精品解析：重庆市巴渝学校2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

重庆市巴渝学校2024-2025学年度（上）第二次月考 九年级数学试题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中是无理数（ ） A. B. C. D. 2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 5. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ） A. B. C. D. 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________． 12. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 14. 某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______ 15. 若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为________． 16. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，与反比例函数和的图象分别相交于点和点，点是轴上一点，连接．若的面积为8，则的值为______． 17. 如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______． 18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数” 的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则__；若一个四位数，，，，，，，均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的的最小值为 __． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 解方程 （1） （2） 20. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，E：．并给出了部分信息： 【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的； 八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75 【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图： 【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 76 75 73 八年级 76 a 69 （1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数． 21. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹） ∵四边形是平行四边形， ∴①______ ∴， ∵平分， ∴， ∴②______ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴③______， ∵，， ∴垂直平分， ∴④______， ， ∴四边形是菱形． 22. 如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． （1）若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； （2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 23. 如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． （1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 25. 已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，，求的最小值和此时M点的坐标； （3）在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 26. 已知，中，，，交于点，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． （2）如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴渝学校2024-2025学年度（上）第二次月考 九年级数学试题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中是无理数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，解题的关键是掌握：无理数的定义：无限不循环小数；整数与分数统称为有理数．据此进行判断即可． 【详解】解：A．是有限小数，不是无理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：这个几何体的俯视图是： 故选：B． 【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题关键． 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为， 故选：B． 5. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行、同旁内角互补求得的度数，然后再根据对顶角的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，运用平行线的性质求得是解答本题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算出原式等于，再根据，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在7和8之间， 故选：D． 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式． 【详解】由图可得， 甲烷的化学式中的有1个，有（个， 乙烷的化学式中的有2个，有（个， 丙烷的化学式中的有3个，有（个， ， 十二烷的化学式中的有12个，有（个， 即十二烷的化学式为， 故选：C． 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的相关性质． 根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，“矩形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“菱形的对角线互相垂直平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“正方形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，平行四边形不是轴对称图形，“矩形、菱形、正方形都是轴对称图形”不正确，符合题意，选项正确． 故选：． 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：， 故①正确； ②对，，5进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点到和5的距离之和， 的最小值为， ，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③正确， 综上，故有2个正确的． 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，特殊角的三角函数值的计算，零次幂的计算，掌握其运算法则是解题关键． 分别算出算术平方根，特殊角的三角函数值，零次幂的结果，最后算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中找出能配成紫色的情况，即可求出配紫的概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有2种， 所以，能配成紫色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“正多边形每个内角与它相邻外角的度数”之间的关系可求出其外角的度数，再根据“正多边形的每一个外角都相等且外角和是”进行 计算即可． 【详解】解：这个正多边形的外角为， 所以这个正多边形为， 即这个正多边形为正六边形，边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提． 14. 某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______ 【答案】 【解析】 【分析】设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年植树400棵，第三年植树625棵”列出方程，即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 15. 若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解集求参数的取值范围，根据分式方程解的情况求参数．先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程解的情况求出的取值范围，即可求出整数的值，进而求解． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； 关于的分式方程， 去分母，得， 整理，得， 即，且，， 即， 故， 当时，， ∴， ∵分式方程的解为整数解， 即是整数， 故是整数，且， 当时，此时（舍去）， 当时，此时，则，， 当时，此时（舍去）， 当时，此时，则，， 综上，的值为、， 故满足条件整数的和为． 故答案为：． 16. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，与反比例函数和的图象分别相交于点和点，点是轴上一点，连接．若的面积为8，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及值的几何意义，三角形面积的转化，连接、，轴，则，反比例函数得，则，根据的几何意义得即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴， ， 反比例函数， ， ， ． 故答案为：9． 17. 如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考差了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数交点坐标．以交点为原点，建立平面直角坐标系，得出，过点N作y轴的垂线，垂足为点E，推出，通过证明，得出，用待定系数法求出的函数解析式为，的函数解析式为，进而求得，根据两点之间的距离公式得出，，即可解答． 【详解】解：以交点为原点，建立平面直角坐标系， ∵， ∴，． ∴，， ∴， 过点N作y轴的垂线，垂足为点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设的函数解析式为， 把代入， ， 解得：， ∴的函数解析式为， 设的函数解析式为， 把，代入， ， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立，， ， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数” 的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则__；若一个四位数，，，，，，，均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的的最小值为 __． 【答案】 ①. 82 ②. 1461 【解析】 【分析】分别求出和，把和代入，并整理得，或，即可求出；因为，可得千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：、、、，由题意得，即，进而求得，由于除以13余1，故能被13整除，将变形为，可知也能被13整除．由，可推出，分类讨论,分别求出符合条件的的值，进而求出符合条件的、、的值即可． 【详解】解：由题意得，， 将的个位数字去掉得，将四位数的千位数字去掉后， ，或， ； ， 这个“双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：、、、， ， ， ， 除以13余1， 能被13整除， ， 能被13整除， ，， ，， ， ①当时，， ，，且、为整数， 此种情况不符合题意，舍去； ②当时，，即 ，，且、为整数， ， ， ，1，2，3，4，5， ③当时，， ，，且、为整数， 此种情况不符合题意，舍去； ④当时，， ，，且、为整数， 此种情况不符合题意，舍去； ⑤当时，， ，，且、为整数， 此种情况不符合题意，舍去； 综上，的取值为0，1，2，3，4，5， ，，，均为非负的整数，，， 当时，取值最小，把代入，得；把，代入，得，整理得，， ，，根据一次函数增减性可知，由得值随着的增大而增大， 当时，， 综上，当取最小值时，，，， ． 故答案为：82；1461． 【点睛】本题是新定义型，主要考查因式分解的应用，整式的加减和不等式的性质等知识，难度大，理解新定义，将整理得或以及运用分类讨论的思想是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 20. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，E：．并给出了部分信息： 【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的； 八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75 【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图： 【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 76 75 73 八年级 76 a 69 （1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数． 【答案】（1），，补全条形统计图如图： （2） 七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下： 虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好； （3）对防自然灾害知识掌握较好的学生人数为1336人 【解析】 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到的值，根据七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的求出七年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形统计图； （2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可； （3）分别求出该校七、八年级不低于80分的人数，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：由题干数据可知， ， ， 七年级D等级的学生人数为：（人）， E等级的学生人数为：（人）， 补全条形统计图略 答：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人）． 答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人． 【点睛】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹） ∵四边形是平行四边形， ∴①______ ∴， ∵平分， ∴， ∴②______ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴③______， ∵，， ∴垂直平分， ∴④______， ， ∴四边形是菱形． 【答案】 如图所示为所求作的图形： ①；②；③；④ 【解析】 【分析】根据题目要求作图即可；证明，得出，证明，得出，证明垂直平分，得出，即可得出，说明四边形是菱形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定． 22. 如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． （1）若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； （2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 【答案】（1）4 （2）15名 【解析】 【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为”，列出方程，即可求解； （2）设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 解得： 答：a的值为4． 【小问2详解】 解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得： ， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲组有15名同学． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． （1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 绘制图象如下： 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） （3）当时的取值范围为：或 【解析】 【分析】（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：，， 则， 即， 则四边形为矩形， 在中，，，则， 则矩形为边长为4的正方形， 当点在上运动时， 过点作于点， 则， 当点在上运动时， 同理可得：， 即； 【小问2详解】 当时，，当时，，当时，； 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 从图象看，当时的取值范围为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏． 24. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【小问1详解】 分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ 【小问2详解】 16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 25. 已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，，求的最小值和此时M点的坐标； （3）在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的最小值为； （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 已知，中，，，交于点，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． （2）如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）证明：延长至M使得，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， 在中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）延长至M使得，连接、、，证明，进而证明，得出则，，即可求解； （3）以为圆心的长为半径，作，作，证明，得出当三点共线时，最小，进而可得的最大值为，证明是等腰直角三角形，解直角三角形，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴ ∵交于点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵为平面内一动点，将沿翻折得， ∴，在上， 又∵垂直平分，则， ∴的最大值为， 过点作于点， 在中， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，，则 设，则 解得： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，一点到圆上的最值问题，解直角三角形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $