5.3 直角三角形全等的判定-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

5.3直角三角形全等的判定 森固提园 判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理：并边和一豪直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写 成“斜边，直角边”或“HL"). 注意：一般三角形全等的剂定方法都造合直角三角形，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件 色课内基础练 (1)请写出图中所有全等的直角三角形. 知识点①直角三角形全等的判定 (2)请选择两对全等的直角三角形进行证明. 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 的是 A.两条直角边对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.两个锐角对应相等 D.一个锐角和一条直角边对应相等 2.(2025清镇期末)如图，在Rt△ABC与 Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，添加一 个条件，不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB的 是 ( A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCBD.∠ABD-∠DCA 知识点② 利用直角三角形全等作图 6.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.请利 用直角三角形全等的判定方法“HL”,作 Rt△DEF,使得Rt△DEF≌Rt△ABC(保 第2题图圆 第3题图 留作图痕迹，不写作法). 3.结论开放题如图，海海家有一块直角三角 形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制 一块完全相同的瓷砖进行替换.若家里只有 一把足够长的直尺，请设计一个测量方案： 易错点忽略分类讨论 理由： 7.如图，在Rt△ABC中， Q ∠C=90°，AC=10,BC B 4.(教材变式)如图，∠B=∠D= =5,P,Q两点分别在线 90°，BC=CD,∠1=30°，则∠2的 段AC和过点A且垂直 C P 于AC的射线AX上运 第7超国 度数是 第4题围 5.如下图，△ABC的高BD与CE相交于点O, 动，QP=AB.当AP= OD=OE,连接AO并延长交BC于点M. 时，才能使△ABC与△PQA全等. 102 八年级数学划版 已课外拓展练 (2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数， 8.(教材变式)如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，D是AB上一 点，过点D作DE⊥AC于点 B E,且DE一DB,连接CD,若 第8题图 BC=9,AE=2,则AC的长为 A.2 B.7 C.9 D.11 已核心素养练 9.如图所示，P,Q分别是边BC,AC上的点， 12.推理能力(2024烟台改编)在等腰直角三 过点P分别作PR⊥AB,PS⊥AC.若AQ 角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D =PQ,PR=PS,则有下列结论：①AS= 为直线BC上任意一点，连接AD.将线段 AR:②QP∥AR:③△BRP≌△CSP.其中 AD绕点D按颀时针方向旋转得线段 一定正确的是 ED,连接BE,过点E作EM⊥DM于点 A.①③ B.②③ M,且EM-CD C.①② D.①②③ 图2 第9题图 第10题溷 【尝试发现】(1)①如图①，当点D在线段 10.(教材变式)如图，某游乐园有两个长度相 BC上时，线段BE与CD的数量关系为 等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑 梯水平方向的长度DF相等，CG平行地面 ②a的度数为 BF.若DF=3m,AB=4m,则EG= 【类比探究】(2)①当点D在线段BC的延 m. 长线上时，先在图②中补全图形，再探究线 11.如右图，在△ABC中，AB= 段BE与CD的数量关系并证明： CB,∠ABC=90°，F为AB ②a的度数为 延长线上的一点，点E在边 BC上，且AE=CF, (1)求证：△ABE≌△CBF. 上册第5章 103△所以S-5AMe十5A-2×60X80+7×10 1 ×240=2400+12000=14400(m2), 所以绿化这块空地所需的费用为14400×60=864000 (元). 应用技巧专题勾股定理在面积问题上的应用 1.242号3.D4.485.14 6.解：如图，连接BE,在Rt△EBD中 BD=14 m,ED=8 m, 所以BE=BD2+ED2=14+8 =260. 因为AB=16m,AE=2m, 所以AB+AE2=16+2=260,所以AB+AE2=BE2, 所以△ABE是直角三角形，且∠A=90', 所以四边形ABDE的面积为S△E十S△E=2AB·AE +8D,DB=号×16×2+号×14×8=16+56=72 (m). 数学思想专题关于直角三角形的思想方法 1.71°2.5 3解：(1)是，理由如下： 因为AM+BN2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25, 所以AM2+NB8=MN2, 所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， 所以M,N是线段AB的“勾股分割点” (2)设BN=x,则MN=AB-AM-BN=18-x.分以下两 种情况讨论： ①当MN为最长线段时，依题意，得MN=AM+NB,即 (18-x)2=36十x2,解得x=8, ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM+MN2,即 x2=36+(18-x)2, 解得x=10. 综上所运，BN的长为8或10. 4.解：如图，延长AD,BC交于点E 因为∠B=90°，∠A=60°， 所以∠E=90°-60°=30 在R△ABE和Rt△CDE中， AB=2,CD=1, 所以AE=2AB=2×2=4,CE=2CD=2×1=2, 所以由勾殷定理，得BE=√AE一AB=√一2=23，DE =√CE-CD=√2-1下=E, 所以SACD-SAs-SAat-是X25X2-壹X5X 1=2-83v3 2=2 5.解：在R±△ABC中，因为∠A=45°， 所以AC=BC. 设AC=a,则a2+a2=62, 解得4=3√2， 所以56A0■乞×32X32=9. 在Rt△DBE中，∠E=30”,设BD=x,则BE=2x. 根据勾股定理，得(2x)2=x十62， 解得x=2W3, 所以BD=2W3,所以AD=6一2y3, 在R△ADF中，因为∠A=45°， 所以DF=AD=6-2W5 所以Sar=×6-2y5=24-12, 所以Sa边聚Dm-S4Ae-SaDP=9-(24-12W3)=123 -15. 5.3直角三角形全等的判定 1.C2.D 3.(答案不唯一)用直尺测量出斜边和一条直角边的长度斜 边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 4.60 5.解：(1)△AD02△AE0,△D0C2△EOB,△COM2 △BOM,△ACM≌△ABM,△ADB2△AEC,△BCE 2△CBD. (2)示例：进举△ADO2△AEO,△DOC2△EOB 证明：因为BD,CE是△ABC的高，所以∠ADO=∠AEO =90°， 在Rt△AD0与R△AEO中，QA-0A, OD=OE. 所以Rt△ADO2Rt△AEO(HL). ∠COD=∠BOE, 在△DOC与△EOB中，OD=OE, ∠ODC=∠OEB=90', 所以△DOC2△EOB(ASA). 6.解：如图，R:△DEF即为所求 D 7.5或108.D9.C10.1 11.解：(1)正明：因为∠ABC=90°，所以∠CBF=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， (AE=CF, AB=CB, 所以Rt△ABE≌R△CBF(HL). (2)因为AB=CB,∠ABC=90°， 所以∠CAB=∠ACB=45°， 听以，∠BAE=∠CAB-,∠CAE=459-30°=15. 由1)知，Rt△ABE2Rt△CBF 所以∠BAE=∠PCF=15°”， 所以∠ACP=∠BCF+∠AGB=15+45=60°. 12.解：(1)①BE=√2CD@90 (2)①补全图形如图. BE=√ECD. 证明：连接AE. 由题意，得AD=DE,CD=ME, ch 所以Rt△ACD≌Rt△DME(HL), 所以AC=DM 因为AC=BC, 所以BM=BC-CM=DM-CM=CD, 所以BM=EM 因为EM⊥CB, 所以BE=VBM十EM√2EM=√ECD ②90 44444 上册参考答案 197