1.3 公式法 第1课时 利用平方差公式进行因式分解-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

1.3 公式法 第1课时利用平方差公式进行因式分解 里固提园 1公式法：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种阳式分解的方法叫作会 式法 2.用平方差公式因式分解：花乘法公式中的平方差公式(a十b)(a一b)=a2一b反过来运用，就可以把多项 式a2-b因式分解，即a-b=(a十b)(a二b】,也就是说两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的积 课内基础练 7,将下列多项式因式分解： (1)(x十3)2-16.(2)9(x-y)2-4(x十y) 知识点① 直接利用平方差公式进行因式分解 1.(2025泉州泉港区期末)下列各多项式中，能 直接用平方差公式因式分解的是 A.a2+9 B.a2-6a+9 C.-a2-9 D.a2-9 知识点② 先提取公因式再利用平方差公式 2.(2025南阳期未)因式分解(x一1)2一9的结 进行因式分解 果是 8.因式分解2x2一18的结果是 () A.(x-10)(x十8) B.(x+8)(x+1) A.2(x-9) B.2(x-3) C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4) C.2(x十3)(x-3) D.2(x+9)(x-9) 9.(教材变式)利用平方差公式计算15×112 变式题如果多项式ax2+y2只能因式分 15×9,结果为 解为(3x+2y)(3x-2y),则ab= 10.把下列多项式因式分解： 1)36m2-4n2.(2)x2(x-2)-16(x-2). 3.下列单项式中，使多项式16a2+M能用平 方差公式因式分解的M是 ( A.a B.62 C.-b2 D.-16a 4.因式分解： 易错点因式分解不彻底导致出错 (1)(2024德州)x2-4 11.观察对话并填空. (2)a8-16b2 (a+2b)2-(2a+b月 [(a+2h)+(2a+b)][(a+2h)-(2a+b)] x-2y=2, =(3a+3站）(b-a). 5.若x,y满足 则代数式x2一4y 小明 x十2y=3, 你的结果不对，3+36还可以蛙续分解. 的值为 小红 6.因式分解：16-b4=(4+b)(4-b2). 上述对话告诉我们：在因式分解时， 上述结果 (填“正确”或“不 正 正确”).理由： 确的结果应是 八年级数学划版 已课外拓展练 (2)9(a十b)2-(a-b)2. 12.因式分解(2x十3)2-x2的结果是( A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3)D.3(x+1)(x+3) 13.将(2x)”-81因式分解后得(4x2+9)(2x 十3)(2x一3)，则n等于 19.已知x-y=3,y一名=3，x十x=14,求x2 A.2 B.4 C.6 D.8 一x2的值. 14.原创题海海有一本密码本，他通过所学知 识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、 楼、记”分别对应“m十1,3，a一b,m2-1,m 一1，a十b,3a+3b,a+3b”.通过将a(3m 色核心素养练 3)十3b(m2-1)因式分解就可得到密码， 则密码本的密码可能是 ( 20.新定义题推理能力在数的学习过程中，我 们总会对其中一些具有某种特性的数充满 A.藤王阁序 B.岳阳楼记 好奇.例如，如果一个正整数能表示为两个 C.滕王阁 D.岳阳楼 连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 15.计算(1-)×(1-)×(1-)×…× “智慧数”，例如，12=42-22,20=62一42， （1-品)×1-d0)的结聚是 28-82一62，我们称12,20,28这三个数为 “智慧数” 410u 200 B c (1)40 “智慧数”，44 “智慧数”.（填“是”或“不是”） 16.若x十y=2,x2一y2=10,则x-y= (2)设两个连续偶数是2n和2n十2（其中n 取正整数)，由这两个连续偶数构造的“智 17.如图，大小不一的两个等腰直角三角形用 慧数”是8的倍数吗？为什么？ 两种方法摆放，其中AB=15,CD=4.设两 (3)如下图，拼叠的正方形边长是从2开始 个三角形的直角边长分别为x和y(x>y 的连续偶数，按此规律拼叠到正方形AB >·),则图中阴影部分的面积为 CD,其边长为200.求阴影部分的面积. 第17题国 18.因式分解： (1)3m4-48. 上册第1章 5△参考答案 第1章因式分解 10.解：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)2=(x一3y)2[7y十2(x- 1.1多项式的因式分解 3y]=(x-3y)°(7y十2x-6y)=(x-3v)(2x十y).因为2x 1.D +y=6,x-3y=1,所以原式=6， 2.解：(1)不是因式分解 11.解：因为a+b=x十y=3,所以(a十b)(x+y)=9, 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，放 所以ax十ay十bx+by=(az十by)十(ay十bx)=9 不是因式分解 因为ax十y=7,所以ay十bz=2,所以(a2+2)xy十ab(x (2)是因式分解.因式分别为x,x十1和x一1 +y)=a'xy+b'xy+abxi+aby*=az(ay+bx)+by(bx+ (3)不是因式分解， ay)=(ay+bx)(a.x+by)=2×7=14. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式，故不是因式 1,3公式法 分解. 第1课时利用平方差公式进行因式分解 3.(1)(x-1D(x+2)(2)(m+5n)(m-5n)4.C5.B 1.D2.D变式题-363.C 6.4 4.(1)(x+2)(x-2)(2)(a+4b)a-4b)5.6 7.解：(1)因为x(3x十y)=3x2十xy, 6.不正确4一名2还可以再因式分解成(2+)(2一) 所以因式分解3x2十xy=x(3x十y)正确 7.解：(1)原式=(x+3+4)(x十3-4)=(x十7)(x一1) (2)因为(a十8)(a-3)=42+十5a-24≠a2-5a-24 (2)原式=[3(x-y)]了-[2(x+y)]=(3x-3y十2x十 所以因式分解a2一5a一24=(a十8)(a一3)不正确. 2y)3x-3y-2.x-2y)=(5x-y0(x-5y). 8.斜：因为x2十mx一n可以因式分解为(x十7)(x一3)， 8.C9.600 所以(z十7)(x-3》=x3+4x-21=x8+x-元， 10.解：1D原式=4(9m2-n2)=4(3m十n)(3m-n). 所以m=4,1=21,所以5m-n=5×4一21=-1， (2)原式=(x-20(x2-16)=(x-2)(x+4)x-4). 所以(5m一)2s=(一1)2=一1. 11.必须进行到每一个因式都不能分解为止3(a十b)(-a) 1.2提公因式法 12.D13.B14.A15.B16.517.30 第1课时提单项式公因式 18.解：(1)原武=3(m-16)=3(m2+4)(m°-4)=3(m°+ 1.B2.B3.D 4)(m十2)(m-2). 4.(1)x(x一3)(2)ab(a-5b)变式题2m2一4m (2)原式=[3(a+b)十(4-)][3(4十b)一(a-6)] 5.1+2x-7y =(3a十3b十4-6)(3a+3b-4+b) 6.解：(1)原式-8x2(3a-1D, =(4a+2b)(2a+46) (2)原式=-2m(3m2-2m), =4(2a+b)(a+25). 7.D8.A9.1 19.解：因为x一元=(x一y)十(y一x)=6,x十￥=14，所以x 10.解：(1)原式=2xy(x-8十12y). -±2=(x十x)(x-x》=14X6=84 (2)原式=x-2y2(3x2+y2). 20.解：(1)不是是 11.解：依题意，得2(m十m)=10,mn=6, (2)不是8的倍数.因为(2m十2)2-(2m)2=(2m十2+ 所以雅十n■5，所以m°戏十n为2十3mm■mn(m十n十3)=6 2m)(2m+2-2m)=2(4w十2)=4(2m十1)，所以由这两个连 ×(5+3)=48. 续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数， 故代数式m2十mn十3mn的值为48. (3)(4-2)+(82-62)+(122-102)+…+(2002-1982) 第2课时提多项式公因式 =4×3+4X7+4×11+…+4X19g=4×3+199×50 1.C2.B3.A 2 4.(1)(a-b)(m-n)(2)(a十b)(2a+2b+3) =20200. 5.2(x一1)十x(x-1)(答案不难一) 第2课时利用完全平方公式进行因式分解 6.解：(1)原式=(2m一n)(2m十3m-n》 =(2m-n)(2m十2n) 1D变武题A20a-2驴2(e+》 =2(2m一n)(m十刀) 4.64变式题7或-1 (2)原式=(x-y)+(x-y)=(x-y)(x-y十1. 5解：a2a-322(侵a+2）”80m十n-3 (3)原式=x(3x十1)-3(3x十1) 6.C7.(1)3(x-3)2(2)2ab2(a-b)3 =(3x+1)(x1-3) 8.解：(1)原式=2b(a”十8a十16)=2b(a十4)2 一题多解法、 (2)原式=(4x2-y2)2-(2x十y)2(2x-y) (3)原式=（3x1一9x)十(x4一3)】 (3)原式=(a2+462+4ab)(a°+4场-4eb) =3x(x3-3)十(x3-3) =(a+25)2(a-26)3, =(x-3)(3十1) 9.D10.3a(x-y2 7.B8.A9.C 1.解：0原式-号×8-2X3.7×么7+29 3 上册参考答案 175