1.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式进行四式分解-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第2课时利用完全平方公式进行因式分解 y 要点提园 用完全平方公式因式分解：把乘法公式中的完全平方公式(a士b)2=a2士2ab十b反过来远用，就可以把多 项式a士2ab+b因式分解，即a+2ab十b3三(a十b,a2一2ab十b2三(a一b.也就是说两个数的平方和 加（或减）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方： 忽课内基础练 5.把下列多项式因式分解： 知识点① 直接利用完全平方公式进行因式 (1)4a2-12a+9= 分解 1 (2)6a2+a+4= 1.将下列多项式进行因式分解，其结果是(x (3)(m+n)2-6(m+n)+9 3)2的是 A.x2+3x B.x2+6x十9 C.x2-9 D.x8-6x+9 知识点② 综合运用多种方法进行因式分解 6.把4a3一4a十a进行因式分解，结果正确的 变式题(2025南安期末)小明利用完全平 是 () 方公式进行因式分解“x2■十4y2=(x十 A.(2a-1) B.(2a+1) 2y)2”时，墨迹将“x2●十4y2”中的一项及 C.a(2a-1)2 D.a(2a+1)2 其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是 7.因式分解： ( (1)(2024达州)3x2-18x+27= A.4xy B.2xy C.-4xy D.-2xy 2.已知下列多项式：①x2+xy十y2;②-x2+ (2)2ab2-4ab3+2ab= 2xy-y2,③x2+6xy-9y,④x2-x+4 易错点因漏项、分解不彻底致错 其中能用完全平方公式进行因式分解的是 8.把下列多项式因式分解： (1)2a2b+16ab+32b. A.②③④ B.①③④ C.②④ D.①②③ 3.因式分解： (1)(2024西藏)x2-4x十4 (2)16x-8x2y2+y 9 (2)x2+3x+ 4.若x+16x十k能用完全平方公式进行因式 分解，则常数的值是 (3)(a2+4b2)2-16a2b2. 变式题若a3十(m一3)a十4能用完全平方 公式进行因式分解，则常数m的值是 八年级数学X划版 已课外拓展练 13.结论开放题给出三个多项式：①a2十3ab 9.(2025德阳旌阳区期末)如果多项式x2十1 -2b2:②b3-3ab:③ab+6b2. 加上一个单项式后，能够直接用完全平方公 (1)请任意选择两个多项式进行加法运算， 式进行因式分解，则添加的单项式不可以是 并把结果因式分解. (2)当a=2,b=一3时，求(1)中所得的代 数式的值. 1 A.2x B.-2x C. D.-4 10.(2024通辽)因式分解：3ax2-6a.xy+3ay 11.(教材变式)用简便方法计算： a×8.-号×8.7x2.7+x2. 已核心素养练 14.运算能力先阅读下面的内容，再解决问题。 例题：若m2+2mn+2n2-6n十9=0，求m 和n的值. (2)198-396×202+2022. 解：因为m2十2mn十2n2-6n十9=0， 所以m2十2mn十n2十n3-6n十9=0， 所以(m+n)2+(n-3)2=0, 所以m十n=0,n一3=0， 所以m=-3,n=3. (1)若x2+2y2-2xy-4y+4=0,求x 1 12.已知a=202 1 +2024,b=2025+2025,c 的值 2025+2026,求2(a2+62+c2-ab-6c 1 (2)当a,b为何值时，多项式4a2+b2+4a 一6b一8有最小值？请求出这个最小值. 一ac)的值. 上册弟1章参考答案 第1章因式分解 10.解：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)2=(x-3y)2[7y+2(x- 1.1多项式的因式分解 3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).因为2x 1.D 十y=6,x一3y=1,所以原式=6. 2.解：(1)不是因式分解 11.解：因为a十b=x十y=3,所以(a十b)(x十y)=9, 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，放 所以ax十ay十bx+by=(ax+by)+(ay+bx)=9. 不是因式分解 因为ax十y=7,所以ay十bx=2,所以(a2+b)xy十ab(x (2)是因式分解.因式分别为x,x十1和x一1 +y)=a'xy+b'xy+abxi+abyi=az(ay+bx)+by(bx+ (3)不是因式分解 ay)=(ay+ba)(ax+by)=2×7=14. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式，故不是因式 1,3公式法 分解， 第1课时利用平方差公式进行因式分解 3.(1D(x-1)(x+2)(2)(m+5m)(m-5n)4.C5.B 1.D2.D变式题-363.C 6.4 4.(1)(x+2)(x-2)(2)(a+4b)(a-4b)5.6 7,解：(1)因为x(3x十y)=3x°+xy, 6.不正确4一62还可以再因式分解成(2+)(2-b) 所以因式分解3x2+xy=x(3z十y)正确 7.解：(1)原式=(x+3+4)(x十3一4)=(x+7)(x一1) (2)因为(a十8)(d-3)=a2+5a-24≠a2-5a-24, (2)原式=[3(x-y)了-[2(x+y)=(3x-3y+2x+ 所以因式分解a2一5a一24■(a十8)(a一3)不正确. 2y)(3x-3y-2x-2y)=(5x-y)(x-5y). 8.解：因为x十mx一n可以因式分解为(x十7)(x一3)， 8.C9.600 所以(z十7)(x-3)=x2+4x-21=x°+mx一n, 10.解：(1)原式=4(9m2-n2)=4(3m十n)(3m-n) 所以m=4,n=21,所以5m一N=5×4-21=一1， (2)原式=(x一2)(x2-16)=(x-2)(x+4)(x-4)」 所以(5m一)25=(-1)2s=一1. 11.必须进行到每一个因式都不能分解为止3(a十b)(b-a) 1.2提公因式法 12.D13.B14.A15.B16.517.30 第1课时提单项式公因式 18.解：1)原式=3(m一16)=3(m2+4)(m2一4)=3(m十 1.B2.B3.D 4)(m十2)(m-2). 4.(1)x(x-3)(2)ab(a-5b)变式题2m2-4m (2)原式=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)一(a-b)] 5.1+2x-7y =(3a+36+a-b)(3a+3b-a+b) 6.解：(1)原式=8x2(3a-1), =(4a+2b)(2a+46) (2)原式=-2nm(3m3-2n) =4(2a+b)(a+2b) 7.D8.A9.1 19.解：因为x一x=(x一y)十(y一x)=6,x十x=14,所以x 10.解：(1)原式=2xy(x-8十12y). 一x2=(x十x)(x-)=14×6=84. (2)原式=xm-2y-2(3x2+y2. 20.解：(1)不是是 11.解：依题意，得2(m十n)=10,mn=6, (2)不是8的倍数.因为(2m十2)2-(2m)2=(2m十2+ 所以m十■5，所以m°n十mn2十3mn=mn(m十程十3)■6 2#)(2m十2-2m)=2(4n十2)=4(2m十1)，所以由这两个连 ×(5+3)=48. 续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数。 故代数式mn十mm+3mn的值为48。 (3)(4-2)+(82-62)+(122-102)+…+(2002-1982) 第2课时提多项式公因式 -4×3+4×7+4×11+…+4X199-4×3+199×50 1.C2.B3.A 2 4.(1)(a-b)(m-n)(2)(a+b)(2a+2b+3) =20200. 5.2(x-1)十x(x-1)(答案不难一) 第2课时利用完全平方公式进行因式分解 6.解：(1)原式=(2m一n)(2m十3n一n) 1.D变式题A2C3@-2(2(+》 =(2m-n)(2m十2n) =2(2m一万)(m十n) 4.64变式题7或-1 (2)原式=(x-y)2+(x-y)=(x-y)(x-y十1). 5解：2a-2(4+2)°3m+n-时 (3)原式=x2(3x+1)-3(3x+1D 6.C7.1)3(x-332(2)2ab2(a-b) =(3x+1)(x1-3). 一题多解法《 8.解：(1)原式=26(a+8a十16)=26(a十4) (2)原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y) (3)原式=(3x一9x)十(x一3) (3)原式=(a2+462+4ab)(a2+4场2-4ab) =3x(x3-3)+(x3-3 =(a+2b)2(a-2b)3, =(x-3)(3z十1). 9.D10.3a(x-y) 7.B8.A9.C 11.解：10藤式子×(3,7-2×3,7×2.7+27) 上册参考答案 175 a7-2.-号 8.解：(1)令a-2b=M, 则原式=M一6M+9=(M-3) (2)原式=1982一2×198×202+202=(198-202)2=16。 将M还原，则原式=(a一2b一3)” 1 1 12.解：因为a=202s+2024,b=202s+2025,c=2025 (2)令ab2-4a=N,则原式=N(N-2)+1=N2-2N十1 =(N-1)2 2026,所以a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2, 将N还原，则原式=(a2b一4a一1)≥0， 所以原式=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac 所以无论a,b取何值，(a26-4a)(a22-4a-2)十1的值 =a2-2ab+62+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2 一定是非负数 =(a-b)2+(b-c)2+《a-c)2 9.解：(1)不能 =(-1)2+(-1)2+(-2)° (2)①x2十8x+12 =6. =x2十(2十6)x十2×6 13.解：示例：1)选择①和③ =(x十2)(x十6) a+3ab-26*+ab+6b* ②x2-x-12 =a2十4ab+4b =x2+[3+(-4)]x+[3×(-4)] =(a十2b)2 =(x十3)(x-4). (2)当a=2,b=-3时，原式=(2-6)2=16. 14.解：1)因为x2+2y2-2xy-4y十4=0，所以x2十y2-2xy 章末对点导练 十y2-4y十4=0，所以(x-y)2十(y-2)2=0,所以x-y 1.② =0,y一2■0，所以x■y■2，所以x￥■22=4 2.解：①③不是因式分解，②是因式分解 (2)原式=(4a2+4a十1)十(b2-6b+9)-18 因为(a-1)(a+1)=a十a一42一1，所以②是正确的. =(2a+1)2+(6-3)2-18. 3.B 因为(2a十1)2≥0.(b-3)2≥0，所以当2a+1=0且b-3= 4.(1Dm(m-7)(2)y(x+6)(x一6)(3)2025(x-1)1 5.2变式题20256.(x+3)(x-2) 0,即4=- 2且6=3时，原多项式有最小值，最小值是一18 7.解：(1)原式=(x一a)(x一4十4m一m一n 解题方法专题因式分解的常用方法 =(x-4)(x-a+3m-n). (2)原式=(a+3b)(a-3b)+(a-3动】 1.解：(1)原式=3x“(x2+9) =(a-3b)(a+3b+1. (2)原式=2a(a+b)[2(a-b)-3(a+b)] (3)原式=x[(x+y)-6(x+y)+9] -2a(a+b)(2a-26-3a-3b) =x(x+y-3)2 =2a(a+b)(-a-56) (4)原式=(x2-1)2-8(x2-10 =-2a(a+b)(a+5b). =(x1-1)(x8-9) 2.解：(1)原式=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)] =(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) =(4a.-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-36) (5)原式=[(y2-1)-3] =(7a-b)(a-7b). =(y2-4)2 (2)原式=(5m2+3m2+3m2+5n2)(5m2+3n2-3m2-5m2) =(y+2)°(y-2)2 =(8m2+8n2)(2m2-2m2)=16(m2十n2)(m十n)(m-n) (6)原式=x2-y2十(3x十3y) 3.C4.D =(x十y)(x-y)+3(x+y) 5.解：(1)原式=4xy-4z2-y2=-(4x2-4xy十y2)=-(2z =(x十y)(x-y十3)， -y)2 8.解：因为a2-62+2b+9=a2-(62-2h+1)+10=a2-(6- 2)原武=x+3+2+=+3x+-(+2月 1)2+10=(a+b-1)(4-6+1)+10. 6.解：(1)完全平方公式 又因为4十b=1, (2)⑩原式=y2-(x”-6x十9) 所以a十b一1=0 =y2-(x-3)2 所以a2-2+26十9=10. =(y十x-3)(y-x十3)： ◆一题多解法、 ②原式=(a2十2ab+b2)+c(a+b 因为a2-b2+26+9=(a十b)(a-b)+2b+9, =(a+b)2+c(a十b) 在十b=1, =(a十b)(a+b+c) 所以a2-02+20+9=a-6+2+9=4十6+9=10. 7.解：(1)原式=x-4x十4-4+3 =(x2-4x十40-1 9.解：因为2(x-1)(x-9)=2(x2-9x-x+9)=2(x2-10x =(x-2)°-1 +9)=2x2-20x+18, =(x-2+1)(x-2-1) 所以m=2.b=18. =(x-1)(x-3). 因为2(x-2)(x-4)=2(x2-4x-2x+8)=2(x-6x+8) (2)原式=4x2+12x+9-9-7 =2x2-12x十16，所以a=-12,所以mx2+ax十6=2x2 =(4x2+12x十9)-16 12x+18=2(x-6x+9)=2(x-3)2 =(2x+3)2-16 10.D11.60x12.140213.18 =(2x+3+4)(2x十3-4) 14.解：因为U=R1十IR十IR,,R:=19.76,R2=32.41,R =(2x+7)(2x-1). =35.83,I=2.5, 176 八年级数学X版