精品解析：重庆市开州区东华初级中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

开州区东华初级中学2024-2025上九年级第二次月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 实数2的相反数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 下列是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 5. 某种药品经过两次降价后，由每盒50元下调至32元，若每次平均降价的百分率是，则由题意可列方程为（ ） A B. C. D. 6. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 7. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第9个图案中小五角星有（ ） A 28颗 B. 27颗 C. 26颗 D. 25颗 8. 已知二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③，④．正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ） A. B. C. D. 10. 有两个整数，，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ） ①二次操作后，可能得到整数对； ②三次操作后，可能得到整数对； ③不管经过多少次操作，得到整数对都不会是． A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分）．请将正确答案填写在答题卡上相应的位置上． 11. 计算：_____． 12. 有两组相同的纸牌，每组三张牌面数字分别为0，，2，所有牌除牌面数字外完全相同，现在从两组牌中各随机抽出一张，则两张牌的牌面数字之积为自然数的概率为_____． 13. 如图，若正方形和正六边形有一边重合，则的度数为________． 14. 如图，已知扇形中，，以为直径作半圆O，过点O作的平行线，分别交半圆O，弧于点D、E，若扇形的半径为8，则图中阴影部分的面积是________． 15. 如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为_____，圆O的半径为_____． 16. 若数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 17. 在中，，，点D是AB上任意一点，连接CD，将沿CD进行翻折，得到，连接，点为的中点，连接交于点．若，，则的面积是_____． 18. 一个三位正数，十位数字等于百位数字与个位数字和一半，其各位数字均不为零且互不相等，我们称这个三位数A为“中点数”，若将A的任意两个数位上的数字交换位置，得到一个新的三位数，所有新的三位数的和与111的商成为，如：，则_____，且是一个完全平方数，则那么最大“中点数”与最小“中点数”的差为_____． 三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分．解答时需给出必要的演算步骤或推理过程，并答在答题卡中相应的位置上． 19. 计算： （1）解方程：． （2）化简：． 20. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了主题为“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①七年级20名学生的测试成绩：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 ②七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 c ③八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：____，____，_____； （2）你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（一条即可）； （3）八年级300名学生，估计及格的学生有多少名？ 21. 如图平行四边形中，平分，交于点． （1）请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空． 证明：四边形是平行四边形， ，， （两直线平行，内错角相等）， 又平分，平分， ，， ， __________________（填推理的依据）． 22. 进入十月份后，大量苹果上市，商家将红富士苹果与青苹果打包成袋装（每袋里面都有红富士苹果和青苹果）出售，每袋里面红富士苹果比青苹果多斤，第一天共卖出袋苹果，总重量为斤． （1）每袋里面红富士苹果和青苹果各多少斤？ （2）由于销量好，第二天商家又进货一批袋装苹果若干袋，每袋红富士苹果比第一天多斤，青苹果比第一天多斤，卖出的苹果袋装数比第一天多袋，结果第二天卖出的红富士苹果比青苹果多斤，求的值． 23. 如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，，，点F为的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，线段与的和为，请解答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象； （2）根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值． 24. 周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） （1）求山顶C到的距离（结果保留整数）； （2）若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 25. 如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． （3）在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 26. 在平行四边形中，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，过点E作，交于点K，，，求的长； （2）如图2，若，将线段绕着点E顺时针旋转，得到线段，连接，点G是的中点，连接，猜想有何数量关系，并证明； （3）如图3，若，点E、J为边上的动点，且，，与相交于点M，连接，点M关于直线的对称点为，连接，当取最小值时，请直接写出三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开州区东华初级中学2024-2025上九年级第二次月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 实数2的相反数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：实数2的相反数是-2 故选：A 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题关键． 2. 下列是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ， 解得：， 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 5. 某种药品经过两次降价后，由每盒50元下调至32元，若每次平均降价的百分率是，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“下降后的量=下降前的量×（1-百分率）2”以及“由原来每盒50元下调到每盒32元”即可得出方程． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x, 第一次下调到， 第二次下调到． ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握“下降后的量=下降前的量×（1-百分率）2”是解答本题的关键． 6. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 7. 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第9个图案中小五角星有（ ） A. 28颗 B. 27颗 C. 26颗 D. 25颗 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中小五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，第1个图案中小五角星的颗数为：， 第2个图案中小五角星的颗数为：， 第3个图案中小五角星的颗数为：， ， 所以第n个图案中小五角星的颗数为颗． 当时， （颗）， 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③，④．正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点问题．根据二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点问题求解即可． 【详解】解：由函数图象得，对称轴为直线， ∴； 由函数图象得，当时，， ∴； 由函数图象得，抛物线与轴有两个交点， ∴； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴； 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 9. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键． 10. 有两个整数，，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ） ①二次操作后，可能得到整数对； ②三次操作后，可能得到整数对； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义．根据把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，对分别进行操作，对各结论逐一判断即可得到答案． 【详解】解：把整数对按照操作，得出，按照操作，得出，故①正确； 把整数对按照操作，得出，再按照操作，得出，再按照操作，得出，故②正确； ③把整数对按照，，操作，得到的数对中的数都是偶数，所以不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是．故③正确． 故选：B． 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分）．请将正确答案填写在答题卡上相应的位置上． 11. 计算：_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，负整数指数幂，零次幂，根据负整数指数幂、零次幂及乘方运算法则分别化简，再计算加减法． 【详解】解： ， 故答案为4． 12. 有两组相同的纸牌，每组三张牌面数字分别为0，，2，所有牌除牌面数字外完全相同，现在从两组牌中各随机抽出一张，则两张牌的牌面数字之积为自然数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两张牌的牌面数字之积为自然数的结果数，然后根据概率公式求解，熟练掌握树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： ∴共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之积为自然数的结果有7种， ∴从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之积为自然数的概率， 故答案为：． 13. 如图，若正方形和正六边形有一边重合，则的度数为________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的每个内角度数．熟练掌握相关计算公式是解题的关键．先算出正方形和正六边形每个内角的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：正方形的一个内角的度数为：， 正六边形一个内角的度数为： ， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，已知扇形中，，以为直径作半圆O，过点O作的平行线，分别交半圆O，弧于点D、E，若扇形的半径为8，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是把不规则图形的面积分割成规则图形的面积进行计算．连接 ，求出，，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，以为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，为半径作弧， ∴． 又∵， ∴． ∴在直角中，， ∴. ∵, ∴， ∴ ， 故答案：． 15. 如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为_____，圆O的半径为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接，， ∵E是的中点， ∴ ∴由勾股定理得： 为直径， ∴， ∴半径为 故答案为： 16. 若数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程；先求出不等式组的解集，再根据不等式组无解确定a的取值范围，然后再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到a的取值范围，进而得到满足条件的整数a的值之和即可．根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键． 【详解】解：解不等式组可得， ∵不等式组无解， ∴，解得：， 解分式方程：，可得， 又∵分式方程有非负整数解， ∴，且，解得且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为1，5，7，9， ∴满足条件的整数a的值之和是22． 故答案为：22． 17. 在中，，，点D是AB上任意一点，连接CD，将沿CD进行翻折，得到，连接，点为的中点，连接交于点．若，，则的面积是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，连接，根据勾股定理求出，得到，由折叠得，求出，证明关于直线对称，得到，，利用勾股定理得到，求出，证明，求出，由此利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∵， ∴， ∴的面积是15， 故答案为15． 18. 一个三位正数，十位数字等于百位数字与个位数字和的一半，其各位数字均不为零且互不相等，我们称这个三位数A为“中点数”，若将A的任意两个数位上的数字交换位置，得到一个新的三位数，所有新的三位数的和与111的商成为，如：，则_____，且是一个完全平方数，则那么最大“中点数”与最小“中点数”的差为_____． 【答案】 ①. 24 ②. 396 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算及整式加减的应用，先说明789是中点数，按定义得出新三位数，计算求出即可；设数，先按定义得出新三位数，计算求出，再根据求出a、b、c值，进而求出三位数的所有情况，求出最大值及最小值的差即可． 【详解】解：由题意得：， ∴789为中点数， ∴789任意两个数位上的数字交换位置，得到新的三位数：798，987，879， ； 设数， ∴数A任意两个数位上的数字交换位置，得到新的三位数：， ， ， ， ， 是一个完全平方数， 为是一个完全平方数， 是1个一位数， 只能是3，， ， 各位数字均不为零且互不相等， ， 对应数是135，234，333，432，531， 最大数是531，最小数是135， 最大“中点数”与最小“中点数”的差， 故答案为：24，396． 三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分．解答时需给出必要的演算步骤或推理过程，并答在答题卡中相应的位置上． 19. 计算： （1）解方程：． （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，分式的混合运算，熟记计算法则是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）先计算括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ． 20. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了主题为“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①七年级20名学生的测试成绩：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 ②七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 75 7 45% 八年级 7.5 8 c ③八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：____，____，_____； （2）你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（一条即可）； （3）八年级300名学生，估计及格的学生有多少名？ 【答案】（1）7，7.5，50% （2）八年级，见解析 （3）270名 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键． （1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c的值； （2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论； （3）用八年级的合格总人数除以总人数20人，得到这个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以300即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）七年级20名学生的测试成绩中数据7出现次数最多，故七年级20名学生的测试成绩的众数是：7， ∴， 由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：， ∴， 八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50% ∴； 【小问2详解】 八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好； 【小问3详解】 八年级合格人数：18人， 人， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有270人． 21. 如图平行四边形中，平分，交于点． （1）请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空． 证明：四边形是平行四边形， ，， （两直线平行，内错角相等）， 又平分，平分， ，， ， __________________（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的判定， （1）根据题意作的角平分线，交于点； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，进行推理证明，即可求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， （两直线平行，内错角相等）， 又平分，平分， ，， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，，同位角相等，两直线平行． 22. 进入十月份后，大量苹果上市，商家将红富士苹果与青苹果打包成袋装（每袋里面都有红富士苹果和青苹果）出售，每袋里面红富士苹果比青苹果多斤，第一天共卖出袋苹果，总重量为斤． （1）每袋里面红富士苹果和青苹果各多少斤？ （2）由于销量好，第二天商家又进货一批袋装苹果若干袋，每袋红富士苹果比第一天多斤，青苹果比第一天多斤，卖出的苹果袋装数比第一天多袋，结果第二天卖出的红富士苹果比青苹果多斤，求的值． 【答案】（1）红富士苹果 斤和青苹果 斤； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （）设每袋袋装里面红富士苹果斤，青苹果斤．依题意得，然后解方程组即可； （）依题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每袋袋装里面红富士苹果斤，青苹果斤， 依题意得：， 解得： 答：每袋袋装里面红富士苹果 斤和青苹果 斤； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：的值为． 23. 如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，，，点F为的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，线段与的和为，请解答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象； （2）根据函数图象，写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值． 【答案】（1），画图见解析 （2）当时，y随x的增大而减小（合理即可） （3）x值为2 或8． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、动点问题中的函数关系建立及函数图象分析，解题的关键是分阶段分析动点位置，结合线段长度公式转化为函数表达式，并利用图象解决求值问题． （1）利用矩形对角线性质确定 长度，计算固定值；分和两段，用路程表示长度，推导y与x的函数关系； （2）根据分段函数的增减性或最值描述性质； （3）分别在两段函数中令，求解并验证x的取值范围． 【小问1详解】 ∵在矩形 中，，，对角线交点O为、中点， ∴，故 ． ∵点F为中点，． 当P在段时，，则；当P在段时，，则． 函数表达式为： 函数图象两段线段：第一段从到，第二段从到，如图所示． 【小问2详解】 函数y的性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（或函数最小值为3，在时取得）． 【小问3详解】 当时：若，解得；若，解得． 故x 的值为2 或8． 24. 周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） （1）求山顶C到的距离（结果保留整数）； （2）若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 【答案】（1）1873米 （2）玉玉先到达山顶C，见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点D作，垂足为F，延长交于点G，得到，，，，解，，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用时间等于路程除以时间，求出二人到达山顶的时间，进行判断即可． 【小问1详解】 如图：过点D作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：，，，， 在中， ，米， （米），（米）， 米， 在中，米，， （米）， （米）， 山顶C到的距离约为1873米； 【小问2详解】 玉玉先到达山顶C， 理由：在中，，米， 米， 米，思思的爬山速度为70米/分，玉玉的爬山速度为60米/分，玉玉的平路速度为90米/分， ∴思思到达山顶 C 需要的时间（分）， 玉玉到达山顶 C 需要的时间（分）， ∵， ∴玉玉先到达山顶 C． 25. 如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． （3）在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，直角三角形的存在性问题，最值问题等知识点． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出，再由待定系数法可求直线，设，则，则，再由二次函数的性质求解最值即可； （3）先求出向左平移个单位后的新抛物线为，设，则表示出，，，然后分类讨论，利用勾股定理以及两点间距离公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式：； 【小问2详解】 解：对于，当， 则， 解得：或， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∴由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∵，， ∴当时，取得最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 将配方可得， ∴向左平移个单位后的新抛物线为：， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴ 解得：， ∴； 当时，则， ∴ 整理得，， ， ∴此种情况不存在； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：存在，点M的坐标为或． 26. 在平行四边形中，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，过点E作，交于点K，，，求的长； （2）如图2，若，将线段绕着点E顺时针旋转，得到线段，连接，点G是的中点，连接，猜想有何数量关系，并证明； （3）如图3，若，点E、J为边上的动点，且，，与相交于点M，连接，点M关于直线的对称点为，连接，当取最小值时，请直接写出三角形的面积． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，过点E作于H，求出，再根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点F作，交的延长线于点H，连接，证明，得到，，再证明，推出，由此得到是等腰直角三角形，进而得到； （3）先证明平行四边形是菱形，得到，，由此也是等边三角形，证明，推出，由此推出A，M，C，B四点共圆，，即共线时取最小值，此时点为圆心，根据的面积求出边长，由此求出，，是等边三角形，再求出四边形的面积即可求出三角形的面积． 【小问1详解】 在平行四边形中，， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点E作于H， 在中，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 证明：过点F作，交的延长线于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴也是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A，M，C，B四点共圆， ，即共线时取最小值，此时点为圆心， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴四边形面积， ∵ ∴． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，四点共圆，熟练掌握各知识点，并正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$