精品解析：广东省广州市增城区东江外语实验学校2024-2025学年八年级上学期第二次限时训练数学试题

2024学年第二次限时作业 八年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30） 1. 下列国产手机品牌标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 3. 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. B. C. D. 7. 若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 8. 关于x的多项式是完全平方式，则实数m的值为（ ） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 9. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（　　）个． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 13. 化简的结果是_____． 14. 已知，，则的值为__________． 15. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 16. 如图，在边长为4的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是_____． 三．解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中． （1）作出关于y轴对称的； （2）若是内部一点，点P关于y轴的对称点为，写出点的坐标． 19. 如图，，垂足分别为B，D，．求证：． 20. 先化简，再求值：，请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值． 21. 如图，在中，，的周长为． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求的周长． 22. 恒等式的探究及应用. （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①； ②． 23. 数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． （2）【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 24. 如图，在中，． （1）如图1，过点A作于点H，若，，求边上的高的长； （2）如图2，若，点S为上一点，且，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （3）如图3，点E，F分别在线段，上，若，，求证：． 25. 在平面直角坐标系中，，，且． （1）直接写出两点的坐标； （2）如图1，点在线段上，且点横坐标为，连接．在第四象限过点作，且，连接，作于，交于点，求的面积； （3）如图2，，与轴非负半轴重合，在第一象限，将以/秒的速度绕点在第一象限内逆时针旋转，，分别与线段交于点，，在第二象限过点作，且，问经过多长时间，为等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二次限时作业 八年级数学 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30） 1. 下列国产手机品牌标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，3+4<8，不能构成三角形， 选项B，5+6=11，不能构成三角形， 选项C，5+6>10,6-5<10,可以构成三角形， 选项D，4+4=8，不能构成三角形， 所以选C． 3. 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：D． 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 【答案】B 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 【详解】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，计算正确； D. ，故原选项错误 故选C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的、变为、，化简之后与原式比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：C． 8. 关于x的多项式是完全平方式，则实数m的值为（ ） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的结构是解题的关键． 9. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（　　）个． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】使得为等腰三角形，须分别讨论是以哪个边为腰的等腰三角形，分类讨论． 【详解】解：∵为等腰三角形， 当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形， 当以为腰的时候，可以分两种情况： 以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形， 以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形， 如图所示： 所以共有8个格点可以使为等腰三角形， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意分类讨论，数形结合． 10. 如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义计算可得，再由三角形内角和定理即可判断①；延长、交于点，，得出，证明，得出，即可判断②；根据三角形面积公式计算即可判定③；由全等三角形的性质即可判定④；过点作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式即可判断⑤． 【详解】解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； ②延长、交于点， ， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③错误； ④由②可得，， ∴，， ∴，故④正确； ⑤如图，过点作于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 13. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减．先化成同分母，再计算同分母分式加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知，，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法公式的逆用和幂的乘方公式的逆用，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查同底数幂的除法公式和幂的乘方公式，解题的关键是熟知公式的逆用． 15. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数． 【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理）， ∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 16. 如图，在边长为4的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明．证明，得出，作点关于的对称点，连接，，则，得出当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，如图所示： 、都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 此时， 由轴对称的性质，可得， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方、积的乘方的化简，然后运用单项式乘单项式的运算法则求解即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中． （1）作出关于y轴对称的； （2）若是内部一点，点P关于y轴的对称点为，写出点的坐标． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得到点、、，顺次连线即可得到； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：是内部一点，点P关于y轴的对称点为， ∴ 【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，确定直角坐标系中点的坐标，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 19. 如图，，垂足分别为B，D，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】根据垂直得出，，根据证即可． 【详解】略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 20. 先化简，再求值：，请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，选取，值为2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，即， ∴从的整数解中选取， 将代入得：原式． 21. 如图，在中，，的周长为． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求的周长． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求作； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，会尺规作图是解答关键． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，进而根据三角形的周长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直线垂直平分， ∴，， ∵，的周长为． ∴， ∴的周长为． 22. 恒等式的探究及应用. （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1） （2）①91；② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式等知识． （1）分别表示图1、图2的阴影部分面积，根据面积相等即可求解； （2）①将转化为，运用（1）结论即可求解； ②将转化为，再利用（1）结论进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：图1阴影部分的面积表示为，图2阴影部分的面积表示为， ∵图1、图2的阴影部分面积相等， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①； ② ． 23. 数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． （2）【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【小问1详解】 解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 24. 如图，在中，． （1）如图1，过点A作于点H，若，，求边上的高的长； （2）如图2，若，点S为上一点，且，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （3）如图3，点E，F分别在线段，上，若，，求证：． 【答案】（1）边上的高的长为 （2）当点Q的运动速度为或时，与全等 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等积法求出边上的高的长即可； （2）根据等边对等角可得，然后表示出、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可； （3）延长到G使，根据全等三角形的性质得到，，根据已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴边上的高的长为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点P、Q的运动时间为t，则， ， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为； ②当时，， ∵， ∴， ∴， 故点Q的运动速度为； ∴当点Q的运动速度为或时，与全等； 【小问3详解】 解：延长到G使， ∵，， ∴， ∵在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在与中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，，，且． （1）直接写出两点的坐标； （2）如图1，点在线段上，且点横坐标为，连接．在第四象限过点作，且，连接，作于，交于点，求的面积； （3）如图2，，与轴非负半轴重合，在第一象限，将以/秒的速度绕点在第一象限内逆时针旋转，，分别与线段交于点，，在第二象限过点作，且，问经过多长时间，为等腰三角形？ 【答案】（1）， （2） （3）经过多长时间，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式可得，即可求解； （2）如图，过B作于Q，过E作于 S，可证明，可得，同理，可得，从而得到，进而可证明，继而得到P是的中点，再求出直线的解析式，可得到点E的坐标，即可求解； （3）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，可证明，可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∵，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，过B作于Q，过E作于 S， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即P是的中点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点横坐标为， ∴， ∴点E的坐标为， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即经过多长时间，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $