第16讲 图形的相似-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

第一部分预心母题分层练 第十六讲 图形的相似 参考答案 母题研》相似图形的有关概念与性质 相似图形的定义：形状相同的图形 线段成比例：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的 相似图形的 比相等，如片=（即ad=c),我们藏说这四条线段成比例 有关概念与性质 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例 平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边的延长线)，所得的对应线段成比例 国自送母 4（中考·底)若-=(a0),则2 a c a-c 1.(中考·成都)如图，直线l1∥L2∥L3,直线AC 和DF被l,2,l3所截，AB=5,BC=6,EF= 4,则DE的长为 () 促提升 1.(中考·临沂)如图，点A,B都在格点上，若 A.2 B.3 C.4 D. BC=23 ,则AC的长为 第1题图 第2题图 2.(中考·临沂)如图，在△ABC中，DE∥BC, B.4I3 B号，若4AC=6,则EG A.13 AD 3 () C.2√13 D.3√13 A.S g号 c. 2.(中考·无锡)如图，在R△ABC中，∠ACB= 90°，AB=4,点D,E分别在边AB,AC上，且 3.(中考·郴州)如图是一架梯子的示意图，其 DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点 中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD. O,则△AB0面积的最大值为 为使其更稳固，在A,D间绑一条安全绳（线 段AD1),量得AE=0.4m,则AD1= m. D 3.(中考·大庆)已==0，则”= 107 中考基醒题1000题 母题精研☑相似三角形的判定与性质 判定方法：①平行截线；②三边对应成比例：③两边对应成比例且夹角相等； 相似三角形的 ④两组角分别相等 判定与性质 性质：对应边成比例，对应角相等；对应高、对应中线、对应角平分线、周长的 比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方 国百健斑 促提升 1.(中考·云南)如图，在△ABC中，D,E分别 1.(中考·扬州)如图，在△ABC中，AC=BC, 为线段BC,BA的中点，设△ABC的面积为 矩形DEFG的顶点D,E在AB上，点F,G分 S,△EBD的面积为S,测 别在BC,AC上，若CF=4,BF=3,且DE= 2EF,则EF的长为 A. B.4 C. 3 0.8 2.(中考·杭州)如图，在△ABC中，点D,E,F 第1题图 第2题图 分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF.已知 2.(中考·巴中)如图，△ABC中，点D,E分别 在B,4C上，且0瓷-，下列结论正确 四边形BFED是平行四边形，能-子 (1)若AB=8,求线段AD的长， 的是 ( (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 A.DE BC=1:2 BFED的面积. B.△ADE与△ABC的面积比为1：3 C.△ADE与△ABC的周长比为1：2 D.DE∥BC 3.(中考·黄冈)如图，在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D,∠BCE=∠ACD (1)求证：△ABC∽△DEC; (2)若SABC:SADEC=4:9,BC=6,求EC 的长 108 第一郁分预心母题分层练 母题精研相似三角形的应用 利用相似三角形解应用题的基本步骤：审题，构建图形，利用相似解决问题 相似三角形 常见题型：利用阳光下的影子测量高度，利用标杆测量高度，利用镜子的反射测量 的应用 高度，求不易直接测量的物体宽度（如河的宽度） 国自墨础 促提卧 1.(中考·兰州)如图，小明探究课本“综合与 1.(中考·河北)图(1)是装了液体的高脚杯 实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测 示意图（数据如图），用去一部分液体后如图 试距离为5m时，标准视力表中最大的“E” (2)所示，此时液面AB= ( 字高度为72.7mm,当测试距离为3m时， 6 cm 最大的“E”字高度为 水平线 图(1) 图(2) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm A.4.36mm B.29.08mm C.43.62mm D.121.17mm 2.(中考·朝阳)一数学兴趣小组去测量一棵 2.(中考·内江)在同一时刻，物体的高度与 周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一 它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有 个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好 人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m, 在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像， 某一高楼的影长为60m,那么这幢高楼的 此时测得FG=3m,这位同学向古树方向前 高度是 进了9m后到达点D,在D处安置一高度为 A.18m B.20m 1m的测角仪CD,此时测得树顶A的仰角为 C.30m D.36m 30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离 3.(中考·广西北部湾经济区)古希腊数学家 EF=1.5m,点B,D,G,F在同一水平直线 泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影 上，且AB,CD,EF均垂直于BF,求这棵古树 子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字 AB的高.（小平面镜的大小和厚度忽略不 塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长 计，结果保留根号) FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则 金字塔的高度BO是 米 30 109 中考整题1000题 母题精研4图形的位似 位似图形：一个图形上的点和另一个图形上的点分别对应，并且对应点的连线都经 过同一点 位似的坐标变换：在平面直角坐标系中，以原，点为位似中心，画出与原图形的相似比 图形 为k的位似图形，那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上，点的 的位似 坐标为(x,y)或(-kx,-y) 性质：对应角相等，对应边成比例：对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中 心的距离比相等；对应边互相平行或在同一条直线上 自墨础 2.(中考·绥化)如图所示，在网格中，每个小 正方形的边长均为1个单位长度，把小正方 1.(中考·重庆A卷)如图，△ABC与△DEF位 形的顶点叫做格点.O为平面直角坐标系的 似，点0是它们的位似中心，其中OE=2OB, 原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上， 则△ABC与△DEF的周长之比是 连接对角线OB. A.1:2 (1)在平面直角坐标系内，以原点0为位似 B.1:4 C.1:3 中心，把△OAB缩小，作出它的位似图 D.1:9 形，并且使所作的位似图形与△OAB的 2.(中考·温州)如图，图形甲与图形乙是位似 相似比等于之 图形，0是位似中心，位似比为2：3，点A,B (2)将△OAB以点O为旋转中心，逆时针旋 的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B 的长为 ( 转90°，得到△OAB1,作出△OAB1,并 A.8 求出线段OB旋转过程中所形成扇形的 B.9 周长 C.10 D.15 B 甲 1.(中考·潍坊)《墨子·天文志》记载：“执规 矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学 之美.如图，正方形 ABCD的面积为4，以 它的对角线的交点为 D 位似中心，作它的位 似图形A'B'CD',若 C A'B:AB=2:1,则四边形A'B'CD'的外接圆 的周长为 110 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·湘潭改编)如图，在△ABC中，点D,15.(中考·玉林改编)如图，在△ABC中，D在 E分别是AB,AC的中点，若△ADE的面积是 AC上，DE∥BC,DF∥AB. 3.6cm2,则四边形BDEC的面积为() A.10.8cm2 （1)求证光品 B.14.4cm C.7.2cm2 (2)若CF=DE,求，Se的值. S网边形BEDF D.3.6 cm" B 2.(中考·台州改编)如图，点E,F,G分别在 正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG 若AB=6,BE=AG=5,则AF=( A.626 5 B.5 6.(中考·南京改编)如图，AC与BD交于点 D.526 O,AC=DB,∠ACB=∠DBC,点E为BC延 长线上一点，过点E作EF∥CD,交BD的延 3.(中考·包头改编)如图，在Rt△ABC中， 长线于点F ∠ACB=90°，AB=16,过点B作BD⊥CB,垂 (1)求证：△ABC≌△DCB; 足为B,连接CD,与AB相交于点M,过点M (2)若AB=4,BC=6,CE=2,求EF的长 作MN⊥CB,垂足为N.若AM=6,CM=7,则 DM的长为 4.(中考·百色改编)如图，△ABC中，AB= AC,∠A=36°，∠ACB的平分线CD交AB于 点D,则点D是线段AB的黄金分割点.若 AC=3,则BC= 111 中考基醒题1000题 模拟精选 强化提升 1.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD, ①△ABC与△DEF是位似图形； DE∥BC交AC于点E,则下列结论不正确的 ②△ABC与△DEF是相似图形； 是 ) ③△ABC与△DEF的周长比为1：2； A.BC=3DE ④△ABC与△DEF的面积比为4：1. B.-C A.1 B.2 C.3 D.4 5.雨后初晴，小明在运动场上玩耍，从他前面 C.△ADE∽△ABC 2米远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端 D.Sae=号Sauc 的倒影，如果旗杆 2.如图所示，在长为8cm,宽为4cm的矩形 底端到积水处的距 中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中 离为40米，小明的 阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面 眼部高度是1.5米， 积是 ( ) 那么，旗杆的高度 是 米 6.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D A.2 cm2 B.4 cm2 是BC上不同于点B,C的一动点，连接AD, C.8 cm2 D.16 cm2 作∠ADE=60°，交AC于点E. 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三 (1)试说明不论点D在BC边上何处时，都 角形（阴影部分）与△ABC相似的是( 有△ABD∽△DCE; (2)设BD=x,CE=y,试确定y与x的函数 关系式，当x为何值时，y有最大值？最 大值是多少？ (3)DE能否与AC垂直，若DE⊥AC,求出此 B 时BD的长；若DE不能与AC垂直，请说 明理由。 4.如图，已知△ABC,任取一点0，连接A0 BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF 则下列说法正确的个数是 ( 112 第一部分预心母题分层练 综合训练五 图形的综合 1.(中考·武汉)下列图形都是由一个圆和两· 4.(中考·常德)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称 90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋 图形又是中心对称图形的是 转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别是 D,E,点F是边AC的中点，连接BF,BE, FD.则下列结论错误的是 B D 2.(中考·达州)如图，点E在矩形ABCD的 AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落 在BC边上的点F处，若CD=3BF,BE=4, 则AD的长为 ( A.BE=BC B.BF∥DE,BF=DE C.∠DFC=90 D.DG=3GF 5.(中考·上海)如图所示，已知在梯形ABCD A.9 B.12 中，0∥c,品=则 C.15 D.18 3.(中考·怀化)如图，在△ABC中，以点A为 圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于 点M,N;再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P:连接 6.(中考·陕西)如图，已知直线1∥2，直线3 AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的 分别与L1,2交于点A,B.请用尺规作图法， 是 ( 在线段AB上求作一点P,使点P到L,,2的 距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） A.AD+BD <AB B.AD一定经过△ABC的重心 C.∠BAD=∠CAD D.AD一定经过△ABC的外心 113 中考整醒题1000题 7.(中考·宁夏)在平面直角坐标系中，△ABC:9.(中考·烟台)如图，已知在Rt△ABC中， 的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1), ∠C=90° C(1,1) (1)请按如下要求完成尺规作图（不写作 (1)画出△ABC关于x轴成轴对称的 法，保留作图痕迹) △A,B1C1; ①作∠BAC的平分线AD,交BC于点D: (2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比 ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相 为1：2的△A2B2C2 交于点0： ③以点O为圆心，以OD的长为半径画 圆，交边AB于点M; (2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙0的 切线； (3)若AM=4BM,AC=10,求⊙0的半径. 8.(中考·玉林)如图，在△ABC中，D在AC 上，DE∥BC,DF∥AB (1)求证：△DFC∽△AED; 21若D=专c温位 114中考基圆1000题 4.0声解题关键连接BP,根据等边三角形的性质得 到PB=PC,结合两，点之间线段最短即可求解 ②中思路剖析如图，连接BP. :△ABC是等边三角形，D是BC 的中点，∴.AD是线段BC的垂直平 分线，∴PB=PC,△PCE的周 EC+EP PC EC +EP BP, ,当B,P,E三点共线时，△PCE的周长最小，∴点 P为△ABC的中线AD与BE的交点，.点P为 △ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点.故 选D. O提升点拨“将军饮马问题”，要使其所走路程 最短，可通过轴对称的性质作关键点的对称点，将 线段转化到一条线段上 5.煎①解题关疆发现三次一猫环的规律是解题的 关键 ②思路剖析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 30°，∴.AB=2AC=2,BC=3.由题意可知，AP,=2, AP2=2+5,AP3=2+3+1=3+、3,三次一循 环2022÷3=674，.AP22=674×(3+3)= 2022+6743. 【中考风向】对于图形变换带动的规律探究性问题是 中考的常考题型，常以选择题、填空题的形式出现 6.①解题关耀(1)由点B,B,的坐标得到平移规 律，利用平移规律作图即可：(2)找出关键点旋转 后的位置作图即可：(3)先根据勾股定理计算平移 的距离，再计算以0B,的长为半径，圆心角为90°的 孤长，然后相加即可 2#参考案解：(1)如图，△A,B,C,即为所求： Y4 (2)如图，△A,B,C,即为所求： (3)由图可知，点B到达点B,的路径长为√3+3= 32,0B1=1+22=5, 六点B,到达点B的路径长为0×π×5-5 180 , ,点B经过点B到达点B的路径总长为32+ 5 2 m. ③提升点透旋转变换中的某对应点所走的路径 长是其所对应的弧长 102 第十六讲图形的相似 母题精研1相似图形的有关概念与性质 稳基础 1.D2.c31.24 1.■0中解题关罐根据平行线分线段成比例的基本事 实得到左上。右上 下右宇 @里高断：直线4/6/化品- yAB=5,BC=6,F=4名-EDE=9故 选D. ③+提升点拨利用平行线分线段成比例的基本事 实时，要注意对应线段成比例，不要弄混对应线段， 对应线段有三组：“左上”对应“右上”：“左下”对应 “右下”：“左全”对应“右全” 2.单0+解题关键根据平行线分线段成比例的基本事 夹得到套特 e思暗新：DE∥8C.·治-瓷=子 EC -号6C=号C=故选C AC-EC 2.6-EC 2 单©+提升点搬平行于三角形一边的直线，与其他 两边（或两边的延长线）相交所得的对应线段成比 例.通常把图①②称为“A”字型基本图形，图③称 为“X”字型基本图形 E…D -…EB 3.第0解题关健根据平行线分线段成比例的基本事 实得到学祀即可求解 g想脑断A4,∥B,∥CG芹=品 AB=BC,AE=EF,同理可得AE=EF=FD· ,AE=0.4m,.AD1=0.4×3=1.2(m). 【中考风向】平行线分线段成比例在近年来频繁出 现在各地中考试题中，考查难度一般，考查点主要 为根据平行线找准对应比例线段，从而计算有关线 段长度， 4.@解题关健根据比例的基本性质把比例式变形 即可求解 8+路折么==2(a≠c),心a=26,c月 a c 2d6-d=6-d-1 a-e2b-2d=2 0升点暖北例的基本性质：如果号=分，那么 ad be. 促提升 1.B2. 3.5 6 1.①少解题关键找到平行的两边，用平行线分线段 成比例的基本事实列比例式求解即可， ②患路剧析如图，在格点上标记字母D,E,则 m/能-能=子 =4= 213 1 3 1 2,AC=2,AC= D 4故选B ③提升点拨平行线分线段成比例的基本事实， 可以直接判定线段成比例，若不能直接证明要证的 比例成立时，常把这两条线段的比进行转换。 2.0+解题关键过，点D作DF∥AE,结合已知条件 判断D0与DC的数量关系，进而判断S6与 S△的数量关系，再根据90°角可以得出点C在以 AB为直径的回上，当底边一定时，寻找最长的高即 可求解 ②士思路制析如图，过 点D作DF∥A5, AE BA =3 AE 3EC, BD 2 ..DF=2EC,.∴.D0=2OC.∴.D0= 2 pC.'.= 号5e,5am=号5c,Saw=号5 2 ∠ACB=90°，点C在以AB为直径的圆上，设 圆心为点G,当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为 、2×4x2=4,此时△AB0的面积取最大值，最大值 为号x4:号 3.0鲜题关耀通过设参数的方法进行线段比的转 化是解题的关键 8思路所设5=方=子=k=2k,y=3k, =4-9器 回回翻团求与已知比和关的分式的值时，可以 灵活运用比例式与等积式之间的互相转化或利 用比例的性质进行变形然后代入求解，也可以采 用引入参数法进行求解 母题精研2相似三角形的判定与性质 稳基础 1.B2.D 1.0中解题关键根据三角形中位线定理得到DE∥ 参考否率与解所 AC,DE=子AC,进而得到△EBD一△ABC,结合相 似三角形的性质即可求解。 ②+思路制析D,E分别为线段BC,BA的中点， DE为△ABC的中位线.DE∥AC,DE=24C, ÷△EBD△ABC.E0=⊥ AC=2S 一子故选B 回圆国围相似三角形的面积比等于相似比的 平方 2.0解题关爆利用比例的性质得到△ADE一 △ABC及相似比，即可判断A选项：利用相似三角 形的性质即可判断B,C,D选项. @脑新“品瓷-分报能-分 AD AE I :∠A=∠A,.△ADE△ABC,.DE:BC=1:3 枚A选项错误：，△ADE∽△ABC,∴.△ADE与 △ABC的面积比为1：9，周长比为1：3，故B,C选 项错误；△ADE∽△ABC,∴.∠ADE=∠B, ∴，DE∥BC,故D选项正确. 半③期升点找相等角时，注意隐含的条件，如 对顶角、公共角，平行线中的同位角、内错角等。 3.革0解题关罐(1)利用两角分别相等证明 △ABC∽△DEC;(2)根据相似三角形的性质即可 求解 @出参考答案(1)证明：：·∠BCE=∠ACD, ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE, 即∠ACB=∠DCE. 又：∠A=∠D, ∴.△ABC∽△DEC: (2)解：，△ABC∽△DEC, (0= 62 4 BC=6 ∴EC=9. 单③+提升点拨在两个直角三角形中，若有一组锐 角对应相等，则这两个直角三角形相似， 促提升 1号 1.①解题关键根据矩形的性质证明△CGF一 △CAB,得到AB的长，证明△ADG△BEF,得到 BE的长，在Rt△BEF中，利用勾股定理即可求解， ②+思路剖析设EF=x,则DE=2x.,四边形 DEFG是矩形，∴，GF=DE=2x,DG=EF,∠GDE= ∠FED=90°，GF∥AB,∴∠ADG=90°=∠BEF, △0△C-器4片即 AB 103 中考基脚圆1000题 号AB=AD+BE=B-DE=号-2x=受 4 :AC=BC,∴∠A=∠B.在△ADG和△BEF中， r∠A=∠B. ∠ADG=∠BEF,.△ADG≌△BEF(AAS). DG =EF. 3 AD=BE=4x在R△BEF中，由勾股定理得 BE+F=BF,即（子P+2=3解得-号 (负值配舍去)BF-号 2.①解关罐(1)利用平行四边形的性质证明 △ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质列比例 式求解即可：(2)根据相似三角形的性质得到 △ABC的面积，△EFC的面积，然后利用面积差求 解即可 ②+参考答案解：(1)：四边形BFED是平行四 边形， DE∥BF,即DE∥BC, △ADE∽△ABC, …0既- AB=8,AD=2: (2):△ADE∽△ABC, SAADE = BC S6A体=1， S6c=16. 四边形BFED是平行四边形， .EF∥AB .△EFC∽△ABC, ÷SaEe=9. 六.S平行四边形5m=S△c-S△Er-S△AE=16-9- 1=6. 【中考风向】相似三角形的性质与判定是中考的热 点问题，解题时要注意常见模型的建立，如本题中 平行线背景下的相似三角形 母题精研3相似三角形的应用 稳基础 1.C2.D3.134 1,0卡解题关键根据平行线分线段成比例的基本事 实列比例式求解即可， =O+思路制折：CB∥DF,六BC=AB DF AD AD DF 3 3m,AB=5m,BC=72.7mm,六72.7=3DF= 43.62.故选C. ③#堤升点泼根据生活常识墙与地面垂直可知， 两张视力表平行 104 2.0中解题关健根据同一时刻物高与影长成正比列 式求解即可. ②#思路制析设这幢高楼的高度是xm.由题意 得3-高，解得x=36,所以这幢高楼的高度是 36m.故选D. 3.0+鲜题关键根据同一时刻物高与影长成正比列 式求解即可 ■②+思路剖析设金字塔的高度BO是x米.由题 意得8=子解得x=134,经检验=134是原方 程的解，.金字塔的高度B0是134米 单③+提升点拨在同一时刻物高和影长成正比，即 在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太 阳光线三者构成的两个直角三角形相似 促提升 1.C 1.0解题关罐利用两三角形相似列比例式即可 求解 ￥②+思路剖所如图，过点0作OM⊥CD,垂足为 M,过点O'作O'N⊥AB,垂足为N. 6 cm 水平线 由题意得CD∥AB,△CDO一△AB0',.B 0M.615-78 0心ABi1-7=4AB=3,故选C 回圆國围相似三角形的高、中线、角平分线之比 等于相似比 2.O#鲜题关键过点C作CH⊥AB,证明△EFG一 △ABG,利用相似三角形的性质列比例式求解 即可， ②+参考答案解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. 30CG1 B D mm F CH BD,BH CD=1 m,DG =DF-FG=6 m. 在Rt△ACH中，∠ACH=30°， mL4=m0-7-9 六BD=CH=3AH. EF⊥BF,AB⊥BF, .∠EFG=∠ABG=90° 又由反射角等于入射角得∠EGF=∠AGB, ∴.△EFG∽△ABG, 钻C即品山6 3 解得AH=8+45. ∴.AB=AH+BH=(9+4、3)m. 答：这棵古树AB的高为(9+43)m 【中考风向】相似三角形的应用是中考常考题型， 往往与投影、解直角三角形以及物理中的一些光的 反射问题相结合，以解答题为主。 母题精研4图形的位似 稳甚础 1.A2.B 1.0中解题关罐根据位似图形的性质得到BC∥ EF,进而证明△OBC∽△OEF,根据相似三角形的 性质即可求解。 ②思路析：△ABC与△DEF位似，∴.△ABC一 △DEF,BC/EF△0Bcn△0EF=-8e 号，即△ABC与△DBF的位似比为1：2，△ABC 与△DEF的周长之比是1：2.故选A. 回回酸园位似图形一定是相似图形，但相似图 形不一定是位似图形. 20都关暖根据位似比格-子水解即子 ②步思路副析，图形甲与图形乙是位似图形，位 似比为23份=号，即号解得4g 9.故选B. ③升点拨位似图形是增加了条件的相似图形， 这个条件就是每组对应点所在直线都经过同一个点。 促提升 1.4、2m 1.0解题关罐连接B'D',根据位似图形的性质得 到A'B的长，利用勾股定理求出B'D'的长，进而可 得答案 ②步思路剖析如图，连接 B'D.设BD的中点为O. 正方形ABCD∽正方形 A'BCD',相似比为1：2，正 方形ABCD的面积为4，∴.正 方形A'B'CD'的面积为16. A'B'=A'D'=4.在Rt△ABD'中，BD'= A'B2+A'D=2A'B'=4、2,.正方形A'BC'D 的外接圆的周长为42π 2.第0中解题关避(1)利用位似变换的性质作图即 可，注意有两种情况；(2)根据扇形周长=扇形半 参考否率与解新 径×2+孤长，计算即可 ②#参考答案解：(1)如图，△OA'B'或△OA"B“即 为所求： (2)如图，△OA,B,即为所求 0B=√/4+6=2、13 线段OB旋转过程中所形成扇形的周长=2× 2VB+90mx2:43+3m 180 回回酸围画位似图形的一般步聚：①确定位似 中心：②分别连接位似中心和原图的关键点并延 长：③根据相似比，确定所画的位似图形的关键 点：④顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的 图形， 真题改编 科学借鉴 1.A 2.A 335 4.-3+35 2 1.0第题关量证明△A0E一△ABC且妆=号是 解题的关键 ￥②+想路盟析：点D,E分别是AB,AC的中点， DE∥c,且8=7，△M0E△4BC, 1 六S△E:S△c=1:4,S△Smiesore=1:3. △ADE的面积为3.6cm,∴.四边形BDEC的面 积为10.8cm2.故选A ③提升点拨在含有两边中点的三角形中，利用 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 一半可以得到两三角形相似和其相似比. 2.O+解题关键找到△ABF∽△GAE是解题的 关键 第②+思路剖折，四边形ABCD是正方形，∴.AB= AD 6..BE AG 5,..AE AB BE 1. ∠ABC=∠BAD=90°，AF⊥EG,∴.∠BAF+ ∠AEG=∠BAF+∠AFB,.∠AFB=∠AEG, △4BF△CE6-部名-郎F 在R△ABF中，AF=AB+BF,即AF=6+ 6 (号AP6；石，故选 105 中考基脚圆1000题 3.0=解题关罐利用平行得到△MAC∽△MBD,结 合相似三角形的性质即可求解 ②#思路别折：∠ACB=90°，BD⊥CB,MN⊥CB, ∴.AC∥MN∥BD,∴.∠MAC=∠MBD,∠MCA= LWDB△WiC△WBDA-8:AB= AM+BM..BM=AB-AM=16-6=10.o= 6 w=3 7 ©#提升点拔在判断两个三角形相似时一定要结 合条件找相似三角形的基本模型，如本题中出现了 A字型和8字型相似三角形，结合题中条件建立各 线段间的关系， 4.①中解独关嚼根据等腰三角形的性质和角平分线 的定义得到AD=CD,结合三角形外角的性质得到 BC=CD,结合黄金分割比即可求解. ②出思路剖析，'AB=AC=3,∠A=36°，，∠B= ∠ACB=72°.CD平分LACB,∠ACD= ∠DCB=36°，..∠A=∠ACD.∴AD=CD.∠CDB 是△ACD的一个外角，.∠CDB=∠A+∠ACD= 72°，∴.∠CDB=∠B.∴，BC=CD=AD.,点D是线 段AB的黄金分割点，AD>BDAD=-1+5AB= 2 -3+35 BC=-3+35 2 回回图一般地，点C把线段AB分成两条线 钱C和C(如国)，如果6-C原么称钱段 AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分 割点，AC与AB的比叫做黄金比 A C B 5.0鲜题关继(1)利用两组平行线找到两角对应 相等即可求证；(2)根据相似三角形的性质得到 △DFC和△AED的相似比即可求解。 2+参考答案(1)证明：：DFAB,DE∥BC, ∴.∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF, ∴∠DFC=∠AED. DE∥BC,.∠DCF=∠ADE, ∴.△DFC∽△AED. 0 (2)解：CF=2DE证=2 CF 1 由(1)知，△DFC和△MBD的相敏比为能-子， CD 1.CD I 0=2C3' 4'SAAG CD= 106 S△=1 Sg边无W 4 ③+「提升点拔通到求三角形和四边形面积的比 时，可考虑利用相似三角形的性质求出对应三角形 的面积比，进行转换即可。 6.0#解题关罐(1)利用SAS即可证明：(2)由平行 线分线段成比例的基本事实得到保能站合 (1)的结论求解即可. ￥②参考答案(1)证明：在△ABC和△DCB中， AC DB ∠ACB=∠DBC, BC CB, △ABC≌△DCB(SAS): (2)解：由(1)得△ABC≌△DCB, ∴，AB=CD=4. n/m0能 年62F-9 46 单③步提升点拔相似三角形判定定理的选择方法： ①若有平行的信息，则考虑直接利用相似三角形的 判定定理来证明：②若有一组角相等，测可再找一 组等角或找夹这组等角的两组对应边成比例来证 明；③若有两组对边成比例，则可找这两边的夹角 相等或第三组对应边成比例来证明. 模拟精选强化提升 1.D2.C3.B4.C5.30 1.0+解题关键由DE∥BC,找到相似三角形的对 应关系即可判断 ②+思路剖折：BD=2AD,∴AB=3AD.DE∥ C能-治=号BC=30,A选项正确： DE/BC,阳-票B选项正确：E/BC。 ,△ADE∽△ABC,C选项正确；，'△ADE∽△ABC, 月地、1 北=分以Sae=)5x,D选项错误 【核心素养】借助平行线的性质找到相似的三角 形，并利用对应边成比例求解，体现了逻辑推理的 素养 2.前0+解题关罐根据留下的矩形与原矩形相似求出 留下矩形的宽即可求解. 第②中患路脚析设留下矩形的宽为xcm.,留下的 矩形与原矩形相似一普=冬解得x=2留下 矩形的面积是2×4=8(cm2).故选C. 回回脑围相似多边形的对应角相等，对应边成 比例. 3.0#解题关键先求出△ABC中∠ACB,BC,AC,然 后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相 似判定即可 ￥②+思路析由图可知，在△ABC中，∠ACB 180°-45°=135°，BC=、2,AC=2,在A,C,D选项 中的饨角都不等于135°，故A,C,D选项均不符合 题意：B选项中的纯角等于135°，它的两边分别为 1和21=2 ,之乞心B选项中的三角形（阴影部 分)与△ABC相似.故B选项符合题意. ￥③#提升点拨本题还可以先求出△ABC的三边， 然后根据三边对应成比例的两三角形相似判定， 4.0步解题关健根据位似图形的性质判断即可。 第②思路副析根据题意可得△ABC与△DEF是 位似图形，△ABC与△DEF是相似图形，故①②正 确：将△ABC的三边缩小为原来的 2△ABC 与△DEF的周长比为2：1，面积比为4：1，故③错 误，④正确.综上所述，说法正确的有3个.故选C 端③提升点拨位似图形是特殊的相似图形，其备 相似图形的所有性质，在判断位似图形时还需要考 虑位置关系，因为位似图形具备位置和数量两方面 的特殊性 5.①解题关醒证明△AEB∽△CDB,根据相似三 角形的性质求解即可， ②思路制折由题意得△AEB一△CDB,∴.5 侣即2品-名C0=30.即旗杆的商度是30米 【核心素养】借助实际问题中的数量关系和位置关 系构造相似三角形模型求解，体现了数学建模 素养. 6.￥①+鲜题关罐(1)根据等边三角形的性质得到 ∠B=∠C,通过角的转换得到∠BAD=∠CDE,即 可得证：(2)根据相似三角形的对应边成比例得到 函数关系式，结合二次函数的性质求最值：(3)当 DE⊥AC时，根据相似三角形的性质得到∠ADB= 90°，结合“三线合一”即可求出BD的长 ②参考警案解：(1)：△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°」 ∴.∠BAD+∠BDA=180°-60°=120°. .·∠ADE=60°. ∴.∠BDA+∠CDE=120°， ∴.∠BAD=∠CDE .△ABD∽△DCE: (2)由(1)知，△ABD△DCE, …脱0 4(x-2)+1. 参考否率与前新 点D是BC边上不同于B,C的一动点， .0<BD<4,即0<x<4, “y与x的函数关系式是y=-4+x(0<x< 4),且当x=2时，y有最大值，最大值为1： (3)DE能与AC垂直.理由如下： 当DE⊥AC时，∠DEC=90°， 由(1)知，△ABD∽△DCE, ∴.∠ADB=∠DEC=90. ,△ABC是等边三角形. .RD=CD=7RG=2 【中考风向】三角形相似与函数相结合是中考常考 的知识点，题目综合性较强，难度稍大 综合训练五 图形的综合 1.A2.C3.C4.D5.2 1.￥0解题关罐掌提轴对称图形与中心对称图形的 区别与联系是解题的关键， ②出思路别析A选项既是轴对称图形，又是中心 对称图形：B,C选项不是轴对称图形，是中心对称 图形：D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形 故选A ③步提升点级中心对称图形与轴对称图形的区别 与联系 中心对称图形 轴对称国形 至少有一条对称轴 有一个对称中心一一点 直线 区 别 图形沿对称轴照折后对 图形绕对称中心藏转 你轴两侧的部分能够完 180°后能与自身重合 全重合 过对称中心的任意一条直线都把中心对称图形分成 全等的两部分：轴对称图形的对称轴把图形分成全 点 等的两部分 联 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那 么这个轴对称园形一定是中心对称困形，两对称抽 的交点是它的对称中心 2.O#解题关罐证明△BEF∽△CFD,求得CF的长， 在△CDF中，利用勾股定理列方程求解即可. 常②#思路别析·四边形ABCD是矩形，·，AD= BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90°，由折叠的性质可 知，AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°，.∠BFE+ ∠DFC=∠BFE+∠BEF=90°.∴.∠BEF= ∠CFD△BEr△GFD,8S-8 ..CD= 3BF,BE=4,∴CF=3BE=12.设BF=x,则CD= 3x,DF=BC=x+12.在Rt△CDF中，由勾股定理 107 中考基脚周1000题 得CD2+CF2=DF,即(3x)2+122=(x+12)2,解 得x=3(舍去0)，∴.AD=DF=3+12=15.故选C. ③提升点诚相似三角形中常见的“一线三等 角”模型图有： 3.①中解题关罐根据三角形的三边关系可判断A选 项，根据尺规作图可判断C选项，根据重心与外心 的定义可判断B,D选项. ②#思路剖析由题意可知，AD是∠BAC的平分 线，，∠BAD=∠CAD,故C选项正确：在△ABD 中，AD+BD>AB,故A选项错误；三角形的重心是 三条中线的交点，故B选项错误；三角形的外心是 三边中垂线的交点，故D选项错误. 【中考风向】根据尺规作图的作图痕迹判断相等的 线段或相等的角，以及三角形中重心和外心的相关 概念是中考的热点。 4.①解题关疆由旋转的性质得到△BCE为等边 三角形，即可判断A选项：证明△ABC≌△CFD,即 可判断B,C选项：根据锐角三角函数用CF表示出 GF,DF的长，即可判断D选项. 黑②#思路副断由旋转的性质可知，CB=CE, ∠BCE=60°，∴，△BCE为等边三角形，∴，BE=BC, 故A选项正确；在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∠ACB=30°，点F是边AC的中点，∠A=60°， AB=了AC=CF=BF,由旋转的性质可知，DE= AB.CA=CD,∠ACD=60°，.BF=DE,∠A= AB CF. ∠ACD.在△ABC和△CFD中，∠A=∠FCD CA DC. ∴.△ABC≌△CFD(SAS),∴.DF=BC=BE.又.DE= BF,∴四边形EBFD为平行四边形，，BF∥DE,故 B选项正确：'△ABC≌△CFD,∴.∠DFC=∠ABC= 90°，故C选项正确：在Rt△GFC中，∠GCF=30°， G=cP,同理可得DF=5CF,DF=3GR, 故D选项错误， ③升点利用旋转解决问题时注意：①旋转 中的变（位置）与不变（图形的形状和大小）：②旋 转前后的对应关系（顶点、边、角）：③旋转过程中 的相等关系 5.0*解题关罐过点D作DM⊥BC于点M,过点B 作BN1AD于点N,结合三角形的面教得到记的 值，利用AD∥BC得到的值，进而可得答案 'BDT 108 ②#思路创断如图，过点D 作DM⊥BC于点M,过点B 作BN⊥AD于点N,则四边形 BMDN是矩形，.DM=BN Sa@=1 IAD I -方cm 2Bc=2AD∥ BC00-4"=}0B.2S匹=0B2 OB=BC=2BD=3SANC BD-3 ③摄升点拨同（等）底的三角形面积比等于高 之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比 6.0中解题关健根据两平行线间的距离处处相等即 可解答 单②+参考答案解：如 图，点P即为所求. 【中考风向】基本的尺 规作图法（作一条线段 等于已知线段，作一个 角等于已知角，过一点 作已知直线的垂线，作一个角的平分线等)是中考 中常考题型，难度不大. 7.0+解题关键(1)根据轴对称的性质得到A,B,C 的对应点A1,B,C1,顺次连接即可：(2)分△A2B2C 在△ABC的同侧和异侧两种情况作图即可. ②*参考答案解：(1)如图所示，△A,B,C,即为 所求； (2)如图所示，△AB,C即为所求 yA A C. 望③*爆升点拨在网格图中作已知三角形的位似图 形，当位似中心确定但位似方向没有确定时，要分 情况讨论，同时也要注意图形的实际情况 8.①卡解题关键(1)利用两组平行线找到两角对应 相等即可求证；(2)根据相似三角形的性质得到 △DFC和△AED的相似比即可求解. ②出参考答案(1)证明：，DF∥AB,DE∥BC, ∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF, .∠DFC=∠AED DE∥BC .∠DCF=∠ADE. .△DFC∽△AED: (2)解：GD=4C, 2 CD 1 由(I)知，△DFC∽△AED, △DFPC和△AD的相似比为份-分 =(=(宁产= 第③提升点拨注意：求相似比不仅要找准对应边， 还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则 相似比为原来相似比的倒数. 9.0+解题关盟(1)根据作角平分线、线段垂直平 分线的步骤作图即可：(2)根据线段垂直平分线的 性质和角平分线的定义得到∠ODA=∠CAD,进而 得到OD∥AC,结合∠C=90°即可得证；(3)根据边 的转化得到的值，秀运明△B0D一△BC,根据 相似三角形的对应边成比例列式求解， 2参考答案(1)解：如图所示： (2)证明：：EF是线段AD的垂 直平分线，且点O在EF上， .OA=OD,..∠OAD=∠ODA AD是∠BAC的平分线， .∠OAD=∠CAD, .∠ODA=∠CAD ∴.OD∥AC ∠C=90°.即AC⊥BC. ,.OD⊥BC. ∴.BC是⊙O的切线； （3)解：由题意可知，0M=0A=0D=24M AM =4BM .OM =2BM,OB =3BM,AB =5BM, 阳微号 在Rt△BOD和Rt△BAC中有公共角∠B, ∴△BOD△BAC. 六2-治即0-号解得0=6， 故⊙0的半径为6. ③+提升点城判定一般三角形相似的方法同样适 用于判定两个直角三角形相似，如在两个直角三角 形中，若有一组锐角对应相等，则这两个直角三角 形相似 参考否率与解所 第十七讲锐角三角函数 母题精研1锐角三角函数 稳基甜 1.B2.B 1.m0少解题关罐熟记特殊角(30°，45°，60°)的三角 函数值 ②思路副析由特殊角的三角函数值可知， an45°=1.故选B. O提升点湖本题还可以利用含45°的直角三角 形的三边最筒比是1：1：2，得到tan45°=1. 回圆税固 锐角a 30 450 609 锐角三角品数值 sin a 2 2 2 cos c 2 tan o 3 福 2.里①解题关键通过网格构建直角三角形，利用特 殊角的三角函数值即可求解 ②出思路副析如图，过点A 作AD⊥BC于点D,由网格可 知，AD=BD,△ABD为等腰 直角三角形，∠ABD=45°， 六0s∠ABC=0s450=2 故选B mO提升点拨本题还可以根据AD和BD的长，利 用勾殷定理求出斜边AB的长，然后利用锐角三角 函数的定义求解 3.0中解题关本题考查零指数暴，特殊角的三角 函数值，二次根式的化简及绝对值的定义. m©出参考案解：原式=1+2、2-2/2+3 =4 【中考风向】零指数幂、负整数指数暴与特殊角的 三角函数值有关的综合计算题是中考的常考题型， 题型以计算题为主，难度不大. 促提升 1.A2.D3.B 1.①+解题关键利用锐角三角函数表示出两三角形 的高即可解答 ②+思路剖析如图，分别作出△ABC和△PQR底 边上的高AD和PE.在R△ACD中，高AD= 5sin55:在t△PRE中，∠PRE=180°-∠PRQ= 55°，高PE=5sim55°，因此两三角形的高相等.故 选A. 109