精品解析：广东省惠州市惠阳区某校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级数学第一次月考试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程中，其中一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 5. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 抛物线 开口_______，顶点坐标是_______，当x_______0时，． 12. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有________名同学． 13. 已知x为全体实数，则的最大值为_________． 14. 若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 15. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 18. 如图，一个长为30cm，宽为20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为200cm2，则丝带的宽度为多少厘米？ 19. （1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 20. 近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． （1）求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： （2）若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 21. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 22. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 23. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级数学第一次月考试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程中，其中一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式．解题的关键是掌握：二次函数的一般形式（，、、为常数），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程中，其中一次项系数是． 故选：B． 2. 下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 4. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再将二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故， ∴． 故选：B． 5. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，当时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线增减性． 【详解】解：对于二次函数的图象， 当时，，图像与y轴交点坐标为，A选项说法不正确； 抛物线对称轴为直线，B选项说法不正确； 抛物线顶点坐标为，C选项说法不正确； ∵， ∴图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，D选项说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想． 10. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 抛物线 开口_______，顶点坐标是_______，当x_______0时，． 【答案】 ①. 向下 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，． 故答案为：向下，，． 12. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有________名同学． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 13. 已知x为全体实数，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 14. 若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将代数式配方后，即求出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 18. 如图，一个长为30cm，宽为20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为200cm2，则丝带的宽度为多少厘米？ 【答案】5 【解析】 【分析】设丝带的宽度为厘米，根据题意列出方程，解出即可求解． 【详解】解：设丝带的宽度为厘米，根据题意得： ， 整理得： 解得： ， （不合题意，舍去） 答：丝带的宽度为5厘米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 19. （1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：；  （2），理由如下： ∵ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；；  ②略 （2）略 20. 近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． （1）求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： （2）若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【答案】（1）该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20% （2）预计该店4月的营业额能超过850万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出4月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【小问1详解】 解：设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：预计该店4月的营业额：（万元）． ∵， ∴预计该店4月的营业额能超过850万元． 21. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）经过2秒或秒； （2）经过1秒或2秒． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； 【小问2详解】 设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 22. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 【答案】任务一： ，36； 任务二：车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生； 任务三： 当时， ∴， 当， ∴， ∴道路交通安全法规定合理． 【解析】 【分析】本题考查的是函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意是解本题的关键； 任务一：根据题干信息提示计算即可得到答案； 任务二：由题意可得方程，解方程后，再结合实际意义下结论即可； 任务三：把每小时30千米，每小时50千米，代入（1）中的函数关系式，计算停车距离与法律规定的数据进行比较即可得到结论． 【详解】解：任务一：∵反应距离为， 制动距离为：， ∴汽车的停车距离； 当时， ∴； 任务二：（2）由题意可得， ∴， 解得 ，（负根舍去）， ∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三：略 23. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）存在，，，，； （3）存在点M使最小， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【小问1详解】 解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； 【小问3详解】 解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $