5.2 勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

所以△BDE2△CDA(AAS) (2)因为D为BC边的中点，AD⊥BC,所以直线AD为线 段BC的垂直平分线，所以BA■CA. 由(1)，得△BDE2△CDA, 所以BE=CA,所以BA=BE. 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.40°变式题67.5°2.B3.50或90 4.证明：因为ED⊥AB,所以∠1十∠A=90 因为∠1=∠2，所以∠2十∠A=90°， 所以△ABC是直角三角形， 5.D6.62 7.解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会发生 变化. 理由：连接OP,如图 因为∠AOB=90°，P为AB的中点， 所以OP=含AB. 因为木棍的长度AB是固定值， 所以在木棍滑动的过程中，点P到点O 的距离不会发生变化 8.B9.2或610.①②③④ 11.解：（答案不唯一）①②③ 证明：因为∠ABC=90°，所以∠BAD+∠BDA=90° 因为△AEB为直角三角形，所以∠CAD十∠AFE=90 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以∠BDA =∠AFE. 因为∠BFD=∠AFE,所以，∠BFD=∠BDA. 12.解：(1)证明：因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以DE-2AB,CB=AB,所以DE=CE (2)△DEC是等边三角形.理由如下： 因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以DE=AE=BE=CE, 所以∠CAB=∠ACE=25”,∠DBA=∠BDE=35”， 所以∠BEC=,∠CAB+∠ACE=50°，∠AED=∠DBA+ ∠BDE=70°， 所以∠DEC=180°-50°-70°=60°， 所以△DEC是等边三角形. 13.解：(1)证月：因为∠ACB=90,所以∠A十∠B=90° 因为∠ACD=∠B,所以∠A十∠ACD=90°， 所以∠BDC=∠A十∠ACD=90,所以△BCD是直角三 角形. (2)①12 ②因为∠BDC=90°， 所以∠BCD=90°-∠B=90°-32°=58 由题意，得∠A'CD=∠ACD=∠B=32 所以∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=58°-32°=26 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.A变式题14变式题260°2A 3.解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠ACB=60",AC=BC=AB=6. 又因为BD⊥AC,所以，∠BDC=90°，∠CBD=30°， 所以CD=号BC=3. 2 因为DF1BC,断以∠CDF=0,所以FC-DC=L5, 所以BF=BC-CF=6-1.5=4.5 4.B5.9 6.解：如图，过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于 点F, 在Rt△ACE中，∠ACE=30°， 所以AE=号AC=号 ×62=316cm 同理可得BF=31cm. 又因为双翼展开时，双翼边缕的端点A,B之间的距离为 12cm,所以31十12+31=74(cm), 所以当双冀收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 74 cm. 7.D8.B9.4010.4 11.解：(1)由题意，得AB=15×(10一8)=30(n mile), 因为∠NBC=60',∠NAC=30°， 所以∠ACB=∠NWBC-∠NAC=60°一30°=30°， 所以∠ACB=∠NAC,所以AB=BC=30 n mile.. 故海岛B到灯塔C的距离为30 n mile (2)如图，过点C作CP⊥AN于点P. 由题意，得线段CP的长为船到灯塔C 的最短距离， 因为CP⊥AN,所以∠BPC=90, 所以∠PCB=90°-∠NBC=30°， 所以PB=子C=专X30- 15(n mile). 所以AP=AB十PB=30+15=45(mmi1e), 所以航行的时间为45÷15=3(h), 所以8十3=11（时）. 故若这条船继续向正北方向航行，上午11时船到灯塔C的 臣离最短。 12.解：如图，延长AD,BC交于点E 因为∠A=30°，∠B=90, 所以∠E=60°，AE=2BE. 因为∠ADC=120, 所以∠EDC=60“ 易得∠E=∠EDC=∠ECD=60°， 所以△EDC是等边三角形. 设CD■CE■DE=x. 因为AD=4,BC=1,所以AE=x十4，BE=1十x. 又因为AE=2BE,所以x十4=2(1十z),解得x=2, 所以CD=2. 5,2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.C 2解：∠ACB+∠BCD=90壹b+合6+是e 1 1 3.24.175.C变式题A6.37.C8.189.8 上册参考答案 195 10.6或10 11.解：(1)证明：因为∠ACB=90,∠A=50°，M为边AB的中 点，所以CM=MA=MB,∠B=40°， 所以∠MCB=∠B=40°， 所以∠EMC=∠MCB+∠B=80° 因为∠ACE=30°， 所以∠MEC=∠A十∠ACE=80° 所以∠MEC=∠EMC,所以CE=CM (②因为AB=4,所以CE=CM=AB=2 因为EF⊥AC,∠ACE=30,所以EF=号CE-1, 在RAEFC中，FC=VCE-EF-√2-1下=V3. 12.解：(1)续写解客过程如下： 由题意，得AB=AC=BC=6. 因为AD1BC于点D,所以CD=2BC=3. 在R:△ACD中，根据勾股定理可得， AD=/AC-CD=√6-3=33， 所以Sae-号AD,BC-X35X6=95 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D.设C BD=x,则CD=15一x 在Rt△ABD与R:△ACD中 AD=AB2-BD,AD*=AC2-CD*, 所以AB2-BD2=AC2-CD3, 即42-x”=13-(15-x)2, 得-号，期BD-号。 所以AD-√B-BD-√-（传- 16 所以Sac=ZBC·AD=X15× =24 一题多解法。 (2)如图，过点C作CD⊥AB交BA的C 延长线于点D. 设AD=x,则BD=4十x 因为CD⊥AB, 所以在Rt△ACD与Rt△BCD中， CD2=AC2-AD2,CD2=BC-BD, 所以AC2-AD2=BC-BD2, 即132-x=158-(4十x), 解得x=5,即AD=5, 所以CD=√AC-AD=√13-5=12， 断以5AMx=含AB:CD=号×4X12=24 第2课时勾股定理的实际应用 1.C2.A3.D4.535.356.B7.B8.C9.7 10.解：设机器人行走的路程BC为xcm,则AC=BC=xcm, 所以OC=(9-x)cm.在Rt△OBC中，因为OB+OC= BC2,所以3十(9-x)2=x”,解得x=5,故机器人行走的 路程BC是5cm. 11.解：村庄A能听到广播宜传。 理由：因为村庄A到公路N的距离AB为600m,且在宣讲 车P周围1000m以内能听到广播宜传，所以村庄A能听 196 /八年级数学XJ版 蜀广播宜传 如图，设当宣讲车P在线段 CQ上行驶时，村庄A都能听 到广播宣传， 则AC=AQ=1000m M PC 所以BC=BQ=√10002-60c=800(m), 所以CQ=BC十BQ=1600m, 所以村庄A总共能听到1600÷200一8(min)的广播宣传. 2.解：沿过点A的圆柱的高展开圆柱的侧面，得到长方形EF GH,过点B作Q⊥EF于点Q,作点A关于EH的对称点 A',達接A'B交EH于点P,连接AP,如图所示，则AP十 PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 易知AP=AP,所以AP十PB=AP十PB=AB 因为B0=号×32=16(am,AQ=14-5+3=12am,所 以在Rt△A'QB中，由勾股定理，得A'B=√16+12=0 (cm). 第3课时勾股定理的逆定理 1.D2.A3.B4.30°变式题6.5 5.号变式题24cm2613s 7.解：在△BDC中，BC=15,BD=9,CD=12. 因为BD2+CD2=92+122=152=BC2, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， 所以△ADC是直角三角形， 因为Sac=2AB·CD=84,CD=12 所以AB=14,听以AD=AB一BD=14一9=5. 在R±△ADC中，AD+CD2=AC,即5+12=AC, 所以AC=13,所以△ABC的周长是13十14十15=42. 8.解：(1)③ (2)没有考忘a2一b2可能为0的情况 (3)△ABC是等腰三角形或直角三角形 9.C10.=11.2 12.解：运动59后，动点P运动的路程为2×5=10（©m), 动，点Q运动的路程为2.8×5=14(cm). 因为AB=BC=CD=BD=5cm,所以运动5s后，点P与 点D重合，点Q在AB上，且BQ=14-10=4(cm). 在△BPQ中，因为BP=5cm,BQ=4cm,PQ=3cm 所以BQ2十PQ=42十32=25=BP2, 所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP=90, 所以∠AQP=180°-90°=90°， 所以此时△APQ是直角三角形. 13.解：连接AC,如图 0 因为AB=6cm,BC=8em, 26 cm ∠ABC=90°， 24 cm 所以AC=√AB+BC=6em B 8 cm C V62+82=10(cm). 又因为CD=24cm,AD=26cm,且10°+24=26， 所以AC+CD2=AD2 所以AC⊥CD 因为图中1cm代表实际距离10m,5.2 勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 直角三角形的性质定理（勾股定理）：直角三角形两直角边4，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2十b2=c2 课内基础练 知识点② 根据勾股定理求线段的长度 知识点① 勾股定理的定义与证明 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方 1.下列说法中，正确的是 形的边长均为1.有a,b,c,d四条线段，且 A.已知a,b,c是三角形三边长，则a2十b2=c 它们的端点都在格点处，则这些线段的长度 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边 是无理数的有 条 的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2 D.在R△ABC中，∠B=90°，则a+b=c 2.(教材变式)如下图，已知Rt△ABC≌ 第3题图 第4题图 Rt△CDE(两个三角形的直角边长为a,b, 4.如图，在Rt△ABD中，∠D=90°，C是边 斜边长为c),∠B=∠D=90°，点B,C,D BD上的一点.已知BC=9,AD=8,AC= 在同一条直线上，连接AE 10,则AB的长为 请将下面验证勾股定理的过 知识点③根据勾股定理求图形面积 程补充完整。 5.如图，三个正方形中M代表的面积是( ) 证明：由题意可得Rt△ABC A.4 B.5 C.16 D.34 ≌Rt△CDE, 所以∠CAB=∠ECD,AC=CE 2 cm 因为∠ACB+∠CAB=90°， 25 所以 第5题图 变式题图 所以∠ACE=90°， 所以△ACE是等腰直角三角形， 变式题求面积→求线段长 所以S边形BDE=S△ABC十S△CDE十S△ACE 如图，∠B=90°，阴影部分长方形的面积是 34cm2,则线段BC的长度为 A.15 cm B.16 cm 因为∠B+∠D=90°+90°=180°，所以AB C.17 cm D.18 cm ∥DE, 6.如图，点E在正方形ABCD的 D 所以Sa边形ABDE 边AB上.若EB=1,EC=2, 则正方形ABCD的面积为 所以 第6题园 所以a2+b2=c2. 94 八年级数学X版 已课外拓展练 巴核心素养练 7.(2025长沙开福区期未)如图，OB⊥OA,垂足 12.几何直观海海在做题时，发现题图未出现 为O,且OB=1,以A为圆心，AB长为半径画 直角，老师提示海海，可以构造直角三 弧，交数轴于点C,则点C表示的数为( 角形. A.-5 B.-2+5 (1)请根据老师的提示，续写解答过程： C.2-5 D.-2-√5 如图①，已知等边三角形ABC的边长为6， B 求△ABC的面积. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 士c0 4044 第？题困 第8题围 (2)一题多解法如图②，在△ABC中，BC 8.整体思想如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， =15,AC=13,AB=4.请类比(1)中的解 a=3,则a2十b2十c2= 题方法，求△ABC的面积， 9.(教材变式)如图，在△ABC中， AB=AC=10,BC=12,AD是 △ABC的中线，则AD的长为BD 第9题周 周① 期2 易错点三角形形状不明确导致漏解 10.在△ABC中，AB=10,AC=2√10，BC边 上的高AD=6,则BC的长为 11.如下图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M 为边AB的中点，点E在线段AM上，EF ⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A 50°，∠ACE=30 (1)求证：CE=CM. (2)若AB=4,求FC的长 上册第5章 5△