14解题技巧专练 构造全等三角形的常见方法&基础提升专练 利用全等三角形证明的几种常见结论-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

解题技巧专练 构造全等三角形的常见方法 题型① 利用作公共边构造全等 题型③利用延长法构造全等 1.如右图，已知CA⊥AD于 3.如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE 点A,CB⊥BD于点B,且 ⊥AD于点E.探究∠ACE,∠B,∠ECD之 AD=BC.求证：AC=BD. 间的数量关系并说明理由. 题型②利用作平行线构造全等 2.如下图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB 题型④利用截补法构造全等 AC,M是AC的中点，AD⊥BM交BC于点 4.(2024一2025南昌期中节选)如下图，AC∥ D,连接DM.求证：∠1=∠2. BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, CD经过点E,求证：CE=DE. 八年级数学BJ版 基础提升专练 利用全等三角形证明的几种常见结论 题型① 证角相等 (2)求证：MP=CQ. 1.如下图，∠A=∠D=90°，点B,E,F,C在 同一直线上，AB=CD,BE=CF.求证：∠B =∠C 题型②证线段相等 题型③ 证线段垂直 2.(2025赣州于都期末)如下图，点A,E,F,B 4.已知在△ABC和△DEC 在直线L上，AE=BF,AC∥BD,且AC= 中，AC=BC,DC=EC, BD.求证：CF=DE. ∠ACB=∠ECD=a.如 右图，点A,C,D在同一 条直线上，延长AE交BD于点F,求证：AF ⊥BD 3.(2025赣州兴国期末)如下图，在△ABC中， AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB, MQ平分∠AMC,且BP⊥MP于点P,CQ ⊥MQ于点Q, (1)求∠PMQ的度数. 上册弟十四章 5△ 题型④ 证线段平行 题型⑤ 证线段的和差 5.如右图，AB∥CD,且AB= 7.(2024一2025赣州安远期中)如下图，AB⊥ CD,连接BC,在BC上取点 AC,AB=AC,过点A作直线DE,BD⊥ E,F,使得BE=CF,连接 DE,CE⊥DE.求证： AF,DE.求证：AFDE. (1)△ABD≌△CAE. (2)DE=CE+BD. 6.如右图，已知点B,E, 题型⑥证线段的倍分 C,F在同一条直线上， 8.如下图，在△ABC和△ADE中，AB=AC, AB=DF,AC=DE, AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°，连接 ∠A=∠D. BE,CD,F为BE的中点，连接AF.求证： (1)求证：AC∥DE. CD-2AF. (2)若BF=13,EC=5,求BC的长. 42 八年级数学RJ版7.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点 .,∠ABM=∠CAF E,∴.DE=DC. 又：AB=CA,,△ABM2△CAF(ASA), 在R△CDF与R△EDB中，DC-DE, (DF=DB. ∴AM=CF,∠1=∠F. ∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠MCD=45”, .Rt△CDF≌Rt△EDB(HL), ∠DCF=90°-45=45'，∠MCD=∠DCF ..CF=EB. ,M是AC的中点，∴，AM=MC,∴，MC=FC (2)设CF=EB=x,则AE=12-x,AC=8+x, 又DC=DC 由1)可知，DE=DC △DMC2△DFC(SAS), (AD-AD. 在Rt△ACD与Rt△AED中， ∠2=∠F, CD=ED. .∠1=∠2 ,.Rt△ACD2Rt△AED(HL), 3.解：∠ACE=∠B十∠CD .AC=AE,即8十x=12-x,解得x=2,即CF=2 理由：如图，延长CE交AB于点F。 8.3或7 ,CE⊥AD, 第2课时角的平分线的判定 ∴.∠AEF=∠AEC=90 1.A2.C3.D4.120°5.150°6.90 ,AD平分∠BAC, 7.证明：'FA⊥OM,FB⊥ON,.∠OAF=∠OBF=90 ∠FAE=∠CAE 在Rt△OAF和Rt△OBF中，OAOB' 又AE=AE, ∴.△FAE≌△CAE(ASA),,∠AFC=∠ACE .Rt△OAF2Rt△OBF(HL),.AF=BF :∠AFC=,∠B十∠ECD, ∴.点F在∠MON的平分线上，∴.OF平分∠MON. .∠ACE=∠B+∠ECD 8.A 4.证明：如图，在AB上截取AF=AC,连接EF 9.正明：如图，过点E作EH⊥CD于点H, AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, 'CE平分∠DCB,∠CBE=90°， ,∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. .BE=EH. ,AC∥BD ,E是线段AB的中点， .∠C+∠D=180" ..AE=BE...AE=EH 在△ACE和△AFE中， 又，∠DAB=90°，EH⊥CD (AC-AF. .DE平分∠FDC ∠CAE=∠FAE 10.证明：如图，过点D作DF⊥BM,DG⊥ AE-AE. AC,DF⊥BN,垂是分别为E,G,F △ACE≌△AFE(SAS), ,BD平分∠ABC,,DE=DF .∠C=∠AFE,CE=EF 又，CD平分∠ACN,∴.DG=DF ,∠AFE+∠EFB=180°，∠C十∠D=180°， ..DE-DG, .∠EFB=∠D. AD是，∠CAM的平分线 ∠EFB=∠D, 11.证明：Q)如图，过点E作EF⊥CD于点F 在△BEF和△BED中，∠EBF=∠EBD, ∠A=90',DE平分∠ADC, BE=BE. ∴AE=FE .△BEF2△BED(AAS),.EF=ED,.CE=DE ,E是AB的中点，.AE■EB, ∴FE=EB. 基础提升专练利用全等三角形 又：∠B=90,.CE平分∠BCD. 证明的几种常见结论 (2)由1)知，AE=FE. 又，DE=DE,.Rt△ADE2Rt△FDE(HL), 1,证明：BE-CF,.BE+EF=CPF+EF,∴.BF=CE .AD=FD. 同理可得Rt△BEC2Rt△FEC,,BC=FC, 在R△ABF和R△DCE中，AB=DC (BF=CE ∴.AD+BC=FD+FC=CD ∴.Rt△ABF2Rt△DCE(HL),∴∠B-∠C 2.证明：AE=BF, 解题技巧专练构造全等三角形的常见方法 ∴.AE十EF=BF十EF,即AF=BE ,AC∥BD,∴.∠CAF=∠DBE 1.证明：如图，连接CD AC=BD. :CA⊥AD,CB⊥BD,∠DAC=,∠CBD=90 在△ACF和△BDE中，∠CAF=∠DBE, 在R△ADC和Rt△BCD中，AD=BC, (CD=DC. AF-BE, ,.△ACF2△BDE(SAS),,∴，CF=DE .Rt△ADC≌Rt△BCD(HL),.AC=BD 3.解：(1)'MP平分∠AMB,Q平分∠AMC. ∠AMP=号∠AMB,∠AMQ-号∠AMC, .∠PMQ=,∠AMP+∠AMQ 1 2.正明：如图，过点C作CF∥AB交AD ∠AMB+ 2∠AMC 的延长线于点F, ∴·∠ACF=∠BAM=90° z(∠AMB+∠AMC AD⊥BM, ∴.∠BAD+∠DAM=90°=，∠BAD十 2×180 ∠ABM=∠I+∠DAM, =90 192 八年级数学R刷版 (2)证明：由Q),得MP⊥MQ :AD=AE,∴，BG=AD ,BP⊥MP,,∠BPM=∠PMQ=90°，.BP∥QM AB=CA, ∴∠PBM=∠QMC 在△GBA和△DAC中，∠GBA=∠DAC, ,'AM是△ABC的中线，∴.BM=MC BG=AD, ,∠BPM=∠MQC, ,.△GBA2△DAC(SAS),.AG=CD 在△BMP和△MCQ中，∠MBP=∠CMQ AG=2AF,CD=2AF. BM=MC. .△BMP2△MCQ(AAS), 章未对点导练 ∴.MP=CQ, 1.A2.B3.∠A=∠D(答案不难-) 4.B5.C6.B 4.证明：，点A,C,D在同一条直线上，∠ACB=∠CD=a, 7.2 ∠ACB=∠ECD= 立×180*=90 8.解：(1)证明：：AD⊥CE,BE⊥CE, .∠BEC=∠ADC=∠ACB=90°. AC=BC, 即∠CBE+∠ECB=∠ACD十∠ECB 在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD, ∴.∠CBE=∠ACD CECD. 又，AC=CB,.△ACD2△CBE(AAS). .△ACE2△BCD(SAS)..∠CAE=∠CBD. (2)由1)，得△ACD2△CBE, :∠CBD+∠BDC=90°，.∠CAE+,∠CDB=90°， ∴.AD=CE=10,CD=BE=4, .∠AFD=180°-（∠CAE+∠CDB)=90°. .BF=DE=CE-CD=10-4=6. ,AF⊥BD .EF=BF十BE=6十4=10，.EF=AD 5.证明：AB∥CD,∴.∠C=∠B 又∠FEG=∠ADG=90',∠FGE=∠AGD, BE=CF,.BE+EF=CF十EF,即BF=CE (AB=DC, ∴△FEG≌△ADG(AAS),DG=EG=2DE=8, 在△ABF和△DCE中，∠B=∠C, 9.B10.1 BFCE. 11.解：1)正明：如图，连接BD,CD ∴.△ABF2△DCE(SAS),∠AFB=∠DEC..AF∥DE AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, AB=DF, .DE=DF,∠BED=∠CFD=90 6.解：(1)证明：在△ABC和△DPE中，∠A=∠D, ,DG⊥BC且平分BC, AC=DE, ∴，BG=CG,∠BGD=∠CGD=90°. .△ABC☑△DFE(SAS),.∠ACB=,∠DEF, 又DG=DG, .AC//DE. ,△BGD2△CGD(SAS),.BD=CD (2)由(1)知，△ABC≌△DFE,.BC=FE, ∴.BC-EC=FE一EC,即EB=CF 在△BED有R△CFD中.BR-P: BF=13,EC=5 ,Rt△BED≌Rt△CFD(HIL),∴.BE=CF :EB=13,5=4,BC=EB+EC=4+5=9. (2):AD平分∠BAC,∠EAD=∠FAD 2 ∠AED=∠AFD=90", 7.证明：(1)如图所示.：AB⊥AC,∴.∠BAC=90”,∠1十∠3 在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD, =180°-∠BAC=90° AD=AD, BD⊥DE,CE⊥DE ∴.△AED≌△AFD(AAS),∴.AE=AF .∠D=∠E=90°， 设BE=x,则CF=x ∴.∠2+∠3=90°，.∠1=∠2 ,AB=5,AC=3,AE=AB一BE,AF=AC十CF, 在△ABD和△CAE中， ,5一x=3十x,解得x=1, ∠D=∠E, .BE=1,AE=AB-BE=5-1=4 ∠1=∠2， 12.DE=EF(答案不难一) AB=CA, 13.解：(1)正明：，AD=BE, .△ABD2△CAE(AAS). ∴.AD十BD=BE+BD,即AB=DE (2)由1)，得△ABD2△CAE, (AB-DE. ∴.BD=AE,AD=CE, 在△ABC和△DEF中，AC=DF, ,DE=AD十AE=CE十BD BC=EF, 8.正明：如图，延长AF至点G,使得 .△ABC2△DEF(SSS). FG■AF,连接BG. (2),△ABCQ△DEF,.∠FDE=∠A=55 ,F为BE的中点， ∴.EF=BF ∠F=180°-（∠FDE十∠E)=180-(55°+45）=80. 在△AFE和△GFB中， 14.解：示例：选择①.理由如下： (AF=GF. ,AE∥BF,∠A=∠FBD 'CEDF,.∠ACE=∠D ∠AFE=∠GFB. EF=BF, 又'AE=BF,.△AEC≌△BFD(AAS),.AC=BD, ..AC-BC=BD-BC,..AB=CD. ∴.△AFE2△GFB(SAS), ,.∠EAF=∠G,AE=GB,∴.AE∥BG (或选择③.理由如下： ,∴.∠GBA+∠BAE=180° ,'AE∥BF, ,∠BAC+∠EAD=180" ∠A=∠FBD .∠DAC+∠BAE=180°， 又：AE=BF,∠E=∠F, ·∠GBA=∠DAC, ,△AEC≌△BFD(ASA),∴AC=BD, ..AC-BC-BD-BC:..AB=CD.) 上册参考答案 193