15解题技巧专练 等腰三角形中作轴助线的常见方法-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

当底角的度数为x十30°时，由题意，得x十2(x十30)= 解题技巧专练等腰三角形中 180°，解得x=40°，则x十30°=70 此时三个内角的度数分别为40°，70°，70： 作辅助线的常见方法 当底角的度数为x一30°时，由题意，得x十2(x一30) 1.正明：如图，过点B作BG∥CF交FD =180°， 的延长线于点G,则∠G=∠F. 解得x=80,则x一30=50. ,D为BC的中点，BD=CD 此时三个内角的度数分别为80°，50°，50 AE-AF. 综上所述，这个等腰三角形三个内角的度数分别为40'，70”， ∠F=∠AEF 70或80°，50°，50°， :∠AEF=∠BEG, 4.解：分以下三种情况讨论： .∠G=∠BEO,.BE=BG ①当顶角为(2x一2)°时，(2x一2)十2(3x一5)=180，解得x 在△GBD与△FCD中， =24,.2x-2=46,3x-5=67, ∠BDG=∠CDF, .这个等腰三角形三个内角的度数分别为46°，67“，67： ∠G=∠F, ②当顶角为(3x一5)时，(3x一5)+2(2x一2)=180，解得x BD=CD. =27, .△GBD≌△FCD(AAS), .2x-2=52,3x-5=76, ..BG=CF,..BE=CF. ".这个等腰三角形三个内角的度数分别为76”，52”，52： 2.正明：如图，过点A作AF∥BC,交BD ③当两个底角分别为(2x一2)°和(3x一5)时，2x一2■3x 的延长线于点F, 5,解得x=3,∴.2x-2=4, ∠F=∠DBC,∠FAD=∠C. ∴.顶角为180°-2×4°=172° .∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC ∴.这个等腰三角形三个内角的度数分别为172,4,4. .∠ABD=∠DBC=∠C, 综上所述，这个等腰三角形三个内角的度数分别为46,67”， .∠F=∠FAD=∠ABD,BD=CD 67或76°，52,52或172,4°，4 .AD=DF,AB=AF. 5.D6.A7.25 ,AE⊥BD, 8.解：分以下两种情况讨论： 1 ①在等腰三角形ABD和等腰三角形ACD中，DA=DB, :BE=EF=之BF. DA=DC.如图①，则∠B=∠DAB,∠C=∠DAC .AC=AD+CD=DF+BD=BF. AB=AC,,∠B=∠C,,∠B=∠C .AC-2BE. =,∠DAB=∠DAC. 3.证明：如图，过点E作EF LAC于点F 又三角形的内角和为180°， .∠C=45°： EA-EC,AF-AC. ②在等腰三角形ABD和等腰三角形 图①D 又，AC=2AB,.AF=AB ACD中，AB=DB,DA=DC,如图②，则∠DAB=∠BDA :AD平分∠BAC, ∠DAC=∠C .∠FAE=∠BAE AB=AC,∴∠B=∠C AF=AB. ∠BDA=∠C十∠DAC=2∠C, 在△AEF和△AEB中，∠FAE=∠BAE .∠DAB=2∠C, EA-EA. .∠B+∠DAB+∠BDA=5∠C= .△AEF≌△AEB(SAS), 180°，∴.∠C=36 .∠AFE=∠ABE=90,即EB⊥AB 综上所述，∠C的度数为45或36 4.证明：(1)AE LBD,.∠AFB=∠BAC=90°， 9.A10.75或15°11.B12.B .∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAE=90° 13.解：设这个等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm .∠ABD=∠CAE 1 (2)如图，过点C作CM⊥AC,交AE +2x=12, 由题意，得 的延长线于点M,则∠ACM=90°， 1 2x+y=12 2x+y=9, .∠ACM+∠BAC=180, .CM∥AB, 条得化二该化亿 ∠MCE=∠ABC y=5. AB=AC, 故这个等腰三角形的腰长为6cm,底边长为9cm或腰长为 .∠ABC=∠ACB, 8cm,底边长为5cm .∠MCE=∠ACB 14.1或515.4或12 ∠DAB=∠MCA, 16.解：如图，分以下三种情况讨论： 在△ABD和△CAM中，〈AB=CA, ①当OC=PC,即点P在P,处时， ∠ABD=∠CAM ∠COP,=∠CPO=70°， .△ABD≌△CAM(ASA), .∠OCP1=180°-∠OP1C-∠COP ∠ADB=∠M,AD=CM =40°： ,D为AC的中点，.AD=CD=CM ②当OP=OC,即点P在P,处时， CD=CM, ∠0cP,=180'-∠A0 2 =55” 在△CDE和△CME中，∠DCE=,∠MCE, CE-CE, ③当PO=PC,即点P在P,处时， .△CDE2△CME(SAS), ∠OCP.=∠C0P,=70°. ∠CDE=∠M, 综上所述，∠0CP的度数为40"或55或70 ,∠ADB=∠CDE 196 八年级数学R刷版 5.证明：如图，在BC上取点E,使EB 由图可知，A1(-3,一4)，B(-1,-1),C(-5,-2) AB,连接DE, 7.D8.140° 变式题C BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠EBD 9.解：(1)证明：：AD为△ABC的角平分线， 在△ABD和△EBD中， ·∠BAD=∠CAD.由作图用，AE=AF (AB=EB. AE-AF. ,∠ABD=∠EBD 在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FAD, BD=BD. AD=AD. .△ABD2△EBD(SAS), .△ADE≌△ADF(SAS),.DE=DF ∠A=∠BED=108,∴∠DEC=72 (2):∠BAC=80',AD为△ABC的角平分线， :AB=AC,“∠C=∠ABC=7×a80°-108)=36， ∠EAD=号∠BAC=40 2 ∴.∠CDE=180°-∠DEC-∠C=72°， 1 ∴.∠CDE=∠DEC,∴.CD=EC 由作图知，.AE=AD,∠ADE=zX(180°-40)=70 则BC=EC+EB=CD+AB. :AB=AC,AD为△ABC的角平分线 6.证明：延长BA到点E,使AE一AD,连接DE,如图 ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90, ∠BAD=120°，∴.∠DAE=180°-120°=60 ∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-70°=20， 又'AE=AD,.△DAE是等边三角形， 10.A11.912.1613.A14.C15.2 .DE=AD,∠E=60. 16.正明：(1)，D为BC的中点，，BD■CD 'BE=AB十AE,AC=AB十AD,AE=AD BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C BEAC. ∠E=∠DAC, BD=CD, 在△BDE和△CDA中，∠DBE=∠C, 在△BDE和△CDA中，BE=CA, IBD=CD. DE=DA, ∴，△BDE2△CDA(AAS) ,∴.△BDE2△CDA(SSS),∴.∠E=∠CAD=60 (2):△BDE2△CDA,.ED=AD ∠BAD=120°，∠BAC=∠CAD=60' ,AD⊥BC,∴，BD垂直平分AE,,BA=BE ∴AC平分∠BAD 第十六章 整式的乘法 7.解：选择1：(1)① (2)CD 16.1 幂的运算 理由：如图①，在CD上取一点M,使DM=BD,连接AM. ,AD为△ABC的高， 16.1.1同底数幂的乘法 .AD⊥BM,∴AB=AM,.∠B=∠AMB 1.D2.A3.5变式题(1)9(2)5 :∠AMB=∠C+∠CAM,∠B=2∠C,∴∠CAM=∠C, 4.解：(1)原式=3x+9十x2+0一2z1++8=3x+x-2x日 ∴.AM=CM,∴.AB+BD=AM+DM=CM+DM=CD,即 =2x“ AB十BD=CD. (2)原式=-a3*-(-a)*1=一a5十a'=0. 5.3 6.解：(1)2“=8,2°=16， ∴，2**+1=2×2×22=8×16×8=1024 (2)a+=a2+y·a*=24,a中力=6，.a2=24÷6=4. 7.解：不正确，理由如下： 选择2：(1)2② (a-b)°·(b-ay·(a-6)-3=(a-b)m· (2)AC [-(a-6)]3.(a-b)-2=-(a-b)m·(a-6)3·(a- 理由：如图②，延长AB至点N,使BN=BD,连接DN,则 b)n-8=-(a-b)2a+m+1,(a-b)2m·(b-a)3。(a-b)- ∠N=∠BDN. (a-b)t+1 ,∠ABD=∠N+∠BDN,∠ABD=2∠C,.∠N=∠C. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 又，AD为△ABC的角平分线，'.∠NAD=∠CAD 1.A2.C3.B4.A5.2"r 'AD=AD,.△AND2△ACD(AAS),∴，AN=AC, 6.解：(1)原式-3x2-7x12=-4x2 ∴，AB+BD=AB+BN=AN=AC,即AB十BD=AC (2)原式--2a-a+6=-2a边-a2=-3a 7.C 章末对点导练 8.解：m=21=(2)5,n=35=(3)6 1.D2.B3.(1D130°(2)154.95°5.4 2<3,(2)<(3)“,即m<m 6.解：(1)如图所示，△A1B,C1即为所求 9.解：(1)3=5,3"=2， (2)如图所示，△A:B2C:即为所求， .3m++1=(3)1×(3")产×3=5×22×3=1500. y (2)13-11+3-2=0,∴.3*=1,3=2 .3#X3￥=(3)X(3)4=11X2=16. (3)x=3, (x#-4(x)=x-4红“=-3x=-3(x2m)1=-3 ×3=-81. 10.A11.B12.D13.B14.A15.xy°16.2xa 17.解：原式=-27a·a3+16a3·a'-125a =-274°+16a-125a" =-136a’ 18.解：原式=4x“-x“=3xm=3(x2)3=3×2=24. 19.-120.4 上册参考答案 197解题技巧专练 等腰三角形中作辅助线的常见方法 题型① 作平行线 题型② 作垂线 1.如下图，在△ABC中，过BC的中点D作 3.如右图，在△ABC中，AC DF交AB于点E,交CA的延长线于点F. -2AB,AD平分∠BAC, 若AE=AF,求证：BE=CF. E是AD上一点，且EA =EC.求证：EB⊥AB. 2.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BD 4.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 平分∠ABC,交AC于点D,AE⊥BD,垂足 90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点F,交 为E.求证：AC=2BE. BC于点E,连接DE.求证： (1)∠ABD=∠CAE. 46 八年级数学刷版 (2)∠ADB=∠CDE. 6.如右图，∠BAD=120°，BD= CD,AB+AD=AC.求证：AC 平分∠BAD. 7.如图，在△ABC中，∠B=2∠C.现有两个 题型③截载长（补短）构造特殊图形 条件：①AD为△ABC的高（图①）：②AD 5.如右图，在△ABC中，AB= 为△ABC的角平分线（图②）.请从中选择一 AC,BD平分∠ABC,交AC 个条件，并解答下面的问题： 于点D.若∠A=108°，求证： (1)选择条件 (填序号) BC=CD十AB. (2)比较图中线段可以发现：AB+BD= (填所选择的图中的某一条线 段).请说明你的理由. 周② 上册第十五章