周测9 直角三角形的性质定理&勾股定理及其逆定理&回归教材与勾股定理有关的梯子滑动问题 -【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

周测九 (建议用时：45分 一、选择题（每小题7分，共28分） 1.(2025绍兴新昌期未)在Rt△ABC中，∠C 90°，∠A一∠B=10°，则∠A的度数为() A.50°B.60°C.70°D.80 2.如图所示的是小红家的木门示意图.由于左 下角有一点受海潮，为了检测门是否变形，她 先测量门的边AB和BC的长，再测量点A 和点C之间的距离，由此可推断∠B是否为 直角.这样做的依据是 A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余 第2题周 3.如图，由边长为1的小正方形组 成的网格中，△ABC的三个顶 点A,B,C都在网格的格点上， 则下列结论错误的是( 第3题图 A.AB=√5 B.AC=5 C.BC=2√5 D.∠ACB=30 4.古代数学文化《九章算术》中的“折竹抵地” 问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺 问折者高几何.其意思是一根竹子原高1丈 (1丈=10尺)，折断后竹梢恰好抵地，抵地 处离竹子底部3尺远.问竹子折断的部分有 多高.则折断处离地面的高度是 ()） A.5.45尺 B.6.8尺 C.4.7尺 D.4.55尺 二、填空题（每小题7分，共28分）】 5.图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩 图的部分组件的示意图.若∠A=1矩，∠B=1 橱，则∠C的度数为 (1宜=2 矩，1褐=1宜，1矩=902. 44444+ 136 八年级数学X小版 5.1~5.2) 钟满分：100分) 图② 第5题图 第6题困 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为 AB的中点.若∠B=50°，则∠OCB的度数 为 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是 BC边上的中线，ED⊥BC于点D,交BA的 延长线于点E.若∠E=33°，则∠BDA的度 数是 第7题图 第8览图 8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积 标记为S:,以CD为斜边作等腰直角三角形， 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外 作正方形，其面积标记为S2,…按照此规律 继续下去，则S2026的值为 三、解答题（第9,10小题各10分，第11,12小 题各12分，共44分】 9.如右图，等边三角形ABC中， D是AC的中点，DE⊥BC于 E,AB=4.求EC的长， 10.如下图，在△ABC中，AB=AC,BC=10, D是AC上一点，且CD=6,BD=8. (1)求证：△BDC是直角三角形. (2)求AB的长 11.如下图，在一条东西走向的河流一侧有一 村庄C,河边原有两个取水点A,B.道路 AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取 水，决定在河边新建一个取水点H(A,H, B三点在同一条直线上)，并新修一条道路 CH.已知CB=√5km,CH=2km,HB= 1 km. (1)CH是否为村庄C到河边最近的道路？ 请说明理由， (2)已知新的取水点H与原取水点A相距 1.5km,则新路CH比原路CA少多少 千米？ 2.研究步骤：(1)下图是某校新购进的一批课 桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了 如下实践探究，形成了如下试验报告： 调查主题 瀑桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量、查看说明书 测量图示 G N (2)已知地面MN为水平面，桌面AE是水 平面，DP//MN,EF为课桌的高度，挂钩 顶端D到地面的距离为DG. (3)试验数据： 元素 EF AB BC CD 数据 78 cm 10v2 cm10v2 cm 4v2 cm 元素 ∠ABC ∠BCD ∠CDP 数据 90 90° 459 问题解决：请根据此项目实施的材料，通过 勾股定理及二次根式的有关知识，求课桌 挂钩顶端D到地面的距离DG. 64448 上册根时周测 137 回归教材 与勾股定县 教材母题 右图是一位电工师傅准备利用 梯子在墙上安装电灯的示意 图.假设梯子长4m,他将梯子 靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他 爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近了0.5m,那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？(已知/13.75≈3.71，√15≈3.87) 【思路点拨】根据已知条件可 抽象出示意图如图，先在 Rt△ABC中，计算出AB;再 在Rt△A'BC中，计算出 AB,则可得出梯子往上移动的距离。 【我的解答】 变式训练 1.应用意识某消防车上的云 梯最多只能伸长到15m,消 防车高3m.如右图，某栋 楼发生火灾，在这栋楼的B ℃A消防车 地面 处有一位老人需要救援，救人时消防车上的 云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼 房的距离为12m. 4444 138八年级数学XJ版 有关的梯子滑动问题 (1)求B处与地面的距离， (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处 上方3m的D处有一小孩没有及时撒离.为 了能成功地救出小孩，消防车应从A处向楼 房靠近多少米？ 2.如右图，一架2.5m长的梯子 AB斜靠在竖直的墙壁OC 上，这时梯脚B到墙壁OC的 距离为0.7m.当梯子的顶端 B'B O A沿墙壁下滑到达点A'时，点B沿水平地面 向外滑动到点B, (1)当AA'=0.4m时，AA'与BB'的长度相 等吗？请说明理由. (2)如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就 会滑倒，那么在第(1)问中，梯子会滑倒吗？ 请说明理由回归教材线段垂直平分线的性质的运用 教材每题1 解：因为DE是AB的垂直平分线，所以AE=BE, 所以，∠BAE=∠B=30' 又因为∠BAC=80°， 所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=80°-30'=50 变式训练 1.A2.B3.24°4.20 5.解：(1)连接BD并延长，交AC于点H, 如图. 因为DE,DF分别为BC,AB边的垂直 平分线， 所以DA-DB,DC-DB 所以∠DAB=∠DBA,∠DCB=∠DBC, 所以∠ADH=∠DAB十∠DBA=2∠DBA,∠CDH ∠DCB+∠DBC=2∠DBC, 所以∠ADC=2∠DBA+2∠DBC=2∠ABC=80° 因为DA=DB,DC=DB,所以DA=DC, 所以∠ACD=∠CD-子Xr-0-对 (2),∠B+∠ACD=90°，涯由如下： 由1)，得∠ADC=2∠ABC,∠ACD=∠CAD. 因为∠ACD十∠CAD十∠ADC=180', 所以2∠ACD+2∠ABC-180, 所以∠ACD十∠ABC=90° 教材每题2 解：因为EF垂直平分AB,MN垂直平分AC,所以AF=BF, AN=CN,所以△AFN的周长为AF十FN+AN=BF+FN +CN=BC=9. 变式训练 6.解：因为DE是AB边的垂直平分线，所以EA=EB. 因为FG是BC边的垂直平分线，所以GB=GC. 图为△BEG的周长为20，所以EB十GB+GE=20, 所以EA十GC十GE=20,即AC十2GE=20, 因为GE-2,所以AC-20-2×2-16, 7.解：AB+BD=DE 证明：因为AD⊥BC,BD=DC, 所以AB=AC,所以AC+CD=AB+BD. 又因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC=EC, 所以EC十CD=AC十CD=AB十BD, 所以AB十BD=DE. 8.解：(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC 所以AM=CM,BN=CN, 所以△CMN的周长为CM+MN+CN=AM+MN+BN =AB. 因为△CMN的周长为15cm,所以AB=15cm. (2)因为，∠F=70°， 所以∠MNF+∠NMF=180°-70°=110° 因为∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF 所以∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°， 所以∠A+∠B=180-90°-∠AMD+180°-90°-∠BNE =180°-110°=703， 因为AM=CM,BN=CN, 所以∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, 所以∠CMN=2∠A,∠CNM=2∠B, 所以∠MCN=180°-2（∠A十∠B)=180°-2×70=40. 周测九(5.1~5.2) 1.A2.B3.D4.D5.2,5°6.507.668g 9.解：因为△ABC是等边三角形 所以∠C=60°，AC=AB=BC=4. 因为D是AC的中点，所以CD=AC=2 因为DE⊥BC,∠C=60°， 所以∠CDE=0,所以BC=专CD=1 10.解：(1)正明：因为BC=10,CD=6,BD=8, 所以BC-102=CD+BD2=62+82, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90° (2)设AB=AC=x,则AD=x一6 因为∠ADB=∠BDC=90°， 所以AB2=AD2+BD,即x2=(x-6)2+82, 每得z一答所以AB-要 11,解：(1DCH为村庄C到河边最近的道路.理由如下： 因为CH=2km,HB=lkm,CB=√5km, 所以CH+HB=CB, 所以△BCH为直角三角形，∠BHC=90°，所以CH⊥AB, 所以CH为村庄C到河边最近的道路. (2)在R△ACH中，因为AH=1.5km,CH=2km, 所以AC=√/1.53+22=2.5(km, 因为AC-CH=2.5-2=0.5(km), 所以新路CH比原路CA少0.5km. 12解：连接AC,交DP于点H, 如图， 因为AB=BC,所以∠ACB =∠BAC 因为∠ABC=90”,所以∠ACB =∠BAC=45. 因为∠BCD=90°，所以∠DCH=45 因为∠CDP=45”,所以∠DHC=90”, 所以DH=CH,AC⊥DP 因为DPMN,所以AC⊥MN. 因为AB=BC=10w2cm, 所以AC=√/AB2+BC=20cm. 设DH=CH=xcm. 因为DC=√DH+CH=4W2cn, 所以x2十x”=(4y2)2,所以x=4或x=一4（舍去）， 所以CH=4cm,所以AH=AC-CH=20-4=16cm, 所以DG=EF-AH=78-16=62cm. 故课桌挂钩顶端D到地面的距离DG为62cm. 回归教材与勾股定理有关的梯子滑动问题 教材母题 A 解：根据已知条件可抽象出示意图如图， 在Rt△ABC中，AC=4m,BC=1.5m,墙面 由勾殷定理，得AB=√-1.5= √13.753.71(m). 在Rt△A'BC中，AC=4m,BC'= 1m,所以AB=√--√153.87(m), 所以A'A=3.87-3.71=0.16(m). 44444 上册参考答案 1205 故梯子所端大约向上移动了0.16m,而不是向上移动05m. 变式训练 1.解：(1)在Rt△OAB中，OB=AB-0AF=9m, 所以BE=OB十OE=12m. 故B处与地面的距离是12m. (2)在Rt△OCD中，CD=15m,OD=OB+BD=9十3=12 (m), 所以0C=√/152-12=9(m),所以AC=0A-0C=3m. 故游防车应从A处向楼房靠近3D 2.解：(1)AA与BB的长度不相等 理由：在Rt△AOB中，OA=√AB-OB2=√/2.52-0.7 =2.4(m). 因为AA=0,4m,所以OA=QA-AA'=2m 在Rt△A'OB'中，0B'=√/AB-OA=√2.5-2= 1.5(m),所以BB=OB'-OB=0.8m, 所以AA'与BB'的长度不相等 (2)桃子不会滑倒.理由如下： 设墙壁上有一点A”,地面上有一点B,使∠A"BO=30°，则 在R△A0B中，0A"=号AB"=号AB=1.25m 因为OA>OA”,所以(1)中的梯子与地面的夹角大于30°， 所以梯子不会滑倒 周测+(5.3~5.4) 1.C2.B3.D4.C5.D6.BC=FE7.58.69.2 10.解：(1)证明：因为AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别 是△ABD和△ACD的高，所以DE=DF 在R△AED与R△AFD中，DE=DF, (AD=AD 所以Rt△AED2Rt△AFD(HL),所以AE=AF 因为DE=DF,所以AD垂直平分EF 11.解：∠B+∠ADC=180 证明如下： 因为CA平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD, 所以AE=AF,∠AEB=∠AFD=90 又因为AB=AD,所以Rt△ABE2Rt△ADF(HL) 所以∠B=∠ADF 因为∠ADF十∠ADC=180°，所以∠B十∠ADC=180 12.解：(1)证明：如图①，过点D作DE⊥AB于点E 因为AD为∠BAC的平分线，∠C=90,所以DE=DC 在R:△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DE=DC, 所以Rt△ACD2Rt△AED(HL),所以AC=AE. 因为∠AED=∠C=90°，∠C=2∠B 所以∠AED=2∠B. 又因为∠AED=∠B十∠EDB: 所以∠B=∠EDB,所以BE=DE=DC, 所以AB=BE+AE=CD+AC. (2)AB=CD+AC (3)待想：AB=CD-AC. 证明：如图②，在AF上截取AG=AC,连接GD 因为AD为∠FAC的平分线，所以∠GAD=∠CAD. 又因为AD=AD, 所以△ADG2△ADC(SAS), 所以GD=CD,∠AGD=∠ACD,所以∠ACB=∠FGD 206 /八年级数学XJ版 因为∠ACB=2∠B,所以∠FGD=2∠B. 又因为∠FGD=∠B+∠GDB,所以∠B=∠GDB, 所以BG=GD=CD,所以AB=BG一AG=CD-AC. 图② 周测十一（第1章~第5章） 1.A2D3A4B5a-126号72V师-6 8.1159 9.解：垂直.理由如下： 在△ADB中，因为AD=60cm,AB=80cm,BD=100cm, 所以AB2+AD2=BD2, 所以∠DAB=90°，所以AD⊥AB. 10.正明：如图，延长AO交BC于点P 因为OD⊥AB,OE⊥AC,OD=OE, 所以AO平分∠BAC,即∠BAO=∠CAO 又因为AB=AC, 所以AP垂直平分BC, 所以OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB. 一题多解法◆ 因为OD⊥AB,OE⊥AC,OD=OE: 所以AO平分∠BAC,即∠BAO=,∠CAO (AB=AC, 在△BAO和△CAO中，∠BA0=∠CAO, A0=A0. 所以△BAO2△CAO(SAS), 所以OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB. 11.解：(1)设甲工轻队单独完成此项工程需要x天. 根招题，得（任+）×15+-1， 解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意 1.5x=45, 所以乙工程队单独完成此项工程需要45天 (2)甲，乙两个工程队合作完成，需要1+（品+右）=18 (天)， (7000十4000)×18=198000（元）， 所以打通这条隧道的施工费用是198000元. 12.解：(1)BE=CF30 (2)BE=CF,∠BDC=60,理由如下： 因为∠BAC=∠EAF=120°， 所以∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE =∠CAF. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF, 所以△BAE2△CAF(SAS), 所以BE=CF,∠ABE=∠ACF, 所以∠BDC=∠ACB+∠ACF-∠CBD=∠ACB+ (∠ABE-∠CBD)=180-∠BAC=60. (3)BF=CF+2AM