3.1 二次根式的概念及性质-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第3章 二次根式 3.1二次根式的概念及性质 1课时二次根式的概念及性质 夺复固提园 1.形如W的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是菲负实数时，二次极式才在实 数范国内有意义 a(a≥0). 2.二次根式的性质：1)(a)2=a(a≥0)：(2)√a=a= -a(a0) 核心总结：涉及求字母的取值范因时，应充分考虑分式、二次根式的要求，不要遗漏等号：√@的化简方法是 一“脱”二“去”；Wa(a≥0)是一个非竟数， 总课内基础练 课外拓展练 知识点①二次根式的概念及有意义的条件 6.给出下列式子：①a:②-√2：③√-3)7： 1.(2024一2025衡阳石鼓区月考)下列式子不 ④一√x,其中一定是二次根式的个数是 是二次根式的是 ( () A.⑧ B.-2C.0.5 A.1 B.2 C.3 D.4 7.数形结合思想如图，数轴上点A表示的数 2.(2024徐州)若√x+1有意义，则x的取值范 为a,化筒√a+√(a-5)的结果是 围是 A.x≥-1B.x≤-1C.x>-1D.x<-1 儿34 m 变式题若式子一 1 一有意义，则x的取值 第7题图 变式题图 √/x-3 范围是 变式题如图，化简√(m-3)+√(m-7) 的结果是 知识点② 二次根式的性质 3.计算(3)2的结果是 x-1 8.当x为何值时，二次根式、3江十6有意义？ A.3 B.3 C.2w3 D.9 4.若√(m一2)2=2-m成立，则m的取值范 围是 ) A.m>2 B.m≥2C.m≤2D.m<2 5.计算：1(-5. (2)w(W3-2)2】 上册第3章 第2课时二次根式的化简 要恩提园 1.积的算术平方根的性质：wa·b=√a·√b(a≥0，b≥0). 2.(1)被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）：(2)被开方故不含分母，我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫作最简三次根式 已课内基础练 已课外拓展练 知识点① 积的算术平方根的性质 易错点 因忽略被开方数中字母的符号致错 1.化简√/(-2)2×6的结果是 ( 6.若xy<0,则代数式√xy可化简为 A.-2√6B.26 C.6 D.12 2.化简/27的结果是 ( A.xy B.x√-y A.3 B.33 C.4 D.23 C.-xy D.-x√一y 3.化简：(1)45. (2)√50. 7.(教材变式)若，18+n是整数，则正整数n 的最小值为 (3)56. 8.若式子√/8一x是最简二次根式，则满足条件 (4)√63. 的正整数x的值有 个. 9.观察下列等式： ①，1+=2 =3. 3+号=4 知识点②最简二次根式 5… (1)请用含正整数n的等式表示你观察到的 4.(2024一2025六盘水期中)下列二次根式中， 规律。 是最简二次根式的是 ( (2)请说明(1)中你所写出的等式的正确性 A.② B.9 C./20 5.把下列各式化成最简二次根式： aeo 438 /八年级数学X版=x十1. 由题意可知，x≠士1且x≠3， 所以当x=一3时，原式一3十1■一2. 6.D7.B8.x≠±29.510.D11.-5 12.解：(1)去分母，得-3十2(x一4)=1-x 去括号，得-3十2x-8=1一x, 解得x■4 经检验，当x=4时，4一x=0. 故原分式方程无解. (2)方程的两边同乘(x一1)(x+1),得(x十1)(x+1)一( 2)=x2-1.擎理，得2x=一4，解得z=一2. 经检验，x=一2是原分式方程的解 故原分式方程的解为x=一2. 13.解：设原计划每天生产零件x个。 由题意，得24000-24000+300 x+30,年得x=2400. 经检验，x=2400是原分式方程的解，且符合题意， 所以规定的天数为24000÷2400=10. 答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10 14.解：设嘉嘉司学跑完全程的时间是xs,则洪淇同学跑完全 程的时间是(46一x)s. 根据题微，得100 z-101,25×100 46-x 解得x=26. 经检验，x一②6是原分式方程的解，且符合题意，所以46一 x=46-26=20. 26-20=6(s), 所以淇洪同学获胜，两人跑完全程的时间相差65. 15.解：1)设此商品的进价是x元. 根据题意，得600+150600 15%x20%x=40, 解得x=50. 经检验，x=50是原分式方程的解，且符台题意， 答：此商品的进价是50元 600 ,600+150 (2)根指题意，得20%×50十5%X5060+100=160(件). 答：前两个月一共销售了该商品160件. 16.C17.D18.C19.A20.x*1921 22-1或228.-1 24标：原武6+16-D·2+D号 1 当x=3时，原式-31-1 2 25.解：因为a-6-1=0,所以a-6=1, 所以原武=30一66+3地_3a-3动3a-)3 (a-b)2 a--a-6a-6=3. 26.解：原式=《红+2.红+20红-2+x+2 x(x十2) (x-2)2 x-2 =x+2,+2.-2 xx-2"x十2 =之+2 因为一2≤x2,且x≠0，x≠士2】 所以整数x=1或一1， 所以当z=1时，原式=1十2=3， 1 444 182 /八年级数学X版 或当x=一1时，原式-牛-1 27.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人 装提惠，得号”09-30X12,解得x=0 经检验，x■20是原分式方程的都，且符合雨意， 所1以35-x=35-20=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人： 第3章二次根式 3.1二次根式的概念及性质 第1课时二次根式的概念及性质 1.B2.A变式题x>33.B4.C 5解：1)原式=5)-5 23 -= (2)原式=1w3-2引=2-w3. 6.C7.5变式题4 8解：要使该二次根式有意义，需清足>≥0且3x十60， 所以一1>0：或-1≤0， 13x+6>0 3x+6<0, 解得x≥1或x<-2, 所以当≥1度<一2时，三次想式√耳有意义 第2课时二次根式的化简 1B2.B 3.解：(1)原式=√3×5=√3×5-35， (2)原式=5X2=√3X√2=52. (3)原式=√22X14=√②×√14=2√/14. (4)原式=/3×7-√3×W7=3/7. 4.A 5解：原武-V√厚- 7 5 5X2 11 (2)原武=√×2√2×2-V《22) X10=V0 4 8原武=√X带-V0-√)×0=2 8×15 ②×30 15 6.C7.78.5 1 1 9.解：1√n+n十2=m+1D√n十2 /n(n十22 1 《2)当m为正整数时，左边=√十。十2√2骨 +2 量2+2m+1 /a+1)产 1 n十2 V n+2 6m+1√0十2右边， 1 1 所以√n十 十2=(m+1√0十2正确 3,2二次根式的乘法和除法 第I课时 二次根式的乘法 1.D2.B 3新，原式-号×2厅 -号x2Xv2 =2.