第4讲 方程与方程组-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基醒题1000题 第四讲 方程与方程组 参考答案 母题精研一元一次方程及其应用 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等式两边都是 整式的方程 一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 及其应用 列一元一次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见题型：行程问题，工程问题，配套问题，利润问题，数字问题，比赛积分问题， 分段收费问题 国自墨圆 1.(中考·温州)解方程-2(2x+1)=x,以下 1.(中考·铜仁)为了增强学生的安全防范意 去括号正确的是 ( 识，某校初三(1)班班委举行了一次安全知 A.-4x+1=-x B.-4x+2=-x 识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如 C.-4x-1=x D.-4x-2=x 下：每答对一个得5分，每答错或不答一个 2.(中考·百色)方程3x=2x+7的解是( 扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个 A.x=4 B.x=-4 数为 () C.x=7 D.x=-7 A.14 B.15 C.16 D.17 3.(中考·南充)《孙子算经》中有“鸡兔同笼” 2.(中考·牡丹江)已知某商店有两件进价不 问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利 60%,另一件亏损20%，在这次买卖中这家 九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可 商店 () 列方程为 ( A.不盈不亏 B.盈利20元 A.4x+2(94-x)=35 C.盈利10元 D.亏损20元 B.4x+2(35-x)=94 3.(中考·十摇)对于实数m,n,定义运算 C.2x+4(94-x)=35 m*n=(m+2)2-2n.若2*a=4*(-3), D.2x+4(35-x)=94 则a= 4.(中考·衡州)一元一次方程2x+1=3的解 4.(中考·烟台)幻方历史悠久，传说最早出现 是x= 在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学 5.(中考·桂林)解一元一次方程：4x-1= 符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字 2x+5. 1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一 横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之 和都是15，则a的值为 83 18 第一部分预心母题分层练 画题精研乙☑二元一次方程（组）及其应用 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式 方程 二元一次方程组：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共 二元一次方程 有两个方程 (组)及其应用 解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法 列二元一次方程（组）解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见题型：和、差、倍、分问题，配套问题，行程问题，工程问题，利润问题，图形 问题 国自墨础 共花费6000元：第二次购进时，两种茶每盒 的价格都提高了20%，该店又购进了A种 1.(中考·株洲)对于二元一次方程组 茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元.求 y=x-1,① 将①式代入②式，消去y可以 第一次购进的A,B两种茶每盒的价格. lx+2y=7,② 得到 ( A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7 C.龙+x-1=7 D.x+2x+2=7 2.(中考·天津)方程组 「x+y=2, 的解是 3x+y=4 A.0, x=1, 1.(中考·辽宁)五一小长假，小华和家人到公 B. y=2 ly=1 园游玩.湖边有大小两种游船。小华发现 D/=0, 1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客 y=-3 32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载 「x+y=16, 游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可 3.(中考·泰安)方程组 的解是 5x+3y=72 以满载游客的人数为 () A.30 B.26 4.(中考·嘉兴)已知二元一次方程x+3y= C.24 D.22 14,请写出该方程的一组整数解 2.(中考·成都)中国古代数学著作《算法统 5.(中考·遵义)已知x,y满足的方程组是 宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文 x+2y=2,则x+y的值为 钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果 2x+3y=7, 七个四文钱，试问甜苦果几个，其大意是：用 6.(中考·泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿 九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果， 茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒， 其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以 19 中考整题1000题 买苦果七个.问：甜、苦果分别有几个？设苦 (2)该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾 果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 桶共需多少元？ rx+y=1000 rx+y=1000, A. 4 11 B 9 7*+9y=999 4+=999 c.F+y=1000, x+y=1000, 6.(中考·百色)某玩具生产厂家A车间原来 D. 有30名工人，B车间原来有20名工人，现将 17x+9y=999 4x+11y=999 新增25名工人分配到两车间，使A车间工 3.(中考·宁波)我国古代数学名著《九章算 人总数是B车间工人总数的2倍. 术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三 (1)新分配到A,B车间各是多少人？ 十.今有米在十斗桶中，不知其数.满中添粟 (2)A车间有生产效率相同的若干条生产 而春之，得米七斗.问故米几何？”意思为： 线，每条生产线配置5名工人，现要制作 50斗谷子能出30斗米，即出米率为子今有 一批玩具，若A车间用一条生产线单独 完成任务需要30天，问A车间新增工人 米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是 和生产线后比原来提前几天完成任务？ 多少.再向桶中加满谷子，再春成米，共得米 7斗.问原来有米多少斗？如果设原来有米 x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为 rx+y=10, rx+y=10, 7.(中考·黄石)我国传统数学名著《九章算 3 B 术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛 5-7 5x+y=7 二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几 x+y=7, x+y=7, 何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两 C. 5 银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头 x+3y=10 3x+y=10 牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译 4.(中考·朝阳)已知关于x,y的方程组 文，提出以下两个问题： 2x+y=2a+1, (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子； 的解满足x+y=-3,则 x+2y=5-5a (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要 a的值为 求既有牛也有羊，且银两须全部用完)， 5.(中考·大连)某校为实现垃圾分类投放， 请问商人有几种购买方法？列出所有的 准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶。购买 可能. 2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元； 购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需 1560元 (1)求大、小两种垃圾桶的单价： 20 第一郁分预心母题分层练 母题精研一元二次方程及其应用 元二次方程：等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数 的最高次数是2（二次）的方程 解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 一元二次方程 根的判别式：4>0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的 及其应用 实数根；△<0，方程无实数根；4≥0，方程有实数根 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见题型：传播问题，利润问题，几何问题，增长率问题，比赛问题 国自墨础 B.4050(1+x)2=5000 C.5000(1-x)2=4050 1.（中考·海南)用配方法解下列方程x2- D.4050(1-x)2=5000 6x+5=0,配方后所得的方程是 ( 6.(中考·青海)已知m是一元二次方程x2+ A.(x+3)2=-4 B.(x-3)2=-4 x-6=0的一个根，则代数式m2+m的值等 C.(x+3)2=4 D.(x-3)2=4 于 2.(中考·天津)方程x2+4x+3=0的两个 7.(中考·长沙)关于x的一元二次方程x2+ 根为 () 2x+t=0有两个相等的实数根，则实数t的 A.x1=1,x2=3 B.1=-1,x2=3 值为 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 8.(中考·扬州)请填写一个常数，使得关于x 3.(中考·黔东南州)若关于x的一元二次方 的方程x2-2x+ =0有两个不相等 程x2-ax+6=0的一个根是2，则a的值为 的实数根。 A.2 B.3 C.12 D.5 促提 升 4.(中考·怀化)对于一元二次方程2x2-3x+ 1.(中考·菏泽)关于x的方程(k-1)2x2+ 4=0,则它的根的情况为 (2k+1)x+1=0有实数根，则k的取值范 A.没有实数根 围是 () B.两根之和是3 九>祖1 B≥4且1 C.两根之积是-2 D.有两个不相等的实数根 ck>号 D≥} 5.(中考·襄阳)随着生产技术的进步，某制药 2.(中考·雅安)若直角三角形的两边长分别 厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的 是方程x2-7x+12=0的两个根，则该直角 成本是5000元，现在生产一吨药的成本是 三角形的面积是 ( 4050元.设生产成本的年平均下降率为x, A.6 B.12 下面所列方程正确的是 () A.5000(1+x)2=4050 cB酸9 D6安 21 中考是例题1000题 3.（中考·南京)设x1,x2是关于x的方程x2- (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人 3x+k=0的两个根，且x1=2x2,那么k= 数是多少？ 4.(中考·鄂州)已知实数a,b满足√a-2+ 1b+31=0,若关于x的一元二次方程x2- ax+b=0的两个实数根分别为x1,x2,则 1+1= X1 x2 5.(中考·北京)已知关于x的一元二次方程 x2-4mx+3m2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为 2,求m的值 7.(中考·滨州)某水果商店销售一种进价为 40元/千克的优质水果，若售价为50元/千 克，则一个月可售出500千克；若售价在 50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售 量就减少10千克， (1)当售价为55元/千克时，每月销售水果 多少千克？ (2)当月利润为8750元时，每千克水果售 价为多少元？ (3)当每千克水果售价为多少元时，获得的 月利润最大？ 6.(中考·张家界)2021年是中国共产党建党 100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文 化，重走长征路”主题教育学习活动，我市 “红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要 的活动基地.据了解，今年3月份该基地接 待参观人数10万人，5月份接待参观人数增 加到12.1万人. (1)求这两个月参观人数的月平均增长率： 22 第一部分预心母题分层练 母题精研4分式方程及其应用 分式方程：分母中含有未知数的方程 解分式方程的一般步骤：去分母，解整式方程，验根 分式方程增根：在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合 及其应用 原方程的根，即满足最简公分母等于0的值 列分式方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见题型：行程问题，工程问题，方案问题 重臂菌留 c原-9-号 D.6-10=20 3x 4x 1(中考·海南)分式方程，2】-1=0的解是 5.(中考·海南)分式方程=0的解是 x+2 ) A.x=1 B.x=-2 6.(中考·宁波)定义一种新运算：对于任意的 C.x=3 D.x=-3 2（中考·蓬宁)关于x的分式方程2 非零实数a,6a8b=+公若x+1@x 2x+1,则x的值为 3 2-x =1有增根，则 ( A.m=2 B.m=1 促提升 C.m=3 D.m=-3 1.(中考·泸州)已知关于x的分式方程m 3.(中考·齐齐哈尔)若关于x的分式方程 3x。=,m+5的解为正数，则m的取值范 x-22-x 2=1的解为非负数，则正整数m的所 有个数为 () 围为 ( A.3 B.4 A.m<-10 c.5 D.6 B.m≤-10 C.m≥-10且m≠-6 2(中考·南京)解方程名+1=吉 D.m>-10且m≠-6 4.(中考·荆州)“爱劳动，劳动美.”甲、乙两 同学同时从家里出发，分别到距家6km和 10km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度 比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基 地，求甲、乙的速度.设甲的速度为3xkm/h. 则依题意可列方程为 () A时-碧 B名+20- 4x 23 中考基醒题1000题 3.(中考·威海)在“旅游示范公路”建设的过：5.（中考·重庆A卷）在全民健身运动中，骑 程中，工程队计划在海边某路段修建一条长 行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者 1200m的步行道.由于采用新的施工方式， 约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千 平均每天修建步行道的长度是计划的1.5 米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2 倍，结果提前5天完成任务求计划平均每 倍 天修建步行道的长度 (1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出 发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑 行的速度； (2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出 发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑 行的速度 4.(中考·山西)2022年我国 已成为全球最大的电动汽车 6.(中考·泰安)接种疫苗是阻断新冠病毒传 市场，电动汽车在保障能源 播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药 安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有 厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万 明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油 剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按 车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的 时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生 充电费比燃油车平均每千米的加油费少 产，由原来每天工作8小时增加到10小时， 0.6元，若充电费和加油费均为200元时，电 每人每小时完成的工作量不变，这样每天只 动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求 能生产疫苗15万剂， 这款电动汽车平均每千米的充电费 (1)求该厂当前参加生产的工人有多少人； (2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入 生产，每天生产时间仍为10小时.若上 级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？ 24 第一郁分预心母题分层练 真题改编 科学借鉴 6.(中考·呼和浩特改编)若关于x的一元一 中专·海州改编)已知是关于 次方程(m-2)xm-"-2=4,则x= ax +by=-5 的二元一次方程组 的解，则 2bx -ay =2 7.(中考·广安改编)已知，是 是方程组 a+b的值为 ( A.-5 B.-1 ax +by =2, 的解，则a2-62= C.3 D.7 bx +ay =3 2.(中考·兰州改编)方程(k-1)x2-√1-kx+ 8.(中考·南京改编)解方程2x二5+542x=1. 4 4=0有两个实数根，则k的取值范图是 A.k≥1 B.k≤1 C.k>1 D.k<1 3.(中考·重庆A卷改编)2021年第一季度， 某企业营收入比2020年同期增长12%， 2022年第一季度营收人比2021年同期增长 10%,设2021年和2022年第一季度营收入 9.(中考·南充改编)已知关于x的一元二次 的平均增长率为x,则可列方程 方程x2+(2m-1)x+m2-3=0有实数根. A.2x=12%+10% (1)求实数m的取值范围； B.(1+x)2=1+12%+10% (2)当m取满足条件的最大整数时，求方程 C.1+2x=(1+12%)(1+10%) 的解 D.(1+x)2=(1+12%)(1+10%) 4.(中考·宜宾改编)关于x的分式方程m+! x-1= 产有增根，则m的值是 () A.m=-1 B.m=1 C.m=2 D.m=-2 5.(中考·德阳改编)若关于x的分式方程 a-1=2的解为正数，则a的取值范围为 x-1 () A.a>-1 B.a<-1 C.a>-1且a≠1 D.a≥-1且a≠1 25 中考基醒题1000题 模拟精选 强化提升 1.已知关于x的一元一次方程2(x-1)+3a= 3的解为4，则a的值是 x(1+10%)=6,则方程中未知数x所表示 860 A.-1 B.1 的量是 C.-2 D.-3 A.实际每天改造道路的长度 2.若4x+b-3y2=2是关于x,y的二元一 B.原计划每天改造道路的长度 次方程，则a+b的值为 C.原计划施工的天数 A.0 B.-1 D.实际施工的天数 C.1 D.2 7.关于x的方程x+2a=1的解是负数，则a的 3.关于x的方程x2+2x-1=0有实数根，则k 取值范围是 的取值范围是 ( 8.某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可 A.k≥-1 B.k≥-1且k≠0 获利10%，若该空调的进价为2000元，则 C.k≤-1 D.k≤1且k≠0 标价为 元 4.某种商品的标价为120元，若以九折降价出 9.关于x的分式方程+号-三=1（其中a为 x-2 x 售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进 常数)有增根，则增根为」 货价为 ( 10.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个 A.80元B.85元C.90元D.95元 大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分 5.某车间有26名工人，每人每天可以生产 别为x厘米和y厘米，则列出的方程组 800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配 为 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好 配套，设安排x名工人生产螺钉，则下面所 y厘米王 75厘米 列方程正确的是 A.2×1000(26-x)=800x B.1000(13-x)=800x 11.小东在拼图时，发现8个一样大小的长方 C.1000(26-x）=2×800x 形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1 D.1000(26-x)=800x 所示.小林看见了说：“我也来试一试”结 6.为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循 果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正 环，某市决定对一条长860m的道路进行改 方形，中间还留下了一个恰好是边长为 造拓宽，为了尽量减轻施工对城市交通造成 2cm的小正方形，则每个小长方形的面积 的影响，实际施工时，每天改造道路的长度 为 cm2. 比原计划增加10%，结果提前6天完成任 务，求实际每天改造道路的长度与实际施工 天数嘉琪同学根据题意列出方程：860- 图 图2 26 第一部分预心母题分层练 12.小明妈妈在春节期间以160元/件的价格： 14.某校八年级400名学生到市综合实践活动 购进了一批商品，如果按标价200元/件出 基地参加课外拓展活动，已知用3辆小客 售，那么每天可以销售20件.为了尽快减 车和1辆大客车每次可运送105名学生， 少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施， 用1辆小客车和2辆大客车每次可运送 经试销发现，每件商品每降价1元，平均每 110名学生. 天可多售出2件，若平均每天要盈利 (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少 1200元，每件商品应降价多少元？为满足 名学生？ 降价要求，小明妈妈应打几折出售？ (2)若计划租小客车m辆、大客车n辆，一 次送完学生，且恰好每辆车都坐满，则 有哪几种租车方案？ (3)若小客车每辆租金150元，大客车每辆 租金250元，请在(2)中选出最省钱的 租车方案，并求出最少租金 13.甲、乙两人计划开车从A地前往B地，已知 A,B两地相距60km,甲的速度是乙的1.5 倍，若同时出发，甲比乙早到半小时. (1)甲、乙的速度各是多少？ (2)甲、乙同时出发后，甲在途中发现忘带 了物品，于是立刻原速返回A地，取到 物品后继续原速前往B地，最后甲在 距离B地10km处追上乙，则甲出发多 久时发现忘带了物品？ 27单②出参考答案 解：原式=(x-1)-（x+2)(x-22.(x-2) x(x-2) 4-x =-x-(x-4).(x-2) x(x-2) 4-x =4-x.x-2 x 4-x t-2 当x=1时，原式=2。-1.（答案不唯一，只要 1 代人的x的值使分式有意义即可，注意x的值不 可以取0,2,4) ③中提升点拨解答此类问题时，选取的x的值要 使分式有意义，即保证原式及运算过程中的所有 分式的分母都不为0. 22.前0解题关罐先根据分式的混合运算法则将原 式化简，再将x的值代入计算即可· 甲公中参老答案 解：原式=-（任+1].G-少 x-2 -2x-1-(x+1)(x-1).(x-1)2 x-1 x-2 _2x-1-(x2-1.(x-1)2 x-1 x-2 =2-x.(x-1) x-1x-2 =-x(x-1) x=2+1, ∴，原式=-(2+1)×(w2+1-1) =-2-2. ③提升点拨本题在进行括号内的运算时先把 -x-1提取负号，使其变成-(x+1),然后把x+ 」当作一个整体进行通分更加简单. 23.0解题关罐先运用分式的混合运算法则将原 式化简，然后再计算出m的值代入化简后的式子 计算即可， ￥②中参考答率 解：原式=m-3÷m+2)(m-2)-5 m-2 m-2 =m-3.m2-9 m-2m-2 -m-3 m-2 m-2(m+3)(m-3) m=(分）+(2-m)+8--71=3+1+ 22-7=2、2-3. 故原式=、1 -1-2 22-3+3224 梦考否率与解析 【中考风向】分式的化筒和二次根式的混合运算， 属于中考常考题型，题型以解答题为主，难度不 大，注意解题时要先将原式化到最筒再代值计算. 第四进 方程与方程组 母题精研1一元一次方程及其应用 稳基础 1.D2.C3.D4.1 1.①+鲜题关键用括号外的-2乘(2x+1)中的每 一项，再把积相加即可. ②思路剖斯将方程去括号得-4x-2=x,故 选D. ⊙咖提升点泼去括号时，用括号外的因数与括号 里面的每一项相乘，再把所得的积相加：若括号前 是“-”号，去括号时，括号里的各项都改变符号， 2,0解题关键将方程移项、合并同类项即可求解。 ©+思路副析移项，得3x-2x=7.合并同类项， 得x=7.故选C. 单③中提升点拨本题也可以将四个选项中x的值代 入方程，若停号两边的值相等，则此选项即为方程 的解 3.地0+解题关继根据题意找到等量关系：鸡的只 数+兔的只数=35，鸡的只数×2+兔的只数× 4=94. ②+路剖析上有三十五头，说明鸡的只数与兔 的只数的总和是35，设鸡有x只，则兔有(35-x) 只；下有九十四足，说明鸡和兔的脚的总数是94， 因为鸡有2只脚，兔有4只脚，所以鸡的只数×2+ 兔的只数×4=94.根据此等式列方程为2x+ 4(35-x）=94.故选D. ©出提升点泼常见的找等量关系的方法：①根据 周长、面积、体积公式确定相等关系：②根据题目中 的不变量确定相等关系；③根据关健词确定相等 关系 4.常0+解题关键将方程移项，系数化为1即可求解 ￥②+想路折移项，得2x=3-1.合并同类项，得 2x=2.系数化为1，得x=1. ③出提升点拨方程的解与解方程的关系：①方程 的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个 结果，是一个具体的数值，而解方程是形的过程： ②方程的解是通过解方程求得的. 5.地0解题关键本题考查一元一次方程的解法 m②+参考答案解：移项，得4x-2x=5+1. 合并同类项，得2x=6. 系数化为1，得x=3. 回回國国解一元一次方程的一般步骤：去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1 17 中考基刷要1000题 促提升 1.B2.B3.-134.2 1,0出鲜题关键根据题意找到等量关系：答对的得 分-答错或不答的得分=70. ②思路剖新设小红答对的个数为x,则答错或 不答的个数为(20-x)个，根据题意列方程为5x (20-x)=70,解得x=15.故选B. 【核心素养】由实际问题列出一元一次方程，体现 了数学的建模思想，关键在于分析出题目中的等量 关系. 2.①解题关键分别设出两件运动衫的进价，根据 售价=进价±利润，列方程求解即可 @#思路翻析设盈利60%的运动衫的进价为 x元，根据题意得(1+60%)x=160,解得x=100, 设亏损20%的运动衫的进价为y元，根据题意得 (1-20%)y=160,解得y=200.则这两件运动衫 的进价和是100+200=300（元），两件运动衫共卖 了160×2=320（元）.320-300=20（元），∴.这 家商店盈利20元.故选B. 回回题围利润率是相对于进价而言的，是利润 占进价的百分比：在标价的基础上打折时，打几 折，售价等于标价乘十分之几；利润的两种计算 方式是常用的等量关系：售价一进价=进价×利 润率 3.￥①中解题关罐根据题目给出的新定义运算列出方 程，解方程即可求解。 单②士思路别析由对于实数m,n定义运算m*n= (m+2)2-2n,得2*a=(2+2)2-2a=16-2a, 4*(-3)=(4+2)2-2×(-3)=36+6=42. 2*a=4*(-3).16-2a=42,解得a=-13. ©#提升点拨解决定义新运算的问题，关键是要 正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的 四则运算，然后进行计算即可求解. 4.①出解题关健利用幻方中“每一横行、每一竖行 以及两条对角线上的数字之和都是15”可依次求 出幻方右下角及第二行中间的数字，进而可列出关 于a的方程，解方程即可求解. ②#思路制折幻方右下角的数字为15-8-3= 4,幻方第二行中间的数字为15-4-6=5.根据题 意，得8+5+a=15,解得a=2. ⊙提升点拨近年来中考真题关注数学学科发展 前沿与数学文化，本题以幻方为背景考查一元一次 方程问题，关键是理解题意列出方程. 母题精研2二元一次方程（组）及其应用 稳基甜 1.B2.B3.=12, (y=4 4”(答案不隆-)55 1,0步鲜题关键直接将①式代入②式，去括号即可 18 ②思路创析将①式代入②式，得x+2(x-1)= 7.去括号，得x+2x-2=7,故选B. ③提升点拨利用代入消元法解二元一次方程组 的关键是找准代入式，在方程组中选择一个系数最 筒单（尤其是未知数前的系数为」或-1）的方程， 变形成含一个未知数的式子表示另一个未知数，然 后代入另一个方程，从而消元，将另一个方程变为 一元一次方程，进而求出方程组的解 2.整①中解题关键用加减消元法或代入消元法解方 程组。 望②步患路制折 {3x+y=4,2由2-①，得2x=2, 「x+y=2,① 解得x=1,把x=1代人①，得1+y=2,解得y=1, 故原方程组的解为[故毒区 ③*提升点拨当方程组中的一个方程的某一个未 知数的系数的绝对值是1或某一个方程的常数项 是0时，用代入法求解比较简便；当两个方程的同 一个未知数的系数的绝对值相等或者成整数倍时， 用加减法求解比较简单，解完方程组之后，一定要 进行最后一步，写解.注意：①算完之后最好把得出 的解代入原方程组验证：②对于选择题来说，还可 以把选项中的解代入原方程组，一一验证也可以得 出答案， 3.蒙①#解题关躔利用加减消元法先将x或y的系数 变相同，再解方程组即可， ②+里路剖斯 5x+3y=72,2①×5-②，得 fx+y=16,① 2y=8,解得y=4.将y=4代入①，得x+4=16,解 得x=12.故原方程组的解是=12， y=4 回明國围判断方程组的解的“三步法”：一代； 二算；三判断。 4.①少解题关键先将方程变形为用x表示y的形 式，再试值求解。 ②思路剖析将方程x+3y=14变形为x=14 3y.x,y都为整数，当y为整数时，x也为整数， 即当y=1时，x=14-3=11:当y=2时，x=14- 6=8.(答案不唯一，合理即可) ③市升点拨求关于x,y的二元一次方程特殊或 整数解的方法：①变形：将x看成常数，把方程变形 为用x表示y的形式：②划定：根据方程的解的特 点，划定x的取值范围：③试值：在x的取值范围内 逐一试值，再看求出的y值是否符合要求：④确定： 根据试值的结果写出二元一次方程的特殊解，也可 以将y看成常数，把方程变形为用y表示x的形 式，然后用同样的方法求解 5.0#解题关疆直接将方程组中的两个方程相减即 可求解 0新，022-0.得+y5 ③提升点拨本题还可以利用代入消元法或加减 消元法先求出方程组的解，再计算x+y的值， 6.①+解题关键分别设出第一次购进的A,B两种 茶每盒的价格，根据题意找到等量关系：30盒A种 茶价格+20盒B种茶价格=6000：20盒A种茶提 价后的价格+15盒B种茶提价后的价格=5100. 单②参考答案解：设第一次购进的A种茶每盒 x元，B种茶每盒y元 根据题意，得 [30x+20y=6000 120×(1+20%)x+15×(1+20%)y=5100. 解得/=100. 1y=150 答：第一次购进的A种茶每盒100元，B种茶每盒 150元. 【中考风向】利用二元一次方程组解决生产生活中 的实际问题是中考的高频考点，主要类型有销售问 题、行程问题、配套问题、几何问题等，常以解答题 的形式出现，难度适中 促提升 1.B2.A3.A4.5 1.①+解题关盟分别设出每艘大船和小船的载客 量，根据题意找到等量关系：1艘大船的载客量+ 2艘小船的找客量=32,2艘大船的载客量+1皺 小船的载客量=46. ②*思路制析设1艘大船可载x人，1艘小船可 载y人根据题意，得任+2y=32,① 2x+y=46,②①+②，得 3x+3y=78,x+y=26,即1艘大船与1艘小船 一次共可以满载游客的人数为26.故选B. 2.①+解题关键根据题意找到等量关系：苦果的数 量+都果的数量=1000，苦果的单价×数量+甜 果的单价×数量=999. ②思路别析，苦果x个，甜果y个，共买了一千 个苦果和甜果，∴x+y=1000.:十一文钱可以买 甜果九个，四文钱可以买苦果七个，∴.甜果的单价 为)文钱，苦果的单价为号文钱又~共花费了九 百九十九文钱，号x+ 9y=999,即 rx+y=1000. 9于=99g.故选A 停+ ③中提升点拔列二元一次方程组表示实际问题中 的数量关系的“四步法”：①审：审清题意：②找：找 到问中的等量关系：③设：设出两个未知数： ④列：列出二元一次方程组， 3.0解题关罐根据题意找到等量关系：原来的米+ 向桶中加的谷子=10，原来的米+桶中的谷子春成 梦考否率与解析 米=7. ②+思路副析由原来有米x斗，向桶中加谷子 y斗，容量为10斗，得x+y=10.已知出米率为}， 加满谷子春成米共得米7斗，得x+=7.可列方 x+y=10, 程组为 +=7故选A .3 【中考风向】此类古数学何题是中考命题的新趋 势，旨在帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学 智慧，增强文化自信和民族自豪感：在平时学习过 程中应注重积累与训练，解题的关键是弄懂题意并 从中找到等量关系. 4.￥0中解题关键将方程组中的两个方程相加，再钻 合已知条件x+y=-3即可求解 0思路析根据题意，得2十=2a+1,0 1x+2y=5-5a,② ①+②，得3x+3y=6-3a,即x+y=2-a x+y=-3,.2-a=-3,解得a=5 ③+提升点拨在求二元一次方程组中两个未知数 的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相 加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具 体值. 5.单0出解题关键(1)分别设出大、小两种垃圾橘的 单价，根据题意找到等量关系：2个大垃圾桶价 格+4个小垃圾桶价格=600：6个大垃圾桶价格+ 8个小垃圾桶价格=1560，列方程组求解即可： (2)利用总价=单价×数量，即可求解 ②+参考答案解：(1)设大垃圾桶每个x元，小垃 圾桶每个y元 根据题意，得+4y=60, 6+8y=1560.解得=180， y=60 答：大垃圾桶每个180元，小垃圾桶每个60元： (2)根据题意，得180×8+60×24=2880（元） 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需 2880元. 6.①中鲜题关键(1)分别设出新分配到A,B车间的 人数，根据题意我到等量关系：分配到A车间人 数+分配到B车间人数=25，A车间工人总数=B 车间工人总数×2，列方程组求解即可：(2)用原来 完成任务需要的天数减去新增工人和生产线后完 成任务需要的天数求解即可， ￥©出参考答案解：(1)设分配到A车间x人，B车 间y人 根据题意，得+y=25 130+x=2(20+y), 条得三 答：分配到A车间20人，B车间5人； (2)分配后，A车间共有30+20=50（人）。 每条生产线配置5名工人， 19 中离基圆1000题 .分配工人前有30÷5=6（条）生产线，分配工人 后有50÷5=10（条）生产线 A车间一条生产线单独完成任务需要30天， ,分配工人前需要30÷6=5（天），分配工人后需 要30÷10=3（天）， 5-3=2(天). 答：A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完 成任务. ©提升点拔列方程组解应用题时，应从题目中 找出独立的两个相等的关系，而相等关系有些是由 题目中反映数量关系的关键句直接表达呈现的，有 些是各种实际问题中的一些基本量间的互相关系 以隐含的方式呈现的，再根据这两个相等关系列方 程组求解. 7.￥@出解题关键(1)分别设出购买牛、羊的单价，根 据题意找到等量关系：5头牛的价格+2只羊的价 格=19,2头牛的价格+5只羊的价格=16，列方程 组求解即可：(2)分别设出购买牛，羊的数量，根据 题意找到等量关系：牛的数量×牛的单价+羊的数 量×羊的单价=19，列二元一次方程求整数解 即可 ②参考答案解：(1)设每头牛值x两银子，每只 羊值y两银子 根聚题意，科伦子伦解得 ly=2. 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子： (2)设购买a头牛和b只羊， 根据题意可得3n+26=19,则6=19,30 2 a,b都是正整数。 满足条件的解有化=：=3：三 答：商人有3种购买方法：①购买1头牛，8只羊： ②购买3头牛，5只羊：③购买5头牛，2只羊. 【中考风向】二元一次方程组的实际应用是中考的 热点内容，特别是近几年的中考中，除了结合古文 之外，还将已知条件以图形或图表等形式给出，出 题形式新颖，学生要注重知识的迁移与运用. 母题精研3一元二次方程及其应用 稳基础 1.D2.D3.D4.A5.C6.67.1 82(答案不唯一) 1.葡0步解题关疆将方程配方为(x+n)2=p的形式 即可， 2思路剖忻移项，得x2-6x=-5.配方，得x2- 6x+32=-5+32,(x-3)2=4.故选D. 回回酸围配方法的依据是完全平方公式：2+ 2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 20 2.①题关健根据方程的根能使方程两边数值相 等，用代入法确定方程两边的位是否相等即可 求解 塑②步思路所将x=】代入方程，得12+4× 1+3=8≠0，故x=1不是方程的根：将x=-1代 入方程，得(-1)2+4×(-1)+3=0，故x=-1是 方程的根：将x=3代入方程，得32+4×3+3= 24≠0，故x=3不是方程的根；将x=-3代人方 程，得(-3)2+4×(-3)+3=0，故x=-3是方程 的根.故选D. ③提升点拔本题还可以用配方法、公式法或因 式分解法直接求出方程的两个根进而得出答案。 3.0+解题关罐利用一元二次方程根的定义代入 求解 单②沙思路剖析，：x=2是方程x2-ax+6=0的一 个根，∴将x=2代人方程，得4-2a+6=0,解得 a=5.故选D. ③中摄升点拨方程的根能使方程两边数值相等， 代入法是根据方程根的定义，将已知方程的根代入 原方程中，建立以字母系数或常数为元的新方程， 从而求出方程中字母系数或常数的值的一种方法. 4.菌0鲜题关疆利用根的判别式判断根的情况 @+患路制析：a=2,b=-3,c=4,∴，4=b2 4ac=(-3)2-4×2×4=-23<0,.一元二次方 程2x2-3x+4=0没有实数根.故选A ③+提升点拨利用根的判别式判断一元二次方程 根的情况的方法：先将一元二次方程化成一般形式 ax+bx+c=0.当方程中的a,b,e是常数时，直接 求出△=b-4a心的值，确定方程根的情况：当方程中 的a,b,c含有字母时，求出△=6-4ae后再对含有字 母的代数式进行讨论，进而确定该方程根的情况 回圆酸围当4<0时，原方程没有实数根：当 4=0时，原方程有两个相等的实数根；当△>0 时，原方程有两个不相等的实数根 5.m0中解题关雕根据题意找出等量关系：2年前的 生产成本×(1-下降率)2=现在的生产成本 ②*思路脚析根据题意，得5000(1-x)2= 4050.故选C ③+提升点拨增长率（下降率）问题的公式：a为 起始量，b为终止量，n为增长（或下降）的次数，增 长率问题的公式：a(1+x)”=b(x为平均增长率)： 下降率问题的公式：a(1-x)”=b(x为平均下 降率). 6.0解题关罐利用一元二次方程根的定义代入 求解 ②#思路型析，m是一元二次方程x2+x-6=0 的一个根，∴.代入得m2+m-6=0,∴.m2+m=6. 7.0解题关曬根据方程有两个相等的实数根时， △=b2-4ac=0求解. 第②#思路刚折，关于x的一元二次方程x2+2x+ 1=0有两个相等的实数根，4=b2-4ac=22- 4×1×1=0.即4-41=0.解得1=1. 【中考风向】一元二次方程的解法及根的判别式是 中考的重要考点，其中解一元二次方程主要以填空 题或选择题的形式出现，难度不大：根的判别式在 中考中常以选择题或填空题的形式独立出现，有时 也和根与系数的关系结合在一起考查. 8.①解题关健根据方程有两个不相等的实数根， 4=b2-4ac>0求解即可. 第②*思路制听：a=1,b=-2,∴.4=b2-4ae= (-2)2-4×1×c=4-4>0,解得c<1,故写出一 个小于1的常数即可，如2（答案不唯一 ©#提升点拔一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程，由根的判别式的正负及是否为0可直 接定根的情况：②根据方程根的情况，结合根的 判别式来确定方程中待定字母的取值范围，若二次 项系数中含有字母，则应注意检验二次项系数是否 为零；③应用根的判别式证明方程根的情况（有实 数根、无实数根，有两个不相等的实数根、有两个相 等的实数根). 促提升 1.D2.D324.-号 1.单0解题关罐分二次项系效(k-1)2≠0和(k- 1)2=0两种情况讨论即可 ②中思路剖听当k-1≠0，即k≠1时，此方程为 一元二次方程.：关于x的方程(k-1)2x2+(2k+ 1)x+1=0有实数根，∴.4=62-4ac=(2k+1)2 4x(k-1)2x1=12k-3≥0，解得k≥4；当k 1=0,即k=1时，方程为3x+1=0,此时方程有实 数根综上所述，k的取值范围是≥子故选D, ③中提升点拔应用4的前提是二次项系数不为 0.方程有两个不等的实数根：4>0：方程有两个相 等的实数根：4=0：方程没有实数根：△<0，这样就 可以根据根的情况构建方程或不等式，从而求出字 母的值或者取值范围，当待求的字母出现在二次项 系数中，而无法判定方程为一元二次方程时，解题 时要分类讨论， 2.第0解题关耀先求出方程的两根，再对两根分别 作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论 ￥②思路副析解方程x2-7x+12=0,得x,=3, x3=4,当3,4为直角三角形的两条直角边时，三角 形的面积为)×3×4=6：当3为直角边，4为斜边 时，另一条直角边的长度为4-32=万，则三角 形的面积为}×3×7-3故选D 梦考否率与解析 O步提升点拨当已知直角三角形的两边长时，通 常要分两种情况讨论：①已知的两条边长都为直角 边：②已知的两条边长一条为斜边，一条为直角边： 3.里0解题关罐将已知条件x1=2x1变形为x,+ 2=32,再结合根与系数关系中的两根之和公式， 求出，的值，代入求解即可 ©+思路制析根据题意，得x1+x2=3x2=3,解得 x2=1.将其代人关于x的方程x2-3x+k=0,得 1-3+k=0,解得k=2 回园围对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，其两根之和为-名，两根之积为二 4.0+鲜题关键先利用二次根式及绝对值的非负性 求出a,b的值，再结合根与系数的关系进行解答 *2+想路析：实数a,b满足√a-2+1b+31= 0,.a=2,b=-3.关于x的一元二次方程x2- ax+b=0的两个实数根分别为七1，x2,.x,+x2= 2 ③+升点越利用根与系数的关系求代数式值的 方法：一殷利用恒等变形将代数式转化成含，+ x,x2的形式，然后把1+名，x11的值整体代入 即可求解，此时，常涉及代数式的一些重要变形， 如：+=(x+)2-2x+本x西 ,上+1=+ 5.①鲜题关罐(1)求证一元二次方程总有两个实 数根，即证4=2-4ac≥0：(2)由求根公式求出方 程的两个根，再由m>0判断两根的大小，即可列 式求解 m8陆参考答案(1)证明：，a=1,b=-4m,c=3m2, .4=b2-4ac=(-4m)2-4×1×3m2=4m2. 无论m取何值时，4m≥0，即4≥0， ∴.原方程总有两个实数根： (2)解：将方程x2-4mx+3m2=0因式分解为(x m)·(x-3m)=0,.x1=m,3=3m. :m>0,且该方程的两个实数根的差为2， .3m-m=2,解得m=1. 【中考风向】一元二次方程根与系数的关系是中考 的重点内容之一，利用此知识可解决：①已知方程， 求两根的和或积：②已知方程的一个根，求另一个 根及方程中待定字母的值：③求关于两根的代数式 的值.选择题、填空题和解答题都会考查， 6.0出解题关键(1)根据题意找到等量关系：3月份 参观人数×(1+增长率)2=5月份参观人数： (2)根据题意找到等量关系：5月份参规人数× (1+增长率)=6月份参观人数， ②参考答案解：(1)设这两个月参观人数的月 平均增长率为x 21 中考基刷要1000题 根据题意，得10(1+x)2=12.1. 解得x,=0.1=10%,x2=-2.1(舍去). 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%： (2)由(1)可知，月平均增长率为10%， 根据题意，得12.1×(1+10%)=13.31（万人）. 答：预计6月份的参观人数是13.31万人 【中考风向】随着课程改革的不断深入，近年来一 元二次方程的实际应用与经济相联系的应用题在 各地中考中大量出现，在中考中单独考查时主要考 查利润问题、增长率间题，也常与几何图形的面积 问题及函数问题相结合，题型有选择题，填空意和 解答题。 7.0中解题关键（1)找到等量关系：月销售量= 500-(销售单价-50)×10：(2)由月利润=每千 克的利润×月销售量，列方程求解即可：(3)设每 千克水果售价为a元，获得的月利涧为m元，由月 利润=每千克的利润×月销售量，得出0与a的函 数关系式，利用二次函数的性质求解即可」 ￥0+参考答家解：(1)500-(55-50)×10= 450(千克). 答：当售价为55元/千克时，每月销售水果 450千克： (2)设每千克水果售价为x元，则每月销售的水果 为[500-10×(x-50)]千克. 根据题意，得(x-40)[500-10×(x-50)]= 8750, 解得x1=65,志2=75 答：每千克水果售价为65元或75元： (3)设每千克水果售价为a元，获得的月利润为 e元. 根据题意，得=(a-40)[500-10×(a-50)]= -10(a-70)2+9000. 故当a=70时，w有最大值为9000元. 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润 最大 ③提升点碳列一元二次方程解应用题的一般 步骤与一元一次方程、二元一次方程组基本相同， 仍归结为审、设、列、解、脸、答.其中商品销售和利 润问题中常用到的关系式为：利润=售价一进价= 进价×利润率，总利润=单利润×销售量. 母题精研4分式方程及其应用 稳基础 1.c2.D3.D4A5=16- 1.0解题关暖去分母，把分式方程转化为整式方 程求解 ②中思路创析去分母，得2-（x-1)=0.去括号， 得2-x+1=0.移项、合并同类项，得x=3.当x=3 时，分母x-1≠0，所以原分式方程的解为x=3.故 22 选C. ③步提升点拨解分式方程的关健是去分母，去分 母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要 用括号括起来，解分式方程一定要检脸，对于增根 必须舍去. 2.0出解题关健由分式方程有增根时最简公分母为 0求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入 整式方程求解即可 型②思脑所，方程有增根，∴x-2=0,解得 x=2.化分式方程为整式方程，得m+3=x-2,将 x=2代人整式方程，得m+3=2-2,解得m=-3. 故选D. 回回藏圈分式方程的增根有两个特点：第一，它 必须是由分式方程转化成的整式方程的根；第 二，它能使原分式方程的最简公分母等于0. 3.0中解题关键将分式方程化为整式方程，表示出 方程的解，由方程的解为正数，列不等式求解即可 注意排除使分式方程的分母为0的情况 单②+思路剖析去分母，得3x=-m+5(x-2),解 得x=m十10：分式方程的解为正数，m十10> 2 2 0,且"士0≠2，m的取值范围为m>-10且 m≠-6.故选D. ③+摄升点拨根据分式方程的解的范围求字母取 值范国的思路：①把分式方程去分母化为整式方 程，再用含待定字母的式子表示方程的解：②根据 解的情况，列出不等式（组）求出字母的取值范围： ③判断在字母的取值范围内是否可能产生增根，若 可能，排除产生增根时字母的值. 4.前0中解题关雕根据题意找出等量关系：甲所用时 间+沿乙所用时间， ②+思临剖桥根据甲、乙的速度比是3：4，且甲的 速度为3xkm/h,可得乙的速度为4xkm/h,根据题 意，得+8-即+号放适 望③出提升点拔列分式方程常用等量关系：(1)行 程问题：速度×时间=路程；(2)利润问题：利涧= 售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，售价= 进价×(1+利润率)，售价=标价×折扣：(3)工程 问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量= 各个分工作量之和 5.①+解题关键去分母，把分式方程转化为整式方 程求解即可， ②+思路剖析去分母，得x-1=0.解得x=1.经 检验，x=1是原分式方程的解。 回阳题橱解分式方程的基本思想是把分式方程 化为整式方程，解分式方程的一般步骤：①去分 母，即在方程的两边都乘以最简公分母，约去分 母，化为整式方程：2解这个整式方程：③脸根 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为 零：使最简公分母为零的根是原方程的增根，必 须舍去：使最简公分母不为零的根是原方程 的根 6.①+解题关根据新定义运算列出分式方程并解 分式方程即可， ®新根据题意，得十+2红去 分母，得x+x+1=(2x+1)(x+1),解得x1= -分西=0检验：当x=-时(x+1)0:当 x=0时，x(x+1)=0,故舍去.则原方程的解为x= 【中考风向】新定义类试题是中考命题的新趋势 难度一般不大，旨在考查学生的阅读理解能力以及 灵活运用知识的能力 促提升 1.B 1.①+解题关键将分式方程化为整式方程，表示出 方程的解，由方程的解为非负数，列不等式求解即 可，注意排除使分式方程的分母为0的情况， ②+思路制所去分母，得m+2(x-1)=3,解得 5”:分式方程的解为非负数52≥0 且3，m≠1，解得m≤5且m≠3，.m的正整数解 2 有1,2,4,5，共4个.故选B. 常③提升点拨含有字母的分式方程一般都指出了 未知数.如“关于x的分式方程”表示只有x是未知 数，其他字母都是常数，解含字母的分式方程时，有 时需要分类讨论或结合题目对字母系数进行限制， 2.第①解题关键将分式方程转化为整式方程，通过 求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解。 第②考答案解：方程两边乘(x+1)(x-1), 得2(x-1)+(x+1)(x-1)=x(x+1). 解得x=3. 检验：当x=3时，(x+1)(x-1)0 所以，原分式方程的解为x=3. 3.0+解题关噻根据工作时间=工作总量÷工作效 率，结合实际比原计划提前5天完成任务，列方程 解答即可 ￥②参考答案解：设计划平均每天修建步行道的 长度为xm,则采用新的施工方式平均每天修建步 行道的长度为1.5xm 根据题意，得0+51 x 2,解得x=80, 梦考否率与解新 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意 答：计划平均每天修建步行道的长度为80m. 回回国列分式方程解决问题的一般步骤： (1)审：理解题意，弄清具体情境中的已知量与未 知量以及它们之间的基本关系；(2)设：设未知 数，用x(或其他字母)表示某个未知量，由该未 知量与其他数量的关系写成表示相关量的式子： (3)列：找出等量关系，列出分式方程；(4)解：解 这个分式方程；(5)验：双重检验，先检验是否为 增根，再检验是否符合题意：(6)答：写出答语 ①中解题关螺找出等量关系：电动汽车所需电货 200元时行驶的路程=燃油汽车所需油货200元 时行驶的路程×4，列分式方程解题. ②参考答案解：设这款电动汽车平均每千米的 充电费为x元，则燃油汽车平均每千米的加油费为 (x+0.6)元 根据题意，得200=200 xx+0.6 ×4,解得x=0.2. 经检验，x=0.2是原分式方程的解，且符合题意. 答：这款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元 【中考风向】分式方程的实际应用是中考的重要考 点，常以解答题的形式出现，间题的背景都是现实 生活中的热点问题，常考查行程问题、工程问题和 销售问题等，难度中等，解决此类问题的关键是寻 找等量关系，注意不要忘记检验 单0出解题关。(1）利用路程=速度×时间，结合 甲追上乙时二者的行驶路程相等，列方程解决问 题：(2)利用时间=路程÷速度，结合乙比甲多用 20分钟，列方程解决问题. ②参考答案解：(1)设乙骑行的速度为x千米/时， 则甲骑行的速度为1.2x千米/时. 根据题意，得}×1.2：=2+宁， 解得x=20,则1.2x=1.2×20=24. 答：甲骑行的速度为24千米/时： (2)设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度 为1.2y千米/时. 根据题意，得0、30.20 y1.2y60' 解得y=15. 经检验，y=15是原分式方程的解，且符合题意 则1.2y=1.2×15=18. 答：甲骑行的速度为18千米/时 5.0解题关罐(1)根据每人每小时完成的工作量 不变，列分式方程求解：(2)先根据工作总量÷工 作时间÷参与工作的人数，求出每人每小时完成的 工作量，再根据工作总量=工作效率×工作时间× 工作人数，列方程求解 ②参考答案解：(1)设该厂当前参加生产的工 人有x人 23 中考基础圆1000题 根据题意，得310=品 15 解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意 答：该厂当前参加生产的工人有30人： (2)每人每小时完成的工作量为16÷8÷(30+10)= 0.05(万剂). 设还需要生产y天才能完成任务。 根据题意，得4×15+(30+10)×10×0.05y=760. 解得y=35. 则35+4=39（天）. 答：该厂共需要39天才能完成任务. ③步提升点拔列分式方程解应用题需要注意的 点：①审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列 表，画图等方法准确找出相等关系。当题目中包含 多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大 部分)数量的相等关系列方程：②设未知数时，一般 题中问什么就设什么，即设直接未知数：若设直接 未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知 数，即设间接未知数：有时设一个未知数无法表示 等量关系，可设多个未知数，即设铺助未知数.③应 用題中解分式方程同样要验根， 真题改编科学借鉴 1.B2.D3.D4.D5.C6.-37.1 1@解题关凝将2,1代入原方程组得出关于 ,b的二元一次方程组，即可求解 储2步思路剧折 将21代 y=-1 入方程组 +三，5得2ab=,5.①0+2.得3a+ 2bx ay =2.' °14b+a=2,② 3b=-3,.a+b=-1.故选B. ③#提升点湖已知一次方程（组）的解，求方程 (组)中字母的值的两种方法：①代入法：当已知方 程（组）的解时，把解代入方程（组），得到新的方程 (组)，再解新的方程（组），从而求出字母的值： ②整体法：根据方程（组）中的未知数的系数特点， 利用整体思想求某些字母的值. 2.0鲜题关键根据方程有两个实数根，可得4 2-4ac≥0，且二次项系数不为0，列不等式求解 即可 ②+思路脚析：方程有两个实数根，∴k一1≠0， 4=6-4c=(-1-)2-4×(k-1)x4≥0， 且1-≥0，解得k≠1且k≤1，即k的取值范围是 k<1.故选D. O中提升点拨注意此题不要忽路被开方数为非负 数的情况， 3.0*解题关键根据题意找到等量关系：2022年第 一季度营收入=2020年第一季度营收入×(1+年 平均增长率)2=2020年第一季度营收入×(1+ 24 2021年第一季度的增长率)×(1+2022年第一季 度的增长率)· ②思路剖析根据题意可列方程为(1+x)2= (1+12%)(1+10%).故选D. ③士提升点拨根据实际问题抽象出一元二次方 程，求平均变化率的方法：若设变化前的量为4，变 化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后 的数量关系为a(1±x)2=b. 4.0+解题关罐由分式方程有增根时最简公分母为 0求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入 整式方程求解即可 ②+思路制析由题意得分式方程的增根为x=1. 方程两边乘(x-1),得m+1=-x.当x=1时， m+1=-1,解得m=-2.故选D. 端自+提升点拨导致分式方程无解的情况有两种： ①由于整式方程无解导致分式方程无解：将分式方 程通过去分母变成整式方程后，整式方程是r= b(a=0.b≠0)的形式：2由于增根导致分式方程无 解：求得的分式方程化成的整式方程的根是原分式 方程的增根 5.0中解题关键将分式方程化为整式方程，表示出 方程的解，由方程的解为正数，列不等式求解即可 注意排除使分式方程的分母为0的情况. ②+思路制析去分母，得a-1=2(x-1),解得 x=0+1 0生.：方程的解为正数生>0，且≠ 1,∴.a的取值范围为a>-1且a≠1.故选C. 6.①+解题关瓣利用一元一次方程只含有一个未知 数，且未知数的次数都为1列式求解即可， ②+思路脚析根据题意，得1m-11=1且m-2≠ 0,解得m=0,则原方程为-2x-2=4,解得x= -3. ③+提升点拔判断一个方程是否为一元一次方程 的方法：①不仅要看原方程，还要看化简后的方程； ②原方程必领具备：等号两边是整式：化筒后的方 程必须具备：一是未知数的次数都为1：二是只含 一个未知数且未知数的系数不为0. 7.前0士解题关键由整体加减法求出a+b和a-b的 值，再将代数式利用平方差公式分解即可求值， ©路际“仁之，是方程组子的解 把2，物子 12b-3a=3,② ①+②，得-a-b=5,∴a+b=-5.①-②，得 5a-56=-la-b=-5a2-6=(a+b)· (a-b)=-5x(-5)=l 自提升点拨整体代入法：代数式求值时，不能直 接求出代数式中的字母的值或求字母的值的过程 比较复杂，而比较易得一个代数式的值，我们可以 采取整体代换的思想来解决问题 8.m0解题关罐根据解分式方程的一般步聚解 方程 0参考答案解：方程两边乘2x-5,得x-4= 2x-5. 解得x=L. 经检验，x=1是原分式方程的解 所以，原分式方程的解为x=1, 9.第0解题关耀(1)利用一元二次方程有实数根 时，△=b2-4ac≥0求解即可：(2)先确定m的最大 整数解，然后代入方程求解即可 ②#参考答案解：(1)，一元二次方程有实数根， .4=b2-4ae=(2m-1)2-4(m2-3)=13 4m≥0. 解得m≤3 13 (2)m≤，且m取最大整数，心m=3, ∴.代入得方程x2+5x+6=0 解得x1=-2,x2=-3. 模拟精选 强化提开 A2.C3A4.C5.C6.B7.a> 8.27509.x=2 10.+2y=75, 11.60 lx=3y 1.①中解题关键将已知的解代入方程中，求出待定 字母的值. ②思路制所：关于x的一元一次方程2(x一1)+ 3a=3的解为4，，将x=4代入原方程得2×(4- 1)+3a=3,解得a=-1.故选A. ③升点拨若一个字母的值是方程的解，则这 个字母所给定的值代入方程后能使等号左右两边 相等，根据方程解的定义，将方程转化成关于所求 字母的方程，进而求出所求字母或代数式的值， 2.第0中解题关键根据二元一次方程的定义可知，未 知数的次数都为1，据此即可解题. ②想路副析原方程是关于x,y的二元一次方 程，所以x,y的次数为1，得a+b=1.故选C. 回旧國個二元一次方程必须符合以下三个条 件：①)方程中只含有两个未知数：②含未知数项 的次数都为一：③方程是整式方程 3.￥0出解题关键分k=0和k≠0两种情况进行 解答 ②沙思路剖析分两种情况讨论：①当k=0时，方 程为2x-1=0,是一元一次方程，必有实数根： ②当≠0时，方程为一元二次方程，若此时有实数 根，则4=22-4k×(-1)≥0，解得k≥-1.综上所 述，≥-1.故选A ③提升点拨方程有实数根与方程有两个实数 参老否率与解新 根的根本区别：方程有实数根时，此方程不一定是 一元二次方程，也可能是一元一次方程：方程有两 个实数根时，该方程一定是一元二次方程. 4.0解数关罐找到等量关系“售价-进价=进 价×利润率”列方程求解 ②思路翻析设该商品的进货价为x元，则利润 为20%x.根据题意，得120×90%-x=20%x.解 得x=90.所以该商品的进货价为90元.故选C ￥③握开点泼在方程的应用题中，考查利润问题 最典型，利润问题主要涉及进价（成本）、售价、利 润、利润率四个量，每个量都可以作为相等关系列 方程 5.0中解题关罐找准等量关系：螺钉×2=螺母×1， 列方程求解 ②思路剖析设安排x名工人生产螺钉，则(26 x)名工人生产螺母.根据题意，得2×800x= 1000(26-x).故选C ③中提升点拔解决此类问题的关键是理解配套方 式，若配套的方式以比例形式出现，则生产总量的 比例等于一套的比例：若配套的方式给出数量，如 m件A产品与n件B产品配套，则等量关系是 “A产品的件数×n=B产品的件数×m” 6.①解题关缝根据题意找到等量关系：原计划天 数-实际天数=6，还原方程即可. 8+思路剖折860为原计划天数，而860m是道路 改造总长，所以x表示的量是原计划每天改造道路 的长度.故选B 【核心素养】本题以实际生活为背景，通过列分式 方程解决实际应用题，体现了数学抽象、数学建模 素养 7.①+解题关罐先用含a的代数式表示出方程的 解，再结合方程的解是负数，列不等式求解 8#思路剖斯方程x+2a=1,解得x=1-2a 关于x的方程x+2a=1的解是负数，∴，1-2a< 0.解得a>2 8。①步鲜题关避根据利润=售价一进价=进价×利 润率，列方程求解即可 ②出思路别析设标价为x元，则售价为80%x根 据题意，得2000×10%=80%x-2000,解得x= 2750.故标价为2750元. ③握升点在一些较复杂的实际问题中，当出 现的未知量较多，并且有时看起来似乎缺少条件 时，要考虑设未知数.这些未知数能帮助我们理清 各数量之间的关系，为已知条件和特解问题“牵线 搭桥”，从而找到等量关系列方程， 9.①出解题关醒利用分式方程有增根时，最简公分 母为0求解即可.注意排除使整式方程无解的 情况 思路侧折分式方程+号-三=1的最简公分 x-2-x 25 中考基腿要1000题 母为x(x-2).去分母，得x(x+a)-5(x-2)= x(x-2).令x(x-2)=0,得x=0或x=2.把x=0 代入，得整式方程无解，即分式方程无解：把x=2 代入，得2(2+a)-5×(2-2)=2×(2-2),解得 a=-2.综上所述，分式方程的增根为x=2. ■③提升点拨在分式方程化为整式方程的过程 中，若整式方程的解使最筒公分母的值为0，则这 个解叫做原分式方程的增根：反之，若分式方程有 增根，则必是使最简公分母为0时未知数的值. 10.单0+解题关键根据图示可得等量关系：小长方 形的长+小长方形的宽×2=75厘米，小长方形 的长=小长方形的宽×3. ￥8思路制所根据题意，得+2y=75, x=3y. ③爆升点拨解决图形问题的关键是通过对图 形的观察、比较分析，发现隐含在图形中的数量关 系.图形中隐藏的数量关系有边长之间的关系、面 积之间的关系等， 11.0+解题关键根据图1可得5个小长方形的 宽=3个小长方形的长，根据图2可得2个小长 方形的宽=1个小长方形的长+2 ②+思路剖折设每个小长方形的宽为xcm,长 为m限据题意，得2，解得6所 ly=10. 以每个小长方形的面积为xy=6×10=60(m3). 【中考风向】二元一次方程组的应用是中考的热 点内容，特别是近几年中考中，将已知条件以图形 或图表等形式给出，出题形式新颖，注重知识的迁 移与运用. 12.m①生解题关罐利用（售价-进价）×销售件数= 销售利润列出一元二次方程，解之取较大值即可 得出结果 ②参考案解：设每件商品应降价x元，则平 均每天可以销售(20+2.x)件. 根据题意，得(200-x-160)(20+2x)=1200, 整理得x2-30x+200=0. 解得x1=10,x2=20. :为了尽快减少库存，且每降1元，每天可多售出 2件， ..x=20 小明妈妈应打折数：(200-20)÷200×10=9. 答：每件商品应降价20元，为满足降价要求，小明 妈妈应打9折出售. ③提升点透解决此类问题时，可用列表法分 析题目中各个量之间的关系，列表法的优点在于 将题目中各个量列在一个表格中，从而理顺它们 之间的关系，以便从中找出相等关系，列出方程 如本题分别从降价前后将每件盈利、销售量、总 利进行对比呈现，便可找出相等关系 13.0解题关罐(1)根据题意找到等量关系：乙所 用时间-甲所用时间=，列分式方程求解即可： 26 (2)根据甲和乙相遇时，甲行驶的时间=乙行驶 的时间，列方程求解即可 ②#参考答案解：(1)设乙的速度是xkm/小h,则 甲的速度是1.5xkm/h. 限报惩意，得公-宁解得三0 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意。 则1.5×40=60. 答：乙的速度是40km/h,甲的速度是60km/h; (2)设甲出发yh后发现忘带了物品. 根据题意，得2+”。0000，解得了=是 60 答：甲出发是h后发现忘带了物品。 ③趣升点拨一般情况下采用直接设元，即问 什么设什么，有的问题，若直接设所要求的量为未 知数，求解过程繁琐，则此时可间接设未知数.总 之，设元的宗旨要使列方程的思路清晰，列出的方 程易解.在学习中需灵活运用，切忌生撒硬套. 14.0解题关键(1)根据题意找到等量关系：3辆 小客车载客量+1辆大客车载客量=105：1辆小 客车载客量+2辆大客车载客量=110，列方程组 求解即可：(2)根据题意找到等量关系：小客车的 数量×每辆的载客量+大客车的数量×每辆的载 客量=400，列二元一次方程求整数解即可： (3)结合第(2)问结论，求出每种方案的价格进行 比较即可. m②参考答案解：(1)设每辆小客车能坐x名学 生，每辆大客车能坐y名学生 根据题意得+20解得45 1x+2y=110, 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐 45名学生： (2)根据题意，得20m+45n=400, 即m=20-} m,n都是非负整数， 0攻”经 n=8. 答：共有三种租车方案，方案一，租小客车20辆， 大客车0辆：方案二，租小客车11辆，大客车 4辆：方案三，租小客车2辆，大客车8辆： (3)由(2)可得方案-需租金：150×20=3000（元）： 方案二需租金：150×11+250×4=2650（元）： 方案三需租金：150×2+250×8=2300（元） .2300<2650<3000. ∴.方案三租金最少，最少租金为2300元 【中考风向】方案选择类间题是中考的热点，一般 以解答题的形式出现，常结合一元一次不等式，二 元一次方程组，一次函数等知识点综合考查，难度 中等.