详解】解：∵将点代入及， 得：，， 解得：， ∴直线与双曲线． ∴， 解得， 当时，， ∴． ∵或时，正比例函数落在反比例函数图象上方，即， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及数形结合的思想，求出 、两点的坐标是解题的关键． 13. 如图，在边长为6的等边 中，分别在边 上，，连接 交于点 ，则 的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接 ，取 中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 ，取 中点F，连接，如图所示： ∵ 为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法与公式法． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 解得． 【小问2详解】 解： 有， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 15. 先化简，然后在0，1，2中选一个你喜欢的 值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式运算法则化简式子，再将x的值代入计算即可，注意分式有意义的条件． 【详解】解： ， ∵，， 将代入化简的式子可得：原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及分式有意义的条件，代入x值的时候，注意且． 16. 如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于y轴对称的； （2）在第四象限画出 以点O为位似中心的位似图形， 与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为 ， 该四边形的面积为：． 17. 如图，已知 中，D是 边上一点，过点D分别作交 于点E，作交 于点F，连接 ． （1）下列条件：①D是 边的中点；② 是 的角平分线；③点E与点F关于直线 对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再由条件②证，或由条件③证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：选择条件②： 是 的角平分线， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ∴平行四边形是菱形； 选择条件③： ， ∴四边形是平行四边形， ∵点E与点F关于直线 对称， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 新年平安，多“盔”有你． 在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶． 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． 设每顶头盔降价 元，平均每周的销售量为顶． （1）平均每周的销售量（顶）与降价 （元）之间的函数关系式是：  ； （2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用平均每周的销售量，即可找出y与x之间的函数关系式； （3）根据利润=售价−进价，列出代数式；利用每周的销售利润=每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 根据题意得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 19. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性． 图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图像的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取 中点，以点为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在双曲线的解析式； （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂 用来雕刻所在曲面的花纹，请问点 在上滑动过程中， 最长为多少米？ （3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板 ，太阳光线经点 恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长． 【答案】（1）； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解； （3）先求出 所在直线解析式为，再根据，可设直线解析式为，然后，整理得：，利用一元二次方程根的判别式，可得，从而得到，进而得到解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解：，，，为 中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立，解得， 联立，解得， ， 【小问3详解】 解：如图，光线与曲线只有一个交点， 设直线 的解析式为， 将点，点代入得：， 解得 ，， 所在直线解析式为， ∵， 可设直线解析式为， ∴， 整理得： ∴ 解得：，（舍去）， 解析式为， 将分别代入， 解得：， ∴点，点，点点， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，一元二次方程根的判别式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 20. 【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是 边上一点，作交 于点F；学习小队发现，不论点E在 边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是 延长线上一点，将 绕点O逆时针旋转 得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰 中，，点E是 边上一点，以 为边在 的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出 的长. 【答案】 探究发现：证明∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 类比迁移：； 拓展提升： 【解析】 【分析】探究发现：根据正方形的性质，利用证明，即可； 类比迁移：连接 ，连接，证明，得到，推出，即，在中，，等量代换得到，即可； 拓展提升：过A作于K，连接，设交 于R，三线合一得到，得到，中位线定理，得到，推出，得到，得到，在中，，求出 ，推出， ，设，则， ，在中，，列方程求出的长，进而得到 的长即可. 【详解】探究发现：略 类比迁移： 解：连接 ，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将 绕点O逆时针旋转 得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； 拓展提升： 解：过A作于K，连接，设交 于R，如图： ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ∴， 解得 或（此时为负数，舍去）， ∴， ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理。综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是构造特殊三角形，全等和相似三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期末（第一章~第六章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 3. 人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135，设道路的宽度为xm，则可列方程为( ) A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则 的面积为（　　） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，，，连接 ，动点从点 出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则图中（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图， 和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 11. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 12. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 13. 如图，在边长为6的等边 中，分别在边 上，，连接 交于点 ，则 的长为_________． 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 先化简，然后在0，1，2中选一个你喜欢的值，代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于y轴对称的； （2）在第四象限画出 以点O为位似中心的位似图形， 与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 17. 如图，已知 中，D是 边上一点，过点D分别作交于点E，作交 于点F，连接． （1）下列条件：①D是 边的中点；②是 的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求 的长． 18. 新年平安，多“盔”有你． 在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶． 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． 设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． （1）平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是：  ； （2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 19. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性． 图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图像的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取 中点，以点为原点， 所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在双曲线的解析式； （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂 用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中， 最长为多少米？ （3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板 ，太阳光线经点 恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长． 20. 【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将 绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰 中，，点E是 边上一点，以 为边在 的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出 的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $