4解题模型专题 全等三角形的基本模型-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

解题模型专题 全等三角形的基本模型 模型① “平移”模型 2.如图，AD=AC,BD=BC, O为AB上一点，则图中共 模型分析：“平移”模型的特征是有一组边共 有 对全等三角形 线，另两组边分别平行，常要在移动方向上加 第2题图 3.如右图，AC与BD相交于 (减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线 0 点O,且AB=DC,AC= 的性质找到对应角相等 DB.求证：OB=OC. 基本模型（图示）： 1.如右图，已知点E,C在 线段BF上，有下列条 件：①BE=CF;②AB∥ DE;③AC=DF;④AB=DE.从中任选三 个作为已知条件，余下一个作为结论，则有 模型③ “旋转”模型 很多正确的命题，如①③④→②等. (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题. 模型分析：“旋转”模型的特点是对应边相等， (2)选择其中一个命题加以证明. 在“旋转”方向有两个角，常要加（减）一个公 共角，得到对应角相等。 基本模型（图示）： 4.(2024一2025郴州北湖区期中)如下图，在四 边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连 模型② “轴对称”模型 接AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F, (1)求证：△DAE≌△CFE. 模型分析：“轴对称”模型的特点是公共边相 等或公共角相等或对顶角相等， 基本模型（图示）： A凶 八年级数学划版 (2)若AB=BC十AD,求证：BE⊥AF. 基本模型（图示）： 特球90的 6.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,直线I经过点A,且BD⊥l于点D,CE 5.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD- ⊥1于点E. CE,∠ACB=∠DCE=a,AE与BD交于 点F. (1)如图①，当a=90时，求证： ①△ACE≌△BCD: 图① 图② ②AE⊥BD. (1)求证：BD十CE=DE. (2)如图②，当a=60°时，∠AFB的度数 (2)当变换到如图②所示的位置时，试探究 为 BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由. (3)如图③，∠AFD的度数为 (用含a的式子表示). 模型④“一线三等角”模型 模型分析：“一线三等角”模型是指在一条直 线上有三个相等的角，利用这三个相等的角 可以构造全等三角形. 上册第4章 8△所以△EFC2△EBC(ASA), 所以EF=BE,所以BF=2BE,所以CD=2BE. (2)DF=2BE. 43.4全等三角形的判定定理（边边边）】 1.A2.C3.C4.40° 5.解：△ABE能与△DCF重合.理由如下： 因为CE=BF,所以CE十EF=BF十EF,即CF=BE AB-DC 在△ABE与△DCF中，BE=CF, AE-DF, 所以△ABE2△DCF(SSS), 所以△ABE能与△DCF重合， 6.C7.三角形的稳定性8.C9.B10.①②③11,3 (AC=BC, 12.解：在△ACD和△BCE中，AD=BE CD=CE, 所以△ACD2△BCE(SSS), 所以∠D=∠E,∠ACD=∠BCE， 所以∠pCA=∠ECD=2X15s'-5=50. 在△PEM和△CDM中，∠PME=∠DMC,∠E=∠D,所 以∠EPM=,∠ECD=50”, 所以∠BPD=180-50°=130 13.解：C,D,E三点在同一条直线上.理由 如下： 连接CD,ED,如图所示. (AC=BC. 在△ADC和△BDC中，AD=BD, CD=CD. 所以△ADC2△BDC(SSS),所以 ∠ADC=∠BDC. (AD-BD 在△ADE和△BDE中，AE=BE, DE-DE, 所以△ADE2△BDE(SSS),所以∠ADE=,∠BDE 因为∠ADC十∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°， 所以2∠ADC十2∠ADE=360°，所以∠ADC+∠ADE= 180”,所以C,D,E三点在同一条直线上， 4.3.5全等三角形的应用 1,A2.AD=AC(答案不嘴一) AM-AN. 3.证明：在△AMB和△ANB中，AB=AB, BM=BN, 所以△AMB≌△ANB(SSS), 所以∠MAB=∠NAB. (AM=AN, 在△MAC和△NAC中，∠MAC=∠NAC AC-AC, 所以△MAC2△NAC(SAS),所以CM=CN 4.C5.∠BAD=∠CAD 「∠ACB=∠ECD, 6.解：在△ACB和△ECD中，BC=DC, ∠B=∠EDC=90 所以△ACB2△ECD(ASA),所以AB=ED. 因此，DE的长就是A,B两个建筑物之间的距离 7.C8.90 9.解：如图，作AF⊥BD,垂足为F, 因为AC⊥BD,所以∠ACB=90°， 所以，∠ACB=∠A'FB 因为AB⊥AB, 所以∠A'BF十∠CBA=90, 因为∠ABF+∠FA'B=90', 地面 所以∠CBA=∠FA'B ∠BCA=∠A'FB, 在△ACB和△BFA'中，∠CBA=∠FAB, AB-BA', 所以△ACB△BFA'(AAS),所以BC=A'F. 因为AC∥DE且CD⊥AC,AE⊥DE, 所以CD=AE=1.5,所以BC=BD一CD=1, 所以AF=BC=1. 故点A'到BD的距离是1m, 10.解：(1)如图①，连接BF,EF 因为F是边CD的中点，所以CF=DF (BC=ED. 在△BCF与△EDF中，H∠C=∠D, CF=DF, 所以△BCFA△EDF(SAS), 乐以BF=EF,∠CFB=∠DFE. AB-AE, 在△ABF与△AEF中，BF=EF, AF=AF, 所以△ABF2△AEF(SSS),所以∠AFB=∠AFE, 所以∠AFB十∠CFB=∠AFE十∠DFE,即∠AFC =∠AFD 因为∠AFC+∠AFD=180°，所以∠AFD=90°，所以AF ⊥CD. 图① 图②四 (2)如图②，连接BD,CE交于点G BC=ED 在△BCD与△EDC中，∠BCD=∠EDC CD-DC, 所以△BCD2△EDC(SAS),所以∠CDB=∠DCE, 所以△CDG是等腰三角形，所以CG=DG 因为F是边CD的中点，所以CF=DF, CG=DG 在△CGF与△DGF中， ∠GCF=∠GDF, CF-DF, 所以△CGF2△DGF(SAS),所以∠GFC=∠GFD. 因为∠GFC+∠GFD=180',所以∠GFD=90°，所以AF ⊥CD. 解题模型专题全等三角形的基本模型 1.解：(1)①③④→②，①②④→③ (2)示例：选择①②④→3. 证明：因为ABDE,所以∠B=∠DEF 因为BE=CF,所以BE+EC=CF十EC,所以BC=EF 又因为AB=DE,所以△ABC2△DEF(SAS), 所以AC=DF. 444 上册参考答案 189 2.3 3.证明：如图，连接BC 在△ABC和△DCB中， (AB DC. AC-DB, BC=CB, 所以△ABCa△DCB(SSS), 所以∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB,所以∠ABO =∠DCO, 所以△ABO2△DCOCAAS),所以OB=OC. 4.证明：1)因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE 因为E为CD的中点，所以DE=CE [∠ADE=∠FCE, 在△ADE与△FCE中，DE=CE, ∠AED=∠FEC, 所以△ADE2△FCE(ASA). (2)由(1)，得△ADE2△FCE,所以AE=FE,AD=FC 因为AB=BC十AD,所以AB=BC+CF,即AB=BF. (AB=FB, 在△ABE与△FBE中，AE=FE, BE=BE, 所以△ABEe2△FBE(SSS), 所以∠AEB=∠FEB,因为∠AEB十∠FEB=180”,所以 ∠AEB=90°，所以BE⊥AF 5.解：(1)证明：①因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACB十 ∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 又因为AC=BC,CE=CD,所以△ACE2△BCD(SAS), ②因为△ACE2△BCD,所以∠CAE=∠CBD.因为∠CAE +∠EAB+∠ABC=9o,所以∠CBD+∠EAB十∠ABC 90°，所以∠AFB=90°，所以AE⊥BD (2)60°(3)180°-a 6.解：(1)证明：因为∠BAC=90,BD⊥1，CE⊥1， 所以∠DAB十∠CAE=90”,∠ADB=∠CEA=90”,所以 ∠DAB+∠ABD=90 所以∠CAE=∠ABD. 「∠ADB=∠CEA, 在△ABD和△CAE中，，∠ABD=∠CAE, AB-CA, 所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,AD=CE. 因为DE=AE十AD,所以BD十CE=DE (2)BD一CE=DE.理由如下： 因为CE⊥1，BD⊥1，所以∠CEA■∠ADB■90°， 所以∠BAD+∠ABD=90 因为∠BAC=90°，即∠BAD十，∠CAE=90°， 所以∠ABD=∠CAE '∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA, AB-CA. 所以△ABD②△CAE(AAS),所以AD=CE,BD=AE 所以BD一CE=AE-AD=DE 4.4尺规作图 第1课时已知三边（两边及其夹角）作三角形 1.②①③2.C3.74 4.解：如图，△ABC即为所求， 444 190 /八年级数学XJ版 5.解：如图，∠NCM或∠NCM即为所求 \w B 6.解：如园，△ABC1,△ABC2即为所求 第2课时已知两角及其夹边作三角形、 作已知直线的平行线 1.C 2.解：如图所示，△ABC即为所求 3.C 4解：如图所示，直线PM即为所求 5.解：如图，△ABC即为所求 6.解：(1)如图①所示 图① (2)如图②③④所示，△DEF即为所求 图③