第1章 因式分解 章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

章末对点导练 巴单元考点整合 6.观察下列因式分解并找到其中的规律： 考点①因式分解的概念 ①x2+3x+2=(x+1)(x+2); ②x2+7x+10=(x+2)(x十5)： 1.(教材变式)下列变形①(x十1)(x-1)=x ③x2-5x+6=(x-2)(x-3): -1:②9a2-12a+4=(3a-2)2:③3abc3= ④x2-2x-8=(x+2)(x-4). 3c·ac,④3a-ia=3a21-2):⑤x2 利用你我到的规律因式分解：x2十x一6 16十6x=(x十4)(x一4)十6x中，是因式分 解的是 (填序号) 7.把下列多项式因式分解： 2.下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因 (1)(x-a)2+4m(x-a)+(m+n)(a-x). 式分解？哪些不是？若是，请检验其是否 正确。 ①x(x2+1)=x3+x: ②a3+a-a2-1=(a-1)(a2+1): (2)a2-9b2+(a-3b). ③2x2+2x+1=2x(x+1)十1. (3)x(x+y)-6x(x+y)+9x. 考点②因式分解 3.因式分解(x十1)2一4的结果是 A.(x+5)(x+3) B.(x+3)(x-1) C.(x-3)(x+5) D.(x-3)(x+1) 4.因式分解： (4)(x2-1)2+8(1-x2). (1)m2-7m= (2)x2y-36y= (3)2025.x2-4050x+2025= 5.若非零实数a,b满足4a2+62=4ab,则 a (5)(y2-1)2-6(y2-1)+9. 变式题因式分解后找出字母关系→因式 分解后整体代入 整体思想若a与b互为相反数，则多项式 2025-a2-2ab-b2的值为 10 八年级数学X版 (6)x2+3x-y2+3y. 11.情境应用工厂生产一种图①所示的螺丝 垫圈，其示意图如图②所示.已知D= 16mm,d=4mm,则这个螺丝垫圈底部圆环 的面积为 mm2(结果保留π). 8.一题多解法已知a十b=1,求代数式a b2+2b+9的值. 图① 图2 第11题围 12.(教材变式)在生活中很多场合都需要密 码，有一种用因式分解法产生的密码，其原 9.甲、乙两名同学在因式分解mx十ax十b 理如下：对于多项式a2一b2,因式分解的结 时，甲仅看错了a,分解结果为2(x一1)(x 果是(a十b)(a-b),若取a=8,b=3,则各 9):乙仅看错了b,分解结果为2(x一2)(x 个因式的值是a+b=11,a一b=5,于是就 4).求m,a,b的正确值，并将mx8十ax十b 把1105作为一个四位数的密码.对于多项 因式分解。 式4x2一9y2,若取x=4,y=2,用上述方法 产生的四位数密码是 13.(2025周口准阳区期末)如 图，大正方形与小正方形的 面积之差是36，则阴影部分 的面积是 第13题图 14.跨物理学科因式分解可以简化一些复杂 的计算，如下图，把R1,R2,R,三个电阻串 考点③因式分解的应用 联起来，线路AB上的电流为I,电压为U, 10.古代数学文化图①是由方尊缶（中间小正 则U=IR1+IR2十IR.当R1=19.76,R: 方形，冷藏酒或食物)和方鉴（外围大正方 =32.41,R,=35.83,I=2.5时，请利用因 形，放置冰块)组成的套器青铜冰鉴.其从 式分解计算出U的值. 上面看到的图形如图②所示，若大正方形 &↓☐☐-。☐↓8 R、 的边长为2a十b,小正方形的边长为2a b,则放置冰块部分的面积为 2a+6 图② 第10题图 A.2ab B.4ab C.6ab D.8ab 上册第1章 已中考真题演练 N为奇数 N为4的倍数 15.(2024云南)因式分解：a3-9a= 1=1-0 4=22-02 A.a(a-3)(a十3)B.a(a2+9) 3=2-1 8=32-12 C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) 表示 5=32-2 12=42-22 结果 7=4°-3 16=52-32 16.(2024广西)如果a十b=3,ab=1,那么a3b 9=52-4 20=62-42 +2a2b+ab3的值为 A.0 B.1 C.4 D.9 -般2m-1=n2-(n- 17.因式分解：(1)(2024镇江)x2十3x An= 结论1) 按上表规律，解决下列问题： (2)（2024北京)x3-25x (1)24=( )2-( (2)4n (3)(2024内蒙古)a十2ab+ab2= (3)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…这些 形如4n一2(n为正整数)的正整数N不能 18.(2024淄博)若多项式4x8一mxy+9y2能 表示为x2一y2(x,y均为自然数).师生一 用完全平方公式因式分解，则m的值是 起研讨，分析过程如下： 徽设4W一2x一y2,其中x,y均为自然数， 19.(2024福建节选)已知实数a,b,c,m,n满 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中是，m均 足3m+n6,m1=二.试说明：62-12ac a 为直然数， 为非负数 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k-m2)为4的 倍致， 而4刀一2不是4的倍数，矛盾.散工，y不可能均为 偶数 ②若x,y均为奇数，设x=2k十1，y=2m十1，其中 k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k+1)1-(2m+1)2= 为4的倍数」 而4n一2不是4的倍数，矛盾.故工，y不可能均为 奇数. ③若工，y一个是青数一个是偶数，刚x2一y2为 奇数 而4n一2是第数，矛盾.故工，y不可能一个是寺数 个是偶数： 由①②③可扣，猜测正扇 20.(2024安徽改编)数学兴趣小组开展探究活 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写 动，研究了“正整数N能否表示为x2一y 所缺内容。 (x,y均为自然数)”的问题。 指导教师将学生的发现进行整理，部分信 息如下(n为正整数)： 112 八年级数学X划版a7-2.w-号 (2)原式=198-2×198×202+202=(198-202)2=16 12.解：因为4=202s十2024,6=2025+2025，c=2025 2026,所以a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2, 所以原式=2a2+2b2+2c2-2a6-2bc-2ac =a2-2ab+62+b2-2h+c2+a2-2ac+c =(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 =(-1)2+(-1)2+(-2) =6. 13.解：示例：(1)选择①和③ a2+3ab-2b十ab十6b =a3十4ab十4b =(a十2b)2 (2)当a=2,b=一3时，原式=(2-6)2=16 14.解：(1)因为x2+2y2-2xy-4y十4=0，所以x2十y2-2x3 十y2-4y十4=0，所以(x一y)2十(y-2)2=0,所以x- =0,y一2■0，所以x■y=2,所以x×■22■4 (2)原式=(4a2+4a十1)十(b2-6b+9)-18 =(2a+1)2+(6-3)2-18. 因为(2a十1)2≥0.(b-3)2≥0，所以当2a+1=0且b-3 0,即4=- 号且6=3时，原多项式有最小值，最小值是一8 解题方法专题因式分解的常用方法 1.解：(1)原式=3x“(x2+9). (2)原式=2a(a+b)[2(a-b)-3(a十b)] -2a(a+b)(2a-26-3a-3动) =2a(a+b)(-a-56) =-2a(a+b)(a+5b). 2.解：(1)原式=[4(a-b)+3(a+6)][4(a-b)-3(a+b)] =(4a.-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-36 =(7a-b)(a-7b) (2)原式=(5m2+3m2+3m2+5n2)(5m2+3n2-3m2-5n =(8m2+8m)(2m2-2m2)=16(m2+n2)(m十n)(m-n) 3.C4.D 5.解：(1)原式■4xy一4x2一y2=一(4x2一4xy十y)=一(2 一y) 2)原武=+3x+2+=+3x+是-(+)月 6.解：(1)完全平方公式 (2)①原式=y2-(x”-6x+9) =y2-(x-3)2 =(y十x-3)(y-x十3) ②原式=(a2+2ab+b2)+c(a+b) =(a+b)2+c(a十b) =(a十b)(a+b+c) 7.解：(1D原式=x2-4x十4-4+3 =(x2-4x十4)-1 =(x-2)°-1 =(x-2+1)(x-2-10 =(x-1)(x-3). (2)原式=4x2+12x+9-9-7 =(4x2+12x十9)-16 =(2x+3)2-16 =(2x十3十4)(2x十3-4) =(2x+7)(2x-1). 176 八年级数学X版 8.解：1)令a-2b=M, 则原式=M-6M+9=(M-3) 将M还原，则原式=(a一26一3) (2)令a62-4a=N,则原式=N(N-2)+1=N2-2N十1 =(N-1)2 将N还原，则原式=(a2b2一4a一1)≥0， 所以无论a,b取何值，(a263-4a)(a2b2一4a一2)十1的值 一定是非负数 9.解：(1)不能 (2)①x2十8x+12 =x十(2十6)x十2X6 =(x+2)(x十6) ②x2-x-12 =x2+[3+(-4)]x十[3×(-4)] =(x+3)(x-4). 章未对点导练 1.20 2解：①③不是因式分解，②是因式分解 因为(a-1)(a2+1)=a+a一a2-1,所以②是正确的. 3.B 4.(1Dm(m-7)(2)y(x+6)(x一6)(3)2025(x-1)2 5.2变式题20256.(x十3)(x-2) 7.解：(1)原式=(x一a)(x一4十4m一m一n) =(x-4)(x-a十3m一n). (2)原式=《a+3b)(a-3b)+(a-3b) =(a-3b)(a+3b+1. (3)原式=x[(x+y)-6(x十y)+9] ■x(x十y-3)2 (4)原式=(x2-1)2-8(x2-10 =(x2-1)(x8-9) =(x十1)(x-1)(x+3)(x-3) (5)原式=[(y2-1)-3] =(y2-4)2 =(y+2)(y-2)2 (6)原式=x2-y2+(3x十3y) =(x+y)(x-y)+3(x十y) =(x十y)(x-y+3, 8.解：因为a2-b”+2b+9=a2-(62-2b+1)+10=a2-(6 1)2+10=(a+b-1)(a-6+1)+10. 又因为a十b=1, 所以a十b一1=0， 所以a2-62+26十9=10. ◆一题多解法、 因为a2-b+26+9=(a+b)(a-6)+2b+9, a十b=1, 所以a2-62+20+9=a-6+28+9=4十6+9=10. 9.解：因为2(x-1)(x-9)=2(x2-9x-x十9)=2x2-10x +9)=2x2-20x十18， 所以m=2.b=18 因为2(x-2)(x-4)=2(x2-4x-2x+8)=2(x2-6x+8) =2x2-12x十16，所以a=-12,所以mu2+ax十6=2x2 12x+18=2(x-6x+9)=2(x-3)2 10.D11.60x12.140213.18 14.解：因为U=R1十IR十IR,R=19.76,R2=32.41,R =35.83,I=2.5, 所以U=IR1十R十R,=1(R1+R,+R,)=2.5× (19.76+32.41+35.83)=2.5×88=220. 15.A16.D 17.(1)x(x+3)(2)x(x+5)(x-5)(3)a(6+1)2 18.士12 b 19.解：因为3m十n=。,m。: 所以b=a(3m十程)，c=a航n, 则62-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn =a (9m2+6mn+n)-12a2mn =a2(9m2-6mn十n2) =a2(3m-n)2. 因为4，m,方是实数， 所以a(3m-n)≥0， 所以b2-12ac为非负数 20.解：1)75(2)(m十1)2-(m-1)2(3)4(k2-m2十k-m). 第2章分式 2.1分式的概念及基本性质 第1课时分式的概念 1.B2.B3.x≠2变式题14.-15.A6.-27.2 8 1 9.解2-2x+m(红2-2x+1D+(m- 1 =(红-1)2+(m-1D 因为不论x取何值，该分式总有意义，(x一1)≥0，所以m 1>0,所以m>1, 第2课时分式的基本性质 1.D2.B3.D4.(1)2y(2)aab 5ae8+需6D7.ca品 6a十2b 5abc·5ae25ac 9.解：(1)原式= 5abe.3b 一36 (2)原式=x+1) x+1=x+1. 2(x十4) (3)原式= 2 (x一4)(x十4)x-4 (源式=工+2红y+y-（x-2xy+y Azy -+2xy十y-x+2xyy-义1. 10.C11.B变式题C 12.解：0骠式-2a-D-2=2a+Da-卫-2=2a+ a-1 a-1 一2=2a.当a-2时，原式=2×2=1 (2)原式=x(3红y) (3x-y)3x-y 1 2 2 当x=2y=一3时，原式=。 13,解示例把。一1作为分于，。一4作为分母可得。 a+)a-1D_a十+1当a=2时，原式-2牛1- a(a-1) a 2 14.解：(1D①等式②代人消元分式 (2)因为x:yx=23:4,所以设x=2m,y=3m,x= 4m(殊≠0)，所以工十y十之 2m十3m十4m=9m=9 x-2y+3=2m-6m+12m8m8 2.2分式的加法和减法 第1课时同分母分式的加、减法 1.B2.1 3.解：(1原式=+y+2-红+y x十y x十y =x十y. 3(x十y) 2)原式=牛y红-是t x-y2 x-y 3 x-y 4.D5.A6.B7.D 8解：原式-公+%十 36 =2a-3动+25+36 b-a =2a+2b b-4 9.解：M+N-2xy十x+y2 (x+y) x十y x-y (x+y)(x-y)x-y M-N=2 一(x-y)月 y一x x2-y2 (x+y)(x-y)x十y1 N-M=+y-2 (x-y)1 x2-y2 =(x+y)(x-y)x+y 因为x￥y=52,所以设x=5a(a≠0)，则y=2a,所以M 7N-M=号 3 3M-N= 第2课时通分 1.A2.6x2y3.B变式题2a(a-6) 4.解：(1)最简公分母是(a十b)(a一b), b(a+b) afa-b) a-b (a-b)(a+b)'a+8 (a+b)(a-B)' (2)最简公分母是18a262c, x x·3ac 3acx 6ab6ab2·3ace18a'6 y·2b 26y 9a6c9ak·2b18a'b2 5.D 2xy 6.解1)图为十'二y一(Gx十yx-·所以最简公 分母是(x十y)2(x一y),所以 2xy 2zy(I-y) (x+y)(红+y)(x-y x(x十y) x-yi(x+y)(-y)' @周为之产牛所似最微 y 公分母是x(红一y)(x十y), y(x十y) x二y (x-y) 所yxxy+7+yx+十p办 7解：因为m十n m十月 1 2m°n 2m 2 m-2mn十mnm2（n-n)刀(m-R 所以这两个分式的最简公分母是(m一n)2, 所以1=m一元 “m一刀(m一n了 上册参考答案 177