第8讲 反比例函数-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基醒题1000题 解得=2， y=2, .点C的坐标是(2,2) 55w=7×0xel=7x6x2=6: (3)存在.理由如下： 如图，作点C关于x轴的 对称点C',连接BC交x h、B 轴于点E,则点E即为 所求. 设点C(2,2)关于x轴的 对称点C为(2，-2)， △BCE的周长=BC+ BE+CE=BC+BE+C'E=BC+BC时取最小值. 设经过点C(2,-2)和点B(-1,5)的函数解析 式是y=mx+n(m≠0)， 则2m+n=-2, -m+n=5. 7 m== 解得 3 -8 n=3 小直线®C的解折式是y=一子+号， 令y=0,则-子+号=0，解得=号 故点E的坐标是（号，0）.。 ©+提升点拨一次函数的几何应用一面积间 题，学会转化坐标和线段，并能根据坐标确定三角 形的底和高。 第八讲 反比例函数 母题精研1 反比例函数的图象与性质 秘基础 1C2D3.D4.A5.y=-2(答案不难-） 6.< 1.0解题关量先将(2，-3)代入y=冬求出k的 值，再验证选项中横、纵坐标的积是否等于片的值 即可 8士思路新“反比例函数了=女气（体≠0）的图象 经过点(2，-3)，.k=2×(-3)=-6.-2× (-3)=6≠-6，故A选项错误；(-3)×(-2)= 6≠-6，故B选项错误；1×(-6)=-6，故C选项 正确：6×1=6≠-6，故D选项错误 ③提升点碳本题还可以先将已知点代入求出反 比例函数的解析式，再代入选项验证答案。 46 2.①+关罐根据反比例函数的图象与性质逐项 判断即可. @想路折在反比例函数y=。中，k=6>0, “.该反比例函数的图象经过第一、三象限，故A选 项正确：将(4,2)代入反比例函数y=,等号成 立，故B选项正确；反比例函数的图象无限接近于 坐标轴，但永远不与坐标轴相交，故C选项正确；在 反比例函数y=6中，k=6>0,六在每一个象限内， y随x的增大而减小，故D选项错误 ③+提升点拨反比例函数的增减性不是连续的， 因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象 限内的增减情况.当k>0时，在每一象限（第一、三 象限)y随x的增大而减小，但不能笼统地说当 k>0时，y随x的增大而减小.同样，当k<0时，也 不能笼统地说y随x的增大而增大. 3.■①解题关谴根据k的符号判断该反比例函数的 增减性，结合各点的横坐标比较大小即可 =8+怎路制折在反比例函数y=4中，k=4>0, ·在每一个象限内，y随x的增大而减小.：1<2< 3<4,,>y2>y>y4,.最小的是y4故选D. ③+提升点拔本意还可以先将每个点代入函数解 析式计算求出y的值，再进行判断. 4.常0中解题关明掌握反比例函数的自变量x的取值 范围，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函 数的增减性即可解题 ②思商副析：所有反比例函数中自变量x的取 值范围都是x≠0，∴.①说法正确；：-3×2=-6= ,一②说法正确；k=3>0,反比例函数y=3 的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， .③说法错误.故选A ③出调升点拔增减性、点的坐标特征是反比例函 数的图象与性质的常考点，注意k的符号和函数增 减性的关系，不要跟一次函数中k的性质弄混， 5.0+鲜题关健根据反比例函数的图象所在的象限 得出k<0即可解题. ②思路翻析，该反比例函数的图象在第二、四 象限，∴k<0,写一个k<0的反比例函数即可，如： y=-子（答案不唯-小 ③提升点暖已知“反比例函数的图象所在象 限”“反比例函数的增减性”及“比例系数k的符 号”中的一个就可以得出另外两个 6.0出解题关疆先根据不等式的性质判断2m-1 的符号，再根据反比例函数的增减性判断即可 0里路断：m<分2m-1<0在每一个 象限内，y随x的增大而增大，0<1<3，∴y1<y2 ©升点碳对于反比例函数比较大小问题，建 议结合图象分析，考虑所此较的两个点是否在同一 个象限内 足提升 1.B2.C3.k<04.a>1 1.喘0中解题关罐先利用反比例函数的增诚性判断 的特号，再利用一次函数的图象与性质判断即可 8思路制斯在反比例函数y=冬中，当x<0 时，y随x的增大而减小，∴k>0,-k<0,一次 函数y=一x+k的图象经过第一、二、四象限.故 选B. 2.0解题关键根据2+1>0判断反比例函数的 增减性，再根据其坐标特点解题即可 第②思路别析：2+1>0，∴.反比例函数的图象 经过第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增 大而减小.：x1<0<x2<3,少：<0，y2>当>0， y<y<2,故选C 3.@中解题关键利用反比例函数的增减性判断k的 符号即可 第②想路别折点A(x1,y1),B(x1+1,y2)是反 比例函数y=图象上的两点，且当0<名1<x,+1 时，为<y2,k<0. ©提升点拔熟练掌握函数的增减性在x,y的关 系中的表述：在同一象限内，当x1<为时，少1<2，函 数为增函数；在同一象限内，当x1<x2时，y1>y2,函 数为减函数 4.①解题关根据k的符号确定反比例函数图象 所在象限，再根据反比例函效的增减性列出关于α 的不等式求解即可 @需路听k>0,反比例函数y=本的图 象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增 大而减小.0<为1<y2,.点(2a-1,y1),（a,2)） 都在第一象限，∴2a-1>a,解得a>1. ③提升点拨在反比例函数比较大小问题上，注 意明确题意，关注点的分布是否在同一象限内. 母题精研2反比例函数解析式的确定 税基础 1.A2.C3.y=-24.-125.-4 1.m①+解题关罐过点A作AC⊥0B,利用等腰三角 形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可解题 ②思路副所如图，过点A 作AC⊥OB,交OB于点C A0=AB,0B=6,∴.0C= BC=3.在Rt△A0C中，A0= 5,由勾股定理，得AC= 402-0C=√52-32=4， .A(-3,4),k=-3×4=-12.故选A 参考荟案与解新 O提升点送求反比例函数的k值或解析式时， 常需转化为求函数图象上点的坐标问题来求解 2.0解题关罐根据反比例函数中比例系数k的几 何意义求解即可 ②思路剧所如图，设AB交y轴于点T. ,两个反比例函数的k值分别 为-1和4，.S△0r= 2 Saar=2,S△0B=S608r+ 5 S6m=号故选C 回阳國盟反比例函数y=冬中比例系数k的几 何意义： (1)如图1，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的 垂线，所得矩形的面积为k1, 5OF·EF SrwN=P·PV =i=I /Eu.y) 图1 图2 (2)如图2，过双曲线上任意一点作一条坐标轴 的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积 为婴 3.0+鲜题关罐本题考查用待定系数法求反比例函 数的解析式，只需要一个点的坐标即可求解。 ?0思路听设反比例函数的解析式为y=兰 (k0),将点(1，-2)代入y=,得k=-2,则该 反比例函数的解析式为y=-2 ￥⊙出升点湖用待定系数法求反比例函数解析式 的一般步骤：设出解析式、代入点坐标、求出比例系 数k、回代确定解析式， 4,①解题关量根据反比例函数中比例系数k的几 何意义，确定S△40g与k的数量关系即可求解 0时E路折：AB上B0,SAm=兰=6， ∴，Ik1=12.,该反比例函数的图象经过第二象限， .k<0,∴.k=-12. ③姆升点嫩在根据反比例函数中比例系数k的 几何意义求k值时，注意根据图象所在象限确定k 的符号. 5.触①解题关罐连接OA,利用平行线间的距离处处 相等及三角形中线的性质得出S△Ac=2S△D0,再 利用反比例函数中比例系数的几何意义求解 即可 47 中考基题1000题 @#思路别析如图，连接OA AB⊥y轴，.AB∥OC. 又：点D是线段AB的中点， .SaA8c=2S△00-又-S△0= 2,5c=4,÷1k1=4 ,该反比例函数的图象经过 第二象限，k<0,.k=-4 ③提开点爆在考查反比例函数中比例系数k的 几何意义时，常涉及面积转化问题，注意根据“同 底”或“同高”转化成需要的形式解题。 促提升 1.B2.y=-2 3.8 1.0中聊班关罐根据三角形中线的性质得出S640附= 2SA0C,再根据反比例函数中比例系数k的几何意 义求解即可 ②#思路别所，C是OB的中点，∴，AC是△AOB 的中线56w=25=4:B1x轴岁 S6Ow=4,.k|=8.反比例函数的图象经过第 一象限，.k>0,.k=8.故选B. 2.单0+解题关罐根据轴对称的性质求得，点A'的坐 标，并将共代入了=宁求得m的值，再利用待定系 数法求解即可 ②思路副斯，点A'与点A关于y轴对称，点 A(-2,m),.点A'(2,m).点A'在正比例函数 y=7的图象上m=号×2=1，点A(-2,1) 点A(-2,1)在这个反比例函数的图象上，∴这 个反比例函数的表达式为y=-召 3.￥0中解题关罐连接OA,OB,根据“同底等高”推出 S AAOB=S6PB=2,再根据SA40c-SA0C=SAAOR,列 方程求解即可 ②思路别析如图，连接OA,OB. 12 -=(x>0】 B=0 0 ?AC1x轴，且SAPB=2,·Sa40B=SaPm=2. |k1 SAOC-SAmOc =SAO,SAAOC=6,SAm0c =2 6-空=211=8：反比例函数的图象经过 第一象限，∴.k>0,k=8. ③+提升点拔解决此类问题时，面积的转化是关 键，将三角形的一个顶点移动到原点，即可回归反 比例函数k的几何意义模型 48 母题精研3反比例函数的应用 稳基础 1.D2.D 1.0解抛关键利用待定系数法求得【，k的值，利 用直线y,的解析式求得点A,B的坐标，进而判断 △AOB的形状，结合函数图象判断2与y1的 大小 ®思腾断~点P在双曲线2=2上，六将点 P1,)代入为=子，得1=2，故A选项正确：此时 点P的坐标为(1,2)，将P(1,2)代入为1=x+1, 得2=k+1,解得k=1,故C选项正确；在直线y1= x+1中，令y=0,得x=-1,令x=0,得y=1,∴点 A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(0,1)，∴，OA= 1,OB=1,∴△AOB是等腰直角三角形，故B选项 正确；由图象可知，当x>1时，y2<y,故D选项 错误 2.0解题关罐设直线AB与y轴交于点D,根据 Saw=aam+5am=20D:l,l1+20D:l 求解即可. ©中思路折：点A(- m -2m)在反比例函数y=m的图 象上，m=(-)·(-2m)= D m 1 2,点A的坐标为(-2，-4)， 点B的坐标为(2,1).如图，设直线AB与y轴交于 点D,将点B(2,1)代人y=2x+n,得1=2×2+n, ∴n=-3,∴.直线AB的解析式为y=2x-3,直 线AB与y轴的交点D的坐标为(0，-3)，∴.OD= 3,S6w=Sa0a:+Sa0am=20D:ll+20D 1=分×3×分+×3x2=卓放选D 1 1,1 量③中提升点碳在平面直角坐标系中，解决与面积 有关的问题时，要会求出点到坐标轴的距离，在求 面积时，要会应用转化方法，将图形补成规则的图 形或将图形分割成规则的图形进行求解. 30解题关量()起点4(m,2)代入y=兰求得m 的值，从而得出点A的坐标，再利用待定系数法求 得k值即可(2)画出正比例函数y=:的图象，求 出正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应 的x的取值范固即可。 Q+参考答案解：(1)将点A(m,2)代入反比例函 数总得52. 解得m=3,.A(3,2) 将点A(3,2)代人正比例函数y=x,得3k=2, 解得女一子 2 (2)正比例函数y=了x的图象如图所示： 由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为-3<x<0或x>3. ③提升点拔对于反比例函数和一次函数的交点 问题，临界点（交点）是突破点，直接根据图象，比 较函数图象的高低即可解不等式。 4.0解题关罐(1)先用待定系数法求得反比例函 数的解析式，再将x=45代入解析式，即可得出点 A对应的指标值；(2)利用待定系数法求出线段AB 的解析式，令y≥36，得到x的取值范围，同样令反 比例函数y≥36得到x的取值范围，两范固作差与 17比较大小即可. 8=参考答案解：(1)设当20≤x≤45时，反比例 函数的解析式为y=冬(k≠0)， 将C(20,45)代人y=卓，得45=六解得k=90, 900 反比例函数的解析式为y= 当x=45时，y=45 900 =20 .D(45,20), ∴A(0,20),即点A对应的指标值为20： (2)当0≤x<10时，设线段AB的解析式为y= mx+n(m≠0)， 将A(0,20),B(10,45)代人y=mx+n,得 解得/ms 5 20=n, 2 45=10m+n ln=20, 线段4B的解析式为y=子+20(0≤x<10)。 令y≥36，则字+20≥36，解得≥号 由(1)知，反比例函数的解析式为y=900(20≤ x≤45)， 令y≥36，则900≥36，解得x≤25， 当号≤x≤25时，注意力指标都不低于36，面 25-号-号>n, 参考荟案与解新 ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听这道综合 题的讲解时，注意力指标都不低于36. ￥③+提升点拨对于反比例函数的实际应用题，常 结合图象分析分段函数，学会将实际问题转化为数 学模型，在写每一段函数解析式时，注意标注自变 量x的取值范围。 促提升 1.D2.(2,-22)或(-2,22) 1.￥0中解题关爆观察图象可得两函数图象交点的横 坐标分别为-1,1，以交点为分界点，找到正比例函 数图象在反比例函数图象上方的部分即可求解. 8+思路副所观察图象可知，当-1<x<0或x> 1时，>2，即2x>2.故选D. ③提升点嫩解决反比例函数与一次函数的综合 问题，注意交点坐标表示的意义， 2.=0+蝉题关罐设A点坐标为(a,-2a),利用轴对 称的性质表示出B点坐标，根据点B在反比例函 数y=生的图象上，列方程求解即可 ②出思路脚所：点A在直线y=-2x上，·可设 点A的坐标为(a,-2a),则点A关于y轴对称的 点B为(-a,-2a).由点B在反比例函数y=4的 图象上可得2a2=4,解得a=±2，.A(2,-22)》 或(-2,22) 3.里0中解题关键(1)将点A代入反比例函数y= _10求出m的值，进而求出一次函数的表达式，再 将点B代入一次函数表达式求出n的值，利用待定 系数法求出反比例画数y=女的表达式即可： (2)先利用一次函数表达式求出点C的坐标，再利 用Sm=Sae+SAc=20C.lxl+20C· 1xg|求解即可. ②+参考答案解：(1)：点A(-2,m)在反比例函 数y=-10的图象上， .-2m=-10,解得m=5, 点A的坐标为(-2,5) 将A(-2,5)代入y=-2+b, 得5=1+b,解得b=4, ·一次函数的表达式为y=一2x+4, 1 将B(4,n)代人y=-2+4,得n=-2+4=2, .点B的坐标为(4,2) “点B在反比例函数y=的图象上， ∴.k=4×2=8, 49 中考基础题1000题 六反比例函数的表达式为y= (2)把=0代入y=-子+4，得y=4, .0C=4, SAm=Sae+5Ae=2x4x2+7×4× 4=12. ③出提升点拨解决反比例函数与一次函数的综合 问题，数形结合是常用的数学思想，在计算三角形 面积时，可以使用“铅锤法”求解，或借助点坐标用 间接法求解， 4.0鲜题关键(1)将点B,A的坐标代入反比例函 数的解析式，求得k,a的值，再利用待定系数法求 一次函数的解析式即可；(2)先求出点C的坐标， 再将Sm地cow>3转化为关于t的不等式求解 即可 ②参考答溪解：(1)：反比例函数y=大的图象 与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,-1), B(-1,3)两点， ∴.k=-1×3=a×(-1) ∴k=-3,a=3, 六点A(3,-1),反比例函数的解析式为y=-3 将点A(3,-1),B(-1,3)分别代入一次函数y= mr+n,得3m+n三解得m三，-1， l-m+n=3, n=2, 一次函数的解析式为y=一x+2: (2),直线AB交y轴于点C, ∴.点C(0,2),0C=2, 3.1 六S得边形00w=Sa0w+S60Cv=2+2×2X Sg边形c0Mw>3, 31 2+2×2x1>3, 解得>号 O]提升点拨反比例函数与几何图形的综合考 查，是数与形的有机结合，体现数形结合的重要思 想，准确把握点坐标一线段长一面积的灵活转化是 关键。 直题改编科学借鉴 1.B2.D3.A4.12 1.0+解题关量分别取k>0和k<0时，反比例函 数y=:与一次函数y=批+2在同一平面直角坐 标系中的情况比较分析即可， =®想路折当k>0时，反比例函数y=车的图 象经过第一、三象限，一次函数y=x+2的图象经 过第一、二、三象限，故A,D选项错误，B选项正 50 确：当<0时，反比例函数y=女的图象在第二四 象限，一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、四 象限，故C选项错误 ■©+提升点拨解决函数图象的综合分析问题，可 以正向分析，如从系数的正负来考虑，也可以从选 项直接判断： 2.0+解题关疆先利用待定系数法求出反比例函数 的解析式，再利用反比例函数的图象与性质进行判 断即可 单O思路制所~反比例函数y=本的图象经过点 (-3,1),,k=-3×1=-3,故A选项正确； k=-3<0,∴反比例函数的图象经过第二、四象 限，故B选项正确；反比例函数的解析式为y= -将(3，-代人解析式，等式成立，故C选项 正确；，k=-3<0,∴.当x>0时，y随x的增大而 增大，故D选项错误 ③中提升点碳反比例函数图象的两支的增减性一 致，在描述时要分开· 3.0+解题关键利用反比例函数中比例系数k的几 何意义得到S△AOB=SADc8,将A,B两点的横坐标 代入反比例函数解析式，可得A,B两点的纵坐标， 利用梯形的面积公式列出关于k的方程求解即可， ②中思路副析如图，分别 过点A作AD⊥x轴于点D, 过点B作BC⊥x轴于点C. “A,B是反比例函数y= 图象上的两点，.S△om= Sx=乞：Sam S△A0w+S#形ADCn=S△40m+S△B0C,S△A0B=S#卷DC 2,学.4，会×2+)=3，解得 k=4.故选A 4.0+解题关键在Rt△AOB中，由勾股定理可得三 边关系，结合完全平方公式即可得到OB+AB的 值，进一步求得周长即可 @患路析设点A的坐标是(a,-b),则ab= 12.0A=5,∴a2+b2=25,.(a+b)2=a2+b2+ 2ab=25+2×12=49.a+b>0,.a+b=7, ∴，△A0B的周长为7+5=12. ③出提升点搬对于反比例函数的几何问题，从问 题出发，考虑周长的构成，逆向推导，思路会逐渐 形成 5.￥0中解题关键(1)将点A分别代入一次函数y1= 心+1与反比倒函数力=即可求解：(2)利用描 点法画出两函数图象，并找到一次函数图象在反比 例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可， m②#参考答常解：(1)：一次函数y1=x+1的图 象与反比例函数2=二的图象都经过点A(2,-1), -1=2n+1,-1= 2 解得n=-1,t=-2; (2)画出函数图象如图 所示： 观察图象可知，当0<x<2 或x<-1时，为1>y2 【中考风向】反比例函数与一次函数的交点问题属 于中考常考题型，难度适中，准确把握交点的位置 和意义，注意联系函数、方程及不等式的关系。 6.0+鲜题关罐(1)由，点A的坐标表示出点B的坐 标和AB的长，进而表示出BC的长，将S AABC=3转 化为关于的方程，解之可得点A的坐标，再利用 待定系数法求解即可；(2)利用一次函数表达式求 出，点D的坐标，进而得出OD的长，再利用三角形 的面积公式求解即可， ②参考答案解：(1)：AB⊥x轴于点B,点A(n, 2),点B(n,0),AB=2. 点C(1,0), ∴.BC=n-1, Sm=2B:BC=a-1=3. 解得n=4, 点A(4,2) ·点A在反比例函数y=的图象上， ∴.m=4×2=8, “反比例函数的表达式为了= 将A(4,2),C(1,0)代人y=kx+b, 2 得4张+6=2， k=3 解得 k+b=0. 一次函数的表达式为y=子 3 22 (2)将x=0代入y=3*- 点D0,-号》， 50=号 5a=2Bc00=7x3x号=1 ③#提升点烟反比例函数的几何综合中涉及三角 形面积，一般可回归基本的底和高的关系，结合函 数解析式可构建方程求解。 参考荟案与解新 模拟精选强化提开 1.D2.B3.D4.C5.C6.C 1.0解题关键根据反比例函数的图象所在的象限 判定a-2的特号，进而求解. ②#思腾制析：反比例函数的图象经过第一、三 象限，∴.a-2>0,∴.a>2.故选D. 2.0生鲜题关键利用待定系数法求得反比例函数的 解析式，再将点B(-2,a)代入所得解析式求解 即可 ®时思路翻所~点A(2,4)在反比例函数y=左 的图象上，k=2×4=8,∴.反比例函数的解析式 为y=受“点8(-2.)在反比例函数y=兰的图 象上，.-2a=8,∴.a=-4.故选B. ③+升点拨解决此类问题的关键在于明确k= y为定值，注意根据条件确定解题顺序. 3.O中解班关继根据反比例函数中比例系数k的几 何意义得出S,+S形=S2+S酬影=1k|是解题的 关键 ®想路听：A,B两点在双曲线y=4上， S1+S阳w=S2+S阴s=1k|=4.S阴s=1,S1+ S2=8-2=6.故选D. 佩O出提升点碳过反比例函数图象上一点，分别向 x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是 定值Ik,注意根据图象所在象限确定k的符号. 4.0卡解题关根据反比例函数的图象与性质逐项 判断即可， ②思路副析将点(1,5)代人反比例函数y= ,等式不成立，故A选项错误；k=-5<0, ∴，它的图象在第二、四象限，故B选项错误；k= -5<0,∴.在函数的每一支上，y随x的增大而增 大，故C选项正确，D选项错误 5.0解题关惯先求出路程，再由等量关系“速 度=路程÷时间”列出关系式即可 ②中思路制析由汽车以80千米/时的平均速度用 了6小时到达目的地可知，甲乙两地的路程为80× 6=480(千米)，∴.汽车的平均速度v(千米/时)与 时间（时）的函数关系为=40放选C ③中提升点w反比例函数的实际应用常涉及行程 问题、工程问题、物理电流电阻和电压的关系等，解 决这些问题要善于总结常见公式及其变形 6.华0中解题关键根据函数图象提取关键信息，利用 待定系数法求出函数解析式并分析判断即可 ②出患路脚析由函数图象可得5月份该厂的月利 润最低为60万元，故A选项正确：治污改造完成 后，从5月到7月，月利润从60万元增加到120万 元，所以每月利润比前一个月增加30万元，故B选 51 中考基础题1000题 项正确；设反比例函数的解析式为y=女，则k: 30,所以y=309,令y=120,得120=309，解得 ,所以只有3月，4月，5月，6月，7月，共5个月 5 的月利润不超过120万元，故C选项错误：设一次 函数的解析式为y=x+6,则a+h=60,解得 17a+b=120. 6=90,所以一次函数的解析式为y=30x-90, Ia=30, 令y=300,得300=30x-90,解得x=13,则13- 5=8,所以治污改造完成后的第8个月，该厂月利 润达到300万元，故D选项正确 ③提升点碳解决反比例函数图象的实际问题 时，首先应明确两坐标轴表示的意义，再解决问题。 7.0+解睡关疆(1)观察表中数据发现x与y的乘 积都是120，可得y与x成反比例关系，用待定系数 法求解即可；(2)根据题意找到等量关系：销售利 润=（销售单价-进价）×日销售量，进而确定W 与x的函数关系式，再根据函数的增减性及售价最 高不超过10元/根，求解即可 @每考答案解：(1).3×40=120,4×30=120， 5×24=120,6×20=120 y与x成反比例 设了=卓（化为常数且k0), 将点（3,40)代入y=兰得k=120, 故y=120, (2)能.理由如下： 根据愿意，得W=(x-2y=120-20,即随x的增 大而增大 又，x≤10 当x=10时，W大=96. 答：商品日销售最大利润为96元. ③中提升点拨正比例函数和反比例函数的区别： 正比例函数中x和y的比值为定值，反比例函数中 x和y的乘积为定值 8.①中解关(1)用待定系数法求出反比例函数 的表达式，进而求出n的值，再利用待定系数法求 一次函数的表达式即可；(2)先求出直线AB与x 轴的交点C的坐标，再根据S△A0=S△AOc+S△0c求 解即可：(3)观察图象，找到一次函数图象在反比 例函数图象上方的部分即可求解 ■②出参考答案解：(1)：点A(-4,2)在反比例函 数y=m的图象上， .m=(-4)×2=-8, 六反比例函数的表达式为y=-8 52 ~点B(2,)在反比例函数y=-的图象上， n=-4,即B(2,-4) 将点A(-4,2),B(2,-4)代入一次函数y=kx+ 6得b0:解得6之 k=-1, 故一次函数的表达式为y=-x-2; (2)在一次函数y=-x-2中， 令y=0,则-x-2=0,解得x=-2, C(-2,0),.0C=2, 5am=5ac+5ae-20Cll+20c ll=号x2x2+7×2x4=6: (3)观察两函数图象可知，当x<-4或0<x<2 时，一次函数值大于反比例函数值. 9.0少解题关雕(1)用待定系数法求得反比例函数 的表达式，进而求得m的值，再利用待定系数法求 一次函数的表达式即可；(2)根据图象，找到一次 函数图象在反比例函效图象上方的部分即可求解； (3)根据点A,B的纵坐标求得AD的长，再由AD= 3CD,求得CD的长即可求解. ®参考餐碳解：(1)将A(1,2)代人为=兰，得 k=2, 六反比例函数的表达式为为=是 点B(-2,m)在反比例函数的图象上， 2 六m=2=-1 ∴B(-2,-1). 将A(1,2),B(-2,-1)代入一次函数y1=ax+b, 得巴2治61.年得8士： .一次函数的表达式为1=x+1 (2)观察图象可知，当为1>y,时x的取值范围为 -2<x<0或x>1; (3)点A(1,2),D(1,-1), ∴AD=2-(-1)=3. 又AD=3CD,∴，CD=1, 点C的坐标为(0，-1)或(2，-1) 10.0#解题关键(1)将点A(1,a)代入y=-x+3, 得到a的值，再利用待定系数法求解即可；(2)过 点A作AD⊥x轴于点D,利用两点间的距离公式 得出AC的长，再分AC=AP和AC=CP两种情况 求解即可 0*参考案解：(1)将点A(1,a)代入y= -x+3, 得a=2,故A(1,2). 将点4(1,2)代入反比例函数了=兰 得k=1×2=2, 放反比例函数的表达式为y=2 (2)如图，过点A作 AD⊥x轴于点D. :一次函数y=-x+3 的图象与x轴交于 点C, .C(3,0). O D 又A(1,2), .AC=√(1-3)2+(2-0)7=22,0D=1, CD =AD =2. 当AC=AP时，PD=CD=2, .P(-1,0): 当AC=CP=22时，0P=3-22或3+22， ∴.P(3-22,0)或(3+22,0) 综上所述，P(-1,0)或(3-22,0)或(3+22,0)： 回回图围两点间的距离公式：已知平面直角坐 标系中有A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB的长 度=√（为-）+(y2-y). 第九进 二次函数 母题精研1二次函数的图象与性质 稳基础 1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.D8.(3,5) 1.@解题关键根据二次函数图象的对称轴为直线 一名求解即可：注意不要丢棉公式前面的负号。 ②#思路别折在二次函数y=x2+2x+2中，a= 1,6=2对称轴为直线=会=-1放选八 2.0中鲜题关键根据当x>0时，y随x的增大而增 大判断抛物线的开口方向，进而求解 第②*思路制析二次函数y=(a-1)x2,当x>0 时，y随x的增大而增大，∴.抛物线开口向上， ,.a-1>0,∴a>1.故选B. ③提升点级二次函数的增减性与开口方向，对 称轴有关，判断时要同时考虑这两个因素 3.0解题关罐根据二次函数y=a(x-h)2+k的 图象与性质逐项判断即可. 28思路制所在函数y=(x-1)2+5中，二次项 系数为1,1>0，所以函数图象的开口向上，故A选 项错误；函数图象的顶点坐标是(1,5)，故B选项 错误；函数图象的开口向上，有最小值为5，故C选 项错误：函数图象的对称轴为直线x=1,当x>1 时，y随x的增大而增大，故D选项正确。 mO=提升点拨二次函数的项点式为y=a(x-h)2+ k,顶点坐标为(h,k),注意h前系数为负，如y= (x+1)2的顶点坐标为(-1,0) 参考荟案与解祈 4.0解题关选取表中三组数据，利用待定系数 法求得二次函数解析式，根据二次项系数α的符号 判断开口方向；令y=0,解方程或利用根的判别式 确定该函数图象与x轴交，点个数；根据顶点式确定 函数的最值；结合开口方向和对称轴判断函数的增 减性 ②思路刚所设二次函数的解析式为y=ax2+ r6=a×(-2)2+b×(-2)+c bx+c,由表可知 -4=c, 解 -6=a+b+c, ra=1, 得{b=-3,故二次函数的解析式为y=x2-3x- c=-4, 4=(x- 子”a=1>0,该函数图象开口 向上，放A选项错误：令y=0,则(x-2)2-空。 4 0,解得1=4，x2=-1,该函数图象与x轴的交 点为(4,0)和(-1,0)，故B选项错误；当x=时， 函数有最小值为-草面-草<-6，故C选项正 4 确：函数图象的对称轴为直线=}当x>号 时，y值随x值的增大而增大，故D选项错误， 5.￥0中解题关键将，点A,B的横坐标分别代入函数 解析式，得出y1,2,再根据y<y2列出关于m的不 等式求解即可 单8出思路制析：点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二 次函数y=(x-1)子+n的图象上，.y1=(m-1 1)2+n=(m-2)2+n,2=(m-1)2+n.y1<y2, (m-2)2+n<(m-1)2+n,.(m-2)2-(m- 1)2<0,-2m+3<0,m>子故选B O+提升点拨本题还可以根据函数图象的开口方 向和对称轴确定增诚性，结合y1<y2,利用数形结 合思想，分情况讨论解答 6.￥0+解题关量利用抛物线的对称轴公式求出m 的值，进而解方程即可 ②思路剖析：抛物线y=x2+mx的对称轴为直 线x=22双1=2，解得m=-4,方程 mx=5可以写成x2-4x=5,解得x1=5,x2=-1. 故选D. 【中考风向】二次函数含参问题属于常考题型，解 题时要明确题意，结合条件及公式，构建等量关系 求解 7.0出解题关罐根据二次函数图象的平移特点求解 =②出患路制析将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象向下平移两个单位，a不变，所以开口方向不变， 故A选项正确：顶点的横坐标不变，所以对称轴不 变，故B选项正确；抛物线的开口方向不变，对称轴 53第一部分预心母题分层练 第八讲 反比例函数 参考答案 母题精研反比例函数的图象与性质 反比例函数：形如y=(是常数，k≠0)的函数 反比例函数的 图象与性质 性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大 金国自墨础 ③反比例函数y=3 在每一个象限内，y随 1.(中考·海南)若反比例函数y=车（(6≠0) x的增大而增大 A.①② B.①③ 的图象经过点(2，-3)，则它的图象也一定 c.②③ D.①②3 经过的点是 5.(中考·求州)请写出一个图象在第二、四 A.(-2,-3) B.(-3,-2) 象限的反比例函数的表达式： C.(1,-6) D.(6,1) 6.(中考·陕西)若A(1,y1),B(3,y2)是反比 2(中考·山西)已知反比例函数y=则下 例函数y-2m一气m<分)图象上的两点，则 列描述不正确的是 y1,y2的大小关系是y y2.（填 A.图象位于第一、三象限 “>”“=”或“<”) B.图象必经过点(4，) 促提升 C.图象不可能与坐标轴相交 D.y随x的增大而减小 1.(中考·大庆)已知反比例函数y=年当 3.(中考·广东)点(1，y1),(2,y2),(3,), x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函 (4,)在反比例函数y=4的图象上，则y, 数y=-x+k的图象经过第 A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 y2,y3,y4中最小的是 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限 A.y B.Y2 C.y3 D.ya 2.(中考·达州)在反比例函数y-+山(k为 4.(中考·大连)下列说法正确的是（ 常数)上有三点A(x1,y1),B(2,y2),C(x3, ①反比例函数y=2中自变量x的取值范围 y),若x<0<名<，则1,2为的大小关 系为 () 是x≠0： A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 ②点P(-3,2)在反比例函数y=-6的图 C.1<y3<y2 D.ys <y2<y 象上： 3.（中考·株洲)点A(x1,y),B(x1+1,y2)是 49 中考基醒题1000题 反比例函数y=图象上的两点，满足：当 4.（中考·呼和浩特)点(2a-1,y1),(a,y2)在 反比例函数y=k(k>0)的图象上，若0< x1>0时，均有y1<y2,则k的取值范围是 y<y2,则a的取值范围是 母题精研反比例函数解析式的确定 利用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤：设、代、解、定 反比例函数 比例系数k的几何意义：过双曲线上某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的 解析式的确定 矩形面积为1k1,三角形面积为 国自墨础 1.(中考·朝阳)如图，0是坐标原点，点B在 x轴上，在△OAB中，A0=AB=5,0B=6,点 B O A在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则k 第4题图 第5题图 的值为 5.(中考·齐齐哈尔)如图，点A是反比例函数 A.-12 B.-15 C.-20 D.-30 y华（x<0)图象上一点，过点A作B1y 轴于点D,且点D为线段AB的中点，若点C 为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则 k= 第1题图 第2题图 2.(中考·梧州)如图，在同一平面直角坐标系 1.(中考·兰州)如图，点A在反比例函数y= 中，直线y=t(t为常数)与反比例函数 =兰6=的图象分别交于点A,B,连 (x>0)的图象上，AB上1x轴于点B,C是 OB的中点，连接AO,AC,若△AOC的面积为 接OA,OB,则△OAB的面积为 ( 2,则k的值为 () A.5t c D.5 3.(中考·云南)若反比例函数的图象经过点 (1,-2),则该反比例函数的解析式（解析式 也称表达式)为 O C B 4.（中考·常德)如图，若反比例函数y= A.4 B.8 C.12 D.16 (k<0)的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,且{2.（中考·陕西）已知点A(-2,m)在一个反 △AOB的面积为6，则k= 比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对 50 第一郁分预心母题分层练 称若点A'在正比例函数y=之x的图象上， 象于点B,点P是y轴正半轴上一点.若 △PAB的面积为2，则k的值为 则这个反比例函数的表达式为 3.(中考·鄂州)如图，点A是反比例函数y= (x>0】 12(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴 (x>0】 于点C,AC交反比例函数y=(x>0)的图 母题精研反比例函数的应用 反比例函数与一次函数：求两个函数图象的交点，往往把两个函数的表达式联立 组成方程组，方程组的解就是交点的坐标 反比例函数 解实际问题的方法：建立反比例函数模型，求出反比例函数解析式，结合函数解析 的应用 式与性质作答 常见题型：实际问题，几何问题 国自墨础 3.(中考·安徽)已知正比例函数y=x(k≠0)与 1.(中考·荆州)已知：如图，直线y1=kx+1 反比例函数y=6的图象都经过点A(m,2). 与双曲线，=2在第一象限交于点P(1,), (1)求k,m的值； (2)在图中画出正比例函数y=kx的图象， 与x轴，y轴分别交于A,B两点，则下列结论 并根据图象，写出正比例函数值大于反 错误的是 ( 比例函数值时x的取值范围。 A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形 C.k=1 D.当x>1时，y2> 2.(中考·无锡)一次函数y=mx+n的图象 与反比例函数y=m的图象交于点A,B,其 中点4，B的坐标为4(-品-2m),B(m, 4.(中考·乐山)通过实验研究发现：初中生在 1),则△OAB的面积为 ( 数学课上听课注意力指标随上课时间的变 化而变化.上课开始时，学生兴趣激增，中间 A.3 B号 c 唱 一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后 51 中考整题1000题 开始分散.学生注意力指标y随时间x(分) 变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和 3(中考·乐山)如图，一次函数y=-之+6 10≤x<20时，图象是线段：当20≤x≤45 与反比例函数y=-10(x<0),7=（(x>0) 时，图象是反比例函数的一部分 的图象分别交于点A(-2,m),B(4,n),与y (1)求点A对应的指标值； 轴交于点C,连接OA,OB, (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合 题需要17分钟，他能否经过适当的安 (1)求一次函数y=-2+6和反比例函数 排使学生在听这道综合题的讲解时，注 y=(x>0)的表达式： 意力指标都不低于36？请说明理由。 y(指标) (2)求△AOB的面积 01020 45x(分) 4(中考·黄网)如图，反比例函数y=车的图 象与一次函数y=mx+n的图象相交于 1.(中考·荆州)如图是同一平面直角坐标系 A(a,-1),B(-1,3)两点. 中函数1=2x和，=2的图象，观察图象可 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线AB交y轴于点C,点N(t,0)是x 得不等式2x>2的解集为 轴正半轴上的一个动点，过点N作 ,=2x NM⊥x轴交反比例函数y=的图象于 点M,连接CV,OM.若S四助形coww>3,求 t的取值范围。 A.-1<x<1 B.x<-1或x>1 C.x<-1或0<x<1D.-1<x<0或x>1 2.(中考·威海)已知点A为直线y=-2x上 一点，过点A作B,/:轴，交双曲线y=于 点B.若点A与点B关于y轴对称，则点A的 坐标为 52 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 1.(中考·张家界改编)函数y=和y=x十 轴于点B,若OA=5,则△AOB的周长为 2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 5.(中考·贵阳改编)一次函数y1=nx+1(n 象是 为常数)的图象与反比例函数⅓=(1为常 数)的图象都经过点A(2,-1). (1)求n和t的值： (2)画出一次函数图象，直接写出当x取何 值时，y1>y2成立. 2(中考·黔西南州改编)反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(-3,1)，则下列说法 错误的是 A.k=-3 6.(中考·乐山改编)如图，一次函数y=kx+b B.函数的图象在第二、四象限 (k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0， C.函数图象经过点(3，-1) D.当x>0时，y随x的增大而减小 x>0)的图象在第一象限交于点A(n,2),与 3.(中考·荆门改编)如图，A,B是反比例函数 x轴交于点C(1,0),与y轴交于点D.过点A 作AB⊥x轴于点B,△ABC的面积是3.连接 y=在第一象限内的图象上的两点，且A,B BD. 两点的横坐标分别是2和4，S4oB=3,则k (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 的值为 ( (2)求△BCD的面积 A.4 B.3 C.2 D.1 第3题图 第4题图 4.(中考·鄂州改编)如图所示，点A是反比例 函数y=-2图象上一点，过点A作AB1x 53 中考基题1000题 模拟精选 强化提升 1.如果反比例函数y=a-2(a是常数)的图象 月利润y(万元)关于月份x之间的变化关 系，治污改造完成前是反比例函数图象的一 在第一、三象限，那么a的取值范围是( 部分，治污改造完成后是一次函数图象的一 A.a<0 B.a>0 部分，则下列说法不正确的是 () C.a<2 D.a>2 4(万元 2.若A(2,4)与B(-2,a)都是反比例函数y= 300 240 (k≠0)图象上的点，则a的值是（ 180 120 60 A.4 B.-4 C.2 D.-2 12345678月份 3.如图，A,B两点在双曲线y=4上，分别经过 A.5月份该厂的月利润最低 A,B两点向坐标轴作垂线段，已知S影=1， B.治污改造完成后，每月利润比前一个月增 则S,+S2的值为 加30万元 A.3 C.治污改造前后，共有6个月的月利润不超 B.4 过120万元 C.5 D.治污改造完成后的第8个月，该厂月利润 D.6 达到300万元 7.某超市销售进价为2元的雪糕，在销售过程 4.对于反比例函数y=-5 下列说法正确 中发现，此商品的日销售单价x(元)与日销 的是 售量y(根)之间有如下关系： A.点(1,5)在它的图象上 日销售单价x(元) 3 4 5 6 B.它的图象在第一、三象限 日销售量y(根) 40 30 24 20 C.当x<0时，y随x的增大而增大 (1)猜测并确定y与x之间的函数关系式； D.当x>0时，y随x的增大而减小 (2)设此商品的销售利润为W元，求W与x 5.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 的函数关系式，若物价局规定此商品最 80千米/时的平均速度用了6小时到达目 高限价为10元/根，你是否能求出商品 的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速 日销售最大利润？若能，请求出；若不 度（千米/时）与时间t(时)的函数关 能，请说明理由。 系为 ( A.D=80 B.v+t=480 C.=480 D.m=1-6 t 6.为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限 产并投入资金进行治污改造，下列描述的是： 54 第一郁分预心母题分层练 8.如图，一次函数y=x+b与反比例函数： (3)过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D,点 y=(其中mk≠0)图象交于A(-4,2), C是直线BE上一点，若AD=3CD,求点 C的坐标 B(2,n)两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)求△AB0的面积； (3)请写出当一次函数值大于反比例函数值 时x的取值范围。 10.如图，一次函数y=-x+3的图象与反比 例函数y=女(k≠0)在第一象限的图象交 于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C (1)求反比例函数的表达式： (2)若点P为x轴上一点，且满足△ACP是 以AC为腰的等腰三角形，请直接写出 符合条件的所有点P的坐标， 9.如图，平面直角坐标系中，一次函数y1= ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2= (k≠0)的图象交于点A(1,2)和B(-2,m). (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)请直接写出y1>y2时x的取值范围； 55