3方法技巧专题 二次根式化简、求值的常用技巧&方法技巧专题 二次根式中的大小比较-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

方法技巧专题 二次根式化简、求值的常用技巧 题型①公式法 题型④倒数法 1.计算：(1)(3+25)2-(4+5)(4-√5). 4.化简，5+3+2+2 3+2√2+1 (2)(5+2)×(5-2√6). (3)(2-√7+3)(2十7-√3). 题型⑤整体代入法 5.(2024一2025贵阳观山湖区期中)已知a=7 十4W3,b=(2一w3),求下列代数式的值. (1)a十b+ab.(2)a2+b2. 题型②约分法 2+√3 2.计算： 2+6+√/10+√/15 题型⑥ 换元法 6.已知V16-x-√4-x=2√2，求V16-x2 题型目 平方法 十W4-x2. 3.化简：0+3+0-3 w10+1 446 八年级数学X版 方法技巧专题 二次根式中的大小比较 题型①平方法 28-6与-1 1.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用 “平方法”会取得很好的效果.例如：比较a= 2√3和b=3√2的大小，我们可以把a和b分 别平方，因为a2=12,b2=18,所以a2<b2, 所以a<b. 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：4√2 2,√7（填“>” 题型③ 作商法 “<”或“=”). 3.比较大小： (2)猜想m=2√5十√6，n=2√3十√/14之间 a与 的大小，并说明你的猜想. 题型② 作差法 (2)57与75. 2.课堂上，老师讲解了一道题：比较一2与 2 的大小.解法如下： 解，1西-2-2-19-2-2.19-4 3 3 3 3 题型④ 倒数法 因为4-16<19，所以19>4，所以10-4 3 4.已知a=√2-1，b=√3-√2，c=√6一2，试着 >0,所以19-22 比较a,b,c的大小关系. 3>3 我们把这种比较大小的方法称为作差法.请根 据以上材料，利用作差法比较下列实数的大小： a3=与 4 上册弟3章 4△所以a>6, 所以Wa=55W6=3或Wa=43,w6=23, 所以a=75,b=3或a=48,b=12 (2)当a=75,b=3时， 原式=√2X75×3一 75 25 =√2×25×3x3- 16B-8E-5e 当a=48,b=12时， 48 原式-y2X48x亚-√2X2V2XI2x4X亚-5 24w2-√2=23√2. 第2课时二次根式的混合运算 1.C2.A3.(1)23(2)-23 4解：源式-XE-√后×E=压--4-1=8 (②原式-46÷2-3÷2B-25-是 (3)原式=√24÷3-22×2 =22-42 =-2w2, 5.106.64 7.解：(1)原式=3+26+2-2√6=5 (2)原式=5一3十2-2w12十6=10-4w5, 8.C9.-1-√② 10.解：(1)原式=6-√2)+(65+2)=2W3. (2源式=②1-2+21+)--②+6+2+6 -2 2 =6. 11.D12.C 13.解：原式-[(w②一√6)+√3][(W②-6)-3] =w2-√6)2-(3) =(8-43)-3 =5-45 14.解：小明的解法不对.政正如下： 2V2a-√2a2-42a+4 =2w2a-VW2a-2) =2w2a-lw2a-2. 因为-号所反a-20, 所以原式-22a+2a-2-3W2a-2 把a② 代人，得原式-3v区× 2 -2=1 15解：圆环的面积=×（生）-x×(5二) =×[5)-(门 =r×5X1=5元 16.解：Q)1(2)1 原式=f+[f+f(W)]+[f)+ 184 八年级数学XJ版 f(W)]+…+[)+(W)] z+1x9 1 =992 方法技巧专题二次根式化简、 求值的常用技巧 1.解：(1)原式=29十12W5一(16-5)=18+12w5. (2)原式=(5+2w6)×(5-2)=25-24=1. (3)原式=[2-(W7-3)][2+(w7-V3)]=4-(W7-√3) =4-(10-2V2I)=-6+2√2T. √②+√3 1 2.解：原式= 5-② 2(w2+V3)+√5(W2+√3)√2+5 3 3解，设原式=x,则工=2+2-2. √10+1 因为x>0, 所以原式=x=②」 4解：设原式=5++=， (W3十2)十W2十1) 后+ 1 1 =5-V2+2-1 =5-1, 所以原式=x= 1+1 3-12 5.解：因为a=7+45,b=(2-√3)2=7-4W3, 所以a+b=14,ab=(7+4W3)(7-43)=49-48=1, (1)a+b+ab=14+1=15. (2)a2十b2=(a+b)2-2ab=14°-2×1=194 6.解：设√16-x=a,√4-x=b, 则4-6=√16-x-√4-x=22, a3-62=(16-x2)-(4-x2)=12. 因为a2-b2=(a十b)(a-), 所以a+6-。3-8212 a-62√2 =32, 即√16-x+√/4-x=32 方法技巧专题二次根式中的大小比较 1.解：1)> (2)m<n 因为m=25+√6，n=23+√14， 所以m°=(2√5+V6)2=20+6+4√30=26+4√30， n2=(23+√14)2=12+14+4√42-26+4√42. 又因为√42>√30，所以m<n,所以m<n 2解，a-(）3+1酒 4 4 因为42=16>13，所以4>√13，所以4-√13>0， 4 4 2 因为5=25，(26)2=24，且25>24， 所以5-26>0，所5一25>0，所以营一6>-1 2 所以至3 4>8 (2)因5<7，所以5y7-5 6分1， 所以57<75 4.解：因为a=√2-1，b=5-√2，c=√6-2， 所以 1=厄+1，方“3- 1 1 a②-1 =8+，号 1 因为0K侵+1<E+1<6+E, 所越0<<若质以6长a< 章未对点导练 1.D2.B 3.解：由题意，得3-x≥0，解得x≤3，所以x一x<0, 所以原式=(x一r)-(3-x)=-x十r-3十x=×一3. 4.D5.A6.33 7.解：(1)原式=2+2W2+1+6W3)2-1 =2+2W2+1+3-1 =2W2+5. (2)原式=√2每-√5+5√2 =2W6-5+5v2. （3原式=2-3E- 3 =2-√6-2=-V6, 8解：1)由题意，得75=西=厘-2-5. 7-5 2 2 (2)由(1)可知，7※5=5， 所以(2-√5)※(7海5)=(2-√3)※3 由题意，得(2-尽)益后=23+原 2-3-3 2-23 2w2+2W6_N2+6 4-12 4 2y=7+ 9解：1)因为x7一5 2 所以x+y-≥5+7+5-万，-7≥ 2 2 2 7+5_7-51 2 1 (2)由(1可知，z十y=7,xy=方 1 所u5+兰-+y-红十-2四=红+2-2 y xy 7-2=14-2=12. 2 10.解：(1)根据题意，得1一4红≥0且4x一1≥0， 所以x=子，所以y=: 1 所以原式=2x+2√2xy+y-(2x一2v2xy+y)=4√2xy -4x×-4x号-2 2原式=丘+)（丘-+反-5 =E √红十√y E-列 √y+√E-y=2E-2y 因为x=3+2/2=(W2+1)2,y-3-22=(W2-1)2, 所以反=2+1wy=2-1, 所以原式=2(w2+1)-2(W2-1)=4 11.解：1)①√10 ②25 (2)5=25 2W5 2 =√2，则t2是t1的2倍 (3》当t=1.5s时，1.5=√5h=11.25m,所以经过1,5s 物体下落的高度是11.25m 12解：小明在山腰能看到的水平距离d1=8√5 m,在山顶 能看到的水平矩离d,=8√5m: 12m 2n 所4马 8N5 瓦，即小明在山顺能看到的水平臣离是 8N5 在山腰能看到的水平距离的2倍. 13.C14.B 15.4√2-26（答案不难一） 16.解：(1)原式=√/100-1=10-1=9. (2原式=3/5×2×22-6E=12厄-6E=6E 17.解：0D原式-x二2》= x-2 当x=√2时，原式=(2)”=2 (2②)原式-x十3】 x+1 1 x+i‘红+3x-3》z-3 115 当x=5+3时，原式万十3一35了 18.解：(1)9+2W/515+2w3 (2)S+1-5.=6n-3+2√3. S+1-S.=(1+3m)2-[1+(n-1w3] =[2+(2m-1)W3]×W3 =3(2m-1)+2w3 =6n-3+2w5】 (3)当a=1,b=3时，T=t1十t经十ts十…十t0 =S2-S1+S,-S2+S,-Ss+…+S-S0 =S1-5 =(1+50W3)°-1 =(2+50W3)X50W3 =7500十100w5. 上册参考答家 185