第17讲 锐角三角函数-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

第一部分按心母乘分层练 第十七讲 锐角三角函数 参考答案 母题精研D锐角三角函数 正弦：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比.如sinA= B c 锐角 余弦：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比.如c0sA=b 三角 正切：在直角三角形中，锐角的对边与尔边的比.如amA=号 函数 性质：inA+oA=l:mA=升若∠A+乙B=90,那么mA=sB我 sin B=cos A 国自国圆 ⑧园提团 1.(中考·天津)tan45的值等于 1.(中考·玉林)如图，△ABC底边BC上的高 B.1 为h,△PQR底边QR上的高为h2,则有 ( c号 D.2 2.(中考·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形 55 1259 网格的格点，则cos∠ABC的值为( R A.h=h2 B.h<h2 C.h>h D.以上都有可能 2.(中考·云南)在△ABC中，∠ABC=90°.若 AC=10.血A=子则AB的长是 () 1 B号 A.500 3 B.503 C.60 D.80 5 3.(中考·荆州)如图，在6×6的正方形网格 c D.22 中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C 3 均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆， 3.(中考·北京)计算：（π-1）°+4sinm45° 则cos∠BAC的值为 () 8+1-31. A.5 B26 5 c 115 中考基题1000题 田题糖研解直角三角形的应用 解直角三角形的依据：勾股定理，两锐角之和为90°，边角关系 解直角 利用解直角三角形解决实际问题的步骤：将实际问题抽象为数学问题，选用适当的 三角形 三角函数，得到数学问题的答案，进而得到 的应用 实际问题的答案 常见类型：仰角、俯角，方向角，坡度与坡角 s血a=sB=子，则梯子顶端上升了(） 1.(中考·福建)如图所示的衣架可以近似看 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC, 4.(中考·金华)一配电房示意图如图所示，它 ∠ABC=27°，BC=44cm,则高AD约为 是一个轴对称图形.已知BC=6m,∠ABC= (参考数据：sin27°≈0.45，c0s27°≈0.89， α，则房顶A离地面EF的高度为() tan27°≈0.51) 单位：m A.(4+3sin a)m B.(4+3tan a)m A.9.90cm B.11.22cm C.(4+ C.19.58cm D.22.44cm -)m D.(4+,3)m sin c tan o 2.(中考·金华)如图是一架人字梯，已知 AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为a, 促提团 则两梯脚之间的距离BC为 ( 1.(中考·随州)如图，已知点B,D,C在同一 A.4cosa米 直线的水平地面上，在点C处测得建筑物 B.4sina米 AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建 C.4lana米 D.4米 cos a 筑物AB的顶端A的仰角为B,若CD=a,则 建筑物AB的高度为 () 第2题图 第3题图 3.(中考·随州)如图，某梯子长10米，斜靠在 a B a A 竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 tan a-tan B tan B-tan o α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端 C.atan a tan B D.atan a tan B tan a tan B tan B-tan a 落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙 2.(中考·荆州)如图(1)是一台手机支架，图 面靠近，使梯子与地面所成角为B,已知 (2)是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A, 116 第一部分按心母乘分层练 B转动，测量知BC=8cm,AB=16cm.当！ 4.(中考·邵阳)如图，一艘轮船从点A处以 AB,BC分别转动到∠BAE=60°，∠ABC= 30km/h的速度向正东方向航行，在A处测 50时，点C到AE的距离为 cm. 得灯塔C在北偏东60方向上，继续航行1h (结果保留小数点后一位，参考数据： 到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方 sin70°≈0.94,3≈1.73） 向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗 礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安 全，并说明理由.（提示：2≈1.414,3 1.732) 图(1) 图(2) 3.(中考·甘肃)如图①是平凉市地标建筑 “大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535 60 年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑 宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相 呼应，被誉为平凉古塔“双璧”，某数学兴趣 小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践 活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，宝塔CD垂直于地面，在 地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和 5.(中考·宜宾)宜宾东楼始建于唐代，重建于 ∠CBD的度数（点A,D,B在同一条直线上） 宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成 数据收集：通过实地测量：地面上A,B两点的 的东楼（如图①）成为长江首城会客厅、旅游 距离为58m,∠CAD=42°，∠CBD=58. 休闲目的地、文化地标打卡地.某数学小组 问题解决：求宝塔CD的高度.（结果保留一 为测量东楼的高度，在梯步A处（如图②）测 位小数) 得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的 参考数据：sin42°≈0.67，c0s42°≈0.74， 斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶 tan42°=0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈ D的仰角为60°，求东楼的高度DE.(结果精 0.53,tan58°≈1.60. 确到1米.参考数据：w3≈1.7,2≈1.4) 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 图T 图② 图① 图2 117 中考基脚要1000题 6.(中考·怀化)政府将要在某学校大楼前修： (参考数据：sin10°=0.17，cos10°=0.98， 一座大桥如图，宋老师测得大楼的高是20米， tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈ 大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于 0.45,tan63.4°=2.00) 同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得 B处和C处的俯角∠EAB,∠EAC分别为 67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的 6349 大桥BC的长了.你知道宋老师是怎么算的 D 吗？请写出计算过程.（结果精确到0.1米， 其中sin67°≈ 13,0s675 3,lan67≈12 sin22°≈ ,c0s22°≈15 3 m22=号 可220一E 6701 20米 D 8.(中考·南京)如图，为了测量河对岸两点 A,B之间的距离，在河岸这边取点C,D,测 得CD=80m,∠ACD=90°，∠BCD=45°， ∠ADC=1917',∠BDC=5619'.设A,B,C D在同一平面内，求A,B两点之间的距离 (参考数据：tan1917'≈0.35，tan5619'≈1.50) 7.(中考·达州)某老年活动中心欲在一房前 3m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC,使 正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以 供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光线与 水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平 面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求 出此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m). 118 第一部分按他母重分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·连云港改编)如图，在5×4的正方 宅楼与古塔之间的距离BD的长.（参考数 形网格中，每个小正方形的边长都是1， 据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈ △ABC的顶点都在网格线上，且都是小正方 0.40,sin38.5°≈0.62，cos38.5°=0.78， 形边的中点，则sin∠BAC的值为( tan38.5°=0.80) A. 5 D 2(中考·北京改编)计算：（兮）-20s30° + 1-31-(4-r) 5.(中考·永州改编)在一次海上救援中，两艘 专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求 救讯息，已知此时救助船B在A的正北方 向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方 向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔 3.(中考·安微改编)小明到工厂劳动实践，学 船P与救助船A相距120海里. 习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分 (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船 所示，已知四边形AEFD为矩形，点B,C分 B之间的距离； 别在EF,DF上，∠ABC=90°，∠BAD=45°， (2)若救助船A,B分别以40海里/时， AB=6cm,BC=3cm.求零件的截面面积 30海里/时的速度同时出发，匀速直线 前往事故渔船P处搜救，试通过计算判 断哪艘船先到达？ 北 十东 D 4.(中考·荆州改编)如图，某小区一高层住宅 楼AB高60米，附近街心花园内有一座古塔 CD,小明在楼底B处测得塔顶仰角为 38.5°，到楼顶A处测得塔顶仰角为22°，求住 119 中考基题1000题 模拟精选 强化提升 1.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为 a,已知tana= ，则点D到地面的距离 1的网格中，点A,B,C均在格点上，则anA 的值是 CD为 A.2.7米 B.3.0米 5 B.10 5 C.2 D C.3.2米 D.3.4米 2.如图，创新小组要用架高AB=1.6米的测 5,如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面 角仪测量公园内一棵树的高度CD,其中 坡度是i=1:3,堤高BC是50米，则迎水 一名小组成员站在距离树4.8米的点B 坡面AB的长是 米 处，测得树顶C的仰角为45°，则这棵树的 B 高度为 A.1.6米 B.4.8米 6.如图，在A点有一个热气球，由于受西风的 C.6.4米 影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角 D.8米 的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热 3.如图，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°， 气球上的人测得地面上的B点俯角为30°， 小明在坡比为5：12的山坡上走1300米， 则A,B两点间的距离为 米 此时小明看山顶的角度为60°，则山的高度 301 是 759 60° 7计算：13-251+(2-1)°+(3)× sin 60. A.(600-2503)米B.(600、3-250)米 C.(350+3503)米D.5003米 4.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D处后进球（从眼睛处投篮），已知小明与 篮筐底的距离BC=5米，眼睛与地面的距 离AB=1.7米，视线AD与水平线的夹角为 120 第一部分按心母乘分层练 8.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块竖！10.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高 直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D 行驶速度不能超过60kmh(即 m/s）. 处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角 为30°（点B,C,D在同一条直线上），AB= 交通管理部门在离该公路100m处设置了 10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标 速度检测点A,在如图所示的坐标系中，检 语牌CD的长（结果保留小数点后一位）： 测点A位于y轴上，测速路段BC在x轴 (参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74， 上.点B在点A的北偏西60°方向上，点C 在点A的北偏东45方向上. tan42°≈0.90,3=1.73) (1)在图中直接标出表示60°和45的角： (2)写出点B,点C的坐标： (3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用 429 时间为15s.请你通过计算，判断该汽 车在这段限速公路上是否超速？（本 TT B 小问中3取1.7) y/m B G m A(0.-100 9.如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定， 已知BD=4米，且cm∠DCB=号 (1)求钢缆CD的长度： (2)若AD=2米，灯的顶端E距离A处 1.6米，∠EAB=120°，则灯的顶端E距 离地面多少米？ E 121.∠DFC=∠AED DE∥BC, .∠DCF=∠ADE, .△DFC∽△AED: (2)解：CD=宁4C, 2 CD1 由(1)知，△DFC∽△AED, △DFC和△AED的相似比为册-之 8(=(分产= S ③提升点拨注意：求相似比不仅要找准对应边， 还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则 相似比为原来相似比的倒数。 9.0解题关罐(1)根据作角平分线、线段垂直平 分线的步骤作图即可：(2)根据线段垂直平分线的 性质和角平分线的定义得到∠ODA=∠CAD,进而 得到OD∥AC,结合∠C=90°即可得证；(3)根据边 的转化得到咒的位，再运明△B0D一△BC,根据 相似三角形的对应边成比例列式求解。 ②=参考答案(1)解：如图所示； (2)证明：EF是线段AD的垂 直平分线，且点O在EF上， .OA=OD,.∠OAD=∠ODA AD是∠BAC的平分线， ∠OAD=∠CAD, ,.∠ODA=∠CAD」 ∴OD∥AC. ∠C=90°，即AC⊥BC, .OD⊥BC, .BC是⊙O的切线： (3)解：由题意可知，0M=0A=0D=AM .AM =4BM .OM=2BM,OB =3BM,AB =5BM, …胎器号 在Rt△BOD和Rt△BAC中有公共角∠B, .△BOD△BAC, 怨-器0-号解得00=6， 故⊙0的半径为6. 。③升点楼判定一般三角形相似的方法同样适 用于判定两个直角三角形相似，如在两个直角三角 形中，若有一组锐角对应相等，则这两个直角三角 形相似. 参考荟率与解析 第十七讲锐角三角函数 母题精研1锐角三角函数 稳基础 1.B2.B 1.*0=题关罐熟记特殊角(30°，45°，60)的三角 函数值 ②中思路副所由特殊角的三角函数值可知， tan45°=1.故选B. ©提升点湖本意还可以利用含45°的直角三角 形的三边最简比是1：1：2，得到an45°=1. 回四网团 锐角a 30 45o 60 锐角三角函数值 sin a 2 2 2 COs o 2 tan o 3 1 3 5 2.①+解题关耀通过网格构建直角三角形，利用特 殊角的三角函数值即可求解， ②患路剖析如图，过点A 作AD⊥BC于点D,由网格可 知，AD=BD,∴.△ABD为等腰 直角三角形，∠ABD=45°， ÷0 LABC=s45°=2 故选B. O提升点泼本题还可以根据AD和BD的长，利 用勾股定理求出斜边AB的长，然后利用锐角三角 函数的定义求解 3.0中解题关耀本题考查零指数暴，特殊角的三角 函数值，二次根式的化简及绝对值的定义， 0参考答深解：原式=1+22-2√2+3 =4. 【中考风向】零指数幂、负整数指数暴与特殊角的 三角函数值有关的综合计算题是中考的常考题型， 题型以计算题为主，难度不大。 促提升 1.A2.D3.B 1.0士解题关罐利用锐角三角函数表示出两三角形 的高即可解答 O+思路剖析如图，分别作出△ABC和△PQR底 边上的高AD和PE.在RL△ACD中，高AD= 5sin55°；在Rt△PRE中，∠PRE=180°-∠PRQ= 55°，高PE=5sin55°，因此两三角形的高相等.故 选A. 109 中考基题1000题 55 125 B ③提升点线正弦、余弦、正切都是在直角三角形 中定义的，只能在直角三角形中使用，若题目中无 直角三角形，则等要作辅助线构造直角三角形， 2.0鳞题关罐根据锐角三角函数的定义求出BC 的长是解题的关键 ②#思路制所，AC=100,8inA= }-8%:BC=AC·mA=100× =60，由勾股定理可得AB= 3 √AC2-BC=80.故选D. ③步提升点拨在利用锐角三角函数求解时，灵活 使用勾股数（如3,4,5；60,80,100）会使计算简单. 3.①班关罐作直径BD,连接DC,把∠BAC转化 到直角三角形中即可求解。 黑©思路别析如图，作直径 BD,连接DC,则∠BCD=90°.由 勾股定理得BD=√BC+CD= √22+4=25，.在R1△BCD 中，sLB0C=0-4=25 BD 25 5 ∠BDC=LBAC,cos LBAC=cos∠BDC-25 故选B. 【中考风向】中考命题中考查锐角三角函数的计 算，常与圆结合，以选择、填空题为主，难度适中。 母题精研2解直角三角形的应用 稳基础 1.B2.A3.C4.B 1.①解题关键利用等腰三角形的性质得到BD的 长，结合正切的定义求解即可， =②+患路别折：AB=AC,AD⊥BC,BC=44cm, ∴BD=2BC=2cm在R△ABD中，m∠ABD- BD tan27°=0.51，AD=BD·an∠ABD= AD 22×0.51=11.22(cm).故选B. 2.mO解题关键过点A作AD⊥BC于点D.然后选 择合适的锐角三角函数表示DC的长即可求解 =②思路副折如图，过点A作 AD⊥BC于点D.:AB=AC,AD⊥ BC,BD=DC=BC在 DC △4GD中，cosa=AC.DC= 2c0sa,∴.BC=2DC=2×2co5a=4cosa(米).故选A 110 3.0解题关键利用锐角三角函数求出AC,DC的 长，再利用勾股定理求出EC的长，进而可得结果 ②#思路图析如图，∠ACB= 90°，AB=ED=10米.，sina= 船-6-号B--6 3 R2B 了，AC=6,DC=6.由勾股定理 D 得EC=√ED-DC=8(米)，.AE=EC-AC= 8-6=2(米)，∴.梯子顶端上升了2米.故选C. ③摄升点拨本意的隐含条件是梯子在移动过程 中长度不变，选择合适的三角函数确定两种情况下 的高度求差即可， 4.0中解题关键过点A作AD⊥BC于点D,利用直 角三角形的边角关系求解即可. ②+思路制析如图，过点A作 AD⊥BC于点D.由题意得AB= AC.AD BC..BDBG- 3m.在Rt△ADB中，tan∠ABC= 的AD=BD·tana=3ana(m),六房顶A离地 面EF的高度-AD+BE=(4+3ana)m.故选B. ③少摄开点拨解非直角三角形常见的作辅助线 方法： 促提升 1.D2.6.3 1.0解题关键设AB=x,利用锐角三角函数表示出 BD,BC的长，结合BC=BD+CD列方程求解即可. 第@#思路别析设AB=x,在Rt△ABD中，tanB= 品D=品。亡B同理可得C=亡。 ~BC=BD+C0,a=音B+a,解得x= atan a tan B.故选D. tan B-tan a 【中考风向】与实物结合的解直角三角形问题是中 考的常考题型，选择题、填空题以及解答题均有出 现，难度中等. 2.O=解题关键作BM⊥AE,CN⊥AE,CD⊥BM,在 Rt△ABM中，求出BM的长，在Rt△BCD中，求出 BD的长，进而可得结果， ©#思路制析如图，过点B作BM⊥ AE于点M,过点C作CN⊥AE于点 N,过点C作CD⊥BM于点D,则 MD=CN,∠AMB=∠BDC=90°.在 Rt△ABM中，∠BAE=60°，AB=16cm,∴.BM= MB,6血60=16x9=85(cm）,且∠ABM= 90°-∠A=30°.∠ABC=50°，.∠CBD= ∠ABC-∠ABM=20.∠BDC=90°，∴.∠BCD= 90°-∠CBD=70°.在R1△BCD中，BC=8cm, .BD=BC·sin70°≈8×0.94=7.52(cm), .CN=MD=BM-BD=83-7.52=6.3(cm), ∴点C到AE的距离约为6.3cm. ③提升点城使用锐角三角函数解题时，若图中 设有直角三角形，则要通过作辅助线构造直角三 角形. 3.新①解题关罐分别在Rt△ACD和RL△BCD中利 用锐角三角函敏表示出AD,BD的长，结合AD+ BD=AB列方程求解即可 第O参考答案解：设CD=xm,在Rt△ACD中， AD= CD tan CAD tan 42 0.9' 在△BCD中，BD=mCBD°m58G .AD+BD =AB.AB =58 m. 0g+6=58, 解得x≈33.4. 答：宝塔CD的高度约为33.4m ③提升点拨有些问题中有两个（或两个以上） 直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时， 可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知 元素的关系式，列方程求解。 4.0+解题关罐过，点C作CD⊥AB,借助特殊角的 三角函数值求出CD的长，然后进行判断 端②整考答案解：如图，过 北 点C作CD⊥AB,交AB的延 长线于点D. 由题意可得∠CAD=90°- 60 60°-30°，∠CBD=90°- 方*东 45°=45°，AB=30km. 设CD=xkm,在R△CBD中，tan∠CBD= D1, ∴.BD=xkm,∴，AD=(x+30)km. 在R△MCD中，an∠CMD=tan30°=C-5 AD-3 .AD =3CD =3x(km). ∴.x+30=3x, 解得x=153+15≈40.98>40. “这艘轮船继续向正东方向航行是安全的. 【核心素养】添加辅助线以构造直角三角形，体现 了数学建模素养. 5.第0*解题关罐利用锐角三角函数得到AF,BF的 长，在Rt△ADC中，利用特殊角的正切值求出BE 的长，进而可得结果 参考荟率与解析 ②+参考答案解：在Rt△ABF中，AB=25米， tan L BAF-AF=24' BF 7 设BF=7a米，则AF=24a米， 由勾股定理得AB=√BF+AF=25a米， 25a=25,解得a=1, .AF=24米，BF=7米 在Rt△BDE中，∠DBE=60°， m∠D8E=5,即能=5 设BE=x米，则DE=5x米 在矩形BFCE中，CF=BE,CE=BF, CF=BE=x米，CE=BF=7米 在RL△ADC中，∠DAC=45°， tm∠DAC=C=l, AC AC=DC,即24+x=3x+7, 17.173 解得x=2+2， 0E=5x=号x3+号5=40（米） 答：东楼的高度DE约为40米 ©提升点拨坡度不是一个度数，而是一个比值， 该比值与坡角的正切值相等 ,O解题关罐利用锐角三角函效求出CD,BD的 长，进而可得大桥的长度， m②+参考答解：由题意可知，∠EAC=22°， ∠EAB=670 :AE∥CD, ∴.∠ACD=∠EAC=22°，∠ABD=∠EAB=67 在Rt△ACD中，tan∠ACD= D=an22≈2 AD , ∴CD=50. 在△ABD中，m∠AB0-品-m67-号， BD-草 BC=CD-D=50-曾-41.7（米）. 答：大桥BC的长约为41.7米 ￥O中解题关罐过，点D作DF⊥CE,设CF=xm,利 用锐角三角函数表示出CE的长，再根据CE= EF+CF表示出CE的长，构造方程求解即可. O考答案解：如图，过点D作DF⊥CE于 点F EC∥AD,∠CDG=63.4°， B C .∠FCD=∠CDG=63.4. 设CF=xm, 在Rt△FCD中，tan∠FCD= 6349 F=tan63.4°=2.00， .DF =2CF =2x(m). 111 中考基醒题1000题 .AB=3 m,.'.BE =AB-AE =(3-2x)m. 在R△BCE中，m∠BCE=8能=an10°-0.18， BE 3-2x CE=0.18-0.18 又AD=2m,AD=EF .'CE=EF +CF=AD+CF=(2+x)m, 小语=2+解得121， BE=3-2x=0.58(m). sin L BCE=BE ΓBC1 BE0.58」 BC=n2BCE0.i9≈3.4m). 答：遮阳篷BC的长度约为3.4m ©提升点城解决这类问题时，一般都是先设出 未知数，然后用含未知数的代数式表示其他相关 量，再根据图形中线段之间的关系建立方程求解 8.O班关罐过点B作BE⊥CD,过点A作AF⊥ BE,构建矩形和直角三角形，利用锐角三角函敏建 立方程求解 ②参考德案解：如图，过点B作BE⊥CD于点 E,过点A作AF⊥BE于点F. 在Rt△ACD中，：∠ADC=1917',CD=80m, tan1917=C说，即035≈4C 801 解得AC=28. ∠ACD=90°，BE⊥CD, AF⊥BE, ∴，四边形ACEF是矩形 在RL△BCE中 ∠BCD=45°， tan L BCE=BE =1. 设CE=xm,则BE=xm :CD=80m,∴.DE=(80-x)m 在Rt△BDE中，：∠BDC=5619', an5619=BE,即1.580-x 解得x=48, .'BE =CE =48 m, .'AF CE=48 m,EF =AC =28 m, ∴.BF=BE-EF=20m 在Rt△ABF中，AB=√AF2+BF2=52m. 答：A,B两点之间的距离为52m O+提升点越解直角三角形的一般原则：①有斜 (斜边)用弦（正、余弦），无斜用切（正切）；②取原 避中，尽量选择可以直接应用原始数据的关系式， 避免使用中间数据求解：③宁乘勿除，尽量选择便 于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法 计算 112 真题改编科学借鉴 1.D 1.端0+解题关键过点C作CD⊥AB,利用勾股定理 和锐角三角函数即可求解 @中思路制析如图，过点C作 CD⊥AB于点D.根据网格可知， ∠ADC=90°，在RL△ADC中， AD=3,CD=4,由勾股定理，得 AC=√AD+CD=5,.sim∠BAC= 肥务故选D 2.0中解题关罐熟练掌握负整数指数暴，特殊角的 三角函数值，绝对值以及零指数幂的性质是解题的 关键 8参考省案解：原式=3-2×号+厅-1 =3-5+3-1 =2. 【中考风向】与特殊角的三角函数值有关的综合计 算题是中考的常考题型，以计算题为主，难度较小 3.0+解题关罐将裁面的面积转化为S随利ABD S△ur-S△CF,利用锐角三角函数求出相应的边即 可求解 m②+参考答来解：：四边形AEFD为矩形， ∠BAD=45°， ∴.∠EAB=∠EBA=45. 在Rt△ABE中，AB=6cm, B=AB=AB×im450=6×5=32(cm. 2 .∠ABC=90°， ∴.∠FBC=180°-90°-∠EBA=45°， ∴.∠BCF=90°-∠FBC=45 在Rt△BCF中，∠F=90°，BC=3cm, 你=GF-cx血453×号-3(m). EF=BE+BF=9,2。 2 cm, ∴Smm=AB·EF=32×9,2=27(cm), 2 Sw=24BBE=2×32x32=9(cem). 5m8.c-分×39×39-(m, ×2 ∴.零件的截面面积=S国边形ED一S△B一S△r= 27-9-}-g(em. ③步提升点拨求不规则图形的面积时，可通过分 割或补形将其转化为求三角形或特殊的四边形的 面积 4.第0解题关键过，点A作AE⊥CD,设BD=x米，利 用锐角三角函数表示出CE,CD的长，构建方程求· 解即可. ②多考答率解：如 图，过点A作AE⊥ CD于点E. 由题意可知，∠CAE= 22°，∠CBD=38.5°， DE=AB=60米 设BD=x米，则AE=BD=x米 在△4CE中，mLC-, .CE=AE·tan22°≈0.4x(米) 在Rt△BCD中，tan LCBD=,/ .CD=BD·tan38.5°≈0.8x(米) CE +DE CD, .0.4x+60=0.8x ∴.x=150,即BD=150米. 答：住宅楼与古塔之间的距离BD的长为150米 ③提升点拨一般情况下，在直角三角形中，已知 一直角边求另一直角边，用已知锐角的正切关系式； 已知或要求的涉及斜边长，用正弦或余弦关系式. 5.0解题关键(1)过，点P作PC⊥AB,利用特殊角 的三角函数值求解即可：(2)根据时间=路程÷速 度，求出救助船A,B所用的时间，比较即可 ②参考答案解：(1)如图，过点北 P作PC⊥AB于点C,则∠PCA= 东 ∠PCB=90°. 由题意可知，PA=120海里，∠A= 30°，∠B=∠BPC=45°， PC=BC=2PA=60(海里)， .PB=√PC+BC=2PC=602(海里). 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间 的距离为602海里； (2):PA=120海里，PB=60√2海里，救助船A,B 分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发， ∴.数助船A所用的时间为120÷40=3（时），救助 船B所用的时间为60√2÷30=2√2（时）. 3>22, .数助船B先到达 ③+提升点拔观测点不同，所得的方向角也不同， 但各个观测点的南北方向线是互相平行的，借助此 性质可进行角度的转换 模拟精选强化提升 1.D2.C3.B4.C5.1006.200√2 1.0解题关罐通过网格构建直角三角形，利用锐 角三角函数解决问题， 考荟案与解 ￥②思路制析如图，连接BD. 根据勾股定理，得BD=√2，AD= 22,AB=√10.：BD2+AD2= 2+8=10=(10)2=AB, ∴.△ABD为直角三角形，∴.tanA= 阳之放选D ③+提升点拨在网格中求锐角三角函数值，借助 网格构建合适的直角三角形，此外，需要总结网格 中能构成直角的情况，例如横向“1×3”和纵向 “1×3”的网格所形成的线互相垂直. ,￥0解题关罐过点A作AE⊥CD,利用矩形的性 质得到DE,AE的长，结合锐角三角函数求出CE的 长，进而可得答案。 ￥©思路融析如图，过点A作 AE⊥CD于点E,易得四边形 ABDE是矩形.由题意可知， DE=AB=L.6米，AE=BD= 4.8米在R△MCE中，∠CAE= 45°，∴.CE=AE·tan45°= 4.8(米)，.CD=CE+DE= 6.4米，即这棵树的高度为6.4米.故选C. ③中提升点碳对于舍特殊角的解直角三角形的问 题，可以直接用边的比例关系求解。 3.0+鲜塑关键掌握坡度是坡面的铅直高度和水平 宽度的比是解题的关键 ②生思路制斯如图， 标记字母.设EF=5x 米，则BF=12x米.由 勾股定理得(5x)2+ (12x)2=13002,解得 x=100,则EF=500米， BF=1200米.由题意可知，四边形CDEF为矩形， ∴CD=EF=500米，DE=CF.在Rt△ADE中， anAEDDDE Pn609=3AD,在t△ACB 中，tnLABC=AC.9:D+5S00,解得AD= 120+90 6005-750,山高AC=AD+CD=(600V3- 250)米.故选B. ③+提升点谶由坡度就可知坡角的正切值，因此 可用来求坡角及相关边长. 4.0鲫题关健利用矩形的性质得到CE,AE的长， 结合锐角三角函数求出DE的长，进而可得答案. ②思路制析由题意得四边形ABCE是矩形， AE=BC=5米，CE=AB=1.7米，在Rt△ADE中， ma-E-0DB=AE·ma=5×0 1.5(米)，∴.CD=DE+CE=1.5+1.7=3.2(米)， 113 中考基题1000题 ∴，点D到地面的距离CD的长为3.2米.故选C. ©少提升点泼仰角和俯角是指视线相对于水平线 而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，巧记为 “上仰下俯” 5.0出解题关键本题考查解直角三角形的应用一坡 度坡角问题. =©出思路副析：迎水坡AB的坡度i=1:√3，即 tan Z.BAC=50,5(米)， tanBAC=AC=石AC=BC 根据勾股定理，得AB=√BC2+AC=100米. 需③出提升点湖本题还可以根据正切值判断出 ∠BAC=30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边 的一半求解 6.■0+解题关鲤过点A作AD⊥BC,利用锐角三角 函数求出AD的长，结合30°角所对的直角边等于 斜边的一半即可求解。 ②中思路别析如图，过点 A作AD⊥BC于点D.由题 30y7 意可知，∠B=30°，在 Rt△ACD中，∠ACD=75°- 75 B 30°=45°，AC=20×10= 200(米)，AD=AC·sin45°=1002（米）.在 Rt△ABD中，.∠B=30°，.AB=2AD=2002米. 7.触①解题关罐本题考查绝对值，零指数幂，负整数 指数暴以及特殊角的三角函数值的运算。 0参考答案解：原式=25-3+1+2× 2 =33-2. 8.=0+解题关键过点A作AE⊥BD,利用锐角三角 函数求出BE,AE,DE的长，进而可得结果 @出参考答蜜解：如图，过点A 作AE⊥BD于点E. 在RL△BAE中， ∠EAB=30°，AB=10m, 42 CE 六BE=AB·sin LEAB=10X2= 30的 5(m), AE=AB·c08LEAB=10× 2=55(m). 在Rt△ADE中，DE=AE·tan42°≈7.79(m), ∴.BD=DE+BE=12.79m, ∴.CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3(m) 答：标语牌CD的长为6.3m ③提升赢谡解决与仰角和俯角有关的实际问题 的方法：找准仰角、俯角，从实际问题情境中抽象出 含仰角或俯角的直角三角形，然后解直角三角形 即可。 9.0*解题关罐(1)利用锐角三角函数的定义和勾 股定理即可求解：(2)过点E作EF⊥AB,利用锐角 114 三角函数求出AF的长，进而可得答案 O参考答案解：(1)八c0s∠DCB=BC=3 CD5· ∴.可设BC=3x米，则CD=5x米 由勾股定理，得BD=√CD-BC=4x米， ∴.4x=4,.x=1,∴CD=5米 答：钢缆CD的长度为5米； (2)如图，过点E作EF⊥AB,交 BA的延长线于点F. ∠EAB=120°，∴.∠EAF=60°， .AF=AE·cos∠EAF=1.6× -08(米)， .BF=AF +AD+BD=0.8+2+ 4=6.8(米). 答：灯的顶端E距离地面6.8米. 【中考风向】利用解直角三角形解决问题是历年中 考的热点，常以建筑物的高度、航海行程等背景考 查，以解答题为主， 10.■0解题关罐(1)根据方向角的定义即可标出； (2)利用锐角三角函数求出OB,OC的长，即可得 出坐标；(3)先求出BC的长，然后求出汽车的速 度，比较即可得出答案 8参考答案解：(1)标出60°和45°的角如 图所示： 北 ↑3/m 东 B /m 、60e45g 1A0.-100) (2)由题意可知，△A0B和△AOC是直角三角形. 在Rt△A0B中，OA=100m,∠BA0=60°， .0B=0A·tan60°=1003(m), 点B的坐标为(-1005,0). 在Rt△A0C中，∠OAC=45°， .OC=0A=100m, ∴.点C的坐标为(100,0)： (3)BC=0B+0C=100√3+100=270(m), 270÷15=18(m/s). 18>9 .该汽车在这段限速公路上超速了. ③提升点拨在实际问题中，当所求结果是边 或角时，要按照意中的精确度确定答案，并注明单 位，对于说理性题型（如汽车是否超速），除正确 计算出结果外，还要进一步对结果的意义进行 说明