第13讲 圆-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基醒题1000题 第十三讲 圆 参考答案 国题埔研圆的有关概念和性质 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 弧、弦、圆心角 推论：在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等、 之间的关系 所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 圆的有关 所对的圆心角相等、所对的优弧劣弧分别相等 概念和性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条孤 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤 国自墨母 2.(中考·宜昌)石拱桥（如图①）是我国古代 人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥 1.(中考·长沙)如图，在⊙0中，弦AB的长为 距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥 4,圆心0到弦AB的距离为2，则∠AOC的 的代表.如图②是根据某石拱桥的实物图画 度数为 出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示 为AB,桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m, 设AB所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂 足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD= 5m.连接OB. 第1题图 第2题图 (1)直接判断AD与BD的数量关系： 2.(中考·南京)如图，AB是⊙0的弦，点C是 (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确 AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm, 到1m) CD=2cm,则⊙0的半径为 cm. 0促提团 1.(中考·泸州)如图，AB是⊙0的直径，OD垂 直于弦AC于点D,D0的延长线交⊙0于点 图① 图2 E.若AC=4W2,DE=4,则BC的长是() A.1 B.2 C.2 D.4 88 第一部分预心母题分层练 母题精研圆周角及其推论 圆周角定理：一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理的推论：同孤或等孤所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角 圆周角及其推论 是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 国自墨卧 CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC= 28°，则∠D= 1.(中考·重庆B卷)如图，AB是⊙0的直径， AC,BC是⊙0的弦，若∠A=20°，则∠B的 度数为 ( A.70° B.90° C.40° D.60° 食促提团 1,(中考·泰安)如图，△ABC是⊙0的内接三 角形，AB=BC,∠BAC=30°，AD是直径， 第1题图 第2题图 AD=8,则AC的长为 () 2.(中考·滨州)如图，在⊙0中，弦AB,CD相 A.4 B.43 C.5 D.23 交于点P,若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B 的大小为 () A.32° B.42 C.52° D.62° 3.(中考·南充)如图，AB是⊙0的直径，弦 CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF= 第1题图 第2题图 65°，则∠A0D为 () 2.(中考·临沂)如图所示，在⊙0中，AB为直 A.70° B.65° C.50° D.45° 径，∠AOC=80°.点D为弦AC的中点，点E 为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是 () A.10° B.20° C.30° D.40° 3.(中考·泰安)如图，AB是⊙0的直径， ∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙0的半 第3题图 第4题图 径为 () 4.(中考·宜昌)如图，四边形ABCD内接于 ⊙0，连接OB,OD,BD,若∠C=110°，则 ∠OBD= () A.15°B.20 C.25° D.30° 5.(中考·苏州)如图，AB是⊙0的直径，弦 A.23 B.32C.2W5 D.5 89 中考整例题1000题 母题佛研3与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系：，点在圆内，点在圆上，点在圆外 直线与圆的位置关系：相交，相切，相离 与圆有关的 圆与圆的位置关系：相交，相切（内切或外切），相离（内含或外离） 位置关系 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点作一个圆 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆 国自送母 外心，∠A=40°，连接B0,C0,则∠BOC的 度数是 () 1.(中考·广州)如图，Rt△ABC中，∠C=90°， A.60° B.70° AB=5,0A=号，以点B为圆心，为半径 C.80° D.90° 作⊙B,当r=3时，⊙B与AC的位置关系是 ( 1.(中考·随州)设边长为a的等边三角形的 高，内切圆的半径，外接圆的半径分别为h, r,R,则下列结论不正确的是 () A.h=R+r B.R=2r A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 C.r=3 0 D.R=3 2.(中考·嘉兴)已知平面内有⊙0和点A,B, 若⊙0半径为2cm,线段OA=3cm,0B= 2cm,则直线AB与⊙0的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 第1题图 第2题图 3.(中考·金华)如图，⊙0是等边△ABC的内 2.(中考·邵阳)如图，⊙0是等边三角形ABC 切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是 的外接圆，若AB=3,则⊙0的半径是() DF上一点，则∠EPF的度数是 A.65 B.60 B. C.3 C.58 D.50° 3.(中考·青海)如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r= 第3题图 第4题图 4.(中考·湖州)如图，已知点0是△ABC的 90 第一郁分预心母题分层练 母题精研4与切线有关的定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 与切线有关切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 的定理 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角 国自墨础 促提团 1.(中考·西宁)如图，PA,PB与⊙0分别相切 1.(中考·东营)如图，以等边三角形ABC的 于点A,B,PA=2,∠P=60°，则AB=() BC边为直径画⊙O,交AC于点D,DF⊥AB A.3 B.2 C.25D.3 于点F,连接OF,且AF=1. (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)求线段OF的长度. 0 第1题图 第2题图 2.(中考·临沂)如图，PA,PB分别与⊙0相切 于点A,B,∠P=70°，C为⊙0上一点，则 ∠ACB的度数是 () A.110 B.120 C.125° D.130% 3.(中考·连云港)如图，AB是⊙0的直径，AC 2(中考·南充)如图，A,B是⊙0上两点，且 是⊙0的切线，A为切点，连接BC,与⊙0交 AB=OA,连接OB并延长到点C,使BC= 于点D,连接OD.若∠AOD=82°，则∠C= OB,连接AC (1)求证：AC是⊙0的切线； B (2)点D,E分别是AC,OA的中点，DE所 在直线交⊙0于点F,G,OA=4,求GF 的长 第3题图 第4题图 4.(中考·金华)如图，木工用角尺的短边紧靠 ⊙O于点A,长边与⊙0相切于点B,角尺的 直角顶点为C.已知AC=6cm,BC=8cm,则 ⊙0的半径为 cm. 91 中考整例题1000题 母题精研与与圆有关的计算 n的圆心角所对弧长：l=m飞 180 扇形的面积公式：S扇帮= nTR2 与圆有关 的计算 圆锥的侧面积和全面积：S侧西数=TlS全雷数=S鳞面款+S感面款=Tl+T 不规则图形面积的计算方法：公式法，割补法，拼凑法，等积变换法，构造方程法， 迁移变化法 国自菌础 促提升 1.(中考·成都)如图，正六边形ABCDEF的边 1.(中考·连云港)如图，有一个半径为2的圆 长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画 形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，连 圆，则图中阴影部分的面积为 () 接9点和11点的位置，则钟面中阴影部分 的面积为 () A.4m B.6m C.8m D.12m B.2 T-3 2.(中考·吉林)如图，在半径为1的⊙0上顺次 4 取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD, C.3m-25 D.- OE.若∠BAE=65°，∠COD=70°，则BC与DE 2.(中考·山西)如图，正六边形ABCDEF的边 的长度之和为 (结果保留π)： 长为2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧， 得EC,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积 为 () 3.(中考·泰安)若△ABC为直角三角形， AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示， A.2T B.4T 则阴影部分的面积为 8 D.23 3 T 3.(中考·聊城)用一块弧长为16πcm的扇 形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧 面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的 面积为 cm2. 92 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·凉山州改编)点P是⊙0内一点，过· 5.(中考·衡阳改编)如图，传送带的一个转 点P的最长弦的长为20cm,最短弦的长为 动轮的半径为20cm,转动轮转n°，传送带 12cm,则OP的长为 上的物品A被传送15πcm,则n= A.16 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 2.(中考·吉林改编)如图，四边形ABCD内接 于⊙O,点P为边AD上任意一点（点P不与 点A,D重合)，连接CP,若∠B=130°，则 6.(中考·宿迁改编)如图，在Rt△ABC中， ∠APC的度数可能为 ∠ABC=90°，∠A=30°，点B,C在⊙0上， 边AB,AC分别交⊙O于D,E两点，点B是 CD的中点，则∠ABE= A.20° B.25 C.50° D.55 3.(中考·广安改编)如图，街边公园内有一个 7.(中考·兰州改编)如图，在△ABC中，以AB 半径为10m的圆形草坪，从A地走到B地 为直径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交 有观赏路（劣弧AB)和便民路（线段AB).已 AB于点E,且ME=6,AE=8,AM=10. 知A,B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=90°， (1)求证：BC是⊙O的切线： 小敏从A地走到B地，走便民路比走观赏路 (2)求⊙O的直径AB的长度. 少走 ( A.(5π-52)m B.(5m-10w2)m C.(10π-53)m D.(10π-102)m 0 B 第3题图 第4题图 4.(中考·长沙改编)如图，PA,PB分别与⊙O 相切于点A,B,∠P=60°，M为⊙0上任意 一点，则∠AMB的度数是 A.60° B.60°或120° C.110 D.120 93 中考基题1000题 模拟精选 强化提升 1.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，！7.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°， 若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度 AB=2,点D为AB的中点，以点D为圆心作 数为 圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 () A.50° B.60° C.70 D.80° 2.半径为5的⊙0，其圆心与平面直角坐标系 的原点0重合，则点P(3,4)与⊙0的位置 A.T- 2 B.T-2 4 关系是 ( A.在⊙0上 B.在⊙0内 C.π-2 4 D.T-2 C.在⊙0外 D.不能确定 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD, 3.在平面直角坐标系中，以点(-3,4)为圆心， ∠A=150°，CD=4,以CD为直径的⊙0交 4为半径的圆 ( ) AD于点E,则图中阴影部分的面积为() A.与x轴相交，与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交 C.与x轴相切，与y轴相交 D.与x轴相切，与y轴相离 4.如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为 A.2西+5 3 B. 7,那么这两个圆的位置关系是 () A.内切B.外离 C.相交 D.外切 c号-5 D.智-月 5.若圆锥的底面半径为2cm,侧面展开图的面 9.如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB 积为2πcm2,则圆锥的母线长为 与小圆相切于点C,若AB=6,则圆环的面积 A.1 cm B.2 cm C.3 cm cm 为 6.如图，点A,B,C均在圆0上，若∠0=∠B, 则∠B= ( 第9题图 第10题图 10.如图，将⊙0沿弦AB折叠，AB恰好经过圆 心0，若⊙0的半径为3，则AB的长为 A.120° B.90° C.110° D.100° 94 第一部分预心母题分层练 11.如图，AB是⊙0的直径，AB=10,C,D在AB!15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AB 两侧的圆上，连接CD,若∠ACD:∠BAD= 上一点，以BD为直径作⊙0，CD与⊙O交 2:3,则D的长为 于点E,延长AE与BC交于点F,且CF= BF. (1)求证：AF与⊙0相切； (2)若AB=8,BC=12,求⊙0的半径 第11题图 第12题图 12.如图，⊙0为四边形ABCD的内切圆，AD= 3,AB=4,CD=5,则BC= 13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为 16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的 平分线交BC于点D,E为AB上的一点， 14.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙0，交 DE=DC,以点D为圆心，DB的长为半径作 AB边于点D,D为AB的中点，DE⊥AC于 ⊙D,AB=5,BE=3. 点E. (1)求证：AC是⊙D的切线； (1)求证：AC=BC: (2)求线段AC的长， (2)求证：DE是⊙O的切线 95分线构造出“8”字图形进而证明三角形全等： (2)根据线段垂直平分线作出辅助线进而利用勾 股定理列方程求解 ②参考案(1)证明：：MN是AC的垂直平分 线，∴.A0=C0,∠AOM=∠CON=90 四边形ABCD是矩形， .∴.AB∥CD..∠M=∠N r∠M=∠N. 在△AOM和△CON中，{∠AOM=∠CON, LAO=CO. ∴.△AOM≌△CON(AAS): (2)解：如图，连接CE. MN是AC的垂直平分线， .CE =AE. 设AE=CE=x,则DE=6-x 四边形ABCD是矩形， ,∠CDE=90°，CD=AB=3. 在Rt△CDE中，由勾股定理 得CD+DE2=CE,即32+ (6-x)2=x2, 解得x=只，即的长为识 自提升点溢求线段的长的四种方法：(1)一般 是在直角三角形（若无直角三角形，则作辅助线构 造直角三角形)中利用勾股定理求解：(2)等面积 法（在直角三角形和菱形中经常用）：(3)相似： (4)锐角三角函数， 13.0声解题关罐(1)由直角三角形斜边中线的性 质以及菱形DCFE的性质进行判断：(2)结合(I) 可知△CDG是等边三角形，证得△BGC≌△DCH 即可求解， ②中参考答案解：(1)四边形CEDG是菱形.证 明如下： 四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点， .GB GC GD. .CF =GC...GB =GC =GD =CF. ,四边形DCFE是菱形， .∴.CD=CF=DE,DE∥CG .DE=GC,∴四边形CEDG是平行四边形 GD=GC,∴四边形CEDG是菱形： (2)如图所示： ·CD=CF.GB=GD=CGC= CF,△CDG是等边三角形， ,∴.CD=BG,∠GCD=∠DGC= 60°， ,∠DCF=180°-∠GCD=120°，∠BGC=180°- ∠DGC=120°. .△BGC≌△DCF(SAS),,DF=BC=3 ③提升点拨此题第(1)问也可用直角三角形 斜边中线的性质以及菱形DCFE的性质判定 △CDG和△CDE是等边三角形，进而根据四边都 相等的四边形是菱形进行证明. 参考否率与解新 第十三讲圆 母题精研1圆的有关概念和性质 稳基础 1.45°2.5 1.①出解题关罐利用垂径定理求AC的长，结合OC 的长，即可求解。 O想路制所：0C上AB,AC=BC=2AB= 2×4=2.又：0C=2,△A0C为等腰直角三角 形，.∠A0C=45. 2.0*鲜题关玀证明OC⊥AB,进而利用勾股定理 构建方程是解题的关键 m②+思路剖析如图，连接OA,OB. ,C是B的中点，：C=C ∴.∠AOC=∠BOC.又OA=OB, OC⊥AB,六AD=BD=2AB三 2×8=4(cm).设⊙0的半径为rcm,CD= 2cm,∴.OD=OC-CD=(r-2)cm.在t△OAD 中，0A2=AD2+00,即2=42+(r-2)2,解得r= 5,即⊙0的半径为5cm ￥③+提升点拨解决圆中与垂径定理有关的计算问 题，通常需要选择圆的半径或弓形高或弦心距为未 知数，结合勾股定理构建方程求解 促提开 1.C 1.0解题关键根据垂径定理得0D=,BC,再根 据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理列方程 求解即可。 ②+思路剖析：OD⊥AC,∴AD=CD.:OA=OB, 六OD是△ABC的中位线0D=2BC.设0D=, BC=2x,OE DE-OD =4-x,AB =20E =8- 2x.:AB是⊙0的直径，.∠C=90°.在R1△ABC 中，由勾股定理得AB=AC2+BC2,即(8-2x)2= (42)2+(2x)2,解得x=1,∴BC=2x=2.故选C. ③+提升点拨本题也可以在t△AOD中，设OD为 未知数，根据AO2=AD+OD列方程求得OD的长， 再根据三角形中位线定理得到BC=2OD,进而求解. 2.①解题关罐(1)根据垂径定理即可得出结果： (2)极据垂径定理得到BD=2AB,在R△0DB中， 利用勾股定理列方程求解即可 ②+参考案解：(1)OC⊥AB,∴.AD=BD: (2)设这座石拱桥主桥拱的半径为rm AB =26 m.CD=5 m. BD=24B=13m,0D=0C-CD=(r-5)m 85 中考基脚周1000题 在Rt△ODB中，由勾股定理得OD+BD2=OB, ÷(r-5)2+132=2,解得r=19.4=19. 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m 【中考风向】中考命题考查垂径定理时经常会与勾 股定理等知识相结合，考查学生综合运用知识的 能力. 母题精研2圆周角及其推论 稳基础 1.A2.A3.C4.B5.62 1,里0出鲜题关键直径所对的圆周角是直角， ②#思路剖桥根据直径所对的圆周角是直角可 知，∠C=90°，∴.∠B=90°-∠A=90°-20°=70° 故选A 2.0鲜题关镜根据同孤所对的圆周角相等求出 ∠D的度数，结合三角形外角的性质即可求解 ②思路刷所：∠A和∠D是BC所对的圆周角， .∠A=∠D.∠A=48°，∠D=48°.∠APD= 8O°，∠APD=∠B+∠D,∴，∠B=∠APD-∠D= 80°-48°=32°.故选L 带©出提升点拨本题还可以根据同弧所对的圆周角 相等，得到LB=∠C,利用∠APD=∠A+∠C求出 ∠C的度数即可求解. 3.煎①=解题关罐利用垂径定理得到AC=D,进而得 出∠AOD=2∠B即可求解 m②#患路别折，OF⊥BC..∠B=90°-∠BOF= 90°-65°=25°.，CD⊥AB,AB为⊙0的直径， .AC=AD,.∠A0D=∠A0C=2∠B=2×25°= 50°.故选C. 常©提升点拨在证得C=AD后，也可以根据等弧 所对的盟周角相等得到∠ABC=∠ABD,再利用圆 周角定理得出∠AOD=2∠ABD解决问题， 4.①中解题关罐根据圆内接四边形的对角互补可得 ∠A的度数，根据国周角定理求出∠BOD的度数， 结合OB=OD即可求解. ©中思路割析：四边形ABCD是圆内接四边形， ∠C=110°，.∠A=70°，.∠B0D=2∠A=140° OB=0D,六∠0BD=∠0DB=2×(180°- 140)=号×40°=20故选B 5.0生解题关罐连接BC,根据直径所对的圆周角是 直角求得∠ACB的度数，结合三角形内角和定理求 得∠B的度数，进而可得∠D的度数. ?中思路副析如图，连接BC. AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°，∴.∠B=90°-∠BAC= 90°-28°=62°，∠D=∠B=629 ￥O步提升点拨“见直径，想直 角”.遇有直径条件，通常需要将 直径的一个端点与圆上的某一非直径端点的点连 86 接起来，以构造直径所对的圆周角，得到直角三角 形解决问题， 促提升 1.B2.C3.D 1.常中解题关雕连接CD,构造直径所对的國周角， 得到直角三角形，进而将相关量转化到这个直角三 角形中运用勾股定理求解即可. ②思路剖桥如图，连接CD. :AB=BC,∠BAC=30 .∠ACB=∠BAC=30°，.∠B= 180°-30°-30°=120%.，四边 形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴，∠D=180°-∠B=60°.AD是⊙0的直径， ∠ACD=90°，∴.∠CAD=90°-∠D=30 又：AD=8CD=2AD=4AC=0-CD= √82-4=43.故选B. 【中考风向】中考对圆内接四边形的性质的考查， 经常出现在选择题和填空题中，难度不大，通常会 结合圆周角定理综合考查 2.苹0中眸题关键求出圆周角∠CED所对的孤所对 的圆心角的范围是解题的关键 ②+思路别析如图，连接 OD,并延长交⊙0于点M,连 接BC,延长ED交⊙O于点 N,连接ON.:点D为弦AC 的中点，OA=0C,∴.AM=CM ∠W0c=号∠A0c=× 80°=40°.：点E为BC上任意一点，点N为A上 任意一点，，∠MOC<∠NOC,∴.40°<∠NOC< 80°，∴.20°<∠CED<40.故选C. 3.0+解题关雕连接OD,OC,BC,将相关数量转化 到B△ABC中运用勾股定理即可求解. ②+思路剖折如图，连接OD, OC,BC.由圆周角定理可知， ∠AOD=2∠ACD,∠BOC= 2∠CAB.∠ACD=∠CAB, ,∴，∠AOD=∠BOC.,AD=BC= 2.:AB是⊙0的直径，∴.∠ACB=90°，∴.AB= 、AC+BC2=、42+22=25,.⊙0的半径为 、5.故选D. ③中提升点拨半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直径，在应用时常常添 加辅助线，构成直径所对的圆周角 母题精研3与圆有关的位置关系 稳基础 1.B2.D3.B4.C 1.0鲜题关罐先求出BC的长，然后和半径作比 较得出位置关系. ②#思路则折在Rt△ABC中，∠C=90°，，cosA= 6-手：A=5AC=4c=G-AC- 52-4=3.r=3,.BC=r=3,⊙B与AC的 位置关系是相切.故选B 回阳國橱直线与圆有三种位置关系：相切、相 交、相离。 2.m①+解题关躔确定点A,B与⊙0的位置关系，进 而可得结果 单2#思路剖析：⊙0的半径为2cm,OA=3cm, OB=2cm,∴.点A到圆心O的距离大于圆的半径， 点B到圆心0的距离等于圆的半径，，点A在⊙0 外，点B在⊙0上，∴直线AB与⊙0的位置关系为 相交或相切.故选D. ③提升点碳求解时，可以按数值画出大小比例 恰当的示意图，结合图形观察、分类作出判断.注 意：不要忽视相切情形. 3.m0+题关罐连接OE,OF,求出∠EOF的度数是 解题的关键 ②+想路制析如图，连接 OE,OF.⊙O是△ABC的内 切圆，E,F是切点，.OE⊥AB OF⊥BC,∴.∠OEB=∠OFB= 90°.，△4BC是等边三角形 ∠B=60°.又四边形 BEOF的内角和为360°，.∠E0F=120° ∠BPF=∠B0F=60:赦选R ③中提升点拨“切点与圆心，连接要领先”，解决 圆类间题，通有切线条件时，往往需要将圆心和切 点连接起来，产生半径和垂直条件，得到数量和位 置关系 4.前0+解题关罐根据，点0为△ABC的外心得到 ∠A=2∠B0C即可求解 ②患路别折，点O为△ABC的外心，∴.∠A= 合∠B0C又：∠A=40∠B0c=2LA=80 故选C 单③步提升点湖三角形的外心就是三角形的外接 圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，是三 角形三条边的垂直平分线的交点. 促提升 1.C2.C3.1 1.端0中解题关键由等腰三角形三线合一的性质得出 30°角后，再利用直角三角形中30°角的性质或锐角 三角函数结合勾股定理即可得出R,「，h的关系. 参考否率与解新 ②思路别所如图，，△ABC是等边三角形， ∴，∠BAC=6O°，△ABC的内切圆和外接圆是同心 圆，取圆心为O.设0E=r,A0= R,AD=h,h=R+r故A选项 正确：AD⊥BC,.∠DAC= LDB=分∠BMc=号×60e 30.由切线的性质可知，∠OEA= 90°，∴A0=20E,即R=2r.故B选项正确：由 0E14C可知，AE=CE=4C=,而AB+0B 40(2)2+r=(22,(3)2+(2R)2=心， -?0,R=,故C选项错误，D选项正确 ③#趣升点泼等边三角形的内心与外心重合，是 三条角平分线的交点。 2.地0鲜题关键连接OB,过点O作OD⊥BC于点 D,利用垂径定理得到BD的长，结合等边三角形的 性质和特殊角的三角西数值即可求解 ￥②+思路剖析如图，连接OB,过 点O作OD⊥BC于点D,则BD= c=0=7x3= ⊙0 是等边三角形ABC的外接圆， B D 六0B平分∠ABC,∠ABC=60°，.∠0BD=30°.在 Rt△ODB中，cos∠OBD=OBOB=D c0s∠OBD= 2 cs300=3,即⊙0的半径是，5.故选C ￥③步提升点拨本题还可以运用直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半及勾殷定理求解 0鲜题关键将求△ABC的内切圆半径r转化为 求含有，点C的切线长问题是解题的关健. ②+思路割析根据勾股定理，得AB= AC2+BC2=/32+42=5. 如图，设△ABC的内切圆 与三条边的切点分别为 D,E,F,连接OE,OF,则 OE⊥BC,OF⊥AC, .∠0EC=90°，∠0FC= 90°.又.∠C=90°，.四边 形EOFC是矩形.根据切线长定理，得CE=CF, 四边形EOFC是正方形，∴.CE=CF=OE=r, ∴，AF=AD=AC-CF=3-r,BE=BD=BC-CE= 4-r.:AD+BD=AB,∴.3-T+4-r=5,解得r= 1,即△ABC的内切圆半径r=1. ③：提升点拔直角三角形的内切圆半径等于两条 直角边长之和与斜边的差的一半.另外，若连接 87 中考基脚周1000题 0A,0B,OC,OD,则有S6Ac=Ss+Saa4e+ Se2AC·BC=2AB·0D+2AC·0F+ AC·BC 2BC.0E,即r=AB+AC+BC 母题精研4与切线有关的定理 稳磊础 1.B2C3.494曾 1.第①+解题关罐判嘶出△PAB是等边三角形是解题 的关键 ②思路副析：PA,PB与⊙0分别相切于点A, B,.PA=PB.又：∠P=60°，，△PAB是等边三角 形，∴.AB=PA=2.故选B. 2.0解抛关键连接OA,OB,利用切线的性质定理 及四边形的内角和求出∠AOB的度数，结合圆周角 定理即可求解 前②出思路制析如图，连接 OA.OB..PA,PB是⊙O的切 线，∴.∠OAP=∠0BP=90°. :四边形OAPB的内角和为 360°，∴.∠A0B=360°-90°- 90°-70°=110°，以A,B为端点的优弧所对圆心 角的度数是230，L40B=3×250=125故 选C O出提升点拨本题也可以在优弧AB上取一点D, 连接AD,BD,利用图周角定理求得∠ADB=55°，再 根据圆内接四边形的对角互补求出∠ACB的度数. 3.①解题关罐利用國周角定理求出∠B的度数， 再结合切线的性质定理即可求解。 =8患签折根据圆周角定理得∠B=子∠A0D= 2×82°=41：AC是⊙0的切线，∠BAC= 90°，.∠C=90°-∠B=90°-41°=49. 4.第①解题关罐依据题意添加适当的辅助线构造直 角三角形是解题的关键 m②#思路剖析如图，连接OA, OB,过点A作AD⊥OB于点D, ∴.∠ADO=∠ADB=90°，根据切 线的性质，可得OB⊥BC, .∠0BC=90°.又：∠ACB= 90°，..四边形ACBD为矩形，，∴.BD=AC=6Cm. AD=BC=8cm.设⊙O的半径为rcm,则OA= OB=rcm,OD=(r-6)cm.在Rt△OAD中，由勾股 定理得AD+0D2=02,.82+(r-6)2=2.解得 ,亭则⊙0的半径为弩m 【核心素养】本题以实际生活中的角尺测量情景命 癒，综合考查切线的性质定理、勾股定理、矩形的判 88 定与性质等知识点，体现了数学建模和应用意识的 素养， 促提升 1.0+解题关键(1)连接OD,利用等边三角形的性 质得到OD∥AB,结合DF⊥AB可得结论：(2)由 OD∥AB,OC=OB得到CD=AD,利用30°角所对的 直角边等于斜边的一半和勾股定理求得DF,进而 可得答案。 望@+参考答案(1)证明：如图， 连接OD. :△ABC是等边三角形， ∴.∠C=∠A=60° ,0C=0D .△OCD是等边三角形， .∠CD0=∠A=60°， OD∥AB,.∠FDO=∠AFD. DF⊥AB,∴∠AFD=90°， ∴.∠FD0=90°，∴.OD⊥DF, ,∴.DF是⊙O的切线： (2)解：：0D∥AB,0C=0B, 8胎-品1c0=A0 DF⊥AB,∴∠AFD=90 又：∠A=60°，.∠ADF=30. 又：AF=1,.CD=AD=2AF=2. 由(1)知，△OCD是等边三角形，∴OD=CD=2. 在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF=AD2-AF=3, 在Rt△ODF中， 由勾股定理可得0F=√OD+DF=√2+3=√7， ,线段OF的长度为、7. 第③*提升点拔证明切线的常用方法：①连半径，证 垂直：②作垂直，证半径，若已知此线过圆上某点， 则连接圆心与这一点得到半径，再证明这条半径与 直线垂直即可：若此线与圆的唯一公共点未定，则 过圆心作到这条直线的垂线段，再证明它等于半径 即可， 2.第0+解题关(1)先证得△OAB是等边三角形， 然后利用三角形外角的性质求得∠BAC的度数，进 而可得结论；(2)过点O作弦GF的弦心距OH构 造R1△OHF,在Rt△OEH中，利用锐角三角西数求 出OH的长，再利用勾股定理求出HF的长即可 解答 ②参考答案(1)证明：：AB=OA=0B, ∴.△OAB是等边三角形， ..∠AOB=∠OBA=∠OAB=60°. BC=OB,.BC=AB,.∠BAC=∠C ∠OBA=∠BAC+∠C=60°， ∴.∠BAC=∠C=30°， ∴.∠OAG=∠OAB+∠BAG=90°， .OA⊥AC,.AC是⊙0的切线： (2)解：如图，连接OF,过点0作 OH⊥GF于点H, .∴.GF=2HF,∠OHE=∠OHF=90° 点D,E分别是AC,OA的中点， 0E=201=7x4=2.0E/0c. ∴.∠OEH=∠AOB=60°， 0H=0B·m∠0BH=2×5=5, 2 F=√0F-0㎡=√42-(3)'=√I3, .GF=2HF=213. 第③提开点拔解决关于弦的问题时，常作“垂直 于弦的半径（或弦心距）”这一辅助线，然后连接圆 心和弦的一端（即半径）构造直角三角形. 母题精研5与圆有关的计算 稳基础 1D2.53.4 1.①+解题关罐先求得正六边形的每个内角的度 数，再结合扇形的面积公式即可求解 ②+思路制析正六边形每个内角的度数为 (6-2。x180°=120，则S-120x6-12m故 6 360 选D. ③#提升点透正n边形每个内角都相等且都等 于(n-2)x180° n 2.0解题关键根据周周角定理求得∠BOE的度 数，进而求得∠BOC+∠DOE的度数，然后利用孤 长公式求解即可 m②+思路剖折，∠BAE=65°，∠B0E=130 ∴.∠BOC+∠DOE=∠BOE-∠COD=130°- 70©=60配与死的长度之和为00X1-号 3.①解题关罐设AB交半圆于点D,连接CD,将求 阴影部分的面积转化为求Sa即可解答， ￥②#思路翻桥如图，设AB交半 圆于点D,连接CD.BC是直 径，，∠BDC=90°，.CD⊥AB :△ABC为等腰直角三角形， ∴.CD垂直平分AB,∴.CD=BD= AD,BD=CD,.S啊=S6Ax”△ABC为等腰直 角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，.S△c= 25c=×行×4x4=4S=4 ③出提开点拨解决与圆有关的阴影面积问题，经 常爵要利用图形变换（如轴对称，平移，旋转）将不 规则图形转化为规则图形 参考否率与解所 促提升 1.B2.A3.80m 1,0步解题关继求出弓形对应扇形的圆心角度数， 并将弓形的面积转化为求扇形和三角形的面积即 可求解。 ￥②思路脚折如图，连接OA, OB,过点0作OC⊥AB于点C. 由题意易知，∠AOB=60°. OA=OB,:△AOB为等边三 角形，，AB=0A=0B=2, ∴，S形40B= 60m×222 360 =3m.0C⊥AB,.∠0CA= 90,4c=2AB=1,0G=V0m-4AC=5, 六S640s=2×2×5=13,Sm=S阳形0m 2 S640m=3m-3.故选B ③#提升点泼求阴彩部分面积常用方法：公式法， 割补法，拼凑法，等积变换法等，最终目的是把一些 不规则图形的面积转化为规则图形的面积组合得 到.其中弓形面积的求法较为重要，(1)当弓形的 孤是劣弧时，S5形=S和-S三满形：(2)当号形的弧是 优弧时，S4形=S"+S=角s:(3)当弓形的弧是半圆 时，Sw=25 2.①解题关罐利用正六边形的性质得到AB= BC,∠BAC=30°，过点B作BH⊥AC于点H,利用 勾股定理求出AH的长，进而得出AC的长，然后利 用扇形面积公式即可求解. 第O思路脚折：正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB=BC=2,∠ABC=∠BMF=(6-2)x180°- 6 120°，.∠BAC=∠BCA.∠ABC+∠BAC+ ∠BCA=180,d∠BAC=LBC4=3(180e ∠ABC)=3×(180-120)=309同理可得 ∠EAF=30°，∴.∠CAE=∠BAF- ∠BAC-∠EAF=120°-30°- 30°=60°.如图，过点B作BH1 AC于点H,·.AH=CH,BH= 合B=弓×2=1在△BH中 AH=√AB-Bf=√2-下=5，.AC=2、3 S东形C4E 60m×(23)=2元，即图中阴影部分的 360 面积为2m.枚选A 【中考风向】与圆有关的阴影面积计算问题是历年 中考必考的题型，选择、填空题、解答题都会涉 及，一般难度稍大，需要根据图形性质进行转化，要 熟练掌握扇形面积的计算公式 89 中考基脚周1000题 3.0声解题关罐先根据扇形孤长求出圆的底面半 径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用扇形 面积公式Saw=R即可求解 单②#思路析：扇形铁片的弧长为16πcm,∴.圆 锥的底面周长为16云cm,圆锥的底面半径= 16π=8(cm).由勾股定理，可得圆锥的母线长= 2π 1 ,6+8=10(cm),S第形快背=2×16m×10= 80x(cm). ③+提升点拨圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的 母线长是该扇形的半径，圆锥的底面圆周长是该扇 形的弧长 真题改编科学借鉴 1.B2.D3.B4.B5.1356.15 1.■0出解题关罐过圆中一点的最长的弦是直径，经 过此点作这条直径的垂线与圈相交所形成的弦是 最短的弦。 需②#思路剖析如图，点P是⊙O内 一点，过点P作直径AB,再作CD⊥ AB于点P,则根据题意可得AB 20 em,CD 12 em,.OC 10 cm. AB是直径，且CD⊥AB,∴CP= 2CD=6cm根据勾股定理，得 0P=√/0C2-CP=102-6=8(cm).故选B. O步提升点拨常利用弦心距，弦长的一半，半径构 造直角三角形解决问题 2.①解题关疆根据圆内接四边形的对角互补求出 ∠D的度数，再根据三角形外角的性质即可求解 ②出思路副析：四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠B+ ∠D=180°.∠B=130°，∴.∠D=180°-∠B= 50°.∠APC为△PCD的一个外角，.∠APC> ∠D,即∠AP℃>50°，∴只有D选项中55符合题意 3.0+解题关键求出弦AB及AB的长是解题的 关键 ￥@#思路制折OA=OB=10m,∠A0B=90°， ·由勾股定理，得AB=04+0B=102m.由 孤长公式，得B的长_90mX10=5元(m）走便 180 民路比走观赏路少走(5云-10、2)m.故选B. 4.m@=解题关键连接OA,OB,分点M在劣孤AB上 和优孤AB上两种情况求解即可 ②思路制析如图，连接OA,OB. A 90 ,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，.OA⊥PA, OB⊥PB,∴.∠OAP=∠OBP=90°.四边形OAPB 的内角和为360°，∴.∠A0B=360°-∠0AP- ∠OBP-∠P=120.当点M在优弧AB上时， ∠AWB=2∠A0B=3×120°=60当点M在劣 弧AB上时，∠AMB=180°-60°=120°.则∠AMB 的度数是60°或120°.故选B. ③出趣升点拨在解决位置不确定的几何问题时， 尤其是题目中的点或者线段在图中未画出时，往往 需要分类讨论. 5.①牛解题关键理解传送距离和孤长之间的关系是 解题的关键. ②思路剖析，物品A被传送的距离等于转动轮 转动了n的弧长，.nm×20=15m,解得n=135. 180 ⊙#提升点拔弧长计算公式中的n,180表示倍数 关系，没有单位. 6.0解题关继连接CD,将问题转化为求∠ACD 的度数是解题的关键 单②+思路制析如图，连接 CD.点B是CD的中点， .D=BC,∴.∠BCD=∠BDC ∠ABC=90°，∴.∠BCD= ∠BDC=45°.在RI△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=90°-∠A= 90°-30°=60°，∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD= 60°-45°=15°，∴，∠ABE=∠ACD=15° 回回萄围在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的 圆周角相等 7.0+解题关继(1)根据勾股定理的递定理得到 ∠AEM=90°，结合MN∥BC可得结论；(2)连接 OM,运用勾股定理构建方程即可解答 ②+参考答案(1)证明：在△AME中，ME=6, AE=8.AM=10, .ME2 +AE2 =AM ,△AME是直角三角形. ∴.∠AEM=90 又.MN∥BC, ,∴，∠ABC=∠AEM=90°， AB⊥BC, ,BC是⊙O的切线： (2)解：如图，连接OM, 设⊙0的半径为r,则OM= r,OE =AE-0A =8-r. 在Rt△OEM中， .OM2=ME2 +OE2. .2=62+(8-r)2, 25 解得r=4· 六0=2=受 即⊙0的直径B的长度为宁 【中考风向】中考命题中常出现切线的判定定理与 勾股定理等知识相结合，考查学生综合运用知识的 能力 模拟精选强化提升 1.C2.A3.C4.C5.A6.A7.B8.A 9.9m10.2m11.2m12.613.35 1.①+解题关罐根据同弧所对的圆周角相等求出 ∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数，结合回内 接四边形的对角互补即可求解 ②思路别析由同弧所对的圆周角相等，可得 ∠CAD=∠CBD=80°，∴.∠BAD=∠CAD+∠BAC= 80°+30°=110°.四边形ABCD是⊙0的内接四 边形，∴.∠BCD=I80°-∠BAD=180°-110°= 70°.故选C. ③中提升点拨本题也可以根据同弧所对的圆周角 相等，先求出∠BDC的度数，再在△BCD中根据三 角形的内角和定理求∠BCD的度数 2.①+题关耀根据点P的坐标求出OP的长，与 半径比较即可得出答案 第②#思路剖析：点P(3,4),.0P=√/32+4= 5,OP=r,∴.点P在⊙0上.故选A ③提升点拨设⊙0的半径为r,点P到圆心的 距离OP=d,则有①点P在圆外白d>T:②点P在 圆上→d=r:③点P在圆内→d<r 3.+解题关键根据圆心的坐标确定圆心到x轴、y 轴的距离即可求解。 ②思路剖所，圆心的坐标为(-3,4)，∴.圆心 到x轴的距离是4，到y轴的距离是3.：圆的半径 为4，则有4=4,3<4，.该圆与x轴相切，与y轴 相交.故选C. 糯O提升点拨设⊙0的半径为「，圆心到直线的距 离为d,则有①直线与圆相交台d<r:②直线与圆相 切→d=r;③直线与圆相离台d>r 4.雕①解题关腿根据两圆的半径求出两圆内切、外 切时的圆心距，与此时圆心距比较即可， ②思路剧所设圆心距为4.，·5-3=2,5+3= 8,圆心距为7，∴，2<d<8,∴.两圆相交.故选C. ③提升点湖设两圆的半径分别为R和「，圆心 距为d,则有①两圆外离台d>R+T:②两圆外切一 d=R+r:③两圆相交台R-r<d<R+r(R≥r); ④两圆内切台d=R-r(R>r):⑤两圆内含台0≤ d<R-r(R>r). 5.W0中题关罐圆锥侧面积公式S=πl,据此解答 ②中思路剖听根据题意，得2π=下×2×1，解得 I=1,故圆锥的母线长为1cm.故选A 6.①解题关键根据圆周角定理列关系式求解即可， 参考否率与解新 ②思器别所如图，在优弧AC D 上任取一点D,连接AD,CD,设 ∠B=∠A0C=2a,则∠D=a.根 据圆内接四边形的性质，得α+ 2=180°，解得ax=60°，∴.∠B= 120°.故选A. O解题关键连接CD,取DE与AC的交，点为H, DF与BC的交点为G,发现Saa=号9是 解题的关键 ￥②思路制析如图，连接CD, 取DE与AC的交点为H,DF与 BC的交点为G.CA=CB,点 D为AB的中点，DC=号B= DB=1,.DE=1,六SeFm= 0=暮C4=0B,点D 为AB的中点，.CD⊥AB,.∠DCH=∠A=45°， ∠DCB=∠B=45°，.∠DCA=∠B.∠EDF= ∠CDH+∠CDG=90°，∠CDB=∠CDG+∠BDG= 90°，，∠CDH=∠BDG.在△DCH和△DBG中， r∠DCH=∠B, DC=DB. ..△DCH≌△DBG(ASA). ∠CDH=∠BDG, S假i由Eem=S△G+S△M=SAG+SAc= 小一5sma-7子放选R ③提升点拨在运动变化中发现不变的结论，由 △DCI≌△DBG发现Sa=Sak,体见了 转化的数学思想.从图形变换的角度来看，△DCH 绕点D逆时针旋转90°与△DBG重合，解题中可以 借助图形变换发现全等三角形， m①+解题关连接OE,过点0作OF⊥DE于点 F,利用相关性质求出DE,OF的长和∠EOC的度 致即可求解 ￥©+思路脚析如图，连接OE,过点O作0F⊥DE 于点F :四边形ABCD是平行四边形，且∠A=150°， ∴.∠D=30°.0D=0E,∴.∠0ED=∠D=30°， .∠C0E=2∠D=60°.CD=4,∴.0C=0D=2, 0F=20n=1…DF=v0D-0F=v2-= N3,.DE=2DF=23,.S明事=S形E+SAE= 91 中考基脚周1000题 02+×2×1:要+故选人 围③提升点拨在解决有关圆中阴影面积问题时， 往往雪要割补图形，将阴影部分转化为规则图形的 面积的和或差， 9.0步解题关连接OA,OC构造直角三角形即可 解答 ②#思路制析如图，连接OA, OC.:AB与小圆相切，∴.0C⊥ ABAC=BC=2AB=3.在 Rt△AOC中，根据勾股定理，得 042-0C2=AC=9,,Sm环=π0A-π0C= π(0A2-0C2)=9π. 单③出提升点拨有些数学问题不能直接或不容易求 出具体数值时，可以像本题这样，使用整体思想求 解会使解题筒单. 10.0解题关由折叠得到0C等于半径的一半 是解题的关键 常2中思路剖折如图，连接OA, 0B,过点0作OC⊥AB于点C. 由题意可知0c=号04， m4=80=分A=30 :0A=0B.∴，∠B=∠A=30°，.∠A0B=120°， 棉长为 =2π 11.第0解题关罐连接BD,OD,根据回周角定理的 推论，结合∠ACD:∠BAD=2:3,求出∠B的度 数，进而求出∠AOD的度数，然后根据孤长公式 求解即可 ②思路剖折如图，连接 BD,OD.AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，.∠B+ ∠BAD=90°.+.∠ACD=∠B, ∠ACD:∠BAD=2:3,.∠B: ∠BAD=2:3.设∠B=2a,则 ∠BAD=3a,∴.2a+3a=90°，解得a=18 ∴∠A0D=2∠B=4a=72°，·AD的长为 72m×5=2m 180 12.燃0=解题关键发现圆外切四边形两组对边的和 相等是解题的关健 m②思路剖析如图，标记 字母.⊙0为四边形 ABCD的内切圆，.AE= AN.DE DF,BN BM. CF=CM,∴.AE+DE+BM+ CM =AN BN DF CF, AD +BC AB CD..AD =3,AB =4,CD =5. .3+BC=4+5,.BC=6. 92 端③提升点拨出现切线长定理基本图形时，联 想两个结论：一是切线长相等，二是相等的两个 角，本题给出边长条件，雪从切线长相等这个结论 着手思考， 13.①解题关键连接OB,求出∠B0M的度数是解 题的关键. ②+思路制斯如图，连接 OB.:六边形ABCDEF是 ⊙0的内接正六边形， 6 =30°， ∴OM=0B·cos∠B0M= 6x3 =35 ③提升点拨在解决正多边形和圆的计算间题 时，通常需要将各条件集中到由半径，边心距，弦 长的一半所构成的直角三角形中， 14.0+解题关键(1)连接CD,根据直径所对的圆 周角是直角得到∠BDC=90°，结合D为AB的中 点即可得证：(2)连接OD,得到OD∥AC,结合 DE⊥AC即可得证. 单②参考答案证明：(1)如 C 图，连接CD. BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°，即CD⊥AB. 又：D为AB的中点， ∴.AD=BD,.AC=BC: (2)如图，连接0D. .·AD=BD,OC=OB .OD∥AC, ∴.∠AED=∠ODE. DE⊥AC,∴.∠AED=90 .∠0DE=90°. ∴.OD⊥DE, ∴.DE是⊙O的切线. m⊙#提升点淡在同圆或等圆中，90°圆周角和直 径之间可以相互转化：由直径可得所对的圆周角 是90°，由90°圆周角可得所对的弦是直径. 15.■0+解题关罐(1)连接0E,BE,利用直径所对的 国周角是直角得到∠BED=90°，结合CF=BF得 到∠FEB=∠FBE,进而可证结论：(2)先利用勾 股定理求出AF的长，再利用(1)的结论和勾股定 理求出OE的长即可 8参考答案(1)证明：如图， 连接OE,BE. ,BD为⊙O的直径， ·∠BED=90°，，∠BEC=90 GF=BEF=BC=B即， ∴.∠FEB=∠FBE. .OE=OB,.∠OEB=∠OBE. ,∠OBE+∠FBE=∠ABC=90°， .∠OEB+∠FEB=∠OEF=90° .OE⊥AF,∴.AF与⊙O相切： (2)解：(1)知，EF=BF=2BC=7x12=6, 在R△ABF中，由勾股定理可得AF=1AB+BF2= 82+6-10. .AE=AF-EF=10-6=4 OE =OB. .∴.OA=AB-OB=8-OE 由(1)知，∠0EA=90°， .在R△AOE中，由勾股定理可得AE+OE=OA2 即42+0E2=(8-0E)2,解得0E=3. .⊙0的半径为3. 第③中提升点拨进行与切线有关的计算或证明 时，由切线的性质可得直角，这样可将切线的性质 与直角三角形结合起来，再利用直角三角形的性 质进行计算或证明：由切线长定理可得两线段相 等，进而得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性 质进行计算或证明. 16.0解题关维(1)过点D作DF⊥AC于点F,结 合角平分线的性质得到BD=DF,进而可证结论： (2)证明Rt△BDE≌Rt△FDC,得到BE=FC,根 据切线的性质定理得到AB=AF,进而可求出AC 的长. m2参考高案(1)证明：如 图，过点D作DF⊥AC于点F ∠B=90°，.AB⊥BC 又：AD平分∠BAC, BD =DF. .AC是⊙D的切线： (2)解：在RL△BDE和R1△FDC中， [BD FD, DE DC, .Rt△BDE≌Rt△FDC(HL), .∴.BE=FC ∠B=90°，∴.AB⊥BD ∴，AB是⊙D的切线 又由(1)知，AC是⊙D的切线， .AB =AF, .AC=AF+FC=AB+BE=5+3=8 ③中提升点拔切线长定理的基本 图形与等腰三角形的基本图形的 联系：△APB是等腰三角形，OP是 △APB的角平分线、高，中线。 参考否率与解新 第十四讲尺规作图、视图与投影 母题精研1尺规作图 稳基础 1.C2.80 1,第0步解题关罐掌提用直尺和圆规作一个角的平分 线的作图方法和作图依据。 ②+思路别析由作已知角的角平分线的步骤可 知，C选项正确：A选项所作线段CD为AB边上的 高：B选项所作线段CD为AB边上的中线：D选项 所作线段CD为AB边上的高， 回回酸围尺规作图一作角平分线的方法： (1)以点0为圆心，适当 B 长为半径画弧，与∠AOB N 的两边分别交于M,N 两点： (2)分别以点M,N为圆 0 心，大于MN的长为半径画孤，两孤在∠A0B的 内部相交于点P; (3)画射线OP.射线OP就是所求作∠AOB的平 分线 2.0中解翻关罐由作图过程判断出直线MN为线段 AB的垂直平分线是解题的关键. ￥2+思路剖析：AB=AC,∠C=70°，，∠ABC= ∠C=70°，.∠A=180°-∠ABC-∠C=40°.由题 意得直线MN为线段AB的垂直平分线，∴，AD=BD, ∴.∠ABD=∠A=40°，∴.∠BDC=∠A+∠ABD=80°. 促提升 1.A2.D 1,0步解题关瓣掌提角平分线的作图步骤以及等腰 三角形的性质即可解题 =②+思路剖析：AB=AC,∠ABC=∠ACB.由题 意可得BP为∠ABC的平分线，∴.∠ABD=∠CBD. AD=BD,∴.∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠ABD= ∠CBD=x,∠C=∠ABC=2x.∠A+∠ABC+ ∠C=x+2x+2x=180°，x=36°，即∠A=36°.故 选A. 2.0出解题关罐利用基本作图法和直角三角形的性 质得出AP=PE,然后再结合等腰直角三角形的性 质表示AP,AB的长即可解答 =②思路制折·AC⊥AB,∴，∠BAC=90°，：AD为 ∠BAC的平分线，∴.∠CAD=∠BAD=45°.EP⊥ AB,.∠APE=90°，.∠EAP=∠AEP=45 ·AP=PE.设AP=PE=x,则AB=AE= √AP+PE=2x,.AP:AB=x:2x=1:2.故 选D. 3.0解题关(1)掌握五种基本作图法，按照要 求作出相关图形即可：(2)证明△DFB≌△DCB即 可得出结果 93