第3讲 分式及其运算-【中考母题】备考2026年中考数学基础1000题

中考基醒题1000题 第三讲 分式及其运算 参考答案 母题精研)分式的概念和性质 定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字诗，那么式子合叫微分式 分式的概念分式有意义的条件及值为0的条件：当B≠0时，分式合才有意义； 和性质 当A=0且B≠0时，分式合=0 性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 国自墨 促提升 1(中考·怀化)代数式号x,74- 212 3, 1.(中考·河北)若a≠b,则下列分式化简正 确的是 () 1+中，属于分式的有 x’x+2 ( A.a+2 6+2=6 B.a-2_a 6-2=6 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2(中考·宁波)要使分式十2有意义，x的取 Co-5 D. 值应满足 A.x≠0 B.x≠-2 2.(中考·绥化)若式子 一在实数范围内 C.x≥-2 D.x>-2 x+ 时，分式2x 有意义，则x的取值范围是 () 3.(中考·广西)当x= x+2 A.x>-1 B.x≥-1且x≠0 的值为零 C.x>-1且x≠0 D.x≠0 母题精研☑分式的运算 分式的乘除：，合=名·4=·4口 a.c 分式的运算 6.6:=() 分式的加减：±ba±b,4 c c bd 国自送础 C.a+2 D.a a+2 1.（中考·天津)计算9++ +2的结果是 a+2 2(中考，临沂)计算名，名的结果为 ) ( -x+Y x-Y A.1 B.2 a+2 A(x-1)(y-10 B.(x-1)(y-1) 12 第一部分预心母题分层练 -x-Y 2 C.(x-1)(y-1) x+y D.(x-1)(y-1) C.2x ”x-2 D.x(x+2) 3.(中考·南充)下列运算正确的是（) 2.(中考·河北)若x和y互为倒数，则(x+ A.36.2a-6 4a96=6 少2-)的值是 () 品路-号 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(中考·南充)已知a>b>0,且a2+b2= c}+1=2 2a'a 3a 3b,则(。+P+(宁为的值是() D.1,-12 a-1a+1a2-i A.5 B.-√5 c D.-⑤ 5 4(中考·百色)当=-2时，分式)7 4(中考·南充)若+3x=-1,则有 的值是 ( ) A.-15 B.-3 C.3 D.15 5(中麦、南充)若+=3，则子大名 n-m 5.(中考·路新)计算(a-方)牛（日-b)的结 果是 ( 6(中考·序州)先化简，再求值：（会。 A- B号 c.- D. a 0 品》+其中a=2 6.(中考·济宁)计算_4÷(a+1-5a-4) a a 的结果是 () A.0+2 B.4-2 a-2 a+2 c.（a-2)2(a+2) D.a+2 a 7.(中考·吉林)计算：x一x-1 2x 7.(中考·邵阳)先化简，再从-1,0,1,2， 2+1中选择一个合适的x的值代入求值 8(中考·或汉)计算，。3的结果是 x2-1 （1-42x+ 促提团 ,1。的计算结果为 1.(中考·随州)2-4÷2-2x () A. B.2x "x+2 x+2 13 中考基醒题1000题 真题改编 科学借鉴 1.(中考·扬州改编)使得式子有意义 7.(中考·连云港改编)已知a2-3a=-2,则 1 的x的取值范围是 a*1~1s A.x≥4 B.x>4 8.(中考·广州改编)已知：T=(2-6 C.x≤4 D.x<4 x2-1 2.(中考·南充改编)已知a=2b≠0，则代数 x+2 式4-2a+的值为 ( (1)化简T; a2-ab (2)若正方形ABCD的边长为x,且它的面积 A.1 B号 为8，求T的值， c D.2 3.(中考·广西北部湾经济区改编)若分式 父-4的值为0，则x的值是 A.2或-2 B.0 C.-2 D.2 4(中考·衡相改编)化简，号+亡的结果 9(中考·那阳改编)已知4=2B 是 ( 家是4C=x本2将它们组合成(A-B)+C 2 A.x+1 B.1 x+1 或A-B÷C的形式，请你从中任选一种进 C.x-1 D 行计算.要求：先化简，再求值，其中x=1. 5.(中考·杭州改编)小明在写作业时，不小心 用水意住了代数式（●-己）本 票的一部分，则被墨水遮住的一项是 ( A.+3 B.t-3 x-1 x-1 c母 D.米-1 x+1 6(中考·河南改编)化简：：2 x-4x+4 14 第一郁分预心母题分层练 模拟精选 强化提升 1.若式子号在实数范围内有意义，则x的 8.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认 x-2 真阅读并完成相应任务. 取值范围是 ( x2-1x-1 A.x≥1且x≠2 B.x≤1 x2+2x+12x+2 C.x>1且x≠2 D.x<1 =（x+1)(x-1) x-1 (x+1)3 2(x+1) …第一步 2若分式2的值为负数，则x的取值范围是 =-1-x-1 …… x+12(x+1) 第二步 ( A.x<2 B.x>2 2(x-1)x-1 2(x+1)2(x+1) 第三步 C.x>5 D.x<-2 =2(x-1)-(x-1) 第四步 3.使分式5的值为整数的所有整数x的 2(x+1) =2x-2-x-1 第五步 和是 ( ) 2(x+1) A.-1 B.0 x-3 第六步 C.1 D.2 2x+2 4分式2m可变形为 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是进行 A.1 B.1 分式的通分，通分的依据是 m-2 m+2 C.-1 ②第」 步开始出现错误，这一步错 +2 D.- m-2 误的原因是 5.下列各式从左到右的变形正确的是( (2)请写出该分式正确的化简过程， A. 2x-Y B.0.2a+6_2a+6 2*+yt+2 a+0.2ba+2b C.-x+1_-1 D.atb-a-b x-y x-y a-b a+b 6化简2+24 2的结果是 A.1 B.t+4 "x+2 x2-4 C.x+2 D.x+4 7如果代数式㎡2+m=1,那么心+4m+4 m m+2的值为 m 15 中考基题1000题 综合训练一 数与式 1.(中考·北京)截至2021年12月31日，长 材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将 江干流六座梯级水电站全年累计发电量达 这个数用科学记数法表示为 2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约 9.（中考·南充)比较大小：22 3 2.2亿吨.将262883000000用科学记数法 (填“>”“=”“<”) 表示应为 10.(中考·荆州)若a=(m-2020)°，b= A.26.2883×100 B.2.62883×10 -(分)1，c=1-31,则a,b,c的大小关系 C.2.62883×102 D.0.262883×102 2.(中考·河北)某正方形广场的边长为4× 为 .(用“<”号连接) 102m,其面积用科学记数法表示为( 11.(中考·青海)(-3+8)的相反数是 A.4×104m2 B.16×10m2 ；√16的平方根是 C.1.6×103m2 D.1.6×10°m 1 12.(中考·哈尔滨)计算√24+6， 的结果 3.(中考·河南)《孙子算经》中记载：“凡大数 之法，万万日亿，万万亿日兆.”说明了大数 是 之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万× 13.(中考·泰安)计算：⑧×√6-3， 1万×1亿.则1兆等于 A.10 B.102 C.1016 D.1024 4.(中考·河南)下列运算正确的是( 14.(中考·南京)计算8-√ 的结果是 A.25-3=2 B.(a+1)2=a2+1 C.(a2)3=a D.2a2·a=2a3 15.(中考·常德)分解因式：x3-92= 5.(中考·攀枝花)下列说法中正确的是( A.0.09的平方根是0.3 16.(中考·陕西)分解因式：x3+6x2+9x= B.√16=±4 C.0的立方根是0 17.(中考·嘉兴)(1)计算：(2020)°-√4+ D.1的立方根是±1 1-31: 6.(中考·天津)估计√29的值在 ( A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 7.(中考·永州)下列因式分解正确的是( (2)化简：(a+2)(a-2)-a(a+1). A.ax+ay=a(x+y）+1 B.3a+3b=3(a+b) C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b) 8.(中考·广元)石墨烯是目前世界上最薄却 最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的 16 第一部分预心母题分层练 18.(中考·河南) 21.(中考·德州)先化简：(-】-+2)÷ x-2 x (1)计算：27-（兮）°+2 +4然后选择-个合适的x值代入 求值。 （2)化简+(1-. 19.(中考·重庆A卷)计算： (1)(x+y)2+x(x-2y): 2.(中考·选州)求代数式(-x-1)÷ ,=2,的值，其中x=2+1 x2-2x+1 21-m3)÷示69 m2+6m+9 23.(中考·赤峰)先化简，再求值：网二+ 20.(中考·苏州)已知3x2-2x-3=0,求 (m+2-m2,其中m=(兮)+(2- (x-1)2+x(x+子)的值 π)°+⑧-1-71. 17,∴.3x+3=0.解得x=-1. 第提升点拨绝对值，平方以及二次根式都具 有非负性，若其中的2个或3个相加等于0，则每 一项都等于0，这是题目中隐含的条件 第三讲 分式及其运算 母题精研1分式的概念和性质 稳基础 1.B2.B3.0 1.第0=解题关罐分母中含有字母的式子叫做分式。 0港脑断分式有：24中2整式有： 子2-子放分式有3个放选且 单③提升点遇判新式子是不是分式是从原始形式 上去看，而不是从化简后的结果上去看，如《是分 式，而不是整式.注意T是数字不是字母 2.①中解题关键根据分式有意义时，分母不为0 求解 ®思制所要使分式，十2有意义，则要求分母 x+2≠0，解得x≠-2.故选B. ③提升点拔遏到分母含未知数的分式时，一定 要考虑到分式的分母不等于0这一条件 3.①中解题关罐根据分式的值为0时，分子为0且 分母不为0，即可解题 Q想断婴使分式，华2的值为0，则婴求分 子2x=0.且分母x+2≠0.即x=0. ￥③提升点拨求解分式的值为0的条件时，先求 出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是 否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是 所要求的字母的值：当它使分母的值为0时，则 舍去， 促提升 1.D2.C 1.①+解题关键根据分式的基本性质：分式的分子 与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变，即可解题 ②+思路剖析分式的分子，分母加上（或减去）同 一个整式，分式的值可能会改变，如号号号宁 号号子=0放A,B选项错误芳=(，（号 与只不-定相等，如()≠号，故c选项错误：由 分式的基本性质可知，D选项正确， 自提升点诚注意：(1)分式的分子、分母加上 (或减去)同一个整式并不能保证分式的值不变： (2)在应用分式的基本性质时，注意“同”的含义， 参考否率与解新 避免出现只乘分子（或分母）的错误：(3)若分式的 分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时应先 把它们放在括号内，再乘或除以同一整式 2.0鲜题关键利用分式、二次根式有意义的条件 和零指效暴的意义分别求出x的取值范围，并取其 公共部分即可求解 ②思路别析：分式的分母不为0，且二次根式 的被开方数大于或等于0，∴.x+1>0,解得x>-1. 又，零指数幂的底数不为0，，x≠0.综上所述， x的取值范围是x>-1且x≠0.故选C ￥③步提升点褪(1)若二次根式有意义，则要求被 开方数大于等于0，但当二次根式在分母上时，则 要求被开方数大于0.(2)若一个式子中同时出现 二次根式和分母，则要求被开方数大于等于0且分 号不为0，要修合考虑字母的取值，如子有老 义的条件是x≥2，而不是x≥2且x≠-1，即最终 的结果取两者的公共部分即可， 【中考风向】中考题型常结合分式、二次根式有意 义的条件和零指数幂的意义综合考查，以选择题、 填空题为主，难度不大 母题精研2 分式的运算 稳基础 1.A2.A3.D4.A5.A6.A7 8.x+ 1,0出解题关键分母相同，只需将分子相加后化简 即可 地？步想路制析0+！十 1+2 a+2+a+2a+2 =L.故选A 回回假相同分母分式相加减，分母不变，把分子 相加减，并将结果化为最简形式 2.①+解题关键异分母分式相加减，先通分，变为同 分母的分式，再加减，并将结果化为最简形式 ®思路制折原式=化-》 (x-1) (x-1)y-1)(x-1)G-1) -x+Y (x-1)G-(x-1)G-)故选A xY-x-xY +y ③提升点拨同分母分式加减运算，只留分子来 加减.若是分母不相同，通分之后再运算.加减之后 不算完，结果必须化最简。 3.单0出解题关罐根据分式的加减乘除的运算法则进 行计算即可 0听治·品-动：放A选项错误动÷ 光总办放围法项精误名日品 113 11-(a+1)-(a-12 故C选项错误：。-一a+1 (a-1)(a+1) 11 中考基脚周1000题 ,二故D选项正确 2 ③#提升点拨注意：(1)分式与分式相乘，若分 子，分母是单项式，则先将分子，分母分别相乘，然 后约去公因式，化为最简分式或整式：若分子、分母 是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约 分，再相乘；(2)分式的除法运算要转化为分式的 乘法运算；(3)分式的乘除的运算结果要通过约分 化为最简分式或整式：(4)异分母分式的加减运算 一定要先通分后运算，不能直接将分子与分子相加 减，分母与分母相加减 4.0解题关罐先将分式约分化简，再代入数值进 行计算 0思路所原式=3(：9》.3(x+3)(x-3》。 (x+3)2 (x+3) 32当-2时，原式=3》 -2+3 -15.故选A 5.0出鲜题关键先进行括号里面的减法运算，再进 行除法运算 #O+思路制所原式=b-÷1-b-b-」. b 6=会放选A 6.0解题关瓣先进行括号里面的加减法运算，再 进行除法运算，能进行因式分解的要因式分解 mg#思路制折a-4÷(a+1-5a-4)=a-4 a Ta(a+1)-(5a-421 :(a+2)(a-2) a2+a-5a+4_a+2)(a-22. 2号 故选A 7.0+解弧关键同分母分式相加减，分母不变，分子 相加减 8思路断原式红子：一 8.架0出解题关罐异分母分式相加减，利用平方差公 式先通分，变为同分母的分式，再加减，并将结果化 为最简形式， 0新原赋2a2 x-3 1 x+3 ⊙出提升点拨注意：在进行分式的加减乘除运算 后，能约分的一定要约分，使结果化为最筒分式或 整式. 促提升 1B2.B3.B4.-257 1.①解题关罐将除法运算转换成乘法运算之后约 分化简即可 12 0思折原式=子乙4·（-2x） +2-2(-2）=42故选B 2 ③提升点拨分式的除法运算最终还是转化成乘 法运算，所以熟练掌握好分式的乘法运算方法对进 行除法运算非常重要. 2.端0+解题关罐利用互为倒数的两数之积为1得出 灯的值，再将其代入化简后的式子计算即可 中0思商听原式=2y-1+2-寸=2y-寸十 1 1x和y互为倒数，∴.y=1,原式=2×1-1+ 1=2.枚选B. 回回國围本题在化简分式时运用了多项式与多 项式相乘的法则：(a+b)(p+q)=ap+a叫+p+ 3.①中鲜题关先将分式进行化简，然后利用完全 平方公式、平方差公式得出a±b与√ab的关系即 可解题 0男新原式：（出户+（气治 ab (b+a)2.a262=(b+a2.022 a2b262-a2 Γa262(b+a)(6-a) b-a a-6a2+=3ab,(a+b)2=5ab, 6+0=-a+6 (a-b)2 =ab..axbx0,..a+b=5ab,a-b= 瓜台密放法 =③出提升点版注意完全平方公式的常见转换： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: (2)4ab=(a+b)2-(a-b)2 4.0解题关罐先将所求式子通分后化简，再由已 知条件得出x2+x=-2x-1,然后利用整体代入法 即可求出结果 ②出患路制折原式=x+）-1三子+x-」 x+1 x+1 x2+3x=-1,.x2+x=-2x-1,原式= -2x-1-1--2x-2--2x+1=-2. x+1 x+1 x+1 ③升点拔解决分式化筒求值问题（尤其是约 束条件下的求值)的一种解题技巧是从整体出发， 运用整体思想建立求值式与已知条件的关系，化难 为易，以简职繁 5.0解题关雕利用已知条件？+m=3得出n= n -m 2m,然后將其代入所求式子即可求解 g+思路制所n+m=3n+m=3(n-m),化 n-m m =4+ 4 ③升点极对于含有两个参数m,n的试题，要 通过已知条件找到m与n的关系，这样就能消去 一个参数的影响 6.端0中群题关键先进行括号里面的减法运算，再进 行除法运算，化简式子后再将的值代入计算 即可 望2中参考蓓军 解：原式-a0品o+2-la- =a-)'aa-3.(a-1） a(a+1)(a-1) =0-2a+l-0+3a.(a-1) a(a+1)(a-1) 0+1 a(a+1)(a-1)·(a-1) a 当和时武号号 【中考风向】分式化简求值是中考的常考题型，一 般难度不大.命题形式有分式的化简和分式的化简 求值两种 7.0解题关罐先利用分式的混合运算法则将分式 化简，然后选择一个使分式有意义的数代入求值 即可 阳②+粉考答案 解：原式=+1-÷-1 x+1x2+2x+1 1 (x+1)2 x+1(x+1)(x-1 要使原式有意义，.x+1≠0，x-1≠0， x≠±1，故x可取0,2或2+1. 当x=0时，原式=-1： 当x=2时，原式=1： 当万+1时原武=号 第③中提升点拔注意：要使分式有意义，不仅仅要使 最终化简的分式有意义，原式的每一项分式都要有 意义，最终x的取值范围为所有取值范围的公共 部分. 真题改编科学借鉴 1.D2.B3.A4.A5.B 627攻-号 1.￥0士解题关键利用分式的分母不为0和二次根式 的被开方数大于等于0即可求解. ®蹄听要使式子4一有意义，则4-三 0且4-x≠0，解得x<4.故选D. 参考否率与解析 ©#提升点拨注意：二次根式有意义的条件是根 号下的被开方数（式子）整体大于等于0，而不仅仅 是x≥0：当二次根式在分母上时是取不到0的. 2.0步鲜题关罐先化简原式，再将已知条件a= 2b≠0代入求值即可. 0+路别折原式-4-b-0-人当4=26≠ -a(a-b)=a 0时，原式。宁放选围 3.0解题关醒分式的值为0时，分子为0且分母不 为0. 0=断若分式：的值为0，则分子父 4=0且分母x≠0，解得x=±2.故选A 4.①步解题关罐先将两个异分母分式化成同分母分 式，然后相加诚，并将结果化为最荷形式即可. 0路断原式：名= (x+1)(x-1)=x+1.故选A x-1 ③+提升点拨本题直接通分虽然也可以得出答 秦，但化筒的过程太复杂，解题时要观察题目中式 子的特点，寻找最优解， 5.0解题关罐利用移项得出被墨水逃遮住的代数 式，再利用分式的运算法则进行计算即可。 ②出思路副析设被墨水遮住的式子为A,则A= x+】 -*1+--故被墨水 3 x3x-3 遮住的一项起二故选B ©中提升点拨此类题可以把被墨水遮住的一项式 子当作未知数，运用方程的思想求解，本质上还是 进行分式的加减莱除运算， 6.0中解题关罐利用完全平方公式化简即可 第②#想路制折原式=￥-2，术 x(x-2)x-2 ￥③+提升点湖常见的完全平方公式，如(x±1)？= x2±2x+1,(x±2)2=x2±4x+4,(x±3)2=x2± 6x+9. 7.m0步解题关键利用a2-3a=-2求出a的值，代 入所求式子即可解出答案！ 8+思路脚析a2-3a=-2,∴a2-3a+2= (a-1)(a-2)=0,解得a=1或2.当a=1时， -1-之当a=2时+1=-号综上 所述。十-1的值为-或-子 m③#提升点碳会解一元二次方程是解答此题的前 提，一元二次方程的解法有配方法、公式法、因式分 解法等，在做题时注意选取合适的方法求解。 8.0步解题关罐(1)先进行括号里面的减法运算， 再进行除法运算即可；(2)根据正方形ABCD的面 13 中考基脚周1000题 积求出x的值，并代入(1)的结论中计算唧可 0溪解：1)1=(2-2)+2 x+2 2(x+2）-6.x+2=,2(x-1), 2 x+2 ·=(x+1(x-x+ (2),正方形ABCD的边长为x,且它的面积为8， x2=8且x>0,x=22, T=2 242-2 x+122+17 9.①步解题关罐利用分式的混合运算法则化简所选 择的式子，再代入计算即可 ②+参考答案解：①若选择(A-B)÷C,则 (4-B)÷c:(224)÷ 2 x+2 龙+2-2 .+2.1 (x+2)(x-2)xx-2 将x=1代入，得(A-B)÷C=-1. 2若选择A-B÷C,则 A-B÷C= 24÷2 1 2 1 x+2x-2 2 .x+2-12 x-21 (x+2)(x-2)xx-2x(x-2)x(x-2)x 将x=1代入，得A-B÷C=1. 回圆酸围分式的混合运算顺序：(1)先来方，再 乘除，最后加减：(2)有括号的先进行括号里面的 运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运 算：(3)同级运算，按照从左到右的顺序进行 模拟情选强化提升 1.A2.A3.D4.D5.A6.B7.2 1.①出解题关罐根据分式的分母不为0和二次根式 的被开方数大于等于0列式求解即可. @想路新要使写在实数范围内有意义。 则要求x-1≥0且x-2≠0，则x≥1且x≠2.故 选A. 【中考风向】初中阶段考查式子在实数范围内有意 义，主要有三个考点：①二次根式的被开方数大于 等于0：②分式的分母不为0：③a°中的a≠0.这三 个考点可能单独考查，也可能组合考查，当组合考 查时注意字母的范围要保证所有部分都有意义. 2.填①出解题关罐根据分子及分式的值均为负数推出 分母为正数，进而求解 8想路新“2三的值为负数，且分子-5<0， .分母2-x>0..x<2.故选A ￥O趣开点拨分式的值的符号受分子分母的影 响，当分子分母同号时分式的值为正，当分子分母 异号时分式的值为负，当未知数在分母上时还要考 虑分母不为0这一条件 14 3.0解题关健根据题意得出5是2x-1的整数倍 是解题的关健， 8思路新“25的值为整数分子5是分 母2x-1的整数倍，∴2x-1=±1或±5.又x为 整数=1.0,3，-2使分式2的值为整数 的所有整数x的和是1+0+3-2=2.故选D. 端O提开点拨分式的值为整数，即分母能整除分 子（或者分子能被分母整除），即分子的取值是分 母的整数倍 4.里0解面关键将分式的分子和分母同时乘以一1 即可得出答案 0思路折2-m票一(2-m=“m-2故 选D. ③步提升点拨学会观察原式和选项的特点，然后 利用分式的基本性质将分子分母同乘一个数，分式 的值保持不变，注意去负号后括号里的数要变号. 5.0中解聊关罐利用分式的基本性质：分式的分子 与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变，即可解题 ②思路制析A选项中，分式的分子，分母同乘 2,分式的值不变，故A选项正确：B选项中只有系 数是小数的项乘10，故B选项错误：C选项中分子 只改变了1的符号，故C选项错误：D选项中分子、 分母中只改变了b项的符号，故D选项错误 自+提升点拔当分式的分子、分母都是单项式或 几个因式的乘积时，可依据分式的基本性质直接约 分化简：当分子或分母为多项式时，一般先进行因 式分解，再依据分式的基本性质进行约分化简， 6.0中解题关键异分母分式相加减，利用平方差公 式先通分，变为同分母的分式，再加减，并将结果化 为最简形式 单②患路潮拆1 x2-4 选B. 7.0+解题关健先利用分式的除法运算将所求式子 化简，再代入求值即可， g#思路折m2+4m+4专m+2。(m+2)2 m m m 2=m+2m:22+m=1原式=2（分2+ m2 m)=2. 8.0解题关躔先将减号前后的两个式子化到最简 后，再通分进行减法运算即可， ②参考答案解：(1)①以上化简步骤中，第三步 是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质 [或分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变]： ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号 前面的符号是“-”号时，去掉括号后，括号里面的 第二项没有变号： (2) x2-1x-1 x2+2x+12x+2 =x+1)(x-1)_x-1 (x+1)2 -2(x+1) =-1。x-1 x+12(x+1) 2(x-1)x-1 2(x+1)2(x+1) =2(x-1)-(x-1） 2(x+1) 2x-2-x+1 2(x+1) x-1 =2(x+1 回阳圈因式分解是分式化简时常用到的知识 点，其中运用完全平方公式和平方差公式进行因 式分解的频率较高.平方差公式：2-2= (a+b)(a-b),完全平方公式：(a±b)2=a2± 2ab +b2. 综合训练一 数与式 1.B2.C3.C4.D5.C6.C7.B 8.3.4×10-o9.<10.b<a<c11.-5±2 12.3613.2314.2 15.x(x+3y)(x-3y) 16.x(x+3)2 1.0解题关疆科学记数法的一般表达形式为a× 10"(1≤a|<10),n为整数，确定a和n的值是解 题的关键 m②#思路剖折262883000000=2.62883×10" 故选B. ③+提升点湖科学记数法的表示形式为4×0“ 其中1≤lal<l0,n为整数.确定n的值时，要看把 原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值 与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值≥10 时，n是正数：当原数的绝对值<1时，n是负数 2.0中鲜题关罐根据正方形的面积公式列出式子， 然后根据(ab)"=ab将其化简，最后将结果写成 科学记数法的形式即可， 2思路制析：正方形的边长为4×10m,.正 方形的面积为(4×102)2=42×(102)2=16×10°= 1.6×10(m2).故选C. 3.0解题关键用科学记数法表示出1万、1亿，进 而利用1兆和1万、1亿的关系用科学记数法表示 出1兆 8中想路剖析1亿=1万×1万=10×10=10 1兆=1万×1万×1亿=10×10×10°=10.故 选C. 参考否率与解析 4.地①生解题关键根据合并同类项，完全平方公式，幂 的乘方，同底数幂的乘法求解即可 ②#思路制析2、3-3=√5，故A选项错误： (a+1)2=a2+2a+1,故B选项错误：(a2)3=a, 故C选项错误；2a2·a=2a3,故D选项正确. 5.①中鲜题关键理解平方根、算术平方根、立方根的 定义即可解題 ②中思路制析0.09的平方根是±0.3，故A选项 错误：16=4，故B选项错误：0的立方根是0，故 C选项正确：1的立方根是1，故D选项错误 ©中提升点湖平方根、算术平方根、立方根的区 别：①平方根是开二次根号，只能是非负数开平方 根，开出来的平方根有正和负；②算术平方根是平 方根的绝对值，是正的；③立方根是开三次根号，正 负数都能开，开出来的数与原数同号。 6。①解题关罐利用夹逼法将无理数确定在最接近 的两个整数之间即可. 2思路折：25<29<36，∴√25</29< √36，即5<√29<6，.29的值在5和6之间. 故选C. ￥O步提升点拔利用夹逼法（即若n2<a<(n+1)2, 则n<a<n+1)可以估计无理数在哪两个可以化 成整数的二次根式之间：本题也可以直接将29与 四个选项的平方数进行比较得出答案， 7.①中解题关鲤掌提因式分解的概念（把一个多项 式分解为几个整式的积的形式)和方法是解题的 关键 m②+思路别析x+ay=a(x+y),故A选项错误： 3a+3b=3(a+b),故B选项正确：a2+4a+4= (a+2)2,故C选项错误：a2与b没有公因式，无法 进行因式分解，故D选项错误 回圆藏围因式分解常用的两种方法：提公因式 法和公式法（包括完全平方公式、平方差公式） 8.0解题关罐科学记数法的一般表达形式为Q× 10(1≤a<10),n为整数，确定a和n的值是解 题的关键 2中思路剖析0.00000000034=3.4×10-10 9.0解题关罐先计算出两个指数幂，然后比较大 小即可 @想路折y22=},3”=1,小子<1，即 2-2<3" 10.0解题关罐分别计算出a,b,c的值，再比较大 小即可 ②中患路副折a=1,b=-2,c=3,∴.-2<1< 3,即b<a<e m③提升点诚比较式子大小时，能直接计算出 数值的可以先计算再比较，不能直接算出结果的， 可以运用作差法比较大小 15 中考基脚周1000题 11.0解题关瓣根据相反数、算术平方根、平方根 的定义解题. 单②思路剖析-3+8=5,5的相反数是-5： 、16=4.4的平方根是±2. 常③提升点泼平方根的结果可为正也可为负，算 术平方根的结果只能是非负的.本题易错点：会少 算一次算术平方根，误以为是计算16的平方根. 12.0+解题关螺先把二次根式化成最简二次根 式，再合并同类二次根式即可， 架@思路剖所√24+6√6=4x6+] V6x石=26+6=36 13.0解题关键先进行二次根式的乘法运算，再 进行减法运算 =0思新尽×5-3，√月=4级-3× 4x3=V48-12=45-23=2B. 3 单③中混升点液二次根式的混合运算实质上就是 实数的混合运算.因此：(1)运算顺序与实数的 运算顺序相同：(2)运算律仍然适用：(3)可以利 用乘法公式与因式分解的方法来筒化二次根式 的有关运算：(4)对于分母含有二次根式的代数 式，要掌握有理化运算，化分母为整式，如上= a·aa 14.0中解题关罐先化简二次根式，再合并同类二 次根式即可。 8新8-V号-22--2,2 2 32.2 2 2 ③提开点城化筒二次根式最常用的方法是分 母有理化，分母有理化有如下几种方法：(1)根据 分式的基本性质：(2)利用平方差公式：(3)利用 因式分解. 15.①解题关罐先提取公因式，再利用平方差公 式分解即可. 8+思路剖折x3-9y2=x(x2-9y2）=x(x+ 3y)(x-3y). ③中握升点端因式分解的方法有：提公因式法、 公式法，十字相乘法和分组分解法. 16.￥0解题关罐先提取公因式，再运用完全平方 公式分解即可 单②+思路制折x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)= x（x+3)2 ③步提升点拨本题同时运用提公因式法和公式 法进行因式分解，若一个多项式有公因式先提取 公因式，再用其他方法进行因式分解，同时因式分 16 解要衡底，直到不能分解为止 17.单0解题关维(1)根据零指数暴，开平方和绝对 值的定义进行实数的运算：(2)根据平方差公式 以及单项式乘多项式运算法则进行运算 常8参考答案解：(1)原式=1-2+3 =2; (2)原式=a2-4-2-a =-4-a. 18.第0解题关螺(1)根据开立方，零指数幂，负整 数指数幂进行实数的运算；(2)根据分式的混合 运算法则计算即可 0参考答溪解：1)原式=3-1+号 5 =2 (2)原式=-1-山 =x+1)(x-1).x x-1 =x+1. 19.m0*解题关罐(1)利用完全平方公式和单项式 乘多项式运算法则进行计算即可：(2)先进行括 号里的减法运算，再进行除法运算。 端2参考管案解：(1)原式=x2+2y+y2+x2-2y =2x2+y2: (2)原式=m+3m. (m+3)2 m+3(m+3)(m-3) 3 m-3 20.常0解题关罐根据整式的混合运算法则先将所 求式子化简，再结合已知条件整体代入， 0参考省案解：原式=2-2+1+2+子 22-等l 3x2-2x-3=0, 52-子-1=0 2-子1 原式=2g-子)+1=2x1+1=3 ③提升点拨本题考查了整体代换的思想，关 键是寻找化简后的所求式子与已知条件的关系， 把2-子当作一个整体进行计第 21.前0解题关明先利用分式的混合运算法则将式 子化简，然后选取使分式有意义的x的值代入计 算即可. 单②中参考答案 解：原式=(x-1)-（x+2)(x-22.(x-2) x(x-2) 4-x =0-x-(x-4).(x-2)2 x(x-2) 4-x =4-8.x-2 x 4-x -t-2 当x=1时，原式=2。-1.（答案不唯一，只要 1 代人的x的值使分式有意义即可，注意x的值不 可以取0,2,4) ③中提升点拨解答此类问题时，选取的x的值要 使分式有意义，即保证原式及运算过程中的所有 分式的分母都不为0. 22.0解题关罐先根据分式的混合运算法则将原 式化简，再将x的值代入计算即可 时公中参者答案 解：原式=-(e+1门.任-2 x-2 =2x-1-(x+1)(x-1).(x-1)2 x-1 x-2 _2x-1-(x2-1.(x-1)2 x-1 x-2 =2-x.(x-1) x-1x-2 =-x(x-1) x=2+1, ∴，原式=-(2+1)×(w2+1-1) =-2-2. ③=提升点拨本题在进行括号内的运算时先把 -x-1提取负号，使其变成-(x+1),然后把x+ 1当作一个整体进行通分更加简单。 23.①解题关罐先运用分式的混合运算法则将原 式化简，然后再计算出m的值代入化简后的式子 计算即可， ￥②中参考答率 解：原式=m-3÷m+2)(m-2)-5 m-2 m-2 =m-3,m2-9 m-2m-2 -m-3 m-2 m-2(m+3)(m-3) m=(写）+(2-m)+8--7引=3+1+ 2、2-7=2、2-3. 故原式=、1 -1-2 22-3+32241 参考否率与解新 【中考风向】分式的化筒和二次根式的混合运算， 属于中考常考题型，题型以解答题为主，难度不 大，注意解题时要先将原式化到最筒再代值计算。 第四讲 方程与方程组 母题精研1 一元一次方程及其应用 稳基础 1.D2.C3.D4.1 1.抛0*鲜关键用括号外的-2乘(2x+1)中的每 一项，再把积相加即可. ②思路割折将方程去括号得-4x-2=x故 选D. ③提升点级去括号时，用括号外的因数与括号 里面的每一项相乘，再把所得的积相加：若括号前 是“-”号，去括号时，括号里的各项都改变符号， 20解题关键将方程移项、合并同类项即可求解。 ￥©中思路别析移项，得3x-2x=7.合并同类项， 得x=7.故选C. 里③中提升点拨本题也可以将四个选项中x的值代 入方程，若停号两边的值相等，则此选项即为方程 的解 3.地0鲜题关继根据题意找到等量关系：鸡的只 数+兔的只数=35，鸡的只数×2+兔的只数× 4=94. ②+路剖析上有三十五头，说明鸡的只数与兔 的只数的总和是35，设鸡有x只，则兔有(35-x) 只：下有九十四足，说明鸡和兔的脚的总数是94， 因为鸡有2只脚，兔有4只脚，所以鸡的只数×2+ 兔的只数×4=94.根据此等式列方程为2x+ 4(35-x）=94.故选D. ©提升点泼常见的找等量关系的方法：①根据 周长、面积、体积公式确定相等关系：②根据题目中 的不变量确定相等关系；③根据关健词确定相等 关系 4.常0+解题关键将方程移项，系数化为1即可求解 ②出思路脚析移项，得2x=3-1.合并同类项，得 2x=2.系数化为1，得x=1. ③出提升点拨方程的解与解方程的关系：①方程 的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个 结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程： ②方程的解是通过解方程求得的 5.燃0生解题关键本题考查一元一次方程的解法。 m②+参考答案解：移项，得4x-2x=5+1. 合并同类项，得2x=6. 系数化为1，得x=3. 回回酸個解一元一次方程的一般步聚：去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 17