1解题方法专题 因式分解的常用方法-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

G-2.- (2)原式=1982-2×198×202+202=(198-202)2=16 12.解：因为4=202%+2024,6=2025+2025，c=2025十 2026,所以a-b=-1,b-c=一1，a-c=一2， 所以原式=2a2+252+2e°-2ab-26c-2ac =a2-2ab+62+b2-2b十c2+a2-2ac+c =(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 =(-1)2+(-1)2+(-2) =6. 13.解：示例：(1)选择①和③ a+3ab-28*+ab+6b* =a2+4ab十4b =(a+2b)2 (2)当a=2,6=-3时，原式=(2-6)2=16. 14.解：(1)因为x2十2y2-2xy-4y十4=0，所以x2+y2-2xy 十y2-4y十4=0，所以(x-y)2十(y-2)=0,所以x-y =0,y-2=0,所以x=y=2,所以x'=22=4, (2)原式=(442十4a十1)十(6°-6b十9)-18 =(2a+1)1+(b-3)-18. 因为(2a+1)2≥0，(b-3)2≥0，所以当2a+1=0且b-3= 0,即a=- 之且6=3时，原多项式有最小值，最小值是-18. 解题方法专题因式分解的常用方法 1.解：(1)原式=3x”(x2+9). (2)原式=2a(a+十b)[2(a-b)-3(a+b)] =2a(a+b)(2a-2b-3a-3b) =2a(a+b)(-4-56) =-2a(a+b)(a+56). 2.解：(1)原式=[4(a-b)十3(a十b)][4(a-b)一3(a十b)] =(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3by =(7a-b)(a-7b). (2)原式=(5m2+3m2+3m2+5m2)(5m°+3m2-3m2-5n2 =(8m2+8m2)(2m2-2m2)=16(m2十n2)(m十n)(m-n). 3.C4.D 5.解：(1)原式-4xy-4x2-y2■-(4x2-4xy十y2)=-(2x -y) 2)原武-2+3x+2+是-x+8x+号-(x+)月 6.解：(1)完全平方公式 (2)①原式=y2-(x-6x十9) =y2-(x-3)2 ■(y十x-3)(y-x十3). ②原式=(a3+2a6十b2)+(a+6) =(a+b)2+c(a+b) =(a+b)(a十b+c) 7.解：(1)原式=x2-4x十4-4十3 =(x2-4x十4)-1 =(x-2)°-1 =(x-2+1)(x-2-1) =(x-1)(x-3), (2)原式=4x2+12z十9-9-7 =4x2+12x十9)-16 =(2x+3)2-16 =(2x十3十4)(2x十3-4) =(2x+7)(2x-1). 176 /八年级数学XJ版 8.解：1》令a-2b=M, 则原式=M一6M+9=(M-3) 将M还原，测原式-(a一2b-3)” (2)令a2-4a-N,则原式=N(N-2)+1=N2-2N十1 m(N-1)2 将N还原，则原式=(a62一4a一1D2≥0， 所以无论，b取何值，(a63-4a)(a26-4a一2)+1的值 一定是非负数 9.解：(1)不能 (2)①x2+8x+12 =x2十(2十6)x十2X6 =(x+2)(x+6) ②x2-x-12 =x2+[3+(一4)]x+[3×(-4)] =(x十3)(x-4). 章未对点导练 1.② 2.解：①③不是因式分解，②是因式分解。 因为(a-1)(a2+19=a+a-a2-1,所以②是正确的. 3.B 4.(1)m(m-7)(2)y(x+6)(x-6)(32025(x-1)2 5.2变式题20256.(x十3)(x-2) 7.解：1)原式=(x一a)(x-a十4m一m一) =(x一a)(x-a十3m一n). (2)原式=(a+3b)(a-3b)十(a-3b) =(a-36)(a+3b+1). (3)原式=x[(x+y)-6(x+y)+9] =x(x+y-3)2 (4)原式=(x2-1)2-8(x2-10 =(x2-1ù(x2-9) =(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) (5)原式-[(y2-1-3] ▣(y2-4)2 =(y+2)2(y-2) (6)原式=x2-y2十(3x+3y) =(x十y)(x-y)+3(x+y) =(x十y)(x-y十3). 8.解：因为a2-b2十2b十9=a2-(62-2b十1)十10=a2-(b- 1)2+10=(a+6-1)(a-b+1)+10. 又因为4十b=1, 所以a十b一1=0， 所以a”-62+26十9=10. 一题多解法《 因为a2-62+26十9=(a十b)(a-)十2b十9， 4十b=1, 所以a-2+2幼+9=a-b+25+9=a+6+9=10. 9.解：因为2(x-1)(x-9)=2(x2-9x-x十9)=2(x2-10z +9)=2x2-20x十18， 所以m=2,b=18. 因为2(x-2)(x-4)=2(x2-4x-2x+8)=2(x2-6x十8) =2x2-12x+16,所以a=-12,所以mx2+@x十6=2x2 12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2 10.D11.60r12.140213.18 14.解：因为U=R1十IR十IR,R1=19.76,R2=32.41,R, =35,83,I=2.5,解题方法专题 因式分解的常用方法 题型① 用提公因式法进行因式分解 5.将下列各式因式分解： 1.将下列各式因式分解： (1)4x(y-x)-y2. (1)3x*2+27x (2)4a(a+b)(a-b)-6a(a+b)2. (2)(x+1D(x+2》+ 题型②用平方差公式进行因式分解 2.将下列各式因式分解： 题型@用分组分解法进行因式分解 (1)(2025上海浦东新区期未)16(a一b)2 6.注重学习过程整式乘法与多项式因式分解 -9(a+b)2. 是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法 则反过来，将得到：ac十ad十bc十bd=(ac十 ad)+(bc+bd)=a(c+d)+b(c+d)=(a 十b)(c十d),这样该多项式就被分解为若干 个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫 (2)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2. 作分组分解法。 例：x2-y2-2y-1 =x2-(y2十2y+1)第一形 =x2-(y+1)2第二步 =(x十y+1)(x一y-1).第三步 题型③用完全平方公式进行因式分解 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了 3.(2025招远期末)把多项式ax2-☐ax+16a (填乘法公式的名称). 因式分解的结果为a(x一4)2，则“口”中的数 (2)利用上述方法将下列各式因式分解： 为 ) ①y2-x2+6x-9; A.-4 B.-8C.8 D.16 ②a2+2ab+ac+bc+b2. 4.原创题邓老师让同学们从两个盒子中各抽 取一张卡片，海海抽到的两张卡片上分别是 x2一ax十4，(x十b)2.要使这两个整式相等， 则a十b的值为 () A.2 B.-2 C.6 D.2或-2 48 八年级数学划版 题型⑤用配方法进行因式分解 【拓展探索】(2)试说明：无论a,b取何值， 7.因式分解：x2十2x-3. (a2b2-4a)(a2b3-4a-2)十1的值一定是 解：原式=x2十2x十1-1-3 非负数 -(x2+2x+1)-4 =(x+1)2-4 =(x+1十2)(x+1-2) =(x+3)(x-1). 上述因式分解的方法叫作配方法.请体会配 方法的特点，然后利用配方法将下列各式因 式分解： (1)x2-4x十3. 题型⑦用十字相乘法进行因式分解 9.(教材变式)【探究】如何把多项式xa十8x十 15因式分解？ (1)【观察】上式 (填“能”或“不 (2)4x2+12x-7. 能”)直接利用完全平方公式进行因式分解 (2)【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道 (x十a)(x十b)-x2+(a十b)x+ab.将该 式从右到左地使用，即可对形如x2十(a十 b)x十ab的多项式进行因式分解，即x十(a 十b)x十ab=(x十a)(x十b).多项式x十 题型⑧用整体代入法进行因式分解 (a十b)x十ab的特征是二次项系数为1，常 8.整体思想【阅读材料】因式分解：x十4xy十 数项为两数之积，一次项系数为两数之和. 4y2-16. 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行 解：因为x2+4xy十4y2=(x十2y)2,所以将 因式分解： x+2y看成一个整体.令x+2y=M,则原 ①x2+8x+12; 式=M2-16=(M+4)(M-4).将M还原， ②x2-x-12. 则原式=(x十2y十4)(x十2y-4).上述解 题过程用到的是“整体思想”.请用“整体思 想”解决以下问题： 【数学理解】(1)因式分解：(a-2b)2-6(a 2b)+9. 上册第1章