第9讲 二次函数-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基题1000题 第九讲 二次函数 参考答案 母题精研)二次函数的图象与性质 二次函数：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，其中a为二次项系 数，b为一次项系数，c为常数项 性质：①>0时，开口向上，4<0时，开口向下；②对称轴为x=-2云圆顶点坐标 6 二次函数的 图象与性质 为（一云“。，④当=会时，画数有最大（小值，为。 Aa 二次函数解析式的三种形式：一般式，顶点式，交点式 求二次函数的顶点、对称轴的方法：公式法，配方法以及二次函数的对称性 二次函数图象的平移变化：左加右减，上加下减 国商墨础 C.这个函数的最小值小于-6 D.当x>1时，y值随x值的增大而增大 1.(中考·兰州)二次函数y=x2+2x+2的图 5.(中考·宁波)点A(m-1,y1),B(m,y2)都 象的对称轴是 ( 在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若 A.x=-1 B.x=-2 少，<y2,则m的取值范围为 () C.x=1 D.x=2 2.(中考·常州)已知二次函数y=(a-1)x2, A.m>2 B.m>2 当x>0时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是 ( C.m<1 D.ix2 A.a>0 B.a>1 6.(中考·绍兴)已知抛物线y=x2+mx的对 C.a≠1 D.a<1 称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx= 3.(中考·挪州)关于二次函数y=(x-1)2+5, 5的根是 () 下列说法正确的是 ( A.0,4 B.1,5 A.函数图象的开口向下 C.1,-5 D.-1,5 B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)》 7.(中考·上海)将函数y=ax2+bx+c(a≠0) C.该函数有最大值，最大值是5 的图象向下平移两个单位，以下说法错误 D.当x>1时，y随x的增大而增大 的是 () 4.(中考·陕西)下表中列出的是一个二次函 A.开口方向不变 数的自变量x与函数y的几组对应值： B.对称轴不变 ~2 0 3 C.y随x的变化情况不变 6 -4 -6 D.与y轴的交点不变 下列各选项中，正确的是 8.（中考·牡丹江)抛物线y=x2-2x+3向右 A.这个函数的图象开口向下 平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 B.这个函数的图象与x轴无交点 度，得到抛物线的顶点坐标是 56 第一部分预心母题分层练 食园提团 y2,y:三者之间的大小关系是 ( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 1.(中考·黔东南州)如图， C.y3<y1<y2 D.y<y3<y 抛物线l1:y=ax2+bx+c 4.(中考·襄阳)一次函数y=ax+b的图象如 (a≠0)与x轴只有一个 图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象可 公共点A(1,0),与y轴交 能是 于点B(0,2),虚线为其 对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度 得抛物线2，则图中两个阴影部分的面积 和为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 2.(中考·山西)抛物线的函数表达式为 y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单 位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则 该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数 表达式为 ( Ay=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1 5.(中考·西藏)当-1≤x≤3时，二次函数 3.(中考·陕西)已知二次函数y=x2-2x-3 y=x2-4x+5有最大值m,则m= 的自变量x,x2,x3对应的函数值分别为为， 6.(中考·德阳)若实数x,y满足x+y=3,设 y2y当-1<名<0,1<为2<2,3>3时，y, s=x2+8y2,则s的取值范围是 田题精研乙二次函数与一元二次方程、不等式的关系 系数a,b,c对二次函数的影响：a决定开口方向和开口大小；a,b同号时，对称轴 在y轴左侧，a,b异号时，对称轴在y轴右侧，简 记为“左同右异”；C决定与y轴的交点坐标 二次函数与 二次函数与一元二次方程：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与 一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数相对应，且交 不等式的关系 点的横坐标即为根 二次函数与不等式：ax2+bx+c>0的解集是函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴 上方对应的点的横坐标；ax2+bx+c<0的解集是函数y= ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标 国自墨础 三象限，则直线y=x+2与抛物线y=x2- 2x+3的交点个数为 ()》 1.(中考·铜仁)已知直线y=kx+2过一、二、 A.0个B.1个C.2个 D.1个或2个 57 中考整题1000题 2.(中考·贺州)如图，已知抛物线y=ax2+c!3.(中考·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2) (a,b,c是常数，0<a<c)经过点(1,0)，有 两点，则关于x的不等式ax2+c≥-k+m 下列结论： 的解集是 ①2a+b<0;②当x>1时，y随x的增大而 增大；③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0 有两个不相等的实数根.其中，正确结论的 个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 4.(中考·济宁)如图，二次函数y=ax2+bx+ C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A,对 3.(中考·大庆)已知函数y=mx2+3mx+m- 称轴为直线x=1,有下面结论： 1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 ①abc<0; m的值为 ②2a+b=0; 0促园团 ③3a+c>0: ④方程ax2+bx+c=0 0 1.(中考·青岛)已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)必有一个根大于-1且小于0. 的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,且 经过点(-3,0)，则下列结论正确的是 其中正确的是 (只填序号). ( 5.(中考·贵港)已知二次函数y=ax2+bx+c A.b>0 B.c<0 (a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象 C.a+b+c>0 D.3a+c=0 经过点(-2,0)，对称轴为直线x=-子对 2.(中考·广元)将二次函数y=-x2+2x+3 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所 于下列结论：①abc<0;②b2-4ac>0:③a+ 得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b 6+6=0,④am2+bm<a-2b)(其中m≠ 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的 值为 -):⑤若A(,X)和B(,)均在该函 数图象上，且x1>x2>1,则y1>y2·其中正确 的结论共有 个. A-或-3 B.- 4或-3 c或-3 13或-3 D 41 58 第一郁分预心母题分层练 母题精研亮了二次函数的应用 利用二次函数解决实际问题的步骤：根据实际问题确定二次函数解析式，关键点是 找等量关系列方程，然后利用性质求解 利用二次函数解决几何问题的步骤：建立适当的平面直角坐标系，把几何问题中的 二次函数 数据与点的坐标联系起来，求抛物线解析式， 的应用 然后利用图象及性质求解 常见题型：求最值问题（最大利润、最大面积、最优方案、最小周长等），抛（投）物 体、拱桥等抛物型问题 国自甚础 3.(中考·达州)渠县是全国优质黄花主产地， 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根 1.(中考·聊城)某食品 ↑个】 据市场调查发现，批发价定为48元/千克 零售店新上架一款冷 20 时，每天可销售500千克.为增大市场占有 饮产品，每个成本为 率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措 8元，在销售过程中， 1020(元/个) 施，批发价每千克降低1元，每天销量可增 每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个) 加50千克. 的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象 (1)写出工厂每天的利润W(元)与每千克 是线段AB,则该食品零售店每天销售这款 降价x(元)之间的函数关系.当每千克 冷饮产品的最大利润为 元（利润= 降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ 总销售额-总成本) (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利 2.(中考·无锡)某农场计划建造一个矩形养 润最大，最大为多少元？ 殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场 (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并 一面靠墙（墙的长度为10m),另外三面用 让利于民，则每千克的定价应为多少元？ 栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积 为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m, 设较小矩形的宽为xm(如图) (1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时 x的值 (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最 大？最大值为多少？ -10m 59 中考基醒题1000题 (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的 支柱CG,OH,D1,过相邻两根支柱顶端 1,(中考·鄂州)为了实施乡村振兴战略，帮助 的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点 农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种 到桥面的距离为1m. 植业，每亩土地每年发放种植补贴120元. ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表 张远村老张计划明年承租部分土地种植某 达式； 种经济作物，考虑各种因素，预计明年每亩 ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直 土地种植该作物的成本y(元)与种植面积 装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值。 x(亩)之间满足一次函数关系，且当x=160 时，y=840;当x=190时，y=960. (1)求y与x之间的函数关系式（不求自变 量的取值范围)； (2)受区域位置的限制，老张承租土地的面 积不得超过240亩.若老张明年销售该 作物每亩的销售额能达到2160元，则 当种植面积为多少时，老张明年种植该 作物的总利润最大？最大利润是多少？ 3.(中考·安)已知抛物线y=ax2-2x+1 (每亩种植利润=每亩销售额-每亩种 (a≠0)的对称轴为直线x=1. 植成本+每亩种植补贴) (1)求a的值； (2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物 线上，且-1<x1<0,1<x2<2,比较y1 与y2的大小，并说明理由； (3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2 2+1交于点A,B,与抛物线y=3(x-1)2交 于点C,D,求线段AB与线段CD的长度 之比 2.(中考·衢州)如图1是一座抛物线型拱桥 的侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为 24m,在距离D点6m的E处，测得桥面到 桥拱的距离EF为1.5m,以桥拱顶点O为 原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系 图2 (1)求桥拱顶部0离水面的距离； 60 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·武汉改编)如果二次函数y=(x 4.(中考·鞍山改编)某商品的进价为每件 m)2+n的图象如图所示，那么一次函数y= 50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出 mx+n的图象经过 () 300件，现需降价处理，且经市场调查：每降 价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利 的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，每星期售出商品的 0 利润为y元，请写出y与x的函数关系 式，并求出自变量x的取值范围； A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限 (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？ C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限 最大利润是多少？ 2.(中考·通过改编)在平面直角坐标系内，将 抛物线y=(x+2)2-3经过两次平移后，得 到的新抛物线的顶点坐标为(1，-4).下列 对这一平移过程描述正确的是 () A.先向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 5.(中考·武汉改编)如图，抛物线y=ax2+ B.先向左平移3个单位长度，再向下平移 bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于 1个单位长度 A(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点 C.先向右平移3个单位长度，再向上平移 C(5,0). 1个单位长度 (1)求抛物线的解析式； D.先向左平移3个单位长度，再向上平移 (2)P是抛物线上的一个动点（不与点A,B 1个单位长度 重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D, 3.(中考·毕节玫编)二次函数y=ax2+bx+c 交直线AB于点E.当PE=2ED时，求点 的图象如图所示，以下结论：①b2>4ac; P的坐标 ②6+2a<0:③当<-时，y随x的增大 而增大；④a-b+c<0.正确的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 61 中考基醒题1000题 模拟精选 强化提升 1.抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度，：5.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 得到新抛物线的表达式为 ( 时，水面宽4m,若水面下降2.5m,那么水 A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2 面宽度为 () C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6 2.二次函数y=x2+2x+2的图象是一条抛物 2 线，下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点坐标是(1,1) 4m C.抛物线与x轴没有交点 A.3m B.6 m C.8m D.9m D.当x>-1时，y随x的增大而增大 6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图， 3.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为 给出下列四个结论： ①4ac-b2<0:②3b+ 2c<0:③m(am+b)+ b≤a:④(a+c)2<b2. 其中正确结论的个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 7.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F,G,H C.y=x2+2x+3 D.y=x2+2x-3 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH, 4.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h 设四边形EFGH的面积为S,AE为x,则S关 () (单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间 于x的函数图象大致是 的函数关系如图所示 40 20 0 2 3 456s 下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m; ②小球运动的时间为6s: ③小球抛出3s时，速度为0； ④当t=1.5s时，小球的高度h=30m 其中正确的是 ( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.②④ 62 第一部分预心母题分层练 8.抛物线y=(a-2)x2在对称轴左侧的部分是： 12.如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象过点 上升的，那么a的取值范围是 A(-1,0),B(3,0) 9.如果抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个 (1)求抛物线的解析式： 交点的坐标是(1,0)，那么与x轴的另一个 (2)根据轴对称的性质知道在抛物线的对 交点的坐标是 称轴上存在一点P,使得△PAC的周长 10.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与 最小，此时，在直线PA上方的抛物线 自变量x的部分对应值如表所示： 上是否存在点M(不与点C重合)，使 -5-4-3 -2-1 得SAPAM=SAP4C？若存在，请写出点M y… -8-301 0… 的坐标；若不存在，请说明理由， 当y<-3时，x的取值范围是 11.为支持国家南水北调工程建设，小王家由 原来养殖户变为种植户，经市场调查得知， 当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩 可获得利润y=1900元；超过15亩时，每 亩获得利润y(元)与种植面积x(亩)之间 的函数关系（为所学过的一次函数，反比例 函数或二次函数中的一种)如下表： x(亩) 20 25 30 35 y(元) 1800 1700 1600 1500 (1)请求出种植樱桃的面积超过15亩时每 亩获得利润y与x的函数关系式； (2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受 条件限制种植樱桃面积x不超过 50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得 的总利润为W元，求小王家承包多少 亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W(元)的最大值 63 中考基醒题1000题 综合训练三 函数 1.(中考·邵阳)在直角坐标系中，已知点 (3,y1),(4,y2)在其图象上，则y2>y1:③将 A(号m),点B(习，)是直线y=在+bk< 其函数图象向左平移3个单位长度，再向上 平移4个单位长度所得抛物线的函数表达 0)上的两点，则m,n的大小关系是( 式为y=(x-5)2-5;④函数图象与x轴有 A.m<n B.m>n 两个交点，且两交点的距离为6. C.m≥n D.m≤n A.②③④ B.①②④ 2.(中考·临沂)实验证实，放射性物质放出射 C.①③ D.①23④ 线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后 5.(中考·成都)在平面直角坐标系x0y中，若 来较慢，物质所剩的质量与时间成某种函数 抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点， 关系.下图为表示镭的放射规律的函数图 则k= 象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的 时间大约是 6.(中考·长春)如图，在平面直角坐标系中， 点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作y ↑质量 m 轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在 线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线交 抛物线于E,F两点.当四边形CDFE为正方 形时，线段CD的长为 8 1620 3240 4860时间/年 A.4860年 B.6480年 C.8100年 D.9720年 3.(中考·丹东)如图，点A在双曲线y1= 2(x>0)上，点B在双曲线2=(x<0) 第6题图 第7题图 7.(中考·荆州)如图，过反比例函数y= 上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC, BC,若△ABC的面积是6，则k的值为() (k>0,x>0)图象上的四点P,P2,P3,P4分 别作x轴的垂线，垂足分别为A1,A2,A3,A4, 再过点P,P2,P3,P分别作y轴，PA1 P2A2,P3A,的垂线，构造了四个相邻的矩形 若这四个矩形的面积从左到右依次为S, A.-6 B.-8 S2,S3,S4,OA1=AA2=A2A3=A3A4,则S1与 C.-10 D.-12 S.的数量关系为 4.(中考·雅安)抛物线的函数表达式为y= 8.(中考·苏州)如图，在平面直角坐标系中， (x-2)2-9,则下列结论中，正确的序号为 四边形OABC为矩形，点C,A分别在x轴和 ( y轴的正半轴上，点D为AB的中点.已知实 ①当x=2时，y取得最小值-9：②若点 数k≠0，一次函数y=-3x+k的图象经过 64 第一郁分预心母题分层练 点C,D,反比例函数y=(x>0)的图象经 10.(中考·济宁)如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC,点C(2,0),点B(0,4),反比 过点B,求k的值 例函数y=兰(x>0)的图象经过点A (1)求反比例函数的解析式： (2)将直线OA向上平移m个单位后经过 反比例函数y=兰（x>0)图象上的点 (1,n),求m,n的值， 9.(中考·菏泽)如图，在平面直角坐标系中， 矩形OABC的两边OC,OA分别在坐标轴 11,(中考·云南)某学校要购买甲、乙两种消 上，且OA=2,OC=4,连接OB.反比例函数 毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买9桶 y=兰（✉>0）的图象经过线段0B的中点D, 甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要 615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消 并与AB,BC分别交于点E,F.一次函数y= 毒液，则一共需要780元. k2x+b的图象经过E,F两点。 (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分 (1)分别求出一次函数和反比例函数的表 别是多少元？ 达式： (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共 (2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值 30桶，其中购买甲消毒液α桶，且甲消 最小时，点P的坐标为 毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5桶，又不超过乙消毒液的数量的 2倍，怎样购买，才能使总费用W最少？ 并求出最少费用. 65故反比例函数的表达式为y=召 (2)如图，过点A作 AD⊥x轴于点D. 一一次函数y=-x+3 的图象与x轴交于 点C, .C(3,0). 又A(1,2) .AC=(1-3)2+(2-0)2=2,2.0D=1. CD=AD=2. 当AC=AP时，PD=CD=2, .P(-1,0): 当AC=CP=22时，0P=3-22或3+2、2， .P(3-2、2,0)或(3+22,0) 综上所述，P(-1.0)或(3-22,0)或(3+22,0). 回回国围两点间的距离公式：已知平面直角坐 标系中有A(x1,,)和B(x2,32)两点，则AB的长 度=√(-，)+(2-y) 第九进 二次函数 母题精研1二次函数的图象与性质 稳基础 1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.D8.(35) 1.0中解题关键根据二次函数图象的对称轴为直线 =一名款解即可注感不要丢排公式前面的负号。 第②#思器制折在二次函数y=x2+2x+2中，a= 1.6=2对称轴为直线=-名-1故选A 2.第0辨题关罐根据当x>0时，y随x的增大而增 大判断抛物线的开口方向，进而求解 8#思器副析，二次函数y=(a-1)x2,当x>0 时，y随x的增大而增大，∴.抛物线开口向上， .a-1>0,∴.a>1.故选B. 懒③提升点拨二次函数的增减性与开口方向，对 称轴有关，判断时要同时考虑这两个因素， 3.单0中解题关罐根据二次函数y=a(x-h)2+k的 图象与性质逐项判断即可 ②中惠路剖所在函数y=(x-1)2+5中，二次项 系数为1,1>0，所以函数图象的开口向上，故A选 项错误：函数图象的顶点坐标是(1,5)，故B选项 错误：函数图象的开口向上，有最小值为5，故C选 项错误：函数图象的对称轴为直线x=1,当x>1 时，y随x的增大而增大，故D选项正确。 ③*提升点拨二次函数的顶点式为y=a(x-h)子+ k,顶点坐标为(h,k),注意h前系数为负，如y= (x+1)2的顶点坐标为(-1,0) 参考否率与解新 4.①中解题关键选取表中三组数据，利用待定系数 法求得二次函数解析式，根据二次项系数a的符号 判断开口方向：令y=0,解方程或利用根的判别式 确定该西数图象与x轴交点个致：根据顶点式确定 函数的最值：结合开口方向和对称轴判断函数的增 减性 ②思路副析设二次函数的解析式为y=ax2+ r6=a×(-2)+b×(-2)+c, br+c,由表可知 -4=C, 解 -6=a+b+c. a=1. 得{b=-3,故二次函数的解析式为y=x2-3x- c=-4. 25 4=(x- 4 ,a=1>0,∴该函数图象开口 向上，故A法项错误：令y=0,则(x一多P-空 0,解得x,=4,x1=-1,∴该函数图象与x轴的交 点为(4,0)和(-1,0)，故B选项错误：当x=时。 函数有最小值为-草，面-空<-6，故C选项正 4 确：函数图象的对称轴为直线=子当x>号 时，y值随x值的增大而增大，故D选项错误， 5.①+解题关罐将，点A,B的横坐标分别代入函数 解析式，得出2，再根据<列出关于m的不 等式求解即可。 ②思路剖析：点A(m-1,1),B(m,2)都在二 次函数y=(x-1)2+n的图象上，y1=(m-1- 1)2+n=(m-2)2+n,y1=(m-1)2+n.y1<2, (m-2)2+n<(m-1)2+n,∴(m-2)2-(m- )2<0,-2m+3<0m>故选B ￥③提开升点拨本题还可以根据函数图象的开口方 向和对称轴确定增减性，结合y1<y2,利用数形结 合思想，分情况讨论解答。 6.m0生解题关罐利用抛物线的对称轴公式求出m 的值，进而解方程即可 ②+思路剖析：抛物线y=x2+mx的对称轴为直 线x=22及1=2，解得m=-4心方程中 mx=5可以写成x2-4x=5,解得x1=5,x1=-1. 故选D. 【中考风向】二次函数含参问题属于常考题型，解 题时要明确题意，结合条件及公式，构建等量关系 求解。 7.0中解题关量根据二次函数图象的平移特，点求解 ②出思路剖析将函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图 象向下平移两个单位，不变，所以开口方向不变， 故A选项正确：顶点的横坐标不变，所以对称轴不 变，故B选项正确：抛物线的开口方向不变，对称轴 53 中考基脚圆1000题 不变，所以y随x的变化情况不变，故C选项正确： 与y轴的交点随之向下平移两个单位，故D选项 错误 ￥③升点拔二次函数图象在平移的过程中，形 状不发生改变，左右平移改变对称轴的位置，上下 平移改变与y轴的交点位置. 8.m①解题关键先求出抛物线的顶，点坐标，再根据 向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，即可 求出平移后的抛物线的顶点坐标 第②思路制析抛物线y=x2-2x+3=(x-1)2+2 的顶点坐标为(1,2)，将抛物线向右平移2个单位 长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的抛 物线的顶点坐标是(3,5). ③+提升点湖函数图象的平移符合“左加右减， 上加下减”，点的平移符合“左减右加，上加下减” 促提升 1.B2.C3.B4.D5.106.s≥9 1.①生解题关键根据平移的性质及抛物线的对称 性，可将阴影部分的面积转化为矩形OCDA的面 积，进而求解 黑2#患路剖析如图，设抛物线 的顶点为D,过点D作DC∥x 轴，交y轴于点C,则四边形 OCD1是矩形.抛物线l1:y= ax2+b:+c(a≠0)与x轴只有一 个公共点A(1,0),与y轴交于点 D B(0,2),.OB=2,0A=1.将抛物线l1向下平移 2个单位长度得抛物线12，∴0C=0B=2.根据平 移的性质及抛物线的对称性易知，图中两个阴影部 分的面积和等于矩形OCDA的面积，∴.S翻影= S形04=0A·0C=1×2=2.故选B. ©#提升点檬对于二次函数面积问题，一般涉及 坐标一距离一面积问题的递推关系，结合图象 逆向分析，可找到做题思路， 【核心素养】数形结合及转化思想，是解决二次函 数图象与儿何变换问题的常用数学思想，解题时需 明确题意，结合函数性质，灵活转化坐标与距离的 关系。 2.①中鲜题关键将x轴向上平移2个单位长度，相 当于将函数图象向下平移2个单位长度：将y轴向 左平移3个单位长度，相当于将函数图象向右平移 3个单位长度 8+思略别析由题意得将抛物线y=3(x-2)2+ 1向下平移2个单位长度，函数解析式变为y= 3(x-2)2-1,再向右平移3个单位长度后所得的 函数表达式为y=3(x-5)-1.故选C ③出提升点碳在二次函数图象的平移中，左右平 移作用于x,上下平移作用于y 3.0解题关罐根据二次西数解析式先确定开口方 向及对称轴，进而利用函数的增减性以及x,。2, 离对称轴的远近求解即可 54 单②思路制断由题意得二次函数的对称轴为直线 E=-)号=1.-1<x1<0,1<出2<2，x>3,而 抛物线开口向上，<<，故选B. 【中考风向】利用二次函数的增减性比较大小属于 中考的高频考点，常以选择题、填空题的形式出现， 难度一般不大， 4.前0+解题关雕根据一次函数图象得出a,b的将 号，进而判断二次函数图象的开口方向及对称轴的 位置即可得出答案 ②+思路割析·一次函数y=x+b经过第一、 二、四象限，.a<0,b>0,.二次函数y=ar2+x 的图象开日向下，且对称轴x=一名>0一对称轴 在y轴右侧，故D选项中的函数图象符合题意 单③中提升点拨二次函数图象确定的关键因素：开 口方向、对称轴及函数与y轴交点，利用4，b,c的 符号即可确定。 5.0+解题关罐先确定函数的增减性，再由-1和3 到对称轴的距离确定当x取何值时函效取得最大 值，从而代入求出m的值 ②中思璃制折：二次函数y=x2-4x+5=(x- 2)2+1,∴.该函数图象开口向上，对称轴为直线x= 2.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最 大值m,.当x=-1时，该函数取得最大值，此时 m=(-1-2)2+1=10. ③提升点碳对于有限制范围的二次函数最值问 题，根据函数的对称性，判断两边界与对称轴的距 离是关键， 6.0#鲜题关雕由x+y2=3可得y2与x的关系，再 用含x的代数式表示，通过配方求解 0思路制折x+y=3,∴.y=3-x.3-x≥ 0,x≤3，s=x2+8y2=x2+8(3-x)=x2-8x+ 24=(x-4)2+8,s≥9. ③提升点援利用消元思想可解决函数最值中的 多个变量问题 母题精研2 二次函数与一元二次方程、 不等式的关系 稳基础 1C2.D3.1或-号 1.带0解题关罐先根据直线所经过的象限判断k的 符号，再联主两函数解析式建立方程组，利用根的 判别式即可判断交，点个数， ②中思路御所：直线y=x+2过第一、二、三象 限，∴.k>0.联立直线y=x+2与抛物线y=x2 2x+3组成方程组得=+2， 1y=x2-2x+3, .x2-2x+ 3=+2.x2-(2+k)x+1=0..4=[-(2+k)]2 4=k2+4k.k>0,.2+4h>0,即4>0，.直线 y=x+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为 2个，故选C. ③提升点拔函数交点个数问题一般转化为方程 的解的个数问题，利用判别式即可判断 2.①题关健根据二次函效图象的对称性以及两 个一次函数图象的关系，求出新的一次函敏图象与 二次函数图象的交点即可求解， 第②中思路剖析y=kx+m与y=一kx+m关于y 轴对称，抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，∴.抛物 线y=x2+c与直线y=-x+m的交点A',B'与 点A,B也关于y轴对称，A(-3,,),B(1,2）, .A'(3,方)，B'(-1,).a+c≥-ha+m,即 在点A',B'之间的函数图象满足题意，.ax2+c≥ -x+m的解集为-1≤x≤3.故选D. ③中提升点碳对二次函数与不等式关系的理解， 牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象上方， 注意考虑边界(=)是否包含在内， 3.端0中解题关键本题可分m=0和m≠0两种情况 讨论.(1)当m=0时，函数为一次函数，判断此时 函数图象是否与坐标轴有两个公共点即可：(2)当 m≠0时，函数为二次函数，当函数图象与坐标轴恰 有两个公共，点时，有两种情况：①过坐标原点且△> 0:②与x,y轴各有一个交点 2思路剖析(1)当m=0时，y=-1,与坐标轴 只有一一个交点，不符合题意；(2)当m≠0时，函数 y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公 共点时，有两种情况：①过坐标原点且△>0，将原 点(0,0)代人函数解析式得m-1=0,解得m=1, 经验证，符合题意：②与x,y轴各有一个交点，，△= 0,m≠0..(3m)2-4m(m-1)=0,解得m,=0(舍 去)，m=一号综上所述，m的值为1或-号 第③瑞升点拨与抛物线交点有关的含参问题，一 般涉及分情况讨论，注意分类的层次性，以及对每 种情况的验证 促提升 1.D2.A3.C4.①②④5.3 1.前0鲜题关罐根据抛物线的开口方向及对称轴判 断A选项：根据对称轴x=-1及过点(-3,0)求 出抛物线与x轴的另一个交点，据此判断B选项： 当x=1时，二次西数的值y=a+b+C,据此判断C 选项：根据对称轴得出a,b之间的关系，并代入y= a+b+c中，据此判断D选项. ②患路别析：抛物线开口向下，∴a<0.:对称 轴为直线=名=-1，心6=2,6<0，故A选 项错误：设抛物线与x轴的另一个交点为(x1,0), 则抛物线的对称轴可表示为x=(:-3), -1=名-3).解得=1抛物线与轴的 参考否率与解析 两个交点为(1,0)和(-3,0).又，抛物线开口向 下，∴.抛物线与y轴交于正半轴，∴.c>0,故B选项 错误；抛物线过点(1,0)，∴.a+b+c=0,故C选 项错误：b=2a,a+b+c=0,∴.3a+c=0,故D选 项正确. ③步提升点湖二次函数与系数的关系常涉及的考 法：根据抛物线的开口方向可确定a的符号，再结 合对称轴可确定b的符号，图象与y轴交点可确定 c的符号，当x分别取1,2,3时，函数解析式可变为 特定形式，同时可能涉及对称性的应用及函数最值 何题等 【中考风向】二次函数与系数的关系是近几年中考 的热门考点，以选择题和填空题为主，难度较大，除 了掌握固定考法外，对性质的结合及灵活运用方面 也是高频考法。 2.0出解题关键分两种情况：当直线y=x+b经过 点B时，或当直线y=x+b与新函数图象相切时， 均恰好有3个公共点，分别求解即可 单②中思路翻折·二次函数 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+ 4,,该函数的顶点坐标为 ,三r+b (1,4).当y=0时，x2-2x- 3=0,解得x1=-1,x2=3,则 )=r+b 抛物线y=-x+2x+3与x 轴的交点为A(-1,0),B(3, 0).把抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的部分 沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析 式为y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)，顶点坐标M(1, -4),如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+ b与该新函数图象恰好有3个公共点，二3+b=0, 解得b=-3:当直线y=x+b与抛物线y=(x 1)2-4(-1≤x≤3)相切时，直线y=x+b与新函 数图象恰好有3个公共点，即(x-1)2-4=x+b有 两个相等的实数根，整理得x2-3x-b-3=0 4=(-3)2-4(-6-3)=0,解得6=-头综上所 述，6的值为-3或-头故选 单③业提升点湖对于二次函数部折问题，先确定都 折后函数解析式，结合题意，利用数形结合思想分 析，函数交点问题常转化为一元二次方程根的判别 式来解决。 ,带①步解题关由抛物线y=x2+bx+c经过，点 (1,0),且0<a<c可判断①：由①可得b的符号， 进而判断②：由一元二次方程根的判别式判断③. ②惠路剖析，抛物线y三a.x2+b:+c经过点 (1,0),,a+b+c=0.0<a<c,∴，a+b+a<0, 即2a+b<0,故结论①正确；，2a+b<0,0<a<c, 之b<0对称轴x=-品>1当1<<-20 时，y随x的增大而减小，故结论②错误；：a+b+ c=0.∴.b+c=-a,对于方程ax+br+(b+c)=0, 55 中考基脚圆1000题 4=b2-4×a×(b+c)=b2+4a2>0,.方程ar2+ r+(b+e)=0有两个不相等的实数根，故结论③ 正确.综上所述，有2个正确的结论.故选C 4.0鲜题关罐由函数图象开口向下判断a的符 号，由左同右异判断b的符号，由图象与y轴的交 点判断c的符号，从而确定abe的符号；由对称轴为 直线x三-=1，得出2a+b=0;由图象与x轴的 交点以及对称轴可得另一个交点的情况，进而得出 当x=-1时，y=a-b+c<0,再结合2a+b=0,得 出3a+c<0. ②+思路剖析由图象可得a<0,b>0,c>0, ∴abc<0,故①正确：该函数的对称轴为直线x= 2a=1,则6=-2a,即2a+6=0,故②正确：函数 图象与x轴的一个交点在点(2,0)和(3,0)之间， 则与x轴的另一个交点在(0,0)和(-1,0)之间， 故④正确；，当x=-1时，y=a-b+c<0,∴.a (-2a)+c<0,即3a+c<0,故③错误.综上所述， 正确的是①②④. 5.0出题关罐根据抛物线开口方向，与y轴交点 位置以及对称轴，可确定《，b,e的符号，从而判断 ①：补全函数图象，可确定函数图象与x轴交点个 数，从而判断②：根据抛物线与x轴的一个交，点 (-2,0)以及对称轴，求出地物线与x轴的另一个 交点，从而判断3：利用a和b的等量关系将④中 两式作差，从而进行判断：结合函数的图象及增减 性，可判断). 2#思路副析由图象可得a<0,b<0,c>0, 六ab>0,故①错误：补全函数图象可知l,抛物线与 x轴有两个交点，，当y=0时，方程ax+br+c=0 有两个不相等的实数根，∴.b-4ac>0,故②正确： :抛物线的对称轴为直线￥=一之，且抛物线与 轴的一个交点坐标为(-2,0)，∴.抛物线与x轴的 另一个交点坐标为(1,0)，把(-2,0)，(1,0)代人 y=m2+bx+ca≠0)，可得-2+c0解得 la+b+c=0, [b=a, {c=-2a,a+6+c=a+a-2a=0,故③正确： am'+bm-am'tam=a(m -aa,4(a- 2b)=4(a-2a)=-44,5am2+6m-4(a 2b)=a(m+2只又：a<0,m≠-2a(m+ 22<0.即am2+bm<(a-2b)(其中m六 -),故④正确：抛物线的对称轴为直线x= -?,且抛物线开口向下，小当x>一时y随x 56 的增大而减小名>为>1>2为<，故⑤ 错误.综上所述，正确的结论有②③④，共3个. ③咖提升点拔利用“平均数”原理，可根据抛物线 与x轴的一个交点和对称轴，求出抛物线与x轴的 另一个交点，即二次函数图象的对称轴是x= b b 2a,+为=- 母题精研3二次函数的应用 稳基础 1.121 1.0步解题关键利用待定系数法求出线段AB的解 析式，然后根据“总利润=（销售价格一成本）×销 售量”列出二次函致关系式，再利用二次函数的性 质求最值即可， ■②思路析当10≤x≤20时.设线段AB的解析 式为y=x+b,把(10,20)，(20,10)代入，得 60解得低三刘每天的销售量 y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y= -x+30(10≤x≤20).设该食品零售店每天销售这 款冷饮产品的利润为e元，0=(x-8)y=(x-8)· (-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121 (10≤x≤20).-1<0，∴.当x=19时，0有最大 值为121. ③步提升点拔对于二次函数图象类实际应用题， 首先应考虑横轴和纵轴代表的意义，然后再分析， 【核心素养】在解决实际问题时，常建立数学函数 模型，利用数学知识解决问题，体现了模型观念。 2.第0解题关键(1)由BC=x,得BD=3x,AB= 8-x,利用矩形养殖场的总面积为36m2,列一元二 次方程，解方程即可求解：(2)设矩形养殖场的总 面积为S,根据矩形的面积公式可得S关于x的函 数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 单②+参考答案解：(1)如图， -10m BE2222222222222222228 标记字母 E :BC=xm,矩形CDEF的面 积是矩形BCFA面积的2倍， ∴.CD=2xm, Em"C .BD=3xm.AB=CF=DE-(24-3)=(8-x)m 根据题意，得3x(8-x)=36, 解得x1=2,3=6, 经检验，x=6时，3x=18>10不符合题意，舍去， 故此时x的值为2； (2)设矩形养殖场的总面积为S, 由(1)得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48. :墙的长度为10m,0<3x<100<x<号 :-3<0六当x<4时，S随着x的增大而增大， 当=9时8有最大值，最大值为-3x(9 4+48=9 答：当x一号时，矩形养殖场的总面积最大，最大值 为"配 ③[提升点拨二次函数栅栏问题中，要考虑到实 际意义，如栅栏长度不能为负数，也不能超过墙长。 3.0解题关耀(1)根据利润=销售量×（单价 成本)，列出函数关系式，将x=2代入函数关系式 即可求解；(2)将(1)中的解析式整理为顶点式，然 后利用二次函数的性质求解即可：(3)令W=9750 解出对应的x的值，然后根据“让利于民”的原则选 择合造的x值即可， ②中考答案解：(1)根据题意，得W=(48- 30-x)(500+50x)=-50x2+400x+9000, 当x=2时，W=-50×2+400×2+9000=9600(元). 答：当每千克降价2元时，工厂每天的利润为 9600元： (2)由(1)得W=-50x2+400x+9000=-50(x- 4)2+9800 -50<0」 当x=4时，W最大，最大为9800. 答：当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最 大为9800元： (3)根据题意，得-50x2+400x+9000=9750. 解得x1=3,x2=5 让利于民， x1=3不合题意，舍去， .每千克的定价应为48-5=43（元） 答：每千克的定价应为43元 ③升点媛对于二次函数的实际问题，关键是 根据等量关系求得函数解析式，进一步利用函数的 性质解决问题，其中利润问题常涉及的公式有：总 利润=单件利润×销售量，单件利润=单价一 成本 【中考风向】利用二次函数知识解决实际问题是历 年中考的重点和热点，题型多样，一般与方程、不等 式、一次函数等知识综合在一起，题目贴近生活，注 重对解题思维过程的考查， 促提升 1.0解题关键(1)利用待定系数法求一次函数解 析式即可：(2)根据题意写出总利润关于种植面积 的解析式，再利用二次函数的性质求解即可 ②中参考答案解：(1)设y与x之间的函数关系式 为y=kx+b(k≠0). 根据题意，得 840=160k+b, 960=190k+b. 解得作=4， 1b=200 答：y与x之间的函数关系式为y=4x+200: 参考否率与解新 (2)设老张明年种植该作物的总利润为W元 根据题意，得W=[2160-(4x+200)+120]x= -4x2+2080x=-4(x-260)2+270400. -4<0, ∴.当x<260时，W随x的增大而增大 由题意知，x≤240， .当x=240时，W最大，最大值为-4×(240- 260)2+270400=268800. 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润是 268800元. ③提升点拔等量关系的构建是二次函数实际应 用的核心，除基本公式外，对于题中的附加条件和 限制条件，如本题的补贴120元，面积不超过 240亩要格外留意. 2.①解题关键(1)由题意得出，点F的坐标，利用 待定系效法求出抛物线的解析式，然后结合图象上 点的坐标特征计算求解；(2)①由图象及题意可得 右边钢缆所在抛物线的顶，点坐标及H,点坐标，利用 待定系数法求解即可：②设彩带的长度为(m,则 【=2-少，利用二次函数的性质求最值 ②步参考答案解：(1)根据题意可知，点F的坐标 为(6，-1.5)， 可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1=a,x, 将F(6,-1.5)代入为=ax, 得-1.5=36a1,解得a,=-24 .y1=-24 当x=12时，y=-24×12=-6, 答：桥拱顶部0离水面的距离为6m; (2)①由题意可知，右边钢缆所在抛物线的顶点坐 标为(6,1)，可设其表达式为y=a(x-6)2+1,将 (0,4)代入，得4=a2×(0-6)2+1,解得a:=i2: 六右边钢缆所在抛物线表达式为为=2x-6)”+ 1,同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为为= 12x+6)2+1: ②设彩带的长度为1m,则1=-=x-62+ 1-(-)=g2-44=g-4+2. ∴.当x=4时，。=2 答：彩带长度的最小值是2m. ③出提升点拨对于二次函数的应用中涉及解析式 的求法，一般先根据题意设出适当的二次函数表达 式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次 函数的图象与性质进行求解， 0声鲜题关罐(1)根据抛物线对称轴为直线x= 2名即可求解：(2)由()可得函数解析式，进而 57 中考奉脚周1000题 定函数的增减性，再比较x1,,到对称轴的距离即 可求解：(3)y=m分别代入两抛物线解析式，用 含m的代数式表示AB与CD的长，进而求解 ②参考答案解：(1)，拋物线y=ax2-2x+1的 对称轴为直线x=1, 21 (2):y=x2-2x+1=(x-1)2 当x>1时，y随x的增大而增大：当x<1时，y 随x的增大而减小， -1<x1<0,1<x2<2 .1<1-x1<2,0<x2-1<1 .1-x1>x2-1,.1>9: (3)把y=m代入y=x2-2x+1,得m=x2-2x+1. 解得x1=1+m,x2=1-m, :.AB==2m. 把y=m代人y=3(x-1)2,得m=3(x-1)2 解得，=1+3m 3,3-1、3m 3 CD==23m 3 六4极=2m =5, CD2、3m 3 ③#提升点湖利用二次函数的增减性比较函数值 的大小，关键在于根据图象比较自变量与对称轴的 距离：函数相交问题关使在于掌握二次函数与方程 及不等式的关系 真题改编科学借鉴 1.B2.A3.C 1.①+解题关先由二次函数图象中顶点所在象限 判定m,n的符号，再根据一次函数的性质即可 判断 ②思路制析观察图象可得二次函数图象的顶点 坐标为(m,n),且在第四象限，.m>0,n<0,∴.一 次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限.故 选B. 2.0+解题关册先根据抛物线y=(x+2)2-3确定 其顶点坐标，比较两顶点坐标，利用点的平移规律 解答。 ©思路制断：抛物线y=(x+2)尸-3的顶点坐 标是(-2，-3)，经过两次平移得到新抛物线的顶 点坐标为(1，-4)，.将抛物线y=(x+2)2-3先 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 得到新抛物线的顶点坐标为(1，-4).故选A. ③提升桌泼注意平移过程中坐标或直线位置的 实际变化与解析式“左加右减”规律的区别 3.0+解题关腿根据抛物线与x轴有2个交，点和判 别式的意义可判斯①：根据对称轴得到b=3a,则 b+2a=5a,再利用抛物线的开口向下得到a<0,可 58 判断②：根据二次函数的性质可判断③：利用x= -1时，y>0可判断④. ②思路桥抛物线与x轴有2个交点，∴.△= b2-4ac>0,即b>4ac,故①正确：.抛物线的对称 轴为直线=一名 -号，6=3n…6+2a=5a 而抛物线的开口向下，.a<0,∴.b+2a<0,故②正 确：抛物线的对称轴为直线x=一多，当x< -时，y随x的增大而增大，故③正确：？x=-」 时，y>0,∴.a-b+c>0,故④错误.综上所述，有 3个正确的结论.故选C. ③*趣升点拔二次函数图象与系数的关系：二次 项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0 时，抛物线开口向上：当a<0时，抛物线开口向下， 一次项系数b和二次项系数“共同决定对称轴的 位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧：当a与 b异号时，对称轴在y轴右侧.常数项c决定抛物线 与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c) 回回围圆抛物线与x轴交点个数由判别式确 定：当4=b2-4c>0时，抛物线与x轴有2个交 点：当△=62-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交 点：当4=b-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点. 4.①中解题关量(1)根据“总利润=（售价-进价）× 销售量”列出函数关系式，由“确保盈利”得出x的 取值范围：(2)将(1)中所求西数关系式配成顶点 式，利用二次西数的性质求最值即可 ②#考答案解：(1)根据题意，得y=(70一x- 50)(300+20x)=-20x2+100x+6000. .70-x-50>0,且x≥0. .0≤x<20: (2)y=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+ 6125(0≤x<20), 当x=2.5时，y取得最大值，最大值为6125. 答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润 是6125元. 常③中提升点拔解决二次函数利润问题时，要注意 x表示的意义是降价还是售价，两者有本质区别， 最值问题关注x的取值是否符合题意及实际意义， 5.0少解题关维(1)先将点B(4,m)代入直线y= x+1得出m的值，再将A,B,C三，点坐标代入抛物 线解析式即可求解：(2)设出点P的坐标，分别表 示出点D,E的坐标，进而表示出PE和ED的长， 利用PE=2ED构建方程求解即可. @步参考答案解：(1)将点B(4,m)代入直线y= x+1,得m=4+1=5,故B(4,5). 将A,B,C三点坐标代入抛物线解析式，得 ra-b+c=0, ra=-1, 16a+4b+c=5,解得{b=4, 25a+5b+c=0 le=5, ∴.地物线的解析式为y=-x+4x+5: (2)设P(x,-x+4x+5),则E(x,x+1),D(x.0), .PE=|-x2+4x+5-(x+1)1=1-x2+3x+41, ED=Ix+11. ·PE=2ED .1-x+3x+4|=2|x+11, 当-x2+3x+4=2(x+1)时. 解得x1=-1(舍去)，x2=2, ∴.-x+4x+5=-22+4×2+5=9 .P(2,9) 当-x2+3x+4=-2(x+1)时， 解得x1=-1(舍去)，2=6， -x2+4x+5=-62+4×6+5=-7. .P(6,-7). 综上所述，点P的坐标为(2,9)或(6，-7). ③中趣升点拨二次函数的几何应用中经常会涉及 线段比例问题，解题时一般通过设出点坐标表达线 段，然后根据题意建立等量关系，进而求解，同时注 意根据点的位置分情况讨论。 模拟精选强化提升 1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.B 8.a<29.(-3,0)10.x<-4或x>0 1.0中解题关健根据二次函数图象左加右减，上加 下减的平移规律进行解答即可， ￥②#思路翻折y=3x2-3向右平移3个单位长 度，得到新抛物线的表达式为y=3(x-3)2-3.故 选A. ③#提升点拨注意描述平移方式的语言，如：“A 平移得到B”与“A由B平移得到”，这两种表达方 式有着本质区别 2.0+解题关壁掌握二次函数y=a.x2+bx+c的图 象的开口方向、顶，点坐标、增减性，二次函数与坐标 抽的交，点即可求解 ②中思路剖析a=1>0,该抛物线开口向上， 故A选项正确：二次函数y=x2+2x+2=(x+ 1)2+1,∴抛物线的顶点坐标是(-1,1)，故B选 项不正确：当y=0时，0=x2+2x+2,此时△=22- 4×1×2=-4<0,所以该抛物线与x轴没有交点， 故C选项正确：当x>-1时，y随x的增大而增大， 故D选项正确.故选B. 3.前0解题关键先设出交点式y=a(x-,)(x一 x2）,再把(0，-3)代入求出a的值化简即可. ②+思路副析：抛物线与x轴的交点坐标为 (-1,0),(3,0),.可设抛物线的解析式为y= a(x+1)(x-3),把(0，-3)代入，得-3=a×(0+ 1)×(0-3),解得a=1,∴.抛物线的解析式为y= x2-2x-3.故选B. ③中提升点泼在利用待定系数法求二次函数解析 式时，要根据条件选择恰当的方法设出解析式：一 般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待 参考否率与解新 定系数法列三元一次方程组来求解：当已知抛物线 的顶点或对称轴时，常选择顶点式来求解；当已知 抛物线与x轴有两个交点时，常选择交点式来 求解. 1.①中鲫题关健由图象得到小球在空中达到的最大 高度，即可判断①：小球6s时落地，可判断②：小球 抛出3s时达到最高点，速度为0，即可判断③：由 待定系数法求得函数解析式，再将1=1.5$代入计 算，即可判断④. ②思路剖析由图象可知，小球在空中达到的最 大高度为40m,则小球在空中经过的路程是80m, 故①①错误：由图象可知，小球6s时落地，即小球运 动的时间为6s,故②正确：小球抛出3s时达到最 高点，即速度为0，故③正确：设函数的解析式为 h=a(t-3)2+40,将(0,0)代入，得0=a×(0-3)2+ 40,解得a=一0÷函数的解析式为6.40 (t、 3)+40,当1=1.5时，A=-9x(1.5-3)2+ 40=30,故④正确.综上所述，正确的有②③④.故 选C. ©#提升点函数图象问题首先关注横、纵轴表 示的意义，s-1图象中，领斜度和速度相关；”-1图 象中，函数与x轴形成的面积与距离有关， ①解题关躔根据条件建立平面直角坐标系，利 用点的坐标求出抛物线的解析式，再把y= -2.5代入抛物线解析式即可求解. ②#思路制析如图，建立平面直角坐标系， 0- 4m 设横轴x通过AB,纵轴y通过AB的中点O且通过 点C,则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为 对称轴，且经过A,B两点，可得01=0B=4B=2m, 抛物线的顶点C的坐标为(0,2)，设抛物线的解析 式为y=ax2+2,把A(-2,0)代入得a=-0.5, ∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+2.当水面下降 2.5米时，水面宽度可转化为当y=-2.5时，对应 的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2.5 与抛物线相交的两点之间的距离，把y=-2.5代 入抛物线解析式，得-2.5=-0.5x2+2,解得x= ±3，.水面宽度为3-(-3)=6(m).故选B. 单③提升点嫩二次函数的应用问题，关健是根据 已知条件建立平面直角坐标系从而得出二次函数 解析式，把实际问题转化为数学模型，利用二次函 数的性质解决问题 59 中考基脚圆1000题 6.①声解题关罐根据抛物线与x轴有2个交，点和一 元二次方程根的判别式的意义可判斯①：将x=1 b 代入抛物线，结合对称轴一2=-1，可判断②：将 抛物线的对称轴x=-1代入抛物线得y=a-b+ c,根据二次函数最值的性质可判断3：结合x=1 时，y<0:x=-1时，y>0可判断④ ②思路脚所：抛物线与x轴有两个交点， .62-4ac>0,4ac-b2<0,故①正确：把x=1代 入抛物线得y=a+b+c<0,.2a+2b+2c<0. b -2a=-16=2m,36+2c<0,故②正确： ,抛物线的对称轴是直线x=-1,∴.y=a-b+c 的值最大，即把x=m代入二次函数解析式得y= am2+bm+c≤a-b+c,∴.am2+bm+b≤a,即 m(am+b)+b≤a,故③正确：：a+b+c<0,a- b+c>0,(a+c+b)(a+c-b)<0,.(a+c)2 b2<0.(a+c)2<b2,故④正确.综上所述，有4个 正确的结论.故选D. ③出提升点拨对于二次函数图象与系数的关系， 在解题时要注意特殊点的运用：当x=±」时，y= a±b+c:当x=±2时，y=4a±2b+c:当x=±3 时，y=9a±3b+c 7.前①+解题关罐根据已知条件可知△AE≌△BFE≌ △CGF≌△DHG,进而证明四边形EFGH是正方 形，由AE为x,可得AH=1-x,利用勾股定理表示 出小正方形EFGH的面积，进而求得S关于x的函 数解析式，据此求解即可. ②士思路别析：四边形ABCD是正方形，∴.AB= BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90 又AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH .△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS), ∴.EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,.四边形 EFGH是菱形.：∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+ ∠AEH=90°，∴，∠HEF=90°，∴，四边形EFGH是正 方形.由AE=x,可得BE=AH=1-x.根据勾股定 理，得EH=AE2+AH,即S=x2+(1-x)2=2x2- 2x+1=2(2-)+1=2(-+}-)+1= 2(x-)+】心所求函数图象是一条开口向上 的抛物线，对称轴是直线：=子由题意可知自变量 的取值范围是0<x<1.故选B. 【中考风向】函数图象的分析与判断是中考的重要 考点，难度适中，旨在考查学生灵活运用函数知识 和对动点问题的分析能力。 8.①解抛关罐由抛物线的增城性得到抛物线开口 向下，则a-2<0,解不等式即可， ②出思路剖析“：抛物线y=(a-2)x2在对称轴左 侧的部分是上升的，，抛物线开口向下，，-2< 0,解得a<2. 60 9.0解题关健先求出该抛物线的对称轴，再根据 抛物线的对称性及与x抽的一个交点(1,0)求解 即可， 单②出思路制折：抛物线y=ax2+2ax+e=a(x+ 1)2-a+c,该抛物线的对称轴是直线x=-1. :抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐 标是(1,0)，∴.该抛物线与x轴的另一个交点的坐 标是(-3,0). ③提升点拔利用抛物线的对称性求函数图象与 x轴的交点坐标的关键点：函数图象与x轴两交点 到对称轴的距离相等. 10.①解题关罐观察表格确定抛物线的对称轴及 开口方向，利用二次函数的对称性判断出 x=0或-4时，y=-3,然后写出y<-3时，x的 取值范国即可 第②想路剖析由表格可知，二次函数图象的对 称轴为直线x=-2,抛物线的开口向下，且x=0 或-4时，y=-3,所以当y<-3时，x的取值范 围是x<-4或x>0. ③中绿升点拔学会从表格中提取二次函数的关 键信息，如根据表格数据的对称性确定对称轴的 位置，根据函数值的增减性确定开口方向等， 11.m0+解题关键(1)由表格可知，y与x之间为一 次函数关系，故设y=kx+b,利用待定系数法求解 即可；(2)根据总利润=每亩利润×亩数，分0< x≤15和15<x≤50两种情况求解即可. 常②+参考警案解：(1)设y=灯+b, 将x=20,y=1800和x=30,y=1600代人， 得20k+6=1800. 30k+b=1600. 解得/=-20. 1b=2200 .y=-20x+2200: (2)当0<x≤15时，W=1900x, ∴.当x=15时，Wm=28500: 当15<x≤50时，W=(-20x+2200)x= -20x2+2200x=-20(x-55)2+60500. "”x≤50， ∴.当x=50时，Wx=60000. 综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最 大，最大值为60000元. ©出提升点泼二次函数的实际应用，一般涉及 的考法有：(1)待定系数法求函数解析式：(2)根 据题意利用等量关系列出函数解析式或方程解决 最值问题. 12.0解题关(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 y=x+br+3求解即可：(2)根据抛物线的对称 性得到PA=PB,当B,P,C三点共线时，△PAC的 周长取得最小值，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，进而求出点P的坐标，对于S△W= SAe,利用底相等，将面积问题转化为高的问题， 根据直线AP的解析式求出直线CM的解析式，联 立直线CM和抛物线的解析式求解即可 ②+参考答案解：(1)将点A(-1,0),B(3,0)代 入y=ax2+br+3, 得0=a-6+3, 0=9a+3b+3. 解得=-1， b=2. .抛物线的解析式为y=-x+2x+3: (2)存在理由如下：如图，连接BC,PB,则PA=PB, ∴当B,P,C三点共线时，△PAC的周长取得最 小值 设点P(1,m),直线BC的解析式为y=x+3, 将点B(3,0)代人y=x+3,得3+3=0， 解得k=-1, ∴，直线BC的解析式为y=-x+3. 当x=1时，y=2,.m=2, 故点P(1,2). SAPAN SAPMC ,当以PA为底时，两三角形等高， ,点C和点M到直线PA的距离相等 点M在x轴上方，∴.CM∥PA 设直线AP的解析式为y=r+d, 将A(-1,0),P(1,2)代入，得 {0释得化 p+d=2, 直线AP的解析式为y=x+1, ∴.直线CM的解析式为y=x+3. 联立本+3. ly=-x2+2x+3, 3,(舍去)1， 解得0， 53=4, .点M的坐标为(1,4). ￥③提升点搬对于二次函数的综合题，应充分 掌握用待定系数法求函数表达式、利用二次函数 的对称性求三角形周长最小值以及平面直角坐标 系中点的坐标特征与线段之间的关系，与此同时 注意数形结合和分类讨论思想的运用 综合训练三 函 数 1.A2.C3.C4.B 5.16.2w5-27.S1=45 1.0中解题关键根据k<0得出一次西数的增减性， 再比较大小即可 参考否率与解析 @思暗折点A(子m),点B(.)是直线 y=x+b上的两点，且k<0,.一次函数y随x的 增大面波小~名>习.m<散适A 【中考风向】一次函数的图象与性质是中考必考知 识点，题目难度不大，题型灵活多样，学生要注重知 识的迁移与运用. 2.0中解题关利用函数图象的坐标变化规律即可 求解 ￥②中思路部析由题中函数图象可知，细质量缩减 一半的时间为1620年，所以32mg缩减到16mg 需要1620年，16mg缩减到8mg需要1620年。 8mg缩减到4mg需要1620年，4mg缩减到 2mg需要1620年，2mg缩减到1mg需要1620 年，所以32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是 1620×5=8100年.故选C. 【核心素养】用图象描述实际何题中的变化过程， 分析问题，考查了几何直观和模型观念的核心 素养 3.0击解题关雠通过作辅助线将△ABC的面积转化 为△ABO的面积，再根据反比例函数中（的几何意 义解决问题， ￥@思路制析如图，连接OA,OB,设AB与y轴交 于点M.:AB∥x轴，点A 在双曲线=2(：>0)上， 点B在双曲线=(x< 0)上Sa0w=2×121=l,Samw=2 k=-2 S么m=Sate=6,S△AM+S△nw=SaM,.1 之=6k=-10.放选C 【中考风向】反比例函数中k的几何意义是中考的 高频考点，主要考查以反比例函数图象上的点为项 点的矩形或三角形的面积问题，题型多样，属于中 档题 4.里0出解题关键由二次函数图象的开口向上，函数 有最小值，可判断①：由二次函数的增减性可判斯 ②：由二次函数图象的平移可判断③：由二次函数 图象与x抽的交点坐标可判断④， ②+思路副析，抛物线y=(x-2)2-9,∴抛物 线开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为 (2,-9),∴当x=2时，y取得最小值-9，故①正 确：当x>2时，y随x的增大而增大.：4>3， ∴y>y1,故②正确：将函数图象向左平移3个单位 长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数 表达式为y=(x+1)2-5,故③错误：令(x-2)2 9=0,解得1=-1，x=5,.5-（-1)=6,故④正 确.综上所述，正确的有①②④.故选B. 【中考风向】二次函数是中考中的重难点，选择、填 61 中考基脚周1000题 空，解答题都有涉及，综合性较强，难度稍大， 5.①中解题关圆本题考查抛物线和x抽的交，点 2思路制折根据题意，得△=b2-4ac=4-4k= 0,解得k=1. 【中考风向】中考中单独考查一元二次方程根的判 别式的应用是近年来的命题趋势，主要包括：利用根 的判别式求字母的值或取值范围：利用根的判别式 判断方程根的个数：利用根的判别式求代数式的值. 6.①中解腿关罐利用待定系数法求出西数解析式， 设点C的横坐标为m,根据正方形的边长CD=CE 得到点E的坐标，代入解析式即可求解 8#思路剖折把点A(2,4)代入y=ax2,得4= 4a,解得a=1,∴.y=x2.设点C的横坐标为m,则 CD=CE=2m,点E的坐标为(m,4-2m), ∴.m2=4-2m,解得m1=-1-√5（舍去），m2= -1+5,,CD=2m=25-2 【核心素养】用图象直观分析问题，结合正方形的 性质表示出点的坐标，考查了几何直观的核心 素养， 7.0+解题关理解反比例函数中比例系数k的几 何意义，用含k的式子分别表示出S,S2,S,S,从 而得出S,与S,的数量关系 量②思路剖析·，过双曲线上任意一点向坐标轴作 垂线所围成的矩形面积是一个定值，OA,=A,A2= 44=44…S=6,=,s==. ·S,=4S4 第O提开点拨过双曲线上任意一点作x轴，y轴 的垂线，所得矩形的面积为1k1, 8.0*解题关键由y=-3x+k求得，点C的坐标，进 而得出点B的横坐标，代入y=上即可得出点B的 坐标，从而求得点D的坐标，代入y=-3x+k即可 求解 日参考答案解：把y=0代人y=-3x+k, 得 C的坐标为(.0)。 ~BC1x轴，点B的横坐标为宁 把=学代入y兰得y=3 ÷点B的坐标为（夸，3） 点D为AB的中点，AD=BD, ∴点D的坐标为（专，3）。 ,点D在直线y=-3x+k上， 六3-3×若+6，解得6=6 带③提升点拨待定系数法是求反比例函数解析 62 式、一次函数解析式的常用方法。 9.第0中解题关體(1)由矩形的性质及中点坐标公式 可得点D的坐标，进而求出反比例函数表达式，再 求出，点E,F的坐标，用待定系数法求出一次西数 表达式：(2)作点E关于x轴的对称点E',连接E'F 交x轴于点P,此时PE+PF最小求出直线EF 的表达式后令y=0,即可得出点P的坐标 ②中参考答案解：(1)在四边形O4BC为矩形， OA=BC=2,0C=4, 点B的坐标为(4,2). 点D是OB的中点，∴.点D的坐标为(2,1). 反比例函数y=4（x>0)的图象经过点D, .h1=y=2×1=2, 故反比例函数的表达式为y=之 令y=2,则x=1;令x=4,则)y=2 1 故点E,F的坐标分别为1,2)，(4,7》。 将点E(1,2),F(4,)代人一次函数y=6x+ b,得 r2=h2+b, k2= 2 =4%+6, 1 解得{ 5 b=2' 5 故一次函数的表达式为y=-2+2: 1 (2)如图，作点E关于x轴的对称点E',连接EF 交x轴于点P,则此时PE+PF的值最小 由(1)可知，点E的 坐标为(1,2)， 点E关于x轴的 对称点E的坐标为 (1,-2). 设直线EF的表达 式为y=mx+n,将 点E1,-2).F4,代入，得 5 -2=m+, m=6' 1 解得 2 =4m+n, 17 n=- 6 故直线P的表达式为=名-名 令y=0.得名-名=0.解得x=号 6x-6 ∴点P的坐标为（号，0）。 故答案为（号.0）。 【核心素养】在反比例函数问题中，常通过联立方