专题分类4 圆-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

第二部分型分类拔离练 专题分类4圆 参考答案 非与圆的基本性质有关的证明与计算 1.(中考·云南)如图，已知AB是⊙0的直径，：4.（中考·临沂）如图，已知在⊙0中，AB= CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若AB= BC=C⑦，OC与AD相交于点E. 26,CD=24,则∠0CE的余弦值为( 求证：(1)AD∥BC; B号 c (2)四边形BCDE为菱形 0 第1题图 第2题图 2.(中考·泰安)如图，四边形ABCD是⊙O的 内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB= 2,CD=1,则AD的长为 () A.23-2 B.3-3 5.(中考·北京)如图，⊙0是△ABC的外接 C.4-5 D.2 圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E. 3.(中考·苏州)如图，四边形ABCD内接于 (1)求证：∠BAD=∠CAD; ⊙O,∠1=∠2，延长BC到点E,使得CE= (2)连接B0并延长，交AC于点F,交⊙0于 AB,连接ED 点G,连接GC.若⊙0的半径为5,0E= (1)求证：BD=ED: 3,求GC和OF的长. (2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，求an∠DCB 的值 0 147 中考基醒题1000题 ,与切线有关的证明与计算 1.(中考·绍兴)如图，半径为6的⊙0与！3.（中考·济宁）如图，点C在以AB为直径的 Rt△ABC的边AB相切于点A,交边BC于点 ⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长 C,D,∠B=90°，连接OD,AD. 交⊙O于点E,作∠EBP=∠EBC,BP交OE (1)若∠ACB=20°，求AD的长（结果保留π）. 的延长线于点P. (2)求证：AD平分∠BDO (1)求证：PB是⊙0的切线： (2)若AC=2,PD=6,求⊙0的半径. 2.(中考·猾州)如图，在△ABC中，CA=CB, 4.(中考·广元)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= BC与⊙A相切于点D,过点A作AC的垂线 90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的 交CB的延长线于点E,交⊙A于点F,连接 ⊙O交AB边于点E,连接CE,过点D作 BF. DF∥CE,交AB于点F (1)求证：BF是⊙A的切线； (1)求证：DF是⊙0的切线； (2)若BE=5,AC=20,求EF的长. (2)若BD=5,mB=子，求线段DF的长 148 第二部分型分类拔离练 对接各地模拟 强化核心知识 1.如图，AB是⊙0的直径，点D在AB的延长·5.如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网 线上，DC切⊙0于点C,若∠A=35°，则∠D 格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个 等于 角为60°，A,B,C都在格点上，点D在过A, B,C三点的圆弧上，若E也在格点上，且 ∠AED=∠ACD,则tan∠AEC= () D A.20° B.30 C.50 D.40° A.1 B.√2 C.3 D.2 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且∠A= 6.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为 90°，BC=C⑦.若AB=4,AD=3,则CD的 E,∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为 长为 ) A.5 B.52 C.S D.52 2 0 B 第6题图 第7题图 7.如图，△ABC内接于⊙0，∠C=45°，AB=6, 则⊙0的半径为 第2题图 第3题图 8.如图，在△ABC中，AB=CB=62cm, 3.已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为 ∠ABC=90°，以AC的中点O为圆心，OB的 65πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为0，如 长为半径作半圆.若∠MON=90°，OM与 ON分别交半圆于点E,F,则图中阴影部分 图所示，则sin0的值为 ( 的面积是 高 R高 4.如图，圆锥体的高h=2√3cm,底面半径r= 2cm,则圆锥体的全面积为 0 第8题图 第9题图 9.如图，在半径为6的⊙0中，点A,B,C都在 A.43 cm2 B.8m cm2 ⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图 C.12T cm2 D.(43+4)mcm2 中阴影部分的面积为 149 中考整题1000题 10.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，：12.如图，C是半圆0上一个动点，AB为半圆 过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于点 的直径，D是弧BC的中点，过点D作半圆 D,交AC于点E,F是DE的中点，连接CF. O的切线DE交AC的延长线于点E. (1)求证：CF是⊙O的切线： (1)求证：AE⊥DE; (2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC. (2)①已知OA=5,DE=4,则CE= ②连接OC,DC,当∠BAC= 度时，四边形OBDC为菱形 11.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径 13.如图，BE是⊙0的直径，点A和点D是⊙0 的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂 上的两点，连接AE,AD,DE,过点A作射线 足为E 交BE的延长线于点C,使∠EAC=∠EDA. (1)求证：△ABD≌△ACD; (1)求证：AC是⊙0的切线； (2)判断直线DE与⊙0的位置关系，并说 (2)若CE=AE=2√3，求阴影部分的面积 明理由， 0 D 150中考基醒题1000题 MN,则M(a-3,a+3). 点M在抛物线y=-x2-x+6上， a+3=-(a-3)2-(a-3)+6. 整理，得a2-4a+3=0. 解得a1=3,a2=1. ∴点M的坐标是(0,6)或(-2,4)； ②如图，当以AM为对角线 时，AO=MN且AO∥MN,则 M(a+3,a+3). 点M在抛物线y=-x2- x+6上， a+3=-(a+3)2- (a+3)+6. 整理，得a2+8a+9=0. 解得a1=-4+7,a2=-4-7(舍去). .点M的坐标是(-1+√7，-1+√7). 综上所述，点M的坐标是(0,6)或(-2,4)或 (-1+7,-1+7). ③提升点拔二次函数中求平行四边形的某个点 的坐标时，若平行四边形的对角线不确定，则需要 分情况讨论 7.黑0+鲜题关键(1)将A,B两点坐标代入y= ax2+bx+3即可求得解析式，从而可得对称轴； (2)设抛物线对称轴交x轴于点N,过，点C作CM⊥ PV交抛物线对称轴于点M,表示出MC,MP,PV BN的长，证明△PMC≌△BNP,利用全等三角形对 应边相等列方程即可解答；(3)根据内错角相等两 直线平行，得到AQ∥BC,联立解析式求交点坐标 即可， ©参考答解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入 y=ax2+bx+3,得 fa-b+3=0, 9a+3b+3=0, 等得化2 抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1; (2)如图，设抛物线对称轴 交x轴于点N,过点C作 CM⊥PV交抛物线对称轴 于点M. 设C(m,-m2+2m+3), P(1,s),则MC=m-1,MP= -m2+2m+3-5,PN=s,BN=2 ,∠NBP+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPC=90°， ∴.∠MPC=∠NBP. '∠PMC=∠BNP=90°，PC=BP, .△PMC≌△BNP(AAS), ∴.PM=BN,MC=NP, .-m2+2m+3-s=2,m-1=5, 解得m=2,s=1, 136 六点P的坐标为(1,1)： (3)如图： 由(2)可得C(2,3),且B(3,0), 设直线BC的解析式为y=kx+ n(k≠0). 将C(2,3),B(3,0)代入， 得2+n=3 13k+n=0, 解得代g3 ∴直线BC的解析式为y= -3x+9. ∠QAB=∠ABC, ∴.AQ∥BC. 可设直线AQ的解析式为y=-3x+t, 把A(-1,0)代人得0=3+b,解得t=-3, ∴.直线AQ的解析式为y=-3x-3. 联立得=-3x-3, 1y=-x2+2x+3, 解得0621. .点Q的坐标为(6，-21) ③摄升点拨函数图象间题需要有较强的数形 结合能力，将函数问题转化为几何问题，角度相等 问题转化为平行问题，通过联立直线与二次函数解 析式得到交点坐标 专题分类4圆 题型专练1与圆的基本性质有关的证明与计算 1.B2.C 1.0解题关罐先利用垂径定理求出CE的长，然 后在Rt△CEO中根据余弦的定义即可求解. m©+思路制所：AB是⊙0的直径，且AB⊥CD, CE=DE=2CD=12.AB=26,0C=13, 在△CB0中，s∠0B-瓷-号放选B ©提升点城垂径定理的实质可以理解为：一条 直线，如果它具有两个性质(1)经过圆心，(2)垂直 于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质(1) 平分弦，(2)平分弦所对的劣弧，(3)平分弦所对的 优弧. 2.0#解题关雕廷长AD,BC,构造直角三角形是解 题的关健 ■2+思路制析如图，延 长AD,BC交于点E. :∠B=90°，LBCD= 0 120°，.∠A=60°， ∠ADC=90°，∴.∠E= 30°，∠ADC=∠EDC=90°.在Rt△CDE中，tan30°= 能-9nE=点.在△AE中，血30是 7AE=4心AD=AE-DE=4-3.故选C ③*提升点拨圆内接四边形的角的三种关系： ①对角互补：②四个角的和是360°：③圆内接四边 形的外角等于其内对角 3.0+解题关罐(1)要证BD=ED,可利用圆心角、 弧、弦之间的关系及圆内接四边形的性质证 △ABD≌△CED:(2)过点D作DM⊥BE于点M,分 别求出DM,CM的长，然后根据正切的定义即可 求解. @参考答蜜(1)证明：：四边形ABCD内接 于⊙0， ,∴.∠A+∠BCD=180, ∠DCE+∠BCD=180°， .∠A=∠DCE. ∠1=∠2， ①=⑦ .AD CD. 在△ABD和△CED中， rAB CE, ∠A=∠DCE LAD =CD ∴.△ABD≌△CED(SAS), .BD ED: (2)解：如图，过点D作 DM⊥BE于点M. AB=4,BC=6,CE =AB, .BE=BC CE BC AB=10 BD=ED,DM⊥BE, BM=ME-7BE-5, ∴.CM=BC-BM=1. :∠ABC=60°，∠1=∠2， 22=2LABC=30, 六在△BDM中，DM=BM·tm∠2=5x5.5:5 3 3 在Rt△CDM中，tan L DCB=DL_53 CM 3 【中考风向】中考中圆内接四边形的性质常与三角 形、四边形结合考查，以解答题的形式出现 4.0解题关量(1)连接BD,根据等孤所对的国周 角相等证明AD∥BC;(2)连接CD,设BD交OC于 点F,利用垂径定理得到BF=DF,OC⊥BD即可 证明. ②考答案证明：如图，连接BD,CD,设BD交 OC于点F. (1)AB=⑦ ∴.∠ADB=∠CBD, 参考荟率与解新 .AD∥BC: (2)AD∥BC .∠DEF=∠BCF :C=C⑦且OC经过圆心0， BF=DF,OC⊥BD. 在△DEF和△BCF中， I∠DEF=∠BCF, ∠DFE=∠BFC, LDF BF, .△DEF≌△BCF(AAS), .DE BC. :AD∥BC,即DE∥BC, ∴四边形BCDE为平行四边形， .OC⊥BD 二四边形BCDE为菱形. 单③出提升点嫩注意：同瓢或等弧所对的圆周角相 等，同弦或等弦所对的圆周角不一定相等 0鲫题关键(1)根据垂径定理得出BD=C⑦，然 后利用等孤所对的圆周角相等即可证明；(2)根据 垂径定理和三角形中位线定理得到CG=2OE, OE∥CG,可证△AFO∽△CFG,再利用相似三角形 的性质即可求解。 @#考答案(1)证明：，AD是⊙0的直径， AD⊥BC, .@=C⑦， .∠BAD=∠CAD; (2)解：如图： :AD是⊙0的直径，AD⊥BC, .BE =CE, .OE是△BCG的中位线， ∴，0E∥CG,CG=20E=6, .△AFO∽△CFG, 、.0F= 25 ©提升点拔垂径定理中的“垂径”可以是直径、 半径或过圆心的直线或线段，其本质是过圆心 题型专练2与切线有关的证明与计算 0解题关罐(1)连接OA,根据圆周角定理求出 ∠AOD的度数，再利用孤长公式进行计算即可； (2)根据切线的性质证明OA∥BC,得到∠OAD= ∠ADB,根据OA=OD证明∠OAD=∠ODA,进而可 得结论 日考答案（1)解：如图，连 接OA. .·∠ACB=20° ∠A0D=40°， 初=40xmx6_4 180 39 137 中考基题1000题 (2)证明：AB与⊙0相切于点A, ∴.OA⊥AB. ∠B=90°， OA∥BC, ∠OAD=∠ADB. .·OA=OD .∴.∠OAD=∠ODA: ∴∠ADB=∠ODA,即AD平分∠BDO. ③中提升点拔证明一条直线是角平分线的方法： (1)证明这条直线平分的两个角相等；(2)证明这 条直线上的一点到角两边的距离相等。 2.O鳄题关键(1)连接AD,利用BC与⊙A相切 可得∠ADB=90°，再证明△ABF≌△ABD即可； (2)运明△BFB△BC,得到器-5选而求出 BF的长，再利用勾股定理即可求解 端②出参考答案(1)证明：如图，连接AD, CA=CB, ∴∠CAB=∠ABC. ,AE⊥AC .∠CAB+∠BAE=90°， ∴.∠ABC+∠BAE=90 :BC与⊙A相切于点D, ∴.∠ADB=90°， ∠ABD+∠BAD=90°， ∴.∠BAE=∠BAD,即∠BAF=∠BAD. 在△ABF和△ABD中， rAB =AB, ∠BAF=∠BAD LAF =AD ∴△ABF≌△ABD(SAS), .∠AFB=∠ADB=90°， ∴BF是⊙A的切线； (2)解：由(1)得BF⊥AE. :AC⊥AE, ·BF∥AC ∴△EFB△EAC, 器-器 ,BE=5.CB=AC=20. ·.CE=CB+BE=20+5=25, 5 BF 25=20 ∴BF=4, 在RI△BEF中，EF=√BE-BF=√52-42=3. ③升点褪解决圆中切线问题，连接经过切点 的半径是最常用的作辅助线的方法. 3.0出解题关罐(1)根据直径所对的圆周角是直角 得到∠ACB=90°，结合三角形中位线定理得到 138 ∠ODB=90°，通过角的转换得到∠P=∠OBD,进 而可得结论：(2)运明△BDP~△0BP,得出8能- 部，进而得到B即的长，再根据勾股定理即可求解 ②参考答案(1)证明：，AB为⊙0的直径， .∠ACB=90. 又D为BC的中点，O为AB的中点， 0D=2AC,且0D∥AC, ∴.∠ODB=∠ACB=90 .OB=OE, .∠OEB=∠OBE. :∠OEB=∠P+∠EBP,∠OBE=∠OBD+∠EBC, ,∴，∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC 又：∠EBP=∠EBC, ∴.∠P=∠OBD. :∠B0D+∠OBD=90°， .∠B0D+∠P=90°， ∴.∠OBP=90°. 又：0B为⊙0的半径， ∴，PB是⊙O的切线： (2)解：由(1)得0D=24C=1, ∴0P=PD+0D=6+1=7. ∠P=∠P,∠BDP=∠OBP=90°， .△BDP∽△OBP, 部邵即命 BP=√42， .OB=√OP2-BP=万，即⊙0的半径为7. ©提升点拨切线的判定定理是在未知相切而要 证明相切的情况下使用，切线的性质定理是在已知 相切而要推得一些其他结论时使用，两者在使用时 不要混淆。 4.0解题关键(1)利用垂径定理得出O0⊥EC,进而 证明OD⊥DF即可；(2)连接DE,证明△BED∽ △BCA,求出AB,AE的长，再证明△DEF∽△AED, 求得EF的长，最后在Rt△EFD中利用勾股定理求 出DF的长. ②+参考答案(1)证明：：AD是∠BAC的平 分线， ∴.∠BAD=∠CAD, .⑦=DC, .OD⊥EC. DF∥CE, OD⊥DF, ∴DF是⊙O的切线； (2)解：如图，连接DE. ⑦=C, .ED DC. AD是⊙O的直径， .DE⊥AE .∠BED=90 血B-器血B=号D=5, .'DE=3, .BE =BD2 DE =4,DC DE =3, ∴BC=BD+DC=8. ∠B=∠B,∠BED=∠BCA=90°， ∴.△BED△BCA, 脱m02 BE BD DE 1 .BA=2BD=10,AC=2DE=6, ∴.AE=BA-BE=6. ∠ADF=90°，DE⊥AF, ∴.∠AFD+∠FAD=90°，∠AFD+∠FDE=90°， .∠FDE=∠FAD 又：∠FED=∠DEA=90°， .△DEFn△AED, 0 DEAE 小嘉9即F= 0F=F+0E-√2+3-35 2 ©提升点烟构造直径所对的圆周角是解决此类 题型常添加的辅助线。 对接各地模拟强化核心知识 1.A2.D3.B4.C5.C6.27.32 8.(9π-18)cm29.6m 1.0解题关罐连接0C,构造直角三角形是解题的 关键 ￥②+思路制析如图，连 接OC.,DC切⊙0于点 D C,∴∠OCD=90°.∠A 和LBOC分别是C所对 的圆周角和圆心角，∴∠B0C=2∠A=70°，∴.∠D= 90°-∠B0C=20°故选A ③提升点城本题注意切线的性质定理的应用：圆 的切线垂直于经过切点的半径 2.0=解题关罐连接BD,根据圆内接四边形的对角互 补即可解答 参考荟率与解新 ②思路别析如图，连接BD, ∠A=90°，AB=4,AD=3,BD √AB+AD=V4+32=5,∠C= 180°-∠A=90°BC=CD ∴.BC=CD.在RL△BCD中， BD=5,六BC=CD=号BD= 52故选D. 回回就园本题注意三个知识点：(1)若一个网 周角是90°，则该圆周角所对的弦是直径；(2)直 径所对的圆周角是直角，即等于90°；(3)圆内接 四边形的对角互补 3.0+鳞题关键先根据扇形的面积公式求出母线 长，再根据锐角三角函数的定义解答即可 ②+思路副折，圆锥的底面半径为5cm,∴.圆锥 的底面周长为10πcm.根据扇形的面积公式S= 2R,得65m=7×10m·RR=13m9= 故选B. O步提升点拔园维各部分之间的关系：圆维的侧 面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆维的底面圆的 周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 4,0解题关量掌提圆锥的底面积公式和侧面积公 式是解题的关键 g+思路副析：底面半径为2cm,高为23cm, .圆锥体的母线长=√22+(2√5)2=4(cm),圆 锥体的侧面积=m×2×4=8π(cm2),底面积= π×22=4π(cm2),∴.圆锥体的全面积=8π+4r= 12π(cm2).故选C. 黑③少提升点碳圆锥的有关计算： (1)S和=π2+TR(r是底面半径，R是母线)： (2)S霸=TR(T是底面半径，R是母线)： (3)V=3Sh(S是底面积，h是圆锥高) 5.①+鲜题关罐根据菱形的性质确定圆孤的圆心， 将圆补充完整，利用同孤所对的圆周角相等找到点 E的位置，再结合菱形的性质即可求解. ②+思踏副折在图中标出点M,E,连接BM.:四 边形AMCB为菱形，.BM⊥AC,BM平分AC. ∠BAM=60°，AB=AM,∴.△ABM为等边三角形， ∴，BM=AM,∴.点M为圆弧的圆心.，MC=ME, ∴以点M为圆心，AM的长为半径将圆补充完整， 点E即为所求，如图 所示.：D所对的圆 周角为∠ACD,∠AED, ∴.图中所标点E符合 题意.：四边形CMEN 为菱形，且∠CME= 139 中考基题1000题 60°，∴.△CME为等边三角形，.an∠AEC=tan60°= 5.故选C 细Θ提升点碳同弧或等弧所对的圆周角相等，其 中同弧指同一条弧，同一条弧所对的圆周角有无数 个，它们的度数都相等；等弧是指同一个圆中能重 合的煎或等圆中能重合的弧. 6.0解题关罐利用垂径定理及直角三角形的性质 求出CE的长是解题的关健， ②+思路剖析：∠A=15°，，∠B0C=2∠A= 30°.AB⊥CD,∴∠OEC=90°，CE=DE,.CE= 0G1CD-CE+DE-2. 【中考风向】中考中运用垂径定理进行推理或计算 时，常与勾股定理等结合考查。 7.=0+鲜题关键连接OA,OB,构造出△AOB是等腰 直角三角形即可求解。 ②+思路副析如图，连接OA, OB..∠C=45°，.∴.∠AOB=2∠C= 90°.OA=OB,,△A0B是等腰 直角三角形，∴.0A=AB·c0s45°= 6×号-32 ③提升点透在利用圆周角定理时，不能忽视圆 周角和圆心角是指同一条弧所对的两种角。 8.O=解题关键作OP⊥AB于点P,OQ⊥BC于点 Q,将求阴影部分的面积转化为求扇形E0F的面积- 四边形OPBQ的面积即可求解. ②#思路别所如图，作OP⊥AB于点P,OQ⊥BC 于点Q,则四边形OPBQ 是矩形.AB=CB,点O 为AC的中点，∴.OB平 分∠ABC.又OP⊥AB, OQ⊥BC,.OP=OQ, ∴四边形OPBQ是正方 形.∠G0H=∠POQ= E\M 90°，∴.∠G0P=∠H0Q r∠OPG=∠OQH. 在△OPG和△OQH中，OP=OQ, ..△OPG≌ L∠COP=∠HOQ, △OQH(ASA),·.S网边形OGH=Sg边形OP0:AB= CB=62cm,∠ABC=90°，·AC= √(62)2+(62)2=12(cm).点0为AC的中 点0B=4C=6cm0p=号0B=32cm ·扇形E0F的面积是90π×6 =9r(cm2), 360 S边形oP聊=32×32=18(cm2),阴影部分的面 积是(9π-18)cm2. ③趣升点拨扇形的面积公式： 140 ①已知扇形的圆心角n°和扇形的半径「，则S痛带= 需：②已如扇形的范长1不和扇形的半径7则S。 9.0+解题关罐连接OB,将求阴影部分的面积转化 为求扇形AOB的面积即可求解 ©思路别析如图，连接 OB.:四边形OABC是平行四 边形，AB=OC,AB∥OC.又 OA=OB=OC,∴AB=OA= OB,∴.△AOB是等边三角形， .∠A0B=60°：AB∥0C, S△A08=SAA8c,·.图中阴影部分面积=S扇形4OB= 60m×62 360 =6π. ③提升点搬遇到求不规则图形的面积或体积问 题时可以运用转化的思想将不规则的图形补充或 拼凑成规则的图形再求解. 10.量0+解题关键(1)根据直径所对的圆周角是直 角得到∠ACB=∠ACD=90°，进而得到CF= EF=DF,利用等边对等角得到∠OCA=∠OAC, ∠AEO=∠FCE,进而可得结论；(2)根据等角的 余角相等得到∠0AE=∠CDE=22.5°，然后利用 等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD=∠ADC= 45°，进而可得结论. 8参考答案证明：(1)：AB是⊙0的直径， :.∠ACB=∠ACD=90, F是DE的中点， .CF =EF DF, ∴.∠AEO=∠FEC=∠FCE. .0A =OC, .∠OCA=∠OAC. OD⊥AB, .∠OAC+∠AE0=90°， ∴.∠OCM+∠FCE=90°， D ∴.∠0CF=90°，即0C1FC, CF是⊙O的切线； (2)如图，连接AD. .OD⊥AB,AC⊥BD, ∴.∠AOE=∠ACD=90° :∠AEO=∠DEC, .∠OAE=∠CDE=22.5 :A0=B0,OD⊥AB, .AD BD, .∠AD0=∠BD0=22.5°， ∴.∠ADB=45°，.∠CAD=90°-∠ADC=45°， ∴.∠ADC=∠CAD,∴.AC=DC. m③+提升点城证明两线段相等的方法：①等腰 三角形中等角对等边；②平行四边形中对边相等； ③全等三角形中对应边相等；④两平行线间的距 离处处相等：⑤角平分线上任一点到角两边的距 离相等；⑥线段垂直平分线上任一点到线段两端 点的距离相等：（⑦同圆或等圆的半径相等、直径 相等. 11.0+解题关疆(1)根据AB是⊙0的直径得到 ∠ADB=∠ADC=90°，用HL即可将证；(2)连接 OD,利用三角形中位线定理得到OD∥AC,结合 DE⊥AC即可得证。 第②参考答案(1)证明：：AB是⊙0的直径， .∠ADB=90° ∴.∠ADC=90° 在RL△ABD和R△ACD中， [AB=AC, AD=AD ∴.Rt△ABD≌Rt△ACD(HL); (2)解：相切.理由如下： 如图，连接OD, .·Rt△ABD≌Rt△ACD. .BD=CD. .B0=A0 OD是△ABC的中位线， ∴.OD∥AC ·.∠ODE=∠CED .·DE⊥AC .∠CED=90°， .∠0DE=90°， ..OD⊥DE. ,OD是⊙0的半径， ∴.直线DE与⊙O相切. ③升点拨常见的两种辅助线的作法：①已 知直线与圆的公共点，连半径，证垂直；②不知直 线与圆的公共点，作垂直，证半径. 12.0解题关键(1)连接OD,利用等孤所对的圆 周角相等得到∠DAC=∠ODA,结合切线的性质 即可得证；(2)①连接BC,交OD于点F,得证四 边形DECF是矩形，然后利用勾股定理即可解答； ②当∠BAC=60°时，借助等孤所对的圆周角相等 得证△BOD和△COD都是等边三角形，进而得证 四边形OBDC是菱形， ②参考答案(1)证明：如图，连接OD. .0A =OD, ∴.∠OAD=∠ODA. :D是弧BC的中点， ,C⑦=⑦ ∴.∠DAC=∠OAD, ∴.∠DAC=∠ODA, ∴.OD∥AE. ,DE是半圆O的切线， ∴.OD⊥DE, ∴.AE⊥DE; 参考荟率与解新 (2)解：①如图，连接BC, 交OD于点F AB是半圆0的半径， ∴.∠ACB=90° ∴∠ECF=90° 又：AE⊥DE,OD⊥DE, ∴.四边形DECF是矩形， ∴.CF=DE=4,∠CFD=90° ∴.∠CF0=90°，即△CF0是直角三角形. 设CE=x,则DF=CE=x. .0A=0C=0D=5, .0F=5-x, .在Rt△CF0中，(5-x)2+4=52, 解得x1=2,2=8(舍去)， CE=2. 故答案为2； ②如图，连接OC,CD,当∠BAC=60°时，四边形 OBDC为菱形.理由如下： :∠BAC=60°，OA=OC, ∴.△AOC是等边三角形， ∴.∠A0C=60°， ∴.∠B0C=120° D是弧BC的中点， .CD=BD, ∠D0C=∠B0D= 2∠B0C=609 .OB =OD =OC, ∴△BOD和△COD都是等边三角形， .OB BD=OC=CD, ,四边形OBDC为菱形. 故答案为60. 【中考风向】中考题中圆的解答题一般是以综合 题或压轴题的形式出现，经常与相似三角形、解直 角三角形以及函数等知识综合考查，综合性较强， 难度稍大 3.0+解题关罐(1)过，点0作OF⊥AE于点F,连 接AO,根据圆周角定理得到∠AOF=∠ADE是解 题的关键；(2)根据等腰三角形的性质得到∠C= ∠EAC,推出△AEO是等边三角形，根据S形= S角形HOF-S△AOE即可解答 ②+参考案(1)证明：如图，过点O作OF⊥AE 于点F,连接AO. A0=E0,OF⊥AE .∠AOF=∠EOF, .∠AOE=2∠A0F. :∠AOE=2∠ADE ,∠AOF=∠ADE. ∠EAC=∠ADE, ·.∠EAC=∠AOF. .·∠AOF+∠EA0=90° 141 中考基础题1000题 ∴.∠EAC+∠EA0=90°，即∠CA0=90°， .AO⊥AC O4是⊙0的半径， ∴，AC是⊙0的切线； (2)解：CE=AE=23, ·∠C=∠CAE. ∠C+∠A0C=∠CAE+∠EA0=90°， .∠EA0=∠AOC, ∴.AE=E0=25. A0=E0, .A0=E0=AE=25, ·,△AEO是等边三角形， .∠EA0=∠AOE=60° 在Rt△AOF中，OF=A0·sin∠EA0=25× sin60°=3. 六S雕=S张0s-Sae-60XTX23_1 360 25×3=2m-35. ③+提升点城在计算不规则面积时，常把不规 则图形的面积转化成规则图形面积的和差.常用 以下方法求解：①公式法；②割补法；③拼凑法； ④等积变形法：⑤构造方程法：⑥迁穆变化法。 专题分类5几何类比探究题 题型专练平移、旋转探究题 1.0解题关罐(1)根据菱形的判定定理和轴对称 的性质(AD=AB,CD=CB)即可证明：(2)连接 PB,过点P分别作PE∥CB交AB于点E,PF⊥AB 于点F,根据等边三角形的性质以及平行线的性质 得到△APE为等边三角形，然后利用角度转换解答 即可：(3)根据等边三角形的性质以及线段转换得 CP=BE,再根据等腰三角形的性质进行线段转换 得AQ=BE,解答即可. 幅2#参考答常(1)证明：如 图，连接BD. 在等边△ABC中，AB=BC. 点B,D关于直线AC对称， .AD=AB,CD=CB, .'AB=BC CD=DA. ∴四边形ABCD是菱形； (2)解：不发生变化，始终等于60°.理由如下： ,将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA 延长线上的点Q处， ∴PQ=PD. 如图，连接PB,过点P分别 作PE∥CB交AB于点E, PF⊥AB于点F 在等边△ABC中，AB=BC= AC,∠BAC=∠ABC= 142 ∠ACB=60°， ·.∠APE=∠ACB=60°，∠AEP=∠ABC=60°， ∴.∠BAC=∠APE=∠AEP=6O°， ,∴，△APE是等边三角形， .AP EP =AE. PF⊥AB, .∠APF=∠EPF :点B,D关于直线AC对称，点P在线段AC上， ∴.PB=PD,∠DPA=∠BPA, :PQ=PB. PF⊥AB, ·.∠QPF=∠BPF, ∴.∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF, 即∠QPA=∠BPE, ∴.∠DPQ=∠DPA-∠QPA=LBPA-∠BPE= ∠APE=60°： (3)解：AQ=CP.证明如下： .AC=AB,AP=AE, ..AC-AP =AB -AE, 即CP=BE. ,AP=EP,PF⊥AB, 六AF=FE. PQ=PB,PF⊥AB, ∴QF=BF, ∴.QF-AF=BF-EF, 即AQ=BE, ∴.AQ=CP 2.0中解题关(1)过点B作BH⊥OA于点H,根 据等腰直角三角形的性质计算出OH和BH的长度 即可得出B点坐标：(2)①先用含【的式子表示出 △FOE'的面积，再根据阴影部分的面积等于△OAB 的面积减去△FOE的面积即可得到答案：②根据t 的取值范围分情况画图分别计算即可得出S的取 值范围 ②+考答案解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于 点H. 由点A(4,0),得OA=4, :B0=BA,∠OBA=90°， 0m=201=2, Bm=201=2, ∴.点B的坐标为(2,2)； (2)①由点B(-子，0)，得0B=子 由平移的性质可知，四边形O'CD'E是矩形， ∠0E0=90.0rg=0E= 7 0E'=00-0E'=1-2,∠FE"0=909 B0=BA,∠OBA=90°，∴.∠B0A=∠BA0=45°，