第11讲 三角形-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基础题1000题 第十一讲 三角形 参考答案 母题精研三角形及其有关概念 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 三角形的三条重要线段：中线，角平分线，高。三条中线的交点叫做三角形的重心， 三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条高的交点叫 做三角形的垂心 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 三角形及其三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 有关概念 三角形外角和定理：三角形的外角和等于360° 三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半：直角三角形的两锐角互余；直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 等腰三角形的性质：“等边对等角”“等角对等边”“三线合一” 国自因留 4.(中考·梧州)在△ABC中，∠A=20°，∠B= 4∠C,则∠C等于 () 1.(中考·杭州)如图，CD⊥AB于点D,已知 A.320 B.36° C.40° D.128 ∠ABC是钝角，则 5.(中考·巴中)如图，在△ABC中，∠BAC= A.线段CD是△ABC的AC边 120°，AD平分∠BAC,DE∥AB,AD=3,CE= 上的高线 5,则AC的长为 () B.线段CD是△ABC的AB边 A.9 B.8 C.6 D.7 上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 2.(中考·宜宾)若长度分别是a,3,5的三条 线段能组成一个三角形，则a的值可以是 第5题图 第6题图 ( 6.(中考·新疆生产建设兵团)如图，在 A.1 B.2 C.4 D.8 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB= 3.(中考·天津)如图，△OAB 4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点，则DE 的顶点0(0,0)，顶点A,B分 的长为 () 别在第一、四象限，且AB⊥x A.1 B.2 C.3 D.4 轴，若AB=6,OA=0B=5,则 7.(中考·大庆)三个数3,1-a,1-2a在数 点A的坐标是 轴上从左到右依次排列，且以这三个数为 A.(5,4) B.(3,4) 边长能构成三角形，则aα的取值范围为 C.(5,3) D.(4,3) 72 第一郁分预心母题分层练 0促银团 1.(中考·南京)下列长度的三条线段与长度 为5的线段能组成四边形的是 ( A.1,1,1 B.1,1,8 第3题图 第4题图 C.1,2,2 D.2,2,2 4.(中考·聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC, 2.(中考·青海)已知a,b是等腰三角形的两 CE⊥AB,垂足分别为点D和点E,AD与CE 边长，且a,b满足√/2a-3b+5+(2a+3b- 交于点O,连接B0并延长交AC于点F,若 13)2=0,则此等腰三角形的周长为（ A.8 B.6或8 AB=5,BC=4,AC=6,则CE:AD:BF的值 C.7 D.7或8 为 3.(中考·宁波)如图，在Rt△ABC中，D为斜 5.(中考·牡丹江)过等腰三角形顶角顶点的 边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中 一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角 点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为() 形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角 A.22 B.3 C.2√3 D.4 度数为 母题精研全等三角形的判定与性质 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL 全等三角形的 角平分线的性质：角平分线上的，点到角两边的距离相等 判定与性质 角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 常见题型：平移型，对称型，旋转型，一线三等角，截长补短，倍长中线 国商墨留 符合要求的是 ( A.AB,BC,CA B.AB,BC,∠B 1.(中考·金华)如图，AC与 C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC BD相交于点O,OA=OD, OB=OC,不添加辅助线，判 定△ABO≌△DCO的依据是 B () A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 第2题图 第3题图 2.(中考·扬州)如图，小明家仿古家具的一块 3.(中考·重庆A卷)如图，点B,F,C,E共线， 三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块， ∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件，不能判 小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据， 定△ABC≌△DEF的是 ) 为了方便表述，将该三角形记为△ABC,提供 A.AB=DE B.∠A=∠D 下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定 C.AC=DF D.AC∥FD 73 中考整题1000题 4.(中考·青海)如图，在四边形ABCD中， ∠A=90°，AD=3,BC=5,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积为 A.8 B.7.5 第1题图 第2题图 2.(中考·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C= C.15 D.无法确定 90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥ AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5, 5.(中考·宜宾)如图，已知0A=0C,0B= DF=3,则下列结论错误的是 () OD,∠AOC=∠BOD. A.BF=1 B.DC=3 求证：△AOB≌△COD. C.AE=5 D.AC=9 3.(中考·徐州)如图，AC⊥BC,DC⊥EC, AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F. (1)求证：AE=BD; (2)求∠AFD的度数 6.(中考·大连)如图，点A,D,B,E在一条 直线上，AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求 证：BC=EF. 4.(中考·长沙)如图，AC平分∠BAD,CB⊥ AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D. (1)求证：△ABC≌△ADC: 0促误团 (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的 面积 1.(中考·盐城)工人师傅常常利用角尺构造 全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 ∠AOB的两边OA,OB上分别任取OC= OD,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与点C,D重合，这时过角尺顶点M的射线 OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三 角形的依据是 ( A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 74 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·金华改编)如果三角形有两边长分 6.(中考·南通改编)如图，∠A=∠B,点D在 别为3和5，那么这个三角形的周长可能是 AC边上，∠1=∠2，添加一个条件 ( 使得△AEC≌△BED(填一个即可) A.7 B.8 7.(中考·福建改编)如图，点B,E,C,F在同 C.15 D.16 一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求 2.(中考·盐城改编)在三角板拼角活动中，小 证：AB∥DE. 明将一幅三角板按如图方式叠放，则拼出的 ∠a度数为 ( A.65° B.75° C.105° D.115o 第2题图 第3题图 8.(中考·杭州改编)已知：如图，AD⊥BC,垂 3.(中考·成都改编)如图所示，点B,F,C,E 足为D,AD=BD,点E在AD上，∠CED= 在一条直线上，AB∥ED,AC∥FD,那么添加 45 下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌ (1)请写出图中相等的线段： △DEF的是 ( (不包括已知条件中的相等线段)； A.AB=DE B.AC=DF (2)猜想BE与AC的位置关系，并说明理由. C.∠A=∠D D.BF=EC 4.(中考·青海改编)设△ABC三边为a,b,c, 其中a,b满足1a+b-61+(a-b+4)2=0, 则第三边c的取值范围是 5.(中考·滨州改编)如图，在△ABC中，点D 是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4， ∠BAC=63°，则∠DAC的度数为 2 第5题图 第6题图 75 中考基醒题1000题 模拟精选 强化提升 1.如图，在△ABC中，AB=2,BC=4,△ABC的：6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD= 高AD与CE的比为 ( AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°，则 A.1:2 B.2:1 ∠B的度数为 C.1:4 D.4:1 D E C 7.如图，在△ABC中，依次取BC的中点D,BA 的中点D2,BD,的中点D3,BD2的中点 第1题图 第2题图 D。…并连接AD1,DD2,D2D3,D3D4,…,若 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD, △ABC的面积是1，则△BD22D2m的面积 CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有 是 A.8个 B.7个 D C.6个 D.5个 3.把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面 B DD 上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶 8.如图，AB=DC,AC=DB,AC和BD相交于点 点重合，两条斜边平行，若∠B=25°，∠D= O,点E是BC的中点，连接OE. 58°，则∠BCE的度数是 ( (1)求证：△ABC≌△DCB; (2)求∠BE0的度数. A.83°B.57° C.54° D.33 4.如图，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2= 第4题图 第5题图 5.如图，BD是△ABC的中线，AB=8,BC=6, △ABD和△BCD的周长的差是 76中考基醒题1000题 ∠CED=2∠DFE ∴，∠CEF=∠DFE, .AD∥BC; (2)解：，AB∥CD,∠B=105°， .∠DCE=∠B=105° 由(1)知，AD∥BC, .∠ADC=∠DCE=105° ③提升点拨证明题中的每一步的推理都要有依 据，不能“想当然”·这些依据，可以是已知条件，也 可以是性质定理、基本事实等. 模拟精选强化提升 1.B2.B3.B4.D5.D6.28°7.= 1.0+解题关本题考查线段的基本事实， ②思路制所根据两点之间线段最短可得A→ C→F→B是最近的路线。故选B. 2.0解题关键根据线段中点的定义，结合选项一 一分析即可. =②+思路副析：AC=BC,且点C在线段AB上， 点C是线段AB的中点，故A选项不符合题意； :AC+BC=AB,∴.点C在线段AB上，且可以是任 意一点，故B选项符合题意；：AB=2AC,AC= BC,且点C在线段AB上，∴.点C是线段AB的中 点，故C选项不符合题意；：BC=号4B,AC= BC,且点C在线段AB上，.点C是线段AB的中 点，故D选项不符合题意. O提升点拔线段中点的判定易错点：①点在线 段上，但没有将线段等分，数量关系错；②线段数量 关系对，但无法判断该点是否在线段上，位置关系 错；③点在线段上，将线段等分，但中点的对应点找 错，对应关系错。 3.m0鲜题关罐根据互余两角之和为90°求解。 8思路副所∠a的余角=90°-∠α=90°- 2725'=6235'.故选B. ③#提升点腿注意度与分，分与秒之间都是六十 进制. 4.①中解题关罐本题考查平行线的性质以及对顶角 的性质. =2+思密别析：a∥b,∴.根据两直线平行，同位角 相等，得∠4=∠5，故A选项正确；，a∥6，∴.根据 两直线平行，同旁内角互补，得∠2+∠3=180°，故 C选项正确：：∠1=∠3，∠1+∠2=180°，故 B选项正确；∠2与∠4是另外两条直线，经过截线 b构成的同旁内角，无法判断数量关系，故D选项 错误 ③#提升点遗在“三线八角”中，角的位置关系一 定存在，但是只有当出现平行线时，对应位置角的 数量关系才成立 5.触0解陋关根据对顶角的性质判断A选项；根 据平行线的性质判断B选项：根据年补角的性质判 68 断C选项；根据∠3与∠5互为余角，判断D选项. ②+思腾割析由对顶角相等，得∠2=∠1=60°， 故A选项正确；：a∥b,∠1=60°，∴.∠3=∠1= 60°，故B选项正确：：∠3与∠4互补，∴∠4= 180°-∠3=180°-60°=120°，故C选项正确； ∠3与∠5互为余角，∠5=90°-∠3=90°- 60°=30°，故D选项错误。 ③升点拔当题干中出现三角板时，三角板的 各个内角是隐藏的已知条件。 6.①出解题关键根据两直 线平行同位角相等和余角 的性质计算即可. ②#思路别听如图，标记 字母.：EF∥AD,∠2= 62°，∴∠DAC=∠2= 62°.由题意可得∠BAC= 90°，∴∠1=∠BAC- ∠DAC=90°-620=28°. 7.0中解题关雕根据同底等高的两个三角形而积相 等得到S△ucn=S△cn是解题的关键 2+思路别所，直线I∥m,.S△Acn=S△BCD, SAACD SAOCD SARCD SAOCD SAAOC SAROD 即S,=S2, 【核心素养】本题将比较S△Aoc与S△m加的大小问题 转化为比较Sa4Cb与SacD的大小问题体现了转化 思想和数形结合思想 8.0+解题关键根据平行线的性质与判定及角平分 线的定义证明∠BGH=∠DHF即可证明结论. ②+参考答案证明：·GM∥HN, ∴.∠MGH=∠NHF ∠BGH,∠DHF的平分线分别为GM,HN, ∴.∠BGH=2∠MGH.∠DHF=2∠NHF, .∠BGH=∠DHF, ,AB∥CD. ③出提升点拨判定两直线平行的方法：①平行线 的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线 平行；④内错角相等，两直线平行：⑤同旁内角互 补，两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一条直 线的两条直线平行. 第十一讲三角形 母题精研1三角形及其有关概念 税基础 1.B2.C3.D4.A5.B6.A7.-3<a<-2 1.①少解题关键三角形的高线的判断. 2脑脚析在△ABC中，点C的对边是AB,且 CD⊥AB,.线段CD是△ABC的AB边上的高线， 故A选项错误，B选项正确.在△ACD中，点A的对 边是CD,且AD⊥CD,∴，线段AD是△ACD的CD边 上的高线，故C,D选项错误 ③提升点泼在判断三角形的高时，要注意高是 由三角形顶点到对边所在直线的垂线段，垂足不一 定在对边上 2.①解题关罐根据三角形的三边关系“三角形任 意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于 第三边”，列出不等式组即可解题， ®思踏剖所根据三角形的三边关系可得5 3<a<5+3,解得2<a<8,故C选项正确. 【中考风向】三角形的三边关系是三角形最基本的 性质，中考中经常出现，难度不大。 3.①中解题关键根据等腰三角形“三线合一”的性 质判断AB与x轴的交点是线段AB的中点，再根据 勾股定理即可求解 ②思路制析如图，设AB与x轴 交于点C.OA=OB,OC⊥AB,AB= 6AC=之AB=3.在△A0C中， 由勾股定理得OC=√OA-AC= √5-32=4，.点A的坐标为(4,3).故选D. ③提升点拨在解决三角形问题时，如果等腰、中 线、高线中有两个为已知条件，就要能立马想到另 外一个条件. 4.前①+解题关键根据三角形的内角和等于180°列 方程求解即可， 8+思路制折：在△ABC中，∠A=20°，∠B= 4∠C,∠A+∠B+∠C=180°，∴.20°+4∠C+ ∠C=180°，∴.5∠C=160°，.∠C=32°.故选A ③+提升点城三角形内角和180°，三角形角关系 全靠它.内角和定理求角用处大，用方程求解是好 办法. 5.第0解题关绳根据角平分线的定义和平行线的性 质得到∠BAD=∠CAD=∠ADE=60°，推出△ADE 是等边三角形，进而可得结果 ②#思路别折：∠BAC=120°，AD平分∠BAC ∠BAD=LCAD=7∠BAC=60:DE∥AB, .∠ADE=∠BAD=60°，∴.∠AED=180°-∠ADE- ∠EAD=60°，∴.△ADE是等边三角形，，AE= AD=3,∴.AC=AE+CE=3+5=8.故选B. ③升点湖在解决题目中含有60°角的三角形 的相关问题时，要多考患等边三角形，含60°角的直 角三角形等特殊清况. 【中考风向】等边三角形的性质、平行线的性质与 判定既是中考的高频考点，又是重要考点，像本题 这样将多个知识点糅合在一个试题里进行考查是 常见的出题形式，也最能考验学生对知识的综合运 用能力 6.0中解题关根据直角三角形的两锐角互余求出 ∠B=60°，再结合直角三角形中斜边上的中线等于 斜边的一半推出△BCE为等边三角形，结合等边三 参考荟案与解新 角形的“三线合一”即可求解 =2思路剖析：∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B= 90°-30°=60°.：E是AB的中点，AB=4,∴.CE= BE=AB=2,△BCE为等边三角形.：CD AB:DE=D=B=1故选九 O提升点搬在看到含有30°角的直角三角形 时，就要想到直角三角形的性质，即另一个锐角是 60°，斜边上的中线是斜边的一半，30°角所对的直 角边是斜边的一半】 7.触0步解踵关罐由三个数在数轴上的位置和三角形 的三边关系列出不等式即可求解 ②+思路则析：3,1-a,1-2a在数轴上从左到 右依次排列，∴.3<1-a<1-2a,∴.a<-2.,这三 个数为边长能构成三角形，.3+(1-a)>1-2a, a>-3,.-3<a<-2. ③提升点湖(1)数轴上的点从左到右依次变 大；(2)能组成三角形的三条线段满足两条较短的 线段长的和大于最长的线段的长 促提升 1.D2.D3.D4.12:15:105.36°或45 1,0+解题关键根据三角形的三边关系和两点之间 线段最短，推出若四条线段能组成四边形，则三条 较短边的和必大于最长边，进行判断即可， 单②思路别析，1+1+1=3<5，.此三条线段与 长度为5的线段不能组成四边形，故A选项错误； :1+1+5=7<8,∴.此三条线段与长度为5的线 段不能组成四边形，故B选项错误；1+2+2=5， ∴.此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形， 故C选项错误；：2+2+2=6>5，.此三条线段与 长度为5的线段能组成四边形，故D选项正确。 2.0解题关罐先根据非负数的性质列方程组求出 a,b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论 求解 里8路别所：√2a-36+5+(2a+36-13)2= 0, 2a-36+50。解得{6子当a为腰长时， 2a+3b-13=0, b=3, 三角形的三边长分别为2,2,3，能组成三角形，则 周长为7；当a为底边时，三角形的三边长分别为 2,3,3,能组成三角形，则周长为8.综上所述，此等 腰三角形的周长为7或8.故选D. ③提升点拨在解决等腰三角形问题时，若题中 没有明确腰长和底边，则需要分情况讨论并且利用 三角形的三边关系进行判断. 3.0步解题关键根据三角形中位线定理和等腰三角 形的性质求得AD的长是解题的关键 m②+思路别析：D为斜边AC的中点，F为CE的 中点，DF=2,AE=2DF=4.AE=AD,AD= 69 中考基题1000题 4.在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，，BD= AD=4.故选D. 黑③提升点拨在条件很多的题目中，中位线是一 个容易被忽略的点，当题目中提到两个中点时，要 想到三角形中位线定理. 4,0出解题关罐根据三角形的三条高线交于一点， 得到BF⊥AC是解题的关键 ②+思路剖析在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,AD 与CE交于点O,连接BO并延长交AC于点F, BF1AC,Sae=7AB×CE=BC×AD= ACXBF.AB -5,BG-4,AG-6.SCE- 4AD=6BF,∴.CE:AD:BF=12:15:10. ■O摄升点搬三角形的三条高线必定交于一点， 看到三角形高线的计算题时，要有利用面积的 意识. 5.①解题关键首先大致画出符合条件的所有图 形，然后利用等腰三角形的性质、三角形的内角和 定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解。 黑2+思路副所(1)如图， 在△ABC中，AB=AC, BD=AD,AC=CD,∴.∠ABC= B ∠C=∠BD,∠CDA= ∠CAD.,∠CDA=∠ABC+∠BAD=2∠ABC ∠CAB=3∠ABC.,∠BAC+∠B+∠C=180°， .5∠ABC=180°，.∠ABC=36°： (2)如图，在△ABC中，AB=AC, AD=BD=CD,.∠B=∠C= ∠DAC=∠DAB,∴，∠BAC= 2∠B.∠BAC+∠B+∠C= B D 180°，∴.4∠B=180°，∠B=45.综上所述，原等 腰三角形的底角为36°或45° ③提升点拔在解决几何问题，特别是无图情况 下注意分类讨论思想的运用. 母题精研2全等三角形的判定与性质 观基础 1.B2.C3.C4.B 1.0出解题关罐已知两组边分别相等，考虑用SAS 或SSS判定三角形全等. ,0A=0D mQ#思路副析在△ABO和△DC0中，{∠AOB=∠DOC, OB=OC. .△ABO≌△DCO(SAS).故选B. 2.0步鲜题关键根据全等三角形的判定方法SSS SAS,ASA,AAS进行判定即可，注意根据SSA,AAA 不能判定两三角形全等。 ②思路制析A.AB,BC,CA,根据SSS可以判定 两三角形全等，故该选项不符合题意；B.AB,BC, ∠B,根据SAS可以判定两三角形全等，故该选项 不符合题意；C.AB,AC,∠B,根据SSA不能判定三 70 角形全等，故该选项符合题意；D.∠A,∠B,BC,根 据AAS可以判定两三角形全等，故该选项不符合 题意 ③步提升点碳解决此类问题时可以画图来确定条 件是否正确. 3.0鲜题关健已知一组角和一组边分别相等，考 虑用SAS,AAS,ASA判定三角形全等. 第②+思路折BF=EC,∴.BF+FC=EC+FC, ,∴.BC=EF.又，·∠B=∠E,,当添加条件AB=DE 时，△ABC≌△DEF(SAS),故A选项不符合题意； 当添加条件∠A=∠D时，△ABC≌△DEF(AAS), 故B选项不符合题意；当添加条件AC=DF时，利 用SSA无法判定△ABC≌△DEF,故C选项符合题 意；当添加条件AC∥FD时，可得∠ACB=∠DFE, 故△ABC≌△DEF(ASA),故D选项不符合题意. 【核心康养】本题在确定对应边的数量关系时，将 已知条件BF=EC与题图相结合得出BC=EF,体 现了数形结合的思想，而按照全等三角形的判定方 法进行判定，则体现了逻辑推理的素养. 4.@+解题关维根据角平分线的性质求出△BCD 的边BC上的高是解题的关键， ②思路制析如图，过点D 作DE⊥BC于点E.:BD平分 ∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB, 1 六DE=AD=3,SaCm=2× 5×3=7.5.故选B. ③中提升点碳当题目中涉及角平分线时，常过角 平分线上的点向角两边作垂线，利用角平分线上的 点到角两边的距离相等解题， 5.0+解题关量先根据角的和差关系得出∠C0D= ∠AOB,再根据SAS即可证明. 8少考答案证明：，∠AOC=∠BOD, ∴，∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD,即∠COD= ∠AOB. 在△AOB和△COD中， 0A =OC, ∠AOB=∠COD. LOB =OD. .∴.△AOB≌△COD(SAS). ©提升点搬证明两个三角形全等时，要注意结 合已知条件挖掘图形中的隐含条件，并通过线段 (角)的和或差将已知条件转化为全等三角形中的 线段（角），再进行证明. 6.型0+酵题关键由线段的和差得到AB=DE,由平 行线的性质得到∠A=∠EDF,进而证明△ABC≌ △DEF即可得出结论. ②中参考答案证明：：AD=BE, ,AD+BD=BE+BD,即AB=DE .·AC∥DF,∴.∠A=∠EDF 在△ABC和△DEF中， tAB=DE, ∠A=∠EDF. LAC=DF. △ABC≌△DEF(SAS), .BC =EF. ③#提升点谡证明平移型三角形全等时，相等的 线段减去或加上同一条线段，所得线段相等 促提升 1.D2.A 1.0解题关键根据全等三角形的判定定理判定 即可. OC =OD. ￥②思路制析在△COM和△DOM中，{OM=OM LMC MD. ∴.△COM≌△DOM(SSS),∴.∠COM=∠DOM,即 OM是LAOB的平分线.故选D. 【核心素养】从实际问题中抽象出全等三角形模 型，进而解决间题，考查了模型观念和应用意识的 核心素养。 2.0解题关罐根据角平分线的性质得到CD= DF,可判断B选项：根据平行线的性质及角平分线 的定义得到AE=DE,可判断C选项：由勾股定理 求得CE的长，进而判断D选项：根据DE∥AB得 出tan∠DBF=tan∠CDE,求出BF的长，可判断A 选项。 ②#思路别析在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的 平分线交BC于点D,DF⊥AB,∴.CD=DF=3,故B 选项正确；DE∥AB,∴.∠ADE=∠DAF.又 ∠CAD=∠BAD,∴.∠CAD=∠ADE,.AE= DE=5,故C选项正确；在R△CDE中，∠C=0° CD=3,DE=5,根据勾股定理得CE=√DE-CD= 4,∴，AC=AE+CE=9,故D选项正确：DE∥AB ·∠DBF=∠CDE,.tan∠DBF=tan∠CDE -8即品-号解得F=放A选项 错误 【核心素养】本题是几何图形类综合题，能提升学 生的观察能力和灵活应用知识的能力，注意数形结 合思想的运用. 3.甲0+解题关耀（1)先由角的和差关系得出 ∠ACE=∠BCD,再推出△ACE≌△BCD即可证得 结论；(2)设BC与AE交于点N,由全等三角形的 性质得∠A=∠B,由对顶角相等得∠ANC= ∠BNF,进而求得∠B+∠BNF的度数即可求解 ②考答案(1)证明：：AC⊥BC,DC⊥EC, ∴.∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, .∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中， 参考荟案与解析 AC =BC, ∠ACE=∠BCD, CE CD, ∴.△ACE≌△BCD(SAS), .AE BD: (2)解：如图，设BC与AE 交于点N ∠ACB=90°， .∠A+∠ANC=90° 由(1)知，△ACE≌△BCD ∠A=∠B. 又：∠ANC=∠BNF, ∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°， .∠AFD=∠B+∠BNF=90° ■③提升点嫩证明旋转类全等三角形的判定问 题时，要注意用角的和差关系找出相等的角。 【中考风向】全等三角形的判定与性质是中考的高 频考点，常结合角平分线的定义和性质、平行线的 性质、对顶角、邻补角等知识综合考查，题型灵活 多变，难度不大 4.0+鲜题关键(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC= ∠DAC,根据CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=∠D,再结 合公共边AC即可求证；(2)由(1)得BC=CD=3, SAAc=SAMc,再根据Sa琴CD=S△ABc+SAAc即可 求解 m@参考答案(1)证明：AC平分∠BAD, .∠BAC=∠DAC CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B=∠D=90° 在△ABC和△ADC中， ∠B=∠D, ∠BAC=∠DAC, LAC =AC .△ABC≌△ADC(AAS): (2)解：由(1)知，△ABC≌△ADC ,BC=CD=3,SAAe=S△Ac, ∴ax=2B,BC=7×4x3=6, SAADC=6, S假边形A8CD=S△A8C+SAAC=12. ©升点碳角平分线上的点到角的两边的距离 相等是常考定理，一旦看到角平分线和垂直就要联 想到角平分线的性质。 真陋改编科学借鉴 1.C2.C3.C4.4<c<65.24° 6.AE=BE(或CE=DE或AC=BD) 1.0出解题关罐由三角形的三边关系求出第三边的 取值范围，进而得到三角形周长的取值范围 ②+思蹄剖析三角形的两边长为3和5，∴.第 三边x的长度范围是5-3<x<5+3,即2<x<8, “这个三角形的周长a的范围是2+5+3<a< 71 中考基题1000题 5+3+8,即10<a<16.故选C 【核心素养】本题将求解三角形周长的取值问题转 化为求解三角形第三边的取值问题，体现了转化的 数学思想， 2.①解题关耀掌提三角板各内角的度数和三角形 外角的性质是解题的关健 ②+思路则析折：∠DBA=∠ABC-∠DBC=45°- 30°=15°，.∠a=∠A+∠DBA=90°+15°=105. 故选C. 【核心素养]解决此类问题需要在明确题意的情况 下，运用数形结合的思想。 3.0+鲜题关键已知两角对应相等，考虑用AAS或 ASA判定三角形全等 O#思路刚所：AB∥ED,AC∥FD,∴，∠B=∠E, ∠ACB=∠DFE,∴.当AB=DE时，可利用AAS判 定△ABC≌△DEF,故A选项不符合题意；当AC= DF时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故B选项 不符合题意；当∠A=∠D时，两三角形没有对应边 相等，利用AAA不能判新断两三角形全等，故C选项 符合题意：当BF=EC时，可得BC=EF,利用ASA 可判定△ABC≌△DEF,故D选项不符合题意. mO#提升点湖注意AAA,SSA不能作为三角形全 等的判定方法. 4,0中解关先根据非负数的性质列方程组求出 α，b的值，再根据三角形的三边关系求解即可 8思路折由题意得口+h-60:解得 la-b+4=0, 65,根据三角形的三边关系可得5-1<c<5+ 1,即4<c<6. ⊙提升点极常见的非负数有|al,a2,√a等，非 负数的重要性质有：(1)非负数的最小值是0： (2)几个非负数的和是0，则每一个非负数必为0. 5.0鲜题关键根据三角形内角和定理得出∠2+ ∠4=117°，根据三角形外角的性质得出∠4= 2∠2，进而求得∠4的度数，结合三角形内角和定 理求解即可 ②出思路削所：∠B4C=63°，，∠2+∠4= 117°.：∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠4=∠3=2∠2,3∠2=117°，∴.∠2=39°， ∠3=∠4=78°，.∠DAC=180°-78°-78°=24 6.0出解题关键根据三角形外角的性质得出∠C= ∠BDE是解题的关键 2②#思路园所.∠ADE=∠1+∠C=∠2+ LBDE,∠1=∠2，∴.∠C=∠BDE.又∠A=∠B, ∴.当AE=BE或CE=DE时，可利用AAS判定 △AEC≌△BED;当AC=BD时，可利用ASA判定 △AEC≌△BED. 7.0解题关键根据等式的性质得出BC=EF,运 用SSS证明△ABC≌△DEF,进而可得结论. 72 ②#参考答案证明：：BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC,∴.BC=EF. 在△ABC和△DEF中， AB DE, AC=DF, BC =EF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS), ∠ABC=∠DEF, AB∥DE. 8.0+解题关罐(1)先根据等腰三角形的性质得到 DE=DC,再根据SAS证明△BDE≌△ADC,从而得 到对应边相等；(2)延长BE交AC于点F,根据 (I)中结论得出∠DBE=∠DAC,再根据对顶角相 等及直角三角形的两锐角互余即可求解 @#参考答案解：(1)AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°. :∠CED=45°， .∠ECD=45°， ∴.∠ECD=∠CED ∴.DE=DC. 在△BDE和△ADC中， BD=AD, ∠BDE=∠ADC, DE DC, .△BDE≌△ADC(SAS), ∴，BE=AC. 故答案为DE=DC,BE=AC: (2)BE⊥AC.理由如下： 如图，延长BE交AC于 点F 由(1)知，△BDE≌△ADC, ·∠DBE=∠DAC. ∠EDB=90°， ÷.∠DBE+∠DEB=90. '∠DEB=∠AEF ∴.∠DBE+∠AEF=90°， .∠DAC+∠AEF=90°， ,∠AFE=90°， ,BF⊥AC,即BE与AC的位置关系是互相垂直 ③步提升点拨第(2)问中，题图上没有交点，很多 同学就会无从下手，遇到这样的问题时一般是通过 画辅助线来解决 模拟精选强化提升 1.A2.A3.B4.1405.26.37072 1.0少解题关健根据S6MBC的两种表示方式列出方 程即可. 8想高听：5om=之4B·CB=之BCAD, B=2,BC=47×2CE=7×4D,AD:0B=12 故选A ③升点拨解决三角形高线问题时，常利用等 面积法列方程求解. 2.0解盟关魔根据三角形内角和定理及角平分线 的定义求出各内角度数，再根据等腰三角形的判定 方法判断即可. 第②惠路折：AB=AC,∠A=36°，，∠ABC= LACB=(180-∠A)=72BD,CE是角平分 LABD=LDBG=LACE-LECB-LABC= 36°，∴.∠A=∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB, .∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-72°- 36°=72°，同理可得∠BEC=72°，∴.∠BDC= ∠ACB,∠BEC=∠EBC,.∠EOB=18O°-∠BEC- ∠EBD=180°-72°-36°=72°，同理可得∠D0C= 72°，∴.∠BE0=∠B0E,∠CD0=∠COD,故等腰三 角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC, △ABC,△EBO,△DCO,共8个.故选A 【核心素养】本题在利用三角形内角和及角平分线 的定义求角度时，体现了数学运算的素养，在利用 等腰三角形的判定方法进行判定时，体现了逻辑推 理的素养， 3.0+解题关罐过点C作平行于斜边的辅助线是 解题的关键。 ②思路制析如图，过点C作 B CF∥AB.AB∥DE,∴.CF∥ DE.:CF∥AB,·.∠BCF= ∠B=25°.：CF∥DE,∴.∠FCE= ∠E=90°-∠D=90°-58°= 32°，∴.∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+32°=57° 故选B. ③提升点碳解决角度问题一般借助平行线转化 角，此题属于“拐点”问题，过拐点处作平行线是解 决此类问题常用方法 4.0解题关键根据四边形的内角和求出∠ADC+ ∠BCD=220°是解题的关键 m2中思路副折：∠A=60°，∠B=80°，∴.∠ADC+ ∠BCD=360°-∠A-∠B=220°，∴∠1+∠2= 360°-220°=140°. ③#提升点极本题还可以先延长AD,BC使其交 于一点，再根据三角形的内角和定理求解 5.0解题关键推出△ABD与△BCD的周长差= AB-BC即可求解 ②#患路制析，BD是△ABC的中线，，AD= CD,,△ABD与△BCD的周长差=AB+AD+ BD-(BC +CD +BD)=AB+AD+BD-BC-CD- BD=AB-BC.AB=8,BC=6,∴、△ABD与△BCD 参考荟率与解新 的周长差=8-6=2. 【核心素养】本题需要先转化所求问题，再进行解 答，能提升学生的观察能力，体现了转化思想和数 形结合思想 6.0出解题关罐根据等腰三角形三线合一的性质求 出∠ADC的度数，再结合三角形外角的性质即可 求解 ②+思脑副析：AD=AC,点E为CD的中点， ∴AE⊥CD,∴.∠AEC=90°，∴.∠C=90°-∠CAE= 90°-16°=74°.AD=AC,.∠ADC=∠C=74° AD=BD,.∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B=74 ∴.∠B=37 7,0鲜题关罐每取一次中线，三角形的面积就变 为原来的)，按此规律即可求解。 ￥©#想路刚折：D1是BC的中点，，S△m,= 5=子：几是BA的中点Sa内 1 1 1 S公0，=)×)=点，同理可得S△，月 27 则 SA8D- 2 △BD,mDe的面积是， 2201 8.0+解题关罐(1)根据SSS进行证明即可；(2)由 (1)得∠OBC=∠OCB,进而得到△BOC是等腰三 角形，再利用等腰三角形三线合一的性质即可 求解 O+参考答案(1)证明：在△ABC和△DCB中， AB=DC. AC=DB, CB BC, ∴△ABC≌△DCB(SSS): (2)解：由(1)知，△ABC≌△DCB, .∠OBC=∠OCB, ∴.△BOC是等腰三角形. 点E是BC的中点， .OE⊥BC, .∠BE0=90 ©+提升点拨全等三角形的判定方法的合理 选择： ,找夹角→SAS, 1.已知两边找直角HL, l找第三边→SSS. 2. 已知 边为角的对边→找另一角→AAS; 一边 找夹角的另一边→SAS, 一角 边为角的邻边{找边的邻角-+ASA, 找边的对角→AAS 3.巳知两角 找夹边→ASA, 1找其中一角的对边→AAS. 73