专题4 比的认识（解决问题讲义）数学北师大版六年级上册

该小学数学“比的认识”单元复习讲义通过框架图系统梳理知识体系，将分数与比的关系及实际应用分为13类题型，涵盖从基础分率转化到工程行程等实际问题，清晰呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，每种类型配典型例题与变式训练，如用设数法解决“等式换比”问题，培养抽象能力和数学思维。综合练习含基础拔高拓展题，帮助不同层次学生提升，答案解析详细，支持教师精准教学与学生自主复习。

第六单元 比的认识 一、分数与比的关系。 1. 已知一个数是另一个数的几分之几，求比： ---- 分别找到对应数量的份数，列出比； ----可以直接把分率看作比，再写出对应数量之间的比。 2. 已知一个数比另一个数多（或少）几分之几，求比： ----先设单位“1”，再写出对应数量的比； ----也可以把一个数比另一个数多（少） 几分之几，转化为一个数是另一个数的几分之几来求解。 3. 已知剩下的分率，求比： ---- 用去的分率=1-剩余分率 ---- 根据上面数量关系，可以先求出用去的分率，再求出相应数量的比。 4. 已知多个分率关系，求比： ----确定一个标准量（单位“1”的量），再根据各数量与标准量之间的分数关系，求出对应数量的比。 ----常见题型：求连比。 5. 已知分率之间的等量关系，求比（等式换比）： ----常见题型：一个数的几分之几等于另一个数的几分之几，求这两个数的比； ---- 常用方法：设数法，假设一个数，求出另一个数；或设这两个数的几分之几都为1，求出这两个数后，再根据问题求出对应数量的比。 6. 已知比，求分率关系： ----根据比的意义，即表示两个数相除，直接写出对应数量之间的分率关系。 二、解决实际问题中的比： 7. 生活问题： ----该类型属于较简单的求比问题，根据问题找到对应数值列比，再化简，需要注意 按照题目数量的顺序来列比。 8.工程问题： ----常见题型：已知时间关系，求对应的工作效率之比； ----根据工程问题的公式，先求出对应量的份数，再根据问题列比。 9.行程问题 ----常见题型：已知时间比，求速度比；或已知路程比，时间比，求速度比； ----根据行程问题的公式，先求出对应量的份数，再根据问题求比。 10.几何问题 ----常见题型：底高模型；已知图形对应边之比，求面积比或体积比； ----根据几何问题的公式，先求出对应量的份数，再根据问题求比。 11.算式问题： ----常见题型：被减数=减数+差，已知减数与差的分数关系，求它们与被减数的比； ----根据算式各部分之间的关系，先求出对应量的份数，再根据问题求比。 12.价格问题： ----常见题型：已知总价和数量关系，求单价的比； ----根据价格问题的公式，先求出对应量的份数，再根据问题求比。 13.溶液混合问题： ----总质量相等的溶液（即单位1相等），求混合后溶质与溶液的比； ----溶液混合问题难度较大，关键在于寻找不变量。 类型1 已知一个数是另一个数的几分之几，求比： 典型例题1： 女同学人数是男同学的。 （1）男、女同学人数之比是多少？ （2）女同学和总人数之比是多少？ 思路分析： 根据分数的意义求比：把单位“1”男生人数平均分成 份，女同学人数相当于它的 份，所以男、女同学的人数之比为 ；总人数是 份，则女同学与总人数的比是 。 或把男同学看做是单位1，则女同学人数所对应的分率是，所以男、女同学人数之比为 ，化简之后的比是 ；则女同学与总人数之比是 。 答题区： 变式训练： 1.六(1)班女生人数占男生人数的。则女生人数与男生人数的比是多少？男生人数与全班人数的比是多少？ 2. 六(1)班女生人数占全班人数的。则女生人数与男生人数的比是多少？男生人数与全班人数的比是多少？ 类型2 已知一个数比另一个数多（或少）几分之几，求比： 典型例题2： 希望小学六（1）班男生人数比女生人数多。 （1）男生人数与女生人数的比是多少？ （2）女生人数与全班人数的比是多少？ 思路分析： 句型转换：因为“六（1）班男生人数比女生人数多”，则男生人数是女生人数的（ + = ），所以男、女生人数之比为 ；全班人数为 份，则女生人数与全班人数的比为 。 答题区： 变式训练： 已知故事书的本数比科技书多，那么故事书本数与科技书本数的最简比是多少？故事书本数与这两类书的总本数比值是多少？ 类型3 已知剩余分率，求比： 典型例题3： 一箱苹果，吃了，求已吃了的和剩下的比是多少，比值是多少？ 思路分析： 吃了这箱苹果的 ，则还剩下这箱苹果的1- = ；则已吃的苹果与剩下的苹果质量的比 是 ： = ： ；比值是 。 答题区： 变式训练： 一袋大米,已经吃了15千克,还剩下总数的。吃掉的质量与剩下的质量比是多少，还剩下多少千克？ 类型4 已知多个分率，求比： 典型例题4： 甲数是乙数的，乙数是丙数的。甲、乙、丙三数的比是多少？ 思路分析： 运用设数法解题：设丙数是7，则乙数是 × = ；那么甲数是 × = ；则甲：乙：丙= ，化简后的比是 。 答题区： 变式训练： 1.甲是乙的，又是丙的。那么甲、乙、丙三个数的最简整数比是多少？ 2.甲数比乙数多，是丙数的，求甲:乙:丙。 类型5 等式换比: 典型例题5： 有两堆小麦，甲堆质量的正好等于乙堆质量的。甲、乙两堆小麦质量的比是多少？ 思路分析： 方法一：甲堆质量×=乙堆质量×，当甲堆质量为单位1时，乙堆质量为 ÷ = ，则甲堆质量：乙堆质量= ： ，化简之后是 ： 。 方法二：设甲堆质量×=乙堆质量×=1时，则甲堆质量是 ，乙堆质量是 ，甲堆质量：乙堆质量= ： = ： 。 答题区： 变式训练： 为扩大口罩产量，工厂增加了甲、乙两个车间，甲车间人数的等于乙车间人数的，甲车间人数和乙车间人数最简单的整数比是多少？ 类型6 已知比，求分率关系: 典型例题6： 六(3)班男、女生人数比是5∶4,则女生占全班的几分之几，男生比女生多几分之几？ 思路分析： 求分率=比较量÷单位1的量； 多几分之几，用多的数量÷单位1的量。 男、女生人数比是5∶4，则女生占全班的分率： ÷（ + ）=； 男生比女生多的分率：（ - ）÷ =。 答题区： 变式训练： 1. 公鸡与母鸡只数的比是8:9,公鸡比母鸡少几分之几？母鸡比公鸡多几分之几？ 2. 篮球、排球、足球个数的比是5:3:2。 （1）排球占总数的几分之几？ （2）篮球是足球的几分之几？ （3）篮球比排球多几分之几？ （4）足球比排球少几分之几？ 类型7 生活问题中的比: 典型例题7： 5 克的盐完全溶解在 45 克水中，水与盐质量的最简比是多少，盐和盐水质量的最简比是多少？ 思路分析： 水的质量是45克，盐的质量是5克，所以水的质量：盐的质量= ： = ： ；盐水的质量为 份，则盐的质量：盐水质量= ： 。 答题区： 变式训练： 20克糖和100克水调制成糖水，糖和水的质量比化简后是多少？如果再加入20克水和20克糖后,调制的糖水会更甜吗?（ ）(填写“会”或“不会”)。 类型8 工程问题中求比: 典型例题8： 一项工程，甲独做6天完成，乙独做 8 天完成，甲和乙工作效率的比是多少？ 思路分析： 工作效率= ÷ ； 本题已知甲乙单独完成一项工程的工作时间，工作效率没有直接告诉我们，所以用设数法，假设这项工程为单位1；再运用上面的数量关系求出甲、乙的工作效率，最后求出比。 甲的工作效率= ÷ = ，乙的工作效率= ÷ = ，所以甲、乙工作效率之比为 ： ，化简后是 ： 。 答题区： 变式训练： 1.一项劳动任务，小明独做小时完成，小华独做小时完成。小明、小华的工作效率最简整数比是多少？ 2.一项工程，甲单独10小时完成，乙单独做 15 小时完成，甲、乙两人的工作效率比是多少？甲、乙两人合做多少小时完成？ 类型9 行程问题中求比: 典型例题9： 一辆汽车小时行驶 20 千米，求这辆汽车行驶的路程和所用时间的比和比值。 思路分析： 这辆汽车行驶的路程是 千米，所用时间是 小时，所以这辆汽车行驶的路程和所用时间的比= ： ，化简后比是 ： ；比值是 ÷ = 。 答题区： 变式训练： 1. 一辆汽车行驶 180千米大约用了2小时。则它行驶的路程与所用时间的比和比值是多少，这个比值表示的什么意义？ 2. 从甲地到乙地，李明要走12分钟，张新要走15分钟，求李明和张新的速度比。 3. 甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3:4，路程比是7:3，求他们所需的时间比。 类型10 几何问题中求比: 典型例题10： 小正方形的边长是2厘米，大正方形的边长是3厘米，求小、大正方形的周长比和面积比。 思路分析： 直接运用正方形的周长和面积公式即可。 大、小正方形的周长之比为（2× ）：（3× ）= ： ； 大、小正方形的面积之比为（2× ）：（3× ）= ： 。 得出规律，大、小正方形的周长比等于 比，面积比等于的 比。 答题区： 变式训练： 1. 两个正方形的边长分别是15cm和10cm，求它们的周长比和面积比。 2. 两个大、小正方体的棱长之比是4:3，求它们的表面积和体积的比。 3. 如图，两个平行四边形的重叠部分相当于大平行四边形的，相当于小平行四边形的，求小平行四边形与大平行四边形的面积比。 类型11 算式问题中求比: 典型例题11： 一个减法算式中，减数是差的，被减数与差的比是多少？ 思路分析： 因为被减数= + ；减数：差= ： ；则被减数：差= ： 。 答题区： 变式训练： 1. 一道减法算式中，如是差是减数的，求被减数与减数的比。 2. 甲数除以乙数等于1.2，求乙数与甲数的比。 类型12 价格问题中求比: 典型例题12： 香蕉千克数与芒果千克数的比是3:4，单价的比是5:4，求香蕉与芒果总价的比。 思路分析： 复比的知识点：运用数量之间的关系，把两个比合成一个比。 香蕉数量：芒果数量= ： ； 香蕉单价：芒果单价= ： ； 香蕉总价：芒果总价=（ × ）：（ × ）= ： 。 答题区： 变式训练： 1.学校购回的甲、乙两种型号电脑台数比是5:6，总价比是3:4，求甲、乙两种型号电脑单价比。 2. 赵老师买了6个排球和4个篮球，买两种球所花钱数相等。 (1)求排球与篮球的单价之比。 (2)如果排球的单价是 30 元，篮球的单价是多少元？ 类型13 浓度问题中求比: 典型例题13： 两杯质量都为1千克的糖水。第一杯糖和糖水的质量比是2:15，第二杯糖和糖水的质量比是1:9，把两杯糖水混合在一起，这时糖和糖水的质量比是多少? 思路分析： 糖水的质量相等，表示两杯糖水的单位1相同。 第一杯糖水中糖占糖水的，第二杯糖水中糖占糖水的；混合后糖与糖水的比是（ + ）：（1+1），化简后的比是 ： 。 答题区： 变式训练： 1. 配制两瓶相同质量的盐水。第一个瓶子里的盐和水的质量比是4:7。第二个瓶子里的盐和水的质量比是3:5。把两瓶盐水混合，则这时盐和水的质量比是多少? 2. 两个盒子都装有水果糖和奶糖，且两盒糖果的质量相等。第一个盒子里的水果糖占奶糖质量的，第二个盒子里的水果糖占奶糖质量的。若把这两个盒子里的糖果混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少? A夯实基础 一、填空题 1. 一根钢管，用去了，还剩下米，剩下的长度与用去的长度之比是（ ）。 2. 甲数是乙数的,甲数与乙数的比是（ ），乙数是甲、乙两数和的（ ）。 3.一道减法算式中，如果差是减数的，那么被减数与减数的比是（ ）。 二、选择题 1. 一件工程，甲独做8天完成，乙独做 10 天完成,甲和乙工作效率的比是（ ）。 A.8:10 B.4:5 C.5:4 2. 甲是乙的，又是丙的。则甲：乙：丙是（ ）。 A.1:3:4 B.3:4:1 C.1:4:3 3. 如图，平行四边形与三角形面积的比是（ ）。 A.2:1 B.4:1 C.6:3 B培优拔高 三、解答题 1.六（2）班男女生人数之比为4:3，则男生比女生人数多几分之几？女生占全班人数的几分之几？ 2. 有两堆小麦，甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的。甲、乙两堆小麦质量的比是多少？ 3. 欢欢买水果，她带的钱正好可以买3千克苹果或5千克桔子。苹果和桔子的单价比是多少？ C思维拓展 四、拓展题 1. 如图，四个同样的小长方形拼成一个大长方形ABCD。 （1）求小长方形与大长方形面积的比； （2）求AB:BC。 2.小明和小欣分别从各自的家到电影院看电影，小明比小欣走的路程多，而小明比小欣花的时间少，求两人的速度比。 3. 三个相同容器中各装满盐水，第一个容器中盐与水的比是1:7，第二个容器中盐与水的比是 2:5，第三个容器中盐与水的比是1:3，把这三个容器的盐水都倒入另一个大容器中，问混合溶液中盐与水的比是多少? 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：5 4 5:4 9 4:9 答题区： （1） 男：女=5:4 或男：女=1：=5:4 （2）女同学：总人数=4：（4+5）=4:9 答：男、女同学人数之比为5:4；女同学与总人数之比为4:9。 变式训练答案： 1.女生人数：男生人数=3:4 男生人数：全班人数=4：（3+4）=4:7 答：女生与男生人数之比为3:4；男生与全班人数之比为4:7. 2.女生人数：男生人数=3：（8-3）=3:5 男生人数：全班人数=（8-3）：8=5:8 答：女生人数与男生人数的比是3:5；男生人数与全班人数的比是5:8。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：1 5:4 9 4:9 答题区： 男生人数是女生人数的1+=， （1）男生人数：女生人数=5:4 （2）女生人数：全班人数=4：（5+4）=4:9 答：男生与女生人数的比是5:4；女生与全班人数的比是4:9。 变式训练答案： 已知故事书的本数比科技书多，则故事书的本数是科技书本数的1+=； 那么故事书本数与科技书本数的最简比是10:7； 故事书本数与这两类书的总本数比值是10÷（10+7）=。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析： 2 3 答题区： 还剩下这箱苹果的1- = ； 已吃的苹果质量：剩下的苹果质量=：=2:3； 比值是2:3=2÷3=。 答：已吃的和剩下的苹果之比为2:3；比值是。 变式训练答案： 这袋大米的总质量：15÷（1-）=50（千克） 吃掉质量：剩下质量=15：（50-15）=15:35=3:7 还剩下质量：50-15=35（千克） 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：7 5 5 ：5：7 15:20:28 答题区： 设丙数是7。 乙数：7×=5 甲数：5×= 甲：乙：丙=：5：7=15:20:28 答：甲、乙、丙三个数的比是15:20:28。 变式训练答案： 1.设丙是7。 甲：7×=5 乙：5÷= 甲：乙：丙=5：：7=10:11:14 答：甲、乙、丙三个数的最简整数比是10:11:14。 2.设丙是6 甲：6×=5 乙：5÷（1+）=4 甲：乙：丙=5:4:6 答：甲：乙：丙为5:4:6。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析： 1 16 15 16 15 答题区： 甲堆质量×=乙堆质量× 设甲=1，则乙=÷=；那么甲：乙=1：=16:15； 或设甲堆质量×=乙堆质量×=1，则甲=，乙=，甲：乙=：=16:15 答：甲、乙两堆小麦质量之比为16:15。 变式训练答案： 甲：乙=1：（÷）=1： =21:4 答：甲车间人数和乙车间人数最简单的整数比是21:4。 类型6答案解析 典型例题6： 思路分析：4 4 5 5 4 答题区： 女生占全班的分率：4÷（4+5）= 男生比女生多的分率：（5-4）÷4= 答：女生占全班的，男生比女生多。 变式训练答案： 1.（9-8）÷9=，（9-8）÷8= 答：公鸡比母鸡少，母鸡比公鸡多。 2. （1）5÷（5+3+2）= （2）5÷2= （3）（5-3）÷3= （4）（3-2）÷3= 答：排球占总数的，篮球是足球的，篮球比排球多，足球比排球少。 类型7 答案解析 典型例题7： 思路分析：45 5 9 1 10 1 10 答题区： 水的质量：盐的质量=45:5=9:1 盐的质量：盐水质量=1:（1+9）=1:10 答：水与盐的质量比是9:1，盐与盐水的质量比是1:10。 变式训练答案： 原来：糖的质量：水的质量=20:100=1:5； 现在：糖的质量：水的质量=（20+20）:（100+20）=40:120=1:3 答：糖和水的质量比化简后是1:5；如果再加入20克水和20克糖后,调制的糖水中的糖与水的质量比是1:3，会更甜。 类型8 答案解析 典型例题8： 思路分析：工作总量 工作时间 1 6 1 8 4 3 答题区： 工作效率之比为 : =4:3 答：甲和乙的工作效率之比为4:3. 变式训练答案： 1.根据数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间，得到： 小明工作效率：小华工作效率=（1÷）：（1÷）=2:3 答：小明和小华的工作效率的最简整数比是2:3。 2.甲的工作效率：乙的工作效率=: =2:3 合作完成时间：1÷（+ ）=6（小时） 答：甲、乙的工作效率之比为2:3；甲、乙合作要6小时完成。 类型9 答案解析 典型例题9： 思路分析：20 20 60 1 60 1 60 答题区： 路程：时间=20：=60:1 比值：60÷1=60 答：路程与时间的比是60:1，比值是60。 变式训练答案： 1.路程：时间=180:2=90:1，比值=90÷1=90（表示汽车速度） 答：这辆汽车所行路程与时间的比是90:1，比值是90，它表示这辆汽车的速度。 2.李明速度：张新速度=：=5:4 答：李明和张新的速度比是5:4。 类型10 答案解析 典型例题10： 思路分析：2 2 2 3 2 3 4 9 边长 边长的平方 答题区： 小正方形周长：大正方形周长=（2×2）：（3×2）=2:3 小正方形面积：大正方形面积=（2×2）：（3×3）=4:9 答：小、大正方形的周长和面积的比分别是2:3,4:9。 变式训练答案： 1.周长比为15:10=3:2 面积比为（15×15）:（10×10）=9:4 答：它们的周长和面积的比分别是3:2,9:4。 2.大、小正方体的表面积比为（4×4×6）：（3×3×6）=16:9 大、小正方体的体积之比为（4×4×4）：（3×3×3）=64:27 得出规律：两个正方体的表面积比为棱长的平方比，体积之比为棱长的立方比。 答：大、小正方体的表面积比是16:9，体积之比为64:27。 3.小平行四边形面积×=大平行四边形面积× 设：小平行四边形面积×=大平行四边形面积×=1 得到小、大平行四边形的面积为4和7， 所以小、大平行四边形面积之比为4:7。 答：小、大平行四边形的面积之比为4:7。 类型11 答案解析 典型例题11： 思路分析：减数 差 2 5 7 5 答题区： 减数：差=2:5 被减数：差=（2+5）：5=7:5 答，被减数与差的比是7:5。 变式训练答案： 1.差：减数=3:4 被减数：减数=（3+4）：4=7:4 答：被减数与减数的比是7:4。 2.甲数÷乙数=1.2，把乙数看做单位1，则甲数是1.2， 所以乙数：甲数=1:1.2=5:6 答：乙数与甲数的比是5:6。 类型12 答案解析 典型例题12： 思路分析：3 4 5 4 3 5 4 4 答题区： 香蕉总价：芒果总价=（3×5）：（4×4）=15:16 答：香蕉与芒果的总价比是15:16。 变式训练答案： 1.甲单价：乙单价=（3÷5）：（4÷6）=：=9:10 答：甲、乙两种型号的电脑单价之比是9:10。 2.（1）排球单价：篮球单价=（1÷6）：（1÷4）=2:3 （2）篮球单价=30÷2×3=45（元） 答：排球和篮球单价之比为2:3；如果排球的单价是 30 元，篮球的单价是45元。 类型13 答案解析 典型例题13： 思路分析： 1 1 答题区： （+）：（1+1）=：2=11:90 答：这时糖和糖水的质量比是11:90. 变式训练答案： 1.盐和盐水的质量比：（+）：（1+1）=：2=65:176 盐质量：水质量=65：（176-65）=65:111 答：这时盐和水的质量比是65:111。 2. 第一个盒子里的水果糖占奶糖质量的，这盒中的水果糖占总质量的，奶糖占总质量的；第二个盒子里的水果糖占奶糖质量的，这盒中的水果糖占总质量的，奶糖占总质量的； 因为两盒总质量相同，都看做是单位“1”，所以混合后水果糖质量：奶糖质量=（+）：（+）=2:3 答：若把这两个盒子里的糖果混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是2:3。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：5:3 解析：用去了，则剩下1-=，所以剩下的与用去的比为：=5:3。 2.答案：4:5 5:9 解析： 甲：乙=4:5 乙：（甲+乙）=5：（4+5）=5:9 3.答案： 11:7 解析：差：减数=4:7，被减数：减数=（4+7）：7=11:7 二、选择题 1.答案： C 解析： 甲工作效率：乙工作效率=：=5:4 2.答案： A 解析：设丙为4，则甲4×=1 ，乙1÷=3 甲：乙：丙=1:3:4 3.答案：B 解析：平行四边形与三角形为等高模型。设高为2cm。 平行四边形面积：三角形面积=（6×2）：（3×2÷2）=12:3=4:1 B培优拔高 三、解答题 1.答案： 3:7 解析：（4-3）÷3=，女生人数：全班人数 =3：（3+4）=3:7 答：男生比女生人数多，女生与全班人数的比是3:7。 2.答案：1:2 解析：甲×=乙×，设甲×=乙×=1，得甲=4，乙=8 甲：乙=4:8=1:2 答：甲、乙两堆小麦质量的比是1:2。 3.答案：5:3 解析：总价之比1:1，数量之比3:5 单价之比为（1÷3）：（1÷5） =5:3 答：苹果和桔子的单价比是5:3。 C思维拓展 四、拓展题 1.答案：（1）1:4；（2）3:4 解析：从图上观察得出小长方形的长等于3倍宽，则小长方形长与宽的比是3:1。 小长方形面积：大长方形面积=1:4 AB:BC=3：（1+3）=3:4 答：小长方形与大长方形面积之比为1:4，AB:BC=3:4。 2.答案：25:16 解析：小明比小欣走的路程多，即小明与小欣所行的路程比是（1+）：1=5:4， 而小明比小欣花的时间少，即小明与小欣所行的时间比是（1-）：1=4:5， 小明速度：小欣速度=（5÷4）：（4÷5）=25:16 答： 小明和小欣的速度比是25:16。 3.答案：37:131 解析： 盐：水=（++）：（++）=37:131 答：混合溶液中盐与水的比是37:131。 学科网（北京）股份有限公司 $$