5.2.3 勾股定理的逆定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过古埃及人结绳得直角的实例导入，引导学生探究5,12,13等数组的数量关系，衔接勾股定理（形→数）与逆定理（数→形）的逻辑，构建“数→形”判定的学习支架。 其亮点在于以核心知识梳理（必背考点）和正反逻辑区分（易错点）为基础，通过小明错题辨析（如分数线段判定）强化“找最长边→计算→比较”的判定步骤，结合航海问题、四边形面积计算等实例，发展学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型应用）。学生能精准掌握判定方法，教师可依托分层题型提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.2.3勾股定理的逆定理 2026年8月8日 5.2.3 勾股定理的逆定理 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.2.3课时内容，重点考查勾股定理的逆定理判定直角三角形、勾股数判定、三角形形状判断、综合几何证明，精准区分勾股定理与逆定理的正反逻辑，覆盖基础题型、易错题型、证明题型，完全贴合课本考点与期中期末考情。 一、核心知识梳理（必背考点） 1. 勾股定理的逆定理（核心） 如果三角形的三边长a、b、c满足 $$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 几何语言：在△ABC中，若三边满足$$a^2+b^2=c^2$$，则△ABC为Rt△，∠C=90°。 2. 正反定理逻辑区分（超级易错） 勾股定理（正）：已知直角三角形 → 得边长关系 $$a^2+b^2=c^2$$（形→数） 逆定理（反）：已知边长关系 → 判定直角三角形（数→形） 3. 判定步骤（满分模板） ① 找最长边c；② 计算$$a^2+b^2$$和$$c^2$$；③ 比较是否相等；④ 相等即为直角三角形，不相等则不是。 4. 勾股数定义 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，叫做勾股数。勾股数的正整数倍仍是勾股数。 5. 拓展结论 ① 若$$a^2+b^2=c^2$$，直角三角形； ② 若$$a^2+b^2>c^2$$，锐角三角形； ③ 若$$a^2+b^2<c^2$$，钝角三角形。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 4、5、6 D. 5、6、7 2. 勾股定理逆定理的作用是（） A. 求直角三角形边长 B. 判定三角形是否为直角三角形 C. 证明三角形全等 D. 计算三角形面积 3. 三角形三边长为6、8、10，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 下列不是勾股数的是（） A. 5、12、13 B. 7、24、25 C. 6、8、11 D. 8、15、17 5. 已知△ABC三边为5、7、8，则该三角形为（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 若三角形三边长满足$$a^2+b^2=c^2$$，则这个三角形是________三角形。 7. 利用逆定理判定直角三角形时，必须先找________边。 8. 边长为9、12、15的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 9. 勾股定理是由形推数，逆定理是由________推________。 10. 若$$a^2+b^2<c^2$$，则最长边c所对的角为________角。 四、解答题（共60分） 11. 基础判定题（每题10分，共30分） 判断下列三组边长能否构成直角三角形： （1）9、12、15 （2）4、5、6 （3）5、12、13 12. 形状判定题（15分） 已知三角形三边长为7、24、25，求证：该三角形是直角三角形。 13. 综合应用题（15分） 已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，判断△ABC的形状，并求出它的面积。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：$$3^2+4^2=5^2$$，满足逆定理，为直角三角形。 2. B 解析：逆定理核心功能：通过三边关系判定直角三角形。 3. B 解析：$$6^2+8^2=10^2$$，符合勾股逆定理。 4. C 解析：$$6^2+8^2 eq11^2$$，不是勾股数。 5. A 解析：最长边8，$$5^2+7^2=74，8^2=64$$，$$74>64$$，为锐角三角形。 二、填空题 6. 直角 7. 最长 8. 是 9. 数；形 10. 钝 三、解答题 11. 解： （1）最长边15，$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，是直角三角形。 （2）最长边6，$$4^2+5^2=16+25=41 eq36=6^2$$，不是直角三角形。 （3）最长边13，$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，是直角三角形。 12. 证明： 最长边为25，$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$， 满足勾股定理逆定理，∴该三角形为直角三角形。 13. 解：最长边AB=10， $$BC^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AB^2$$， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 面积：$$S=\frac{1}{2}\times6\times8=24$$。 答：△ABC为直角三角形，面积为24。 核心知识点总结：本节核心为勾股定理逆定理，牢记：勾股定理算边长，逆定理判直角。解题唯一流程：找最长边→算平方→比大小。区分锐角、直角、钝角三角形的平方关系，是几何图形判定、折叠、实际测量题型的必考基础。 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 1 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵ 32 + 42 = 52，∴满足. a2 + b2 = c2 知识点1 勾股定理的逆定理 1.下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的一 组是( ) B A.2，3，4 B.6，8，10 C.5，12，14 D.1，1，1 返回 举一反三 5 2.若的三边长为，，，且 ，则该三角形 是( ) A A.以为斜边的直角三角形 B.以 为斜边的直角三角形 C.以 为斜边的直角三角形 D.以上均错 返回 举一反三 6 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 . 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2 A C a B b c 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 要点归纳 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a = 6， b = 8，c = 10； 解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102. 因此这个三角形是直角三角形. (2) a = 12，b = 15，c = 20. (2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202. 因此这个三角形不是直角三角形. 分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 典例精析 【变式题】若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， ∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， ∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2. ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 3.已知三角形的三边长分别为4，8， ，则该三角形最小边所对的角 与最大边所对的角依次是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 举一反三 13 4.［2025株洲月考］已知，， 三地的位置及两两之间的距离如图所 示.若地位于，两地的中点处，则，两地之间的距离是___ . 返回 举一反三 14 例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长. 解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8， 因为 6² + 8² = 10²，即 BD² + AD² = AB²， 所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°. 所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°. 在Rt△ADC中，DC ² = AC ² -AD²， 所以 DC = = 15. 1 2 勾股定理的逆定理的应用 例3 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 2 问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5 = 24 12×1.5 = 18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角. 勾股定理的逆定理. 解：根据题意得 PQ = 16×1.5 = 24 (海里)， PR = 12×1.5 = 18 (海里)， QR = 30 海里. ∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°， ∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解. 5.［2025岳阳期中］如图，四边形 中， ，，， ， . （1）求证： 是直角三角形； 证明：因为 ，， ， 所以 . 因为， ， 所以 ， 所以是直角三角形，且 . 举一反三 19 （2）求四边形 的面积. 解：由（1）知， ， 所以 . 返回 举一反三 20 6.在解答问题“判断由长为，2， 的线段组成的三角形是不是直角三角 形”时，小明是这样做的： 解：设,, . 因为 ， 所以由长为，2， 的线段组成的三角形不是直角三角形. 你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程. 举一反三 21 解：小明的解答不正确. 正确的解答过程：因为 , 所以由长为，2， 的线段组成的三角形是直角三角形. 返回 举一反三 22 知识点2 勾股数 7.在下列四组数中，属于勾股数的是( ) B A.，， B.9，40，41 C.2，3，4 D.1，， 返回 举一反三 23 8. 若12，，16是一组勾股数，则 的值为____. 20 返回 举一反三 24 9.，，是正整数 是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果 不是，请说明理由. 解：，，是正整数 是一组勾股数.证明如下： 因为是正整数，所以，， 都是正整数. 又因为 ， 所以，，是正整数 是一组勾股数. 返回 举一反三 25 10.［2025长沙期末］已知，， 满足 ，则以，， 为边的三角形是 ( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 返回 举一反三 26 （第11题） 11.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕 达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，3， 4，5，8，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组 成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形， 则所需选取的三块纸片的面积分别是( ) D A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8 返回 举一反三 27 （第12题） 12.如图，快艇从地出发，要到距离地 的地去，先沿北偏东 方向走了 ，到达 地，然后再从地走了到达 地，此时快 艇位于 地的( ) B A.北偏东 方向上 B.北偏西 方向上 C.北偏西 方向上 D.北偏西 方向上 返回 举一反三 28 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 应用 航海问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 谢谢观看 THANKS $