第二章 有理数的运算教案2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.3　有理数的乘方 2．3.1　乘方 第1课时　有理数的乘方 教师备课　素材示例 ●置疑导入　同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？ 做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录． 次数 1 2 3 4 5 6 … 10 … 面条根数 2 4 8 16 32 64 … 1 024 … 　　【教学与建议】教学：通过生活中“拉面问题”的实例，问题：如果捏合100次、1 000次、n次，面条根数是多少？将实际问题抽象为数学问题的过程．建议：先让学生口答捏合后的面条根数，然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数． ●类比导入　 问题1：比如2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×(　6　)，2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×(　10　)，2＋2＋…＋2,\s\do4(n个2))Ｂ＝2×n. 问题2：2×2＝(　22　)，2×2×2＝(　23　)，2×2×2×2＝(　24　)，2×2×2×…×2,\s\do4(n个2))Ｂ＝(　2n　). 问题3：我们在小学学过边长为a的正方形的面积是a·a＝a2，棱长为a的正方体的体积是a·a·a＝a3，则a×a×a×…a,\s\do4(n个a))Ｂ＝(　an　). 【教学与建议】教学：通过类比的导入方式，使得知识的学习在迁移中便于让学生接受．建议：让学生自主交流，对学生的每个回答给予积极的评价． ●悬念激趣　导语：同学们，我们生活中有很多事件都蕴含了数学的知识，那么你知道下面这个事件所涉及的数学知识吗？ 古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？ 【教学与建议】教学：通过趣味数学创设问题情境，吸引学生的注意力．建议：教师可以现场进行演示，唤起学生的求知欲望，从而引入课题． ·命题角度1　理解乘方的意义 n个相同的乘数a相乘的结果记作an，a叫作底数，n叫作指数． 【例1】(－4)6表示的意义是(D) A．6个－4相加的积 B．－4乘6的积 C．4个－6相乘的积 D．6个－4相乘的积 【例2】把×××写成乘方的形式为__()4__，读作“__五分之二的四次幂__”． ·命题角度2　有理数的乘方运算 理解an就是n个a相乘，根据有理数的乘法运算来计算有理数的乘方． 【例3】下列运算正确的是(B) A．－24＝16 B．－(－2)2＝－4 C．(－)2＝－1 D．(－2)3＝8 【例4】计算：(1)(－6)3；(2)－63；(3)－(－)4；(4)[－(－)]4. 解：(1)原式＝－216；(2)原式＝－216；(3)原式＝－；(4)原式＝. ·命题角度3　乘方在实际中的应用 利用有理数的乘方解决实际问题：(1)从特殊到一般，以幂的形式将结果表示出来；(2)结合问题进行有关运算． 【例5】13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为(C) A．42只 B．49只 C．76只 D．77只 【例6】1 m长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第6次后剩下的小棒长____m. ·命题角度4　用计算器计算有理数的乘方 用计算器上的数字键按题意的顺序计算． 【例7】用计算器计算： (1)185；(2)(－1.8)6. 解：(1)原式＝1 889 568；(2)原式＝34.012 224. ·命题角度5　有理数乘方的正负性 任何一个有理数的偶次方都是非负数．若两个非负数的和为零，则每个数都为零． 【例8】若a为有理数，则下列各式总能成立的是(A) A．(－a)2＝a2 B．－a2＝(－a)2 C．(－a)3＝a3 D．|－a3|＝a3 【例9】已知|a＋3|和(b－2)2互为相反数，那么ab的值为__9__． 高效课堂　教学设计 1．理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系，会进行乘方的运算. 2．在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广过程，从中感受化归的数学思想. ▲重点 乘方的相关概念及运算方法． ▲难点 理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系． ◆活动1　新课导入 1．长为2的正方形，它的面积是多少？ 解：2×2＝4. 2．边长为l的正方体，它的体积是多少？ 解：l×l×l＝l3. ◆活动2　探究新知 1．教材P51　内容． 提出问题： (1)2个2相乘记作22，3个2相乘记作23，n个2相乘记作多少？ (2)引入负数后，4个－2相乘记作多少？－24和(－2)4一样吗？为什么？ (3)求n个相同乘数的积的运算，叫作什么？它们的结果又叫作什么？ (4)在an中，a和n分别叫作什么？ (5)填表： 乘方 65 (－5)4 (－)3 －22 底数 6 －5 － 2 指数 5 4 3 2 　　学生完成并交流展示． 2．教材P52　探究． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一般地，n个相同的乘数a相乘，即a·a·…·an个 记作__an__，读作“__a的n次方__”，其中a叫作__底数__，n叫作__指数__．求n个相同乘数的__积__的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作__幂__． 2．负数的奇次幂是__负数__，负数的偶次幂是__正数__．正数的任何次幂都是__正数__，0的任何正整数次幂都是__0__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P51　例1. 例2　教材P52　例2. 例3　算式(－)×(－)×(－)×(－)可表示为(A) A．(－)4 B．(－)×4 C．－()4 D．以上答案都不对 例4　计算： (1)－； (2)－24×(－2)2； 解：原式＝－； 解：原式＝－64； (3)－42×(－4)2; (4)(－)2×(－2)3； 解：原式＝－256; 解：原式＝－； (5)()3×()3÷(－1)3; (6)－14×(－2)5×()3. 解：原式＝－1; 解：原式＝. 练习 1．教材P52　练习第1，2，3题． 2．关于－74的说法正确的是(C) 　A．底数是－7 B．表示4个－7相乘 　C．表示4个7相乘的相反数 D．表示7个－4相乘 3．下列各组数中，相等的一组是(C) 　A．23与32 B．23与(－2)3 C．32与(－3)2 D．－23与－33 4．(1)平方等于本身的数是__0或1__，立方等于本身的数是__0或±1__； (2)平方等于64的数是__±8__，立方等于－64的数是__－4__； (3)定义一种新的运算a&b＝ab，如2&3＝23＝8，那么(3&2)&2＝__81__． ◆活动5　课堂小结 1．乘方的概念． 2．乘方的运算及应用． 1．作业布置 (1)教材P56～57　习题2.3第1，2，7题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　有理数的混合运算 教师备课　素材示例 ●情景导入　活动内容：多媒体展示24点游戏的画面． 游戏规则：从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色代表负数，黑色代表正数，J，Q，K分别表示11，12，13. 　　 问题1：怎样将扑克牌上的数字通过我们学过的有理数运算得到20呢？ 问题2：在游戏中需要运用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，将这些运算的两种或两种以上混合在一起，你想在游戏中尽快地胜出又该怎样准确地计算呢？这就是本节课我们要学习的内容．(板书“有理数的混合运算”) 【教学与建议】教学：从学生感兴趣的数学游戏入手，激发学生的学习兴趣及求知欲，同时也让学生进一步体会数学来源于生活又服务于生活．建议：问题1让学生自由探究，然后列出算式，问题2由教师提出，学生回答，引出本节课题. ●置疑导入　前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉，如果遇到有理数的混合运算，你有信心进行准确的计算吗？下图是小玲和小亮的对话，你同意小亮的说法吗？ 【教学与建议】教学：通过回顾小学时学过的混合运算，类比简单的有理数混合运算的运算顺序揭示课题．建议：小亮的说法正确吗？讨论并实践掌握有理数混合运算的计算顺序． ·命题角度1　有理数的混合运算 按有理数运算顺序计算，每一步计算要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，能简便计算的要用运算律简化． 【例1】计算(－1)2 024－(－1)2 023÷(－1)2 024的结果为(D) A．－1 B．－2 C．0 D．2 【例2】计算：－3×2＋(－2)2－5＝__－7__；12－7×(－4)＋8÷(－2)2＝__42__． 【例3】计算下列各题： (1)－1－(1－0.5)××[2－(－3)2]； (2)－22÷－[22－(1－×)]×12. 解：(1)原式＝－1－××(－7)＝－1＋＝； (2)原式＝－4×－(4－)×12＝－3－(48－10)＝－41. ·命题角度2　探索数字规律 观察每组数据数字的特点，按一定规律解决问题． 【例4】观察下列各组数，按规律在横线上填上合适的数： (1)1，－4，9，－16，25，__－36__，__49__…… (2)，，，，，____，____…… 【例5】观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； … 可猜想第2 024个式子为__32_024·(32_024－2)＋1＝(32_024－1)2__． 高效课堂　教学设计 1．掌握有理数混合 运算的顺序，提高运算能力． 2．熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算． ▲重点 按有理数的运算顺序，正确、合理地进行有理数的混合运算． ▲难点 有理数的运算顺序． ◆活动1　新课导入 1．回忆有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，以及我们小学学过的四则混合运算顺序． 2．(1)(－2)3表示的意义是__3个－2相乘__，结果为__－8__； (2)32的底数为__3__，指数为__2__；(－3)5的底数为__－3__，指数为__5__． 3．下列运算结果是负数的是__①③__．(填序号) ①(－1)3；②(－2)4；③(－5)3；④03；⑤(－)2 024. ◆活动2　探究新知 观察3＋50÷22×(－)－1. 提出问题： (1)式子中有哪几种运算？ (2)如何计算这个式子？它的运算顺序是什么？ (3)计算过程中，可以运用运算律吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 有理数混合运算的顺序： 1．先__乘方__，再__乘除__，最后__加减__． 2．同级运算，从__左__到__右__进行． 3．如果有括号，先做__括号内__的运算，按__小括号__、__中括号__、__大括号__依次进行． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P53　例3. 例2　教材P53　例4. 例3　计算： (1)23＋(－3)×(－2)2； 解：原式＝8＋(－3)×4＝－4； (2)－24＋×[6＋(－4)2]； 解：原式＝－16＋×(6＋16)＝－5； (3)(－1)2 021＋(－3)2×－43＋(－2)4； 解：原式＝－1＋9×－64＋16＝－47； (4)(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100. 解：原式＝(－1)＋1＋(－1)＋1＋…＋1＝0. 练习 1．教材P54　练习． 2．如果a＝－2×32，b＝(－2×3)2，c＝－(2×3)2，那么a，b，c的大小关系是　(B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c 3．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为__－10__． →→→→→ 4．观察下列各式： 　1＝21－1，1＋2＝22－1，1＋2＋22＝23－1，…. 　猜想： 　(1)1＋2＋22＋23＋…＋263＝__264－1__； 　(2)若n是正整数，则1＋2＋22＋23＋…＋2n＝ __2n+1－1__． 5．计算： 　(1)－10＋8÷(－2)2－(－4)×(－3)； 　解：原式＝－10＋8÷4－12 ＝－10＋2－12 ＝－20； 　(2)4×(－3)2－5×(－2)3＋6； 　解：原式＝4×9－5×(－8)＋6 ＝36＋40＋6 ＝82； 　(3)－14－×[2－(－3)2]； 　解：原式＝－1－×(2－9) ＝－1－×(－7) ＝－1＋ ＝； 　(4)(－3)2－1×－6÷. 　解：原式＝9－－6÷ ＝9－－ ＝－4. ◆活动5　课堂小结 1．有理数混合运算的顺序． 2．有理数混合运算的运用． 1．作业布置 (1)教材P56～57　习题2.3第3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 2.3.2　科学记数法 教师备课　素材示例 ●置疑导入　多媒体投影，展示问题： (1)第七次全国人口普查时，中国人口约为1 411 780 000人； (2)光的速度约为300 000 000 m/s； (3)地球半径约为6 371 000 m； (4)全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽； (5)据统计，全国每年浪费粮食总量约50 000 000 000 kg，拒绝“餐桌浪费”刻不容缓． 问题1：生活中有比100万更大的数吗？请试举出几个例子． 问题2：从上面的问题中，你发现这些数据有什么特点？ 问题3：请同学们想一想，有没有更简单的方法来表示这些较大的数，以便于我们读写呢？ 【教学与建议】教学：利用生活中的大数读写困难的问题，激发学生的求知欲，让学生感受数学来源于生活．建议：先让学生讨论，激发学生学习的兴趣，从而引入新课. ●归纳导入　(1)计算：102＝__100__；105＝__100_000__；108＝__100_000_000__； (2)尝试用10n的形式表示下列各数： 100 000＝__105__，1 000 000＝__106__，10 000 000＝__107__； (3)试一试： 太阳的半径约为700 000 km：700 000＝7×__100_000__＝7×__105__； 2023年春运期间铁路运送旅客达348 000 000人次： 348 000 000＝3.48×__100_000_000__＝3.48×__108__． 【归纳】像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，使用的是科学记数法． 【教学与建议】教学：从一系列的数据中体会大数“读”“写”的困难，从而导出课题．建议：归纳底数为10的幂的结果感受数的“形式”变化的原理． ·命题角度1　用科学记数法表示数 用科学记数法表示大于10的数的“三步法”： (1)定a：确定a，a必须满足1≤a<10； (2)定n：确定n，n的值比原数的整数位数少1； (3)写数：写成a×10n的形式． 【例1】用科学记数法表示下列各数： (1)5 150 000 000；(2)30 000 000；(3)700万；(4)－101 075 000. 解：(1)5 150 000 000＝5.15×109； (2)30 000 000＝3×107； (3)700万＝7×106； (4)－101 075 000＝－1.010 75×108. ·命题角度2　将用科学记数法表示的数还原 还原a×10n： (1)还原后原数的整数位数等于n＋1； (2)原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数； (3)向右移动小数点时，位数不够用0补上． 【例2】中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104 t，这个用科学记数法表示的数据的原数为(B) A．6 750 B．67 500 C．675 000 D．6 750 000 【例3】下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上． (1)3.618×103＝__3_618__； (2)2.16×105＝__216_000__； (3)－8×104＝__－80_000__； (4)－7.123×102＝__－712.3__． 高效课堂　教学设计 1．了解科学记数法的意义，会用科学记数法表示大于10的数． 2．会解决与科学记数法有关的实际问题． ▲重点 正确运用科学记数法表示较大的数． ▲难点 探索归纳出科学记数法中指数与整数位之间的关系． ◆活动1　新课导入 在日常生活中遇到一些较大的数．如：太阳的半径约696 000 km；富士山可能爆炸，这将造成至少25 000亿日元的损失；光的速度大约是300 000 000 m/s；全世界人口大约是7 000 000 000人等这些大数，读、写都不方便，你能用一种方法使这些数读、写起来较方便吗？ ◆活动2　探究新知 1．算一算： 101＝__10__，102＝__100__，103＝__1_000__，104＝__10_000__，105＝__100_000__，1010＝__10_000_000_000__． 2．教材P54～55　例5上面内容． 提出问题： (1)什么是科学记数法？科学记数法的形式是怎样的？ (2)科学记数法a×10n中，a的取值范围是什么？n的值如何确定？ 学生完成并交流展示． 3．教材P55　思考． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．把一个大于10的数表示成__a×10n__的形式(其中a大于或等于__1__，且a小于__10__，n是__正整数__)，使用的是科学记数法． 2．在科学记数法中，a是整数位只有一位的数，n是整数． 3．用科学记数法表示一个n＋1位的整数时，10的指数是__n__．用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是__n－1__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P55　例5. 例2　我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截止2022年底，光缆线路总长度达到59 580 000 km.其中59 580 000用科学记数法可表示为(C) 　A．59.58×106 B．5.958×106 　C．5.958×107 D．0.5958×108 例3　把下列用科学记数法表示的数写成原数： (1)6.25×108＝__625_000_000__；　　(2)106＝__1_000_000__； (3)8.001 5×103＝__8_001.5__； (4)－2.12×105＝__－212_000__． 例4　根据统计，我国平均每人每天大约产生1.5 kg垃圾，你也许并不觉得多，假如垃圾可压缩成棱长为0.5 m的立方体，每个这样的立方体约有100 kg.(我国大约有13亿人口) (1)请计算我国一天产生的垃圾有多少千克？有多少个这样的立方体？ (2)你们班的教室能容纳我国一天产生的垃圾吗？ 解：(1)我国一天产生的垃圾有1.3×109×1.5＝1.95×109(kg)，有1.95×109÷100＝1.95×107(个)这样的立方体； (2)垃圾的体积为1.95×107×0.53＝2.437 5×106(m3)，然后计算教室的体积，相比较得出结论，略． 练习 1．教材P56　练习第1，2，3题． 2．用科学记数法表示－37 800 000正确的是(B) 　A．－378×105 B．－3.78×107 　C．3.78×107 D．－37.8×106 3．下列四个数中，最大的数是(D) 　A．56.78万 B．5 678 000 　C．5.678×104 D．56 780 000 4．为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，某省公路建设累计投资9.27×109元，也就是投资了(A) 　A．92.7亿元 B．9.27亿元 　C．927亿元 D．0.927亿元 5．比较大小(在横线上填“＞”或“＜”)： 　(1)9.532×1010__＜__1.001×1011； 　(2)－8.67×109__＞__－1.05×1010. 6．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过1.1×105 km，声音在空气中传播每小时约通过1.2×106 m．地球公转的速度与声音传播的速度哪个快？ 解：1.1×105 km＝110 000×1 000 m＝1.1×108 m，1.1×108 m＞1.2×106 m. 答：地球公转的速度快． ◆活动5　课堂小结 1．科学记数法 (1)把大于10的数表示成a×10n的形式； (2)a的范围是1≤|a|＜10，n是正整数； (3)n比原数的整数位数少1. 2．将用科学记数法表示的数还原成原数． 1．作业布置 (1)教材P57　习题2.3第4，5，9，10题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 2.3.3　近似数 教师备课　素材示例 ●归纳导入　问题1：(1)我班有________名学生，________名男生，________名女生； (2)你今年________岁； (3)你的体重约为________kg，身高约为________cm; (4)我们的数学课本有________页； (5)量一量，我们的书桌的长是________cm，宽是________cm. 问题2：在这些数据中，哪些数据是与实际接近的？哪些数据是与实际完全符合的？ 问题1中(1)(4)与实际完全符合，是准确数．(2)(3)(5)是与实际接近的数，是近似数． 与实际接近的数就是我们今天要研究的近似数． 【教学与建议】教学：根据自己已有的生活经验观察身边熟悉的事物，收集一些数据，找出准确数与近似数．建议：你还能举出生活中的一些准确数与近似数吗？生活中哪些方面用到近似数？ ●情景导入　1.阅读报道：中国是世界领土面积第3大国；中国有世界第一高峰珠穆朗玛峰，海拔约8 848.86 m；中国共划分为34个省级单位，包括23个省，5个自治区，4个直辖市和2个特别行政区，中国共有56个民族，少数民族人口最多的是壮族，约有1 700万人． 2．回答问题：你能找出这篇报道中的精确数据和近似数据吗？ 【教学与建议】教学：通过阅读报道，找出其中的近似数和精确数，也为新课的学习和探究做铺垫和准备工作．建议：可以让学生寻找身边的实例，为本节课的学习做好铺垫． ●悬念激趣　羊村超市开业了，懒羊羊买东西的时候与村长发生了纠纷，一斤大米1.5元，一斤半大米共2.25元，可是，懒羊羊没有5分钱的零钱，村长又不愿意抹去5分零钱，懒羊羊给了村长3元，村长又没办法找零钱．怎么办呢？喜羊羊总是有办法．他想了什么办法呢？原来是四舍五入．今天我们来学习求一个数的近似数． 【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：先留给学生自主思考的时间，然后教师要引导学生进行分析． ·命题角度1　识别准确数和近似数 近似数识别的方法：(1)语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据都是近似数；(2)诸如“温度”“身高”“体重”“长度”等这些词语用数据来描述时，这些数都是近似数． 【例1】下列语句中给出的数字，是近似数的是(C) A．小王所在班有50人 B．一本书186页 C．吐鲁番盆地低于海平面大约155 m D．我国有56个民族 【例2】下列数据中，准确数是(C) A．上海科技馆的建筑面积约98 000 m2 B．“小巨人”姚明身高2.26 m C．七(1)班有21名男同学，24名女同学 D．截至某年年底，中国国内生产总值(GDP)接近100万亿元 ·命题角度2　精确度的确定 一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位． 【例3】近似数5.0×102精确到(C) A．十分位　　　　　B．个位　　　　　C．十位　　　　　D．百位 【例4】某市财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值为27.39亿元，那么这个数值(D) A．精确到亿位 B．精确到百分位 C．精确到千万位 D．精确到百万位 ·命题角度3　按要求取近似数 题目要求精确到哪一位，就观察下一位确定是“舍”还是“入”． 【例5】小亮用天平称得一个罐头的质量为2.027 kg，用四舍五入法将2.027精确到0.01的近似值为(D) A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03 【例6】用四舍五入法把0.07915精确到百分位得到的近似数是__0.08__． 高效课堂　教学设计 1．进一步认识准确数和近似数，并会根据要求用“四舍五入”的方法省略一个数的尾数求近似数，会用“万”或“亿”作单位求一个大数的近似数． 2．给一个近似数，会说出它精确到哪一位． 3．在认识、理解近似数的过程中感受近似数的使用价值，增强学生的应用意识，提高应用能力． ▲重点 近似数和精确度的意义． ▲难点 能在具体问题中正确进行四舍五入． ◆活动1　新课导入 阅读下面各小题： (1)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加； (2)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌800 000万个； (3)张明家里养了5只鸡； (4)小刚同学的身高大约是183 cm； (5)今天气温估计是29 ℃； (6)某校七年级共有342名学生； (7)月球与地球的距离约为38万千米； (8)数学课本定价为6.5元． 想一想：每小题中的数都是确定的数吗？如果不是，它们又属于什么数呢？ ◆活动2　探究新知 教材P55　部分内容． 提出问题： (1)什么叫作准确数和近似数？ (2)近似数和准确数一样吗？如何区分它们？ (3)如何求一个准确数的近似数？ (4)写近似数的结果时，应注意什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．实际数据叫作__准确数__，接近实际数据，但与实际数据还有差别的数据叫作__近似数__． 2．近似数与准确数的接近程度，可以用__精确度__表示，对一个准确数取近似值时常用__四舍五入__法． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P56　例6. 例2　有下列数据：①我国约有13亿人口；②第一中学有68个科学班；③直径为10 cm的圆，它的周长约31.4 cm.其中，是准确数的有__68和10__，是近似数的有__13亿和31.4__. 例3　用四舍五入法对下列各数按要求取近似值： (1)2.340 7精确到0.001的近似值是__2.341__； (2)465 721精确到万位的近似值是__47万(或4.7×105)__． 例4　用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)0.500 36(精确到千分位)__0.500__； (2)23 560(精确到万位)__2×104(或2万)__． 例5　(1)近似数0.030 1精确到__万分位__； (2)近似数5.36万精确到__百位__； (3)近似数1.31×108精确到__百万位__． 练习 1．教材P56　练习第4题． 2．下面数据中是准确数的是(C) 　A．珠穆朗玛峰高出海平面8 848 m 　B．人的大脑有10 000 000 000个细胞 　C．小明买了5本小说 　D．有关部门预测到2025年中国汽车保有量将达6亿 3．如果由四舍五入得到的近似数是78，那么该数不可能是下列各数中的(D) 　A．78.01 B．77.99 C．77.50 D．77.49 4．已知有理数x的近似值是5.4，则x的取值范围是(C) 　A．5.35＜x＜5.44 B．5.35＜x≤5.44 　C．5.35≤x＜5.45 D．5.35≤x≤5.45 5．据人民网消息，2023年端午假期，我国国内旅游出游约1.06亿人次，同比增长32.3%.其中近似数“1.06亿”精确到的数位是(D) 　A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 ◆活动5　课堂小结 1．准确数与近似数的概念． 2．按要求取近似值． 1．作业布置 (1)教材P57　习题2.3第6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2　有理数的乘法与除法 2．2.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 教师备课　素材示例 ●类比导入　回答下列问题： 甲水库的水位每天升高2 cm，乙水库的水位每天下降2 cm，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？ 问题1：来看一下两水库的水位变化情况(如图)，题目中已知什么？求什么？ 问题2：如果用正数表示水位上升的高度，用负数表示水位下降的高度，那么4天后，甲水库水位的变化量怎样表示？乙水库水位的变化量又如何表示呢？你能找到更简洁的表示方法吗？ 【教学与建议】教学：通过类比小学乘法法则的推导，使学生类比归纳出有理数的乘法法则．建议：学生讨论交流，就可借助负数的乘法运算探索出有理数的乘法法则． ●复习导入　问题1：同学们，我们已经知道可以用正负数表示具有相反意义的量，你能举几个生活中的例子吗？ 问题2：小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算有几种情况？ 【教学与建议】教学：通过复习，使学生回顾用正负数表示具有相反意义的量的方法，向学生渗透分类讨论思想，有利于学生探究有理数的乘法法则．建议：教师引导学生从有理数分为正有理数、零、负有理数的角度去考虑，点拨学生的展示情况． ●归纳导入　(1)计算：(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)； (2)有理数加减运算中的关键问题是什么？ (3)猜想(－10)×5的结果是多少？(－10)×8的结果呢？ (4)有理数的乘法的关键问题是什么？ 【归纳】两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 【教学与建议】教学：回顾学过的相关知识，归纳负数与正数相乘的算式及法则，引出新课．建议：分组讨论，归纳讨论结果． ·命题角度1　倒数 交换分子、分母的位置即得其倒数．求倒数时不改变符号． 【例1】－的倒数是(A) A．－8 B．8 C．－ D． 【例2】如果一个数的相反数是，那么这个数的倒数是__－2__；倒数等于它本身的数是__±1__． ·命题角度2　两个有理数相乘 根据有理数乘法法则计算，若乘数中有零，则积为零． 【例3】下列计算正确的是(B) A．(－0.25)×8＝－ B．(－0.25)×4＝－1 C．(－)×(－1)＝－ D．(－)×0＝ 【例4】计算：(1)(－4)×5；(2)(－6)×(－3)；(3)×(－1)；(4)(－)×0. 解：(1)(－4)×5＝－4×5＝－20； (2)(－6)×(－3)＝6×3＝18； (3)×(－1)＝－×＝－1； (4)(－)×0＝0. ·命题角度3　判别字母的正负性 已知两个数的积和两个数的和的符号，根据计算法则判别字母的正负或大小． 【例5】若ab＜0，a＋b＞0，则下列判断正确的是(D) A．a，b都是正数 　　　　B．a，b都是负数 C．a，b异号且负数的绝对值大 　　　　D．a，b异号且正数的绝对值大 【例6】若a，b为有理数． (1)若ab＞0，a＋b＞0，则a__＞0__，b__＞__0； (2)若ab＞0，a＋b＜0，则a__＜__0，b__＜__0. ·命题角度4　有理数乘法的应用 利用有理数乘法解决实际问题要审清题意，列出正确的算式，并按照乘法法则进行正确的计算． 【例7】某数学小组的10名同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一名同学开始，每名同学依次报自己序号的倒数的2倍加1，第1名同学报(＋1)，第2名同学报(＋1)，第3名同学报(＋1)……这样得到的10个数的积为__66__． 【例8】如果高度每增加1 km，气温大约下降6 ℃.现在地面的气温是23 ℃，某飞机在该地上空5 km处，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 解：由题意，得23＋5×(－6)＝－7(℃). 答：此时飞机所在高度的气温是－7 ℃. 高效课堂　教学设计 1．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则． 2．能准确地进行有理数的乘法运算，培养学生的探索能力． 3．传授知识的同时，注意培养学生勇于探索新知的精神． ▲重点 有理数的乘法法则． ▲难点 有理数乘法中的符号法则． ◆活动1　新课导入 1．计算：(1)(－5)＋(－5)＝__－10__； (2)(－5)＋(－5)＋(－5)＝__－15__； (3)(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＝__－20__； (4)(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＝__－25__． 2．猜想下列各式的值： (－5)×2＝__－10__；(－5)×3＝__－15__； (－5)×4＝__－20__；(－5)×5＝__－25__． 3．两个有理数相乘有几种情况？ 答：五种：正数乘正数；负数乘负数；正数乘负数；正数乘0；负数乘0. ◆活动2　探究新知 1．教材P38～39　内容． 提出问题： (1)积的符号与乘数的符号有什么关系？ (2)一个数和0相乘，结果是多少？ (3)由此你能得出什么结论？ 学生完成并交流展示． 2．教材P39　思考 提出问题： (1)有理数的乘法法则与小学的乘法法则有什么不同？ (2)倒数等于本身的数有哪些？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 2．任何数与0相乘，都得__0__． 3．乘积是__1__的两个数互为倒数．即当a≠0时，a的倒数是____． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P39　例1. 例2　教材P40　例2. 例3　若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x＝－×2，求a＋b＋|x|－cd的值． 解：由题意，得a＋b＝0，cd＝1，x＝－1，所以原式＝0＋1－1＝0. 例4　规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a＋2)×2－b，即a※b＝(a＋2)×2－b，例如3※5＝(3＋2)×2－5＝10－5＝5.根据上面规定解答下列问题： (1)求7※(－3)的值； (2)7※(－3)与(－3)※7的值相等吗？ 解：(1)7※(－3)＝(7＋2)×2－(－3)＝21； (2)因为(－3)※7＝[(－3)＋2]×2－7＝－9，所以7※(－3)与(－3)※7的值不相等． 练习 1．教材P40　练习第1，2，3题． 2．若□×(－2)＝1，则在□内填一个数应是(D) 　A． B．2 C．－2 D．－ 3．如果a＋b＜0，ab＞0，那么a，b这两个数(B) 　A．都是正数 B．都是负数 　C．一正一负 D．符号无法确定 4．如图，按下面程序计算，如果输入的数是－2，那么输出的数是__－162__． 5．计算： (1)(－3)×9；(2)(－0.01)×0；(3)(－)×(－2). 解：(1)原式＝－27；(2)原式＝0；(3)原式＝1. ◆活动5　课堂小结 1．有理数乘法法则及运用． 2．倒数的概念及运用． 1．作业布置 (1)教材P47　习题2.2第1，2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　有理数的乘法运算律 教师备课　素材示例 ●类比导入　回答下列问题： 问题1：计算4×0.8×125×25. 问题2：说说你是怎样做的，与同伴交流． 问题3：计算(－4)×0.8×(－125)×25. 问题4：小学学习了乘法的哪些运算律，在计算有理数乘法时它们还适用吗？ 【教学与建议】教学：利用学生熟悉的乘法算式的计算，让学生进一步体会了利用乘法运算律可使运算简便．建议：乘法交换律、结合律和分配律在有理数乘法运算中同样适用． ●归纳导入　回答下列问题： (1)任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，有什么发现？ (2)任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：(□×○)×◇和□×(○×◇)，又有什么发现？ (3)任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：□×(○＋◇)和□×○＋□×◇，又有什么发现？ 【归纳】通过对结果的比较，乘法运算律在有理数范围内仍适用． 【教学与建议】教学：通过活动设计和问题引导让学生进行讨论，猜想并归纳得到乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内仍可使用的结论．建议：教师用投影展示：□×○＝○×□，(□×○)×◇＝□×(○×◇)，□×(○＋◇)＝□×○＋□×◇. ·命题角度1　选择乘法运算律简算 选择有理数的乘法运算律的三个原则：(1)有互为倒数或积为整数的两个乘数，运用交换律和结合律使它们先乘；(2)括号外的乘数是括号内所有分母的公倍数时，利用分配律计算；(3)有带分数时，可以把带分数化成假分数，也可以把带分数拆成一个整数和真分数的和的形式． 【例1】在8×(－9)×5＝－9×(8×5)中，运用了(D) A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【例2】运用分配律计算2×(－98)时，你认为变形最简便的是(C) A．(2＋)×(－98) B．(3－)×(－98) C．×(－100＋2) D．×(－90－8) ·命题角度2　有理数乘法运算律的应用 【例3】运用运算律简便计算： (1)(－)×(－15)×(－)×； 解：原式＝[(－)×(－)]×(－15×) ＝1×(－3) ＝－3； (2)－19×6. 解：原式＝(－20＋)×6 ＝－20×6＋×6 ＝－119. ·命题角度3　逆用分配律 应用ab＋ac＝a(b＋c)计算时，一般是先算容易计算的b＋c，再把和与a相乘. 【例4】计算： (1)9.54×(－5)＋9.54×(－12)＋9.54×17； 解：原式＝9.54×(－5－12＋17) ＝0； (2)999×118＋999×(－)－999×118. 解：原式＝999×(118－－118) ＝999×0 ＝0. 高效课堂　教学设计 1．运用乘法运算律进行有理数的乘法运算． 2．能自主探究乘法交换律、结合律和分配律在有理数运算中的应用． 3．培养学生通过观察、思考找到合理解决问题的能力． ▲重点 有理数的乘法运算律及其应用． ▲难点 逆用分配律来简化计算． ◆活动1　新课导入 1．回顾有理数的乘法法则． 2．计算： (1)(－)××(－)×；(2)25×125×32；(3)93×101. ◆活动2　探究新知 1．计算下列各题： (1)(－6)×5与5×(－6)； (2)[(－4)×(－5)]×3与(－4)×[(－5)×3]； (3)5×[3＋(－7)]与5×3＋5×(－7). 提出问题： (1)通过对(1)，(2)，(3)的计算，你能发现什么规律？ (2)归纳你所发现的规律． 学生完成并交流展示． 2．教材P41　探究． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．乘法交换律：两个数相乘，__交换乘数的位置__，积不变，即ab＝__ba__． 2．乘法结合律：三个数相乘，先把__前两个数__相乘，或者先把__后两个数__相乘，积不变，即(ab)c＝__a(bc)__． 3．分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把__这个数分别与这两个数__相乘，再把__积相加__，即a(b＋c)＝__ab＋ac__，有时也可以逆用：ab＋ac＝__a(b＋c)__. ◆活动4　例题与练习 例1　教材P41　例3. 例2　计算： (1)(－4)×(－18)×(－25); 　　 解：原式＝(－4)×(－25)×(－18) ＝100×(－18) ＝－1 800； 　　 (2)×(－)×(－). 解：原式＝×(－)×(－) ＝(－5)×(－) ＝. 例3　用简便方法计算： (1)(－)×12.5×(－5)×(－0.08)； 解：原式＝[(－)×(－)]×[12.5×(－0.08)] ＝1×(－1) ＝－1； (2)(－－＋－)×(－36)； 解：原式＝(－)×(－36)－×(－36)＋×(－36)－×(－36) ＝21＋30－＋27 ＝37.5； (3)6.86×(－5)＋6.86×(－12)＋6.86×17. 解：原式＝6.86×(－5－12＋17) ＝6.86×0 ＝0. 练习 1．教材P43　练习第1题． 2．式子(－＋)×4×6＝(－＋)×24＝12－15＋14中，运用的运算律是(D) 　A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 　C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 3．运用运算律进行简便运算： (1)(－)×(－12)×(－)×； 解：原式＝[(－)×(－)]×[(－12)×] ＝1×(－3) ＝－3； (2)(－－)×(－48). 解：原式＝×(－48)－×(－48)－×(－48) ＝－44＋56＋26 ＝38. ◆活动5　课堂小结 1．有理数乘法的运算律． 2．运用乘法运算律解决问题． 1．作业布置 (1)教材P48　习题2.2第4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第3课时　多个有理数的乘法 教师备课　素材示例 ●复习导入　问题1：有理数乘法法则的内容是什么？ (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； (2)任何数与0相乘，都得0. 问题2：计算： (1)(－0.25)×4；(2)(－2 023)×0；(3)(－3.25)×(－)；(4)4.5×. 问题3：(－0.25)×4×(－3.25)×(－)，你会计算吗？ 【教学与建议】教学：通过复习有理数的乘法法则，为学习多个有理数相乘的积的符号规律做铺垫．建议：学生自主思考后集体订正． ●悬念激趣　(课件演示翻牌游戏)桌上有9张反面向上的扑克牌，每次翻动其中任意2张(包括已翻过的牌)，使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，观察能否使所有的牌都正面向上？从这个结果，你能想到其中的数学道理吗？ 【教学与建议】教学：以游戏的形式，激起学生的探究欲望，得到结论：不论翻多少次，都不会使9张牌都正面向上．建议：让学生亲自动手，验证自己的想象，得出结论． ·命题角度1　多个有理数相乘 多个有理数相乘要注意两个方面：(1)乘数中不含0的乘法，积的符号由负乘数的个数决定；(2)乘数中有0的乘法，它的结果就是0. 【例1】下列各式中积为正的是(D) A．1×2×3×(－4) B．1×(－2)×(－3)×(－4) C．(－1)×0×(－2)×(－3) D．(－1)×(－2)×(－3)×(－4) 【例2】计算： (1)39×(－5)×(－4)×0×48； (2)(－100)×(－)×(－1)×(－6)； (3)(－10)×(－)×(＋2)×(－5)； (4)(－)××(－)×(－6)×(－1). 解：(1)原式＝0； (2)原式＝100××1×6＝200； (3)原式＝－10××2×5＝－20； (4)原式＝×××6×1＝1. ·命题角度2　有理数乘法的应用 利用有理数乘法解决实际问题要审清题意，列出正确的算式，再按照运算法则进行正确的计算，最后写出问题的答案． 【例3】一件标价为200元的商品，降价10%后，销售情况依然不好，于是又打八折销售，则该商品的最后售价是多少元？ 解：200×(1－10%)×80%＝144(元). 答：该商品的最后售价是144元． 【例4】李老师利用假期带领7名学生到市区进行社会实践，汽车票每张原价为30元．现在有两种优惠方案：第一种方案是所有成员全部打八折；第二种方案是学生打九价，教师免费．李老师他们采用哪种方案乘车比较合算？ 解：第一种方案所需费用为8×30×0.8＝192(元)， 第二种方案所需费用为7×30×0.9＝189(元). 因为189＜192. 所以李老师他们采用第二种方案乘车比较合算． 高效课堂　教学设计 1．掌握多个有理数相乘时，积的符号法则． 2．会进行多个有理数的乘法运算． ▲重点 多个有理数相乘，积的符号的确定． ▲难点 多个有理数的乘法． ◆活动1　新课导入 1．两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 2．任何数与0相乘都得__0__． ◆活动2　探究新知 1．教材P42　探究． 提出问题： (1)几个不为0的数相乘，积的符号与负乘数的个数之间有什么关系？ (2)由此你能得出什么结论？ 学生完成并交流展示． 2．教材P42　计算：(－3)××(－)×(－). 提出问题： (1)多个不为0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？ (2)归纳一下计算多个不为0的有理数相乘的步骤． 学生完成并交流展示． 3．乘数有0的乘法计算． 提出问题： 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积等于多少？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为__正__数；负的乘数的个数是奇数时，积为__负__数． 2．几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为__0__． ◆活动4　例题与练习 例1　计算： (1)(－3)××(－)×(－)； 解：原式＝－3××× ＝－； (2)(－5)×6×(－)×. 解：原式＝5×6×× ＝6. 例2　计算： (1)(－0.1)×(－100)×0.01×(－10)； 解：原式＝－(0.1×10)×(100×0.01) ＝－1×1 ＝－1； (2)(－5)×6×0×(－10)×(－8). 解：原式＝0. 练习 1．教材P43　练习第2题． 2．下列各式的运算结果为负数的是(C) 　A．(－3)×(－4)×6.2 　B．|－3|×|－4|×(－5.5)×(－3) 　C．(－13)×(－40)×(－99.8) 　D．(－15)×|87|×0 3．在数轴上，若表示有理数a，b，c，d的点均在原点的左侧，则a，b，c，d四个数的乘积(A) 　A．一定是正数 B．一定是负数 　C．可能是正数 D．可能是负数 4．绝对值不大于5的所有负整数的积是__－120__． 5．计算： (1)×(－1.2)×(－)； 解：原式＝×(－)×(－) ＝×× ＝； (2)(－3)××(－)×(－). 解：原式＝－(3×××) ＝－. ◆活动5　课堂小结 1．几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数． 2．任何数同0相乘，都得0. 1．作业布置 (1)教材P48　习题2.2第5题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 2.2.2　有理数的除法 第1课时　有理数的除法法则 教师备课　素材示例 ●置疑导入　 (1)前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数的除法，如何进行有理数的除法运算呢？开门见山，直接引出本节知识的核心； (－16)÷(－4)＝？ (2)回忆小学里乘法与除法互为逆运算，并提问：被除数、除数、商之间有何关系？ 【教学与建议】教学：利用乘法与除法互为逆运算的关系，将有理数的除法转化为有理数的乘法来解决．建议：引导学生发现－16＝(－4)×？来猜想(－16)÷(－4)的计算结果． ●归纳导入　 (1)有理数的乘法法则是__两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积__； (2)计算，探索：(多媒体出示) 5×9＝__45__ 45÷9＝__5__ (－2)×5＝__－10__ (－10)÷(－2)＝__5__ 12×(－3)＝__－36__ (－36)÷12＝__－3__ (－5)×(－4)＝__20__ 20÷(－5)＝__－4__ 0×(－9)＝__0__ 0÷(－9)＝__0__ 　　根据经验和上面的结果我们可以发现有理数的除法与乘法互为逆运算，本节课我们将探索有理数的除法． 【教学与建议】教学：在有理数乘法的基础上，让学生感知乘法与除法互为逆运算．建议：引导学生自主完成除法计算． ●复习导入　复习旧知(多媒体出示) (1)运用有理数乘法法则，请同学们计算下列各题的结果：(投影展示题目) ①(－3)×2；②5×(－)；③(－9)×(－4)； ④0.3×(－2)；⑤(－2)×(－4)；⑥(－)×0. (2)提问：(－4)×(　　)＝16. 【教学与建议】教学：复习巩固有理数的乘法法则后，引出本节课的课题：有理数的除法．建议：问题(1)(2)由学生口答完成．对于问题(2)，不仅要回答计算结果，而且要说明理由． ·命题角度1　有理数的除法运算 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，先确定符号再确定绝对值的商． 【例1】计算1÷(－3)时，除法变为乘法正确的是(D) A．1×(－3) B．1×(＋) C．1×(＋) D．1×(－) 【例2】计算：(－378)÷(－7)＝__54__；(－48)÷12＝__－4__；(－7.5)÷(－0.15)＝__50__；÷(－16)＝__－__． ·命题角度2　化简分数 根据分数与除法之间的关系，用分子除以分母，把分数化简成最简分数或整数． 【例3】化简：(1)＝__－6__；(2)＝____；(3)＝__20__． ·命题角度3　有理数除法的应用 利用有理数除法解决实际问题要审清题意，列出正确的算式，再按照运算法则进行正确的计算，最后写出问题的答案． 【例4】某冷冻厂一个冷库的室温是－1 ℃，现有一批食品需要在－25 ℃的室温下冷冻，如果这个冷库每小时能降温3 ℃，那么降到所需温度需要(C) A．6 h B．7 h C．8 h D．9 h 【例5】某眼镜店在六一儿童节开展学生优惠配镜的活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌补上原价． 原价：__200__元 六一儿童节当天打八折，现价：160元 高效课堂　教学设计 1．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则． 2．根据有理数的除法法则，熟练进行除法运算． 3．通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化思想；通过运算，培养学生的运算能力． ▲重点 有理数的除法法则． ▲难点 灵活运用运算律进行有理数的除法运算． ◆活动1　新课导入 乘积是1的两个数互为倒数． 说出下列各数的倒数：－4，3，－2，－，1. 解：上面各数的倒数分别是－，，－，－，. ◆活动2　探究新知 教材P43～44　例4以上内容． 提出问题： (1)我们知道除法是乘法的逆运算，怎么把一个有理数除法变成有理数的乘法？ (2)在有理数的除法中，0可以作为被除数和除数吗？为什么？ (3)两数相除，商的符号与两数的符号有什么关系？ (4)分数线可以代表什么？ (5)你能归纳出有理数的除法法则吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的__倒数__，即a÷b＝__a·(b≠0)__. 2．两数相除，同号得__正__，异号得__负__，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 3．0除以任何一个不等于0的数，都得__0__． 4．分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P44　例4. 例2　教材P44　例5. 例3　计算： (1)(－0.33)÷(－)÷(－11)； 解：原式＝－(×3×) ＝－； (2)(－2)÷(－1)÷(－1). 解：原式＝－(××) ＝－. 练习 1．教材P45　练习第1，2题． 2．如果a＋b＜0，且＞0，那么下列结论成立的是(B) 　A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 　C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 3．当a＝－3，b＝－2，c＝5时，a÷|b|÷c的值为(B) 　A．－1 B．－ C． D．1 4．已知|x|＝4，|y|＝，且xy＜0，则的值等于__－8__． 5．在如图所示的运算流程中，若输出的数y＝－3，则输入的数x的值为__－6或－7__． ◆活动5　课堂小结 1．有理数的除法法则． 2．化简带“－”的分数． 1．作业布置 (1)教材P48　习题2.2第6，7，8题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　有理数的乘除混合运算 教师备课　素材示例 ●复习导入　1.计算： (－21)÷7＝__－3__；　　　　　　　(－9)÷(－3)＝__3__； (－4)÷5＝__－__； (－65)÷5＝__－13__； (－2)÷(－1)＝____； (－0.25)÷1＝__－__． 2．有理数的除法法则是__除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数__． 3．有理数的乘法法则是__两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积__． 4．试着计算：(－0.1)÷÷100，(－0.1)÷×(－100). 【教学与建议】教学：复习有理数乘、除计算法则，导入课题，起着承上启下的作用．建议：学生自主练习，集体核对答案，及时纠错． ●归纳导入　先写出计算结果，再列成综合算式． 　　　　　 综合算式：__(－8)÷(－4)×＝1__　综合算式：__÷[(－×2)]＝－__ 问题：有理数乘除法混合运算的顺序是什么？ 【归纳】有理数乘、除法计算有括号的先算括号里面的，再算括号外面的；没有括号的，从左往右依次计算． 有理数乘除法混合运算一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果. 【教学与建议】教学：把分步计算转化成综合算式，并归纳出有理数乘除混合运算顺序及方法．建议：学生自主完成． ·命题角度1　有理数乘除混合运算 先把除法转化成乘法，确定积的符号，最后求值． 【例1】下列算式中，正确的是(C) A．(24×)÷(－6)＝－4　　　　B．－3.5÷×(－)＝－3 C．(－6)÷(－4)÷(1)＝ D．－÷(－)×(－)＝－ 【例2】计算(－12)÷×(－)的结果是____． ·命题角度2　定义新运算 【例3】我们把2÷2÷2记作2③，(－4)÷(－4)记作(－4)②，那么计算9×(－3)④的结果为(A) A．1 B．3 C． D． 【例4】对有理数a，b(a≠0)定义运算“△”如下：a△b＝÷(－)，例如2△3＝÷(－)＝－.求(－2△7)△4的值． 解：原式＝[(－)÷(－)]△4 ＝[(－)×(－)]△4 ＝△4 ＝÷(－) ＝－7÷2 ＝－. 高效课堂　教学设计 1．能够将乘除混合运算转化为乘法运算． 2．能够灵活运用乘法运算律简便运算． 3．能够利用有理数乘除混合运算解决实际问题． ▲重点 运用有理数乘法法则和运算律熟练进行有理数乘除混合运算． ▲难点 运用有理数乘除混合运算解决简单的实际问题． ◆活动1　新课导入 1．回顾乘法和除法法则． 2．回顾小学学过的乘除混合运算． 3．计算： (1)÷(－)；(2)12×21÷；(3)×()； (4)(－3)××(－)×(－)×(－8)×(－1). ◆活动2　探究新知 教材P45　例6. 提出问题： (1)进行有理数的乘除混合运算时，把除法转化为乘法的依据是什么？ (2)计算时应注意些什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 乘除混合运算往往先将除法转化成__乘法__，然后确定积的__符号__，最后求出结果. ◆活动4　例题与练习 例1　计算： (1)－2.5÷×(－)； 解：原式＝－××(－) ＝×× ＝1；　　　　 (2)(－)÷(－)×(－1). 解：原式＝(－)×(－)×(－) ＝－(××) ＝－4. 例2　计算： (1)×(－18)÷(－3)； 解：原式＝×18× ＝16；　　 (2)(－81)÷2×÷(－16)； 解：原式＝81××× ＝1； (3)3×(3÷7)×÷1. 解：原式＝××× ＝. 练习 1．教材P47　练习第1题． 2．下列说法错误的是(D) 　A．若ab＞0，则＞0 B．若＜0，则ab＜0 　C．若ac＜0，＞0，则b＜0 D．若ac＞0，bc＞0，则abc＞0 3．若|a|＝2，|b|＝，则a÷b×等于(C) 　A．±2 B．±4 C．±8 D．－4或－2 4．计算(－7)×(－6)×0÷(－42)的结果是__0__． 5．已知C＝＝3，C＝＝10，C＝＝15，…，观察以上计算过程，寻找规律计算C＝__28__． 6．计算： (1)(－2)×(－1)÷(－1)； 解：原式＝－(××) ＝－； (2)1÷(－10)×(－3)÷(－3). 解：原式＝×(－)×(－)×(－) ＝－[(×)×(×)] ＝－(×) ＝－. ◆活动5　课堂小结 有理数乘除混合运算的方法——化除为乘，先定号后算值． 1．作业布置 (1)教材P48～49　习题2.2第9，12题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第3课时　有理数的加减乘除混合运算 教师备课　素材示例 ●复习导入　1.在小学我们已经学习过加、减、乘、除四则运算，其运算顺序是先算__乘除__，再算__加减__，如果有括号，先算__括号__里面的． 2．观察式子3×(2＋1)÷(5－)，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？ 【教学与建议】教学：复习四则运算顺序后提出问题，及时让学生体验有理数的四则混合运算．建议：学生先计算，再小组讨论结果． ●置疑导入　如图所示是一个简单的数值运算程序： →→→→→→ 小明认为当输入的x为正数时，输出的值为负数；当输入的x为负数时，输出的值仍为负数． 你同意小明的观点吗？ 请你分别选择一个正数和一个负数输入该程序，看输出的结果分别是多少. 【教学与建议】教学：利用一个新颖的数值运算程序，提出疑问，将枯燥的数学运算转化为有趣的数学游戏．建议：学生分组讨论，然后让学生板演． ·命题角度1　有理数的四则混合运算 有理数的加减乘除四则混合运算按计算法则和运算顺序进行计算． (1)先算乘除，再算加减；(2)同一级运算，按从左到右的顺序依次进行；(3)若有括号，先算括号里的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 【例1】计算－1÷(1－4)×(－)的值为(C) A．－1 B．1 C．－ D． 【例2】计算： (1)×(－5)÷(－)×(－5)；(2)(－15)÷(－1－3)×6. 解：(1)原式＝－×5×5×5＝－25；(2)原式＝15××6＝. ·命题角度2　利用计算器进行有理数的四则混合运算 要合理准确地使用计算器的功能键，使得运算顺序符合题目要求． 【例3】用带有符号键的计算器计算－5.13＋4.62的按键顺序是____5.13____4.62____，结果是__－0.51__． 【例4】用计算器计算：25.6×(－0.5)＋20.6. 解：原式＝7.8. ·命题角度3　有理数四则混合运算的应用 解决实际问题时要审清题意，列出正确算式，再按照四则运算顺序和法则进行计算，最后写出结果． 【例5】已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5 kg，收费13元；超过5 kg的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8 kg的物品，需要付费(B) A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【例6】根据实验测定：高度每增加1 km，气温大约降低6 ℃.某登山运动员从地面开始向上攀登某一座山峰，请解答下面的问题： (1)当他距地面的高度为2 km时，与地面气温相比，2 km高空处的气温有什么变化？ (2)过了一会儿，运动员在攀登途中发回信息，报告他所在位置的气温为－15 ℃，如果此时地面气温为3 ℃，求此时该登山运动员所在位置距地面的高度. 解：(1)与地面气温相比，2 km高空处的气温下降了12 ℃； (2)根据题意，得[3－(－15)]÷6×1＝3(km)，则此时该登山运动员所在位置距地面的高度为3 km. 高效课堂　教学设计 1．按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加减乘除混合运算． 2．在计算前认真审题，确定运算顺序，计算中按步骤谨慎进行，最后要有验算的好习惯． 3．培养运用有理数的混合运算法则解决实际问题的能力． ▲重点 按有理数的运算顺序正确地进行有理数的混合运算． ▲难点 灵活运用有理数的运算律及符号的确定方法． ◆活动1　新课导入 说一说我们学过的有理数的运算律： 加法交换律：____a＋b＝b＋a____； 加法结合律：____(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)____； 乘法交换律：____ab＝ba____； 乘法结合律：____(ab)c＝a(bc)____； 分配律：____a(b＋c)＝ab＋ac____． ◆活动2　探究新知 1．教材P46　例7. 提出问题： (1)有理数的加减乘除混合运算与小学学过的四则混合运算一样吗？ (2)如何进行有理数的加减乘除混合运算？ (3)在进行有理数的加减乘除混合运算时，应注意些什么？ 学生完成并交流展示． 2．教材P46　例8下面部分． 提出问题： 用计算器计算有理数的加减乘除混合运算时，应注意些什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先__乘除__，后__加减__”的顺序进行，有括号的要先算__括号里面的__. 2．用计算器进行有理数的加减乘除混合运算时，一般按式子所表示的顺序输入，特别注意符号键的使用． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P46　例8. 例2　计算： (1)(－3)×(－1)－2÷(－3)； 解：原式＝×＋× ＝＋ ＝； (2)－×(－)×÷(－). 解：原式＝(－)××× ＝(－)× ＝×－× ＝3－ ＝. 练习 1．教材P47　练习第2，3题． 2．计算(－6)÷×－的结果等于(C) 　A．0 B．－7 C．－18 D．15 3．在算式1－|－2□3|中的“□”里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是(C) 　A．＋ B．－ C．× D．÷ 4．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x|＝2，则＋cd－x＝__－1或3__． 5．计算(能简算的要简算)： (1)－1＋5÷(－)×(－6)； 解：原式＝－1＋5×(－6)×(－6) ＝－1＋180 ＝179； (2)－8－[－7＋(1－×1.2)÷(－3)]. 解：原式＝－8－[－7＋(1－)×(－)] ＝－8－(－7－) ＝－8＋7 ＝－. ◆活动5　课堂小结 1．有理数的加减乘除混合运算的顺序． 2．利用运算律简化运算． 3．运用计算器进行有理数的加减乘除混合运算． 4．有理数混合运算的应用． 1．作业布置 (1)教材P48～49　习题2.2第10，11，13题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　有理数的运算 2．1　有理数的加法与减法 2．1.1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则 教师备课　素材示例 ●置疑导入　展示世界杯图片： 　　　　　　 问题1：在足球比赛中，通常把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫作净胜球数．某届世界杯中，德国队在第一场上半场赢了2个球，下半场输了1个球，德国队在本场比赛的净胜球数是多少？ 问题2：若我们把进一个球记为＋1，失一个球记为－1，则德国队本场的净胜球数如何用算式表示呢？ 【教学与建议】教学：从学生熟悉的情景出发，找准新知识的起点，提出疑问，激发学生的学习兴趣和求知欲．建议：学生单独完成，完成后教师引导学生观察此算式的特征，进而引入新课． ●情景导入　(多媒体展示)回答下列问题： “飞天英雄”翟志刚在太空行走时穿着厚厚的太空服，一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，达到－100 ℃，而舱内的最低温度比舱外温度约高118 ℃，要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？ 　　　　　　 【教学与建议】教学：从学生身边的实际问题引入本节内容，让学生觉得数学来源于生活又应用于生活．建议：学生列出算式，算出结果，对于结果是否正确进行讨论，就此引入新课． ●悬念激趣　动物王国开运动会，小蚂蚁充当火炬手．小蚂蚁从某点出发在一条直线上来回爬，假设向右为正，向左为负，小蚂蚁爬行的过程记录如下(单位：cm)：＋6，＋11，－7，－4，－6. 问：小蚂蚁最后能回到出发点吗？ 【教学与建议】教学：创造一种轻松的学习氛围，导入有理数的加法法则．建议：让学生说明思考过程、讨论算法． ·命题角度1　有理数的加法法则 两个有理数相加，既要考虑符号，又要考虑绝对值． 【例1】下列各式中，计算结果为正的是(C) A．4.1＋(－5.5) B．(－6)＋2 C．－3＋5 D．0＋(－1) 【例2】计算：(－3)＋(－4)＝__－7__． ·命题角度2　结合数轴判断和的符号 步骤：(1)根据数轴确定两个加数的正负；(2)根据数轴确定是用绝对值相加还是相减；(3)根据法则计算结果． 【例3】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列对a＋b的值的判断错误的是(A) A．大于0 B．小于0 C．小于a D．大于b 【例4】若有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则a＋b__＜__0(选填“＝”“>”或“<”)． ·命题角度3　有理数加法的应用 利用有理数的加法解答实际问题时，(1)找出具有相反意义的量，分别用正、负数表示；(2)将实际问题转化为有理数的加法运算；(3)根据计算结果，结合实际问题确定答案． 【例5】“规定向左为负，向右为正，现把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？”写成算式是(B) A．(－3)－(＋1)＝－4 B．(－3)＋(＋1)＝－2 C．(＋3)＋(－1)＝＋2 D．(＋3)＋(＋1)＝＋4 【例6】一艘潜艇所在高度为－80 m，一条鲨鱼在潜艇上方30 m处，则鲨鱼所在高度为__－50_m__． 高效课堂　教学设计 1．掌握有理数加法法则，会正确进行有理数的加法运算． 2．利用有理数的加法运算解决简单的实际问题． ▲重点 掌握有理数加法法则，会正确进行有理数的加法运算． ▲难点 能运用加法运算律简化加法运算． ◆活动1　新课导入 有理数的绝对值的定义是什么？ 答：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 在小学我们学过正数与0的加法运算，引入负数后，怎样进行加法运算呢？本节课我们共同来研究这个问题． ◆活动2　探究新知 教材P25～27　内容． 提出问题： (1)一个物体先向右移动5 m，再向右移动3 m，两次运动的最后结果是多少？请列算式表示； (2)一个物体先向左移动5 m，再向左移动3 m，两次运动的最后结果是多少？请列算式表示； (3)一个物体先向左移动3 m，再向右移动5 m，两次运动的最后结果是多少？请列算式表示； (4)一个物体先向右移动3 m，再向左移动5 m，两次运动的最后结果是多少？请列算式表示； (5)一个物体先向右移动5 m，再向左移动5 m，两次运动的最后结果是多少？请列算式表示； (6)一个数与0相加，结果是多少？ (7)你能归纳一下有理数加法法则吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．同号两数相加，和取__相同__的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 2．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较__大__的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中__较大__者与__较小__者的差．互为相反数的两个数相加得__0__. 3．一个数与0相加，仍得__这个数__． 4．(1)若a＞0，b＞0，则a＋b__＞__0； 　(2)若a＜0，b＜0，则a＋b__＜__0； 　(3)若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b__＞__0； 　(4)若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b__＜__0. ◆活动4　例题与练习 例1　教材P27　例1. 例2　计算： (1)(＋3)＋(＋8); (2)(＋)＋(－)； (3)(－3)＋(－3.5); (4)－3.4＋4； (5)(－2.8)＋2.8; (6)|(－19)＋8.3|. 解：(1)原式＝＋(3＋8)＝11； (2)原式＝－(－)＝－； (3)原式＝－(3.5＋3.5)＝－7； (4)原式＝＋(4－3.4)＝0.6； (5)原式＝0； (6)原式＝|－(19－8.3)|＝|－10.7|＝10.7. 例3　一只蜗牛爬树，白天向上爬了1.5 m，夜间向下爬了0.3 m，白天和夜间一共向上爬了多少米？ 解：规定向上为正，向下为负，1.5＋(－0.3)＝＋(1.5－0.3)＝1.2(m). 答：蜗牛白天和夜间一共向上爬了1.2 m． 练习 1．教材P28　练习第1，2，3，4题． 2．下列运算正确的是(D) 　A．(－2)＋(－2)＝0 B．(－6)＋(＋4)＝－10 　C．(＋12)＋(＋3)＝－15 D．(＋21)＋(－2)＝19 3．有下列说法：①若两个加数都是正数，其和一定为正数；②若两个数的和是正数，则这两个加数一定都为正数；③若两个加数都是负数，其和一定为负数；④若两个数的和是负数，则这两个加数一定都为负数．其中，正确的有(C) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．A地的海拔为－21 m，B地的海拔比A地高68 m，则B地的海拔为__47__m. 5．已知m，n，x都是有理数，且m，n互为相反数，x的绝对值等于6，试求m＋n＋x的值． 解：因为m，n互为相反数，所以m＋n＝0. 又因为x的绝对值等于6，所以x＝－6，或x＝6. 当x＝－6时，m＋n＋x＝0＋(－6)＝－6； 当x＝6时，m＋n＋x＝0＋(＋6)＝6. 综上所述，m＋n＋x的值为－6或6. ◆活动5　课堂小结 1．有理数的加法法则． 2．运用有理数的加法法则解决问题． 1．作业布置 (1)教材P34，P36　习题2.1第1，11题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　有理数的加法运算律 教师备课　素材示例 ●情景导入　宋国有个非常喜欢猴子的老人，他养了一群猴子，整天与猴子在一起，因此能够懂得猴子们的心意．因为粮食缺乏，老人想限制口粮．那天，他故意先对猴子们说：“猴子们，给你们吃橡子，早晨三颗晚上四颗，好不好？”众猴子听了都很愤怒．老人马上改口说：“那就早上四颗晚上三颗吧，够了吗？”众猴子非常高兴，大蹦大跳起来． 大家听完故事，请说说你的看法． 【教学与建议】教学：通过一道小学题目的计算来调动学生的求知欲，导入有理数的加法运算律．建议：通过问题的逐步解决，引出本节课题． ●归纳导入　 1．叙述有理数的加法法则： 同号两数相加，和取__相同__的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较__大__的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中__较大__者与__较小__者的差．互为相反数的两个数相加得__0__. 一个数与0相加，仍得__这个__数． 2．加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和__不变__．加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和__不变__． 3．计算并比较每组两个算式的结果： (1)(－5)＋(－6)，(－6)＋(－5)； (2)3＋(－6)，(－6)＋3； (3)[6＋(－8)]＋(＋8)，6＋[(－8)＋(＋8)]； (4)[15＋(－15)]＋(－7)，15＋[(－15)＋(－7)]. 【归纳】运用加法的交换律和结合律可以使计算简便． 【教学与建议】教学：理解加法交换律和结合律适用于有理数加法运算．建议：让学生板演题目的计算过程． ·命题角度1　运用加法运算律计算 运用有理数加法的运算律进行计算时的“四优先”：(1)互为相反数的数先相加；(2)能凑整的数先相加；(3)同分母分数优先相加；(4)符号相同的数结合相加． 【例1】计算43＋(－77)＋27＋(－43)的结果是(C) A．50 B．－104 C．－50 D．104 【例2】计算： (1)(－83)＋26＋(－17)－26； (2)1.9＋(－1.3)＋(－1.9)＋1.2； (3)＋(－)＋(－)＋(＋). 解：(1)原式＝[(－83)＋(－17)]＋(26－26)＝(－100)＋0＝－100； (2)原式＝[1.9＋(－1.9)]＋[(－1.3)＋1.2]＝0＋(－0.1)＝－0.1； (3)原式＝[＋(－)]＋(－)＋(＋)＝－＋＝－. ·命题角度2　有理数加法的实际应用 利用有理数加法解决实际问题的步骤： (1)列式；(2)计算；(3)结论． 【例3】李老师的微信钱包中有1 600元，给朋友转账800元，又收到微信红包200元，买东西又支付600元，这时微信钱包中还有__400__元钱． 【例4】某公司2024年前四个月盈亏的情况如下(盈余为正)：－160.5万元，－120万元，＋65.5万元，＋280万元．求2024年前四个月该公司总的盈亏情况. 解：－160.5＋(－120)＋65.5＋280＝65(万元). 答：2024年前四个月该公司总盈余65万元． 高效课堂　教学设计 1．学会把有理数加法运算律运用到运算中． 2．掌握有理数的加法运算律在实际中的应用． ▲重点 有理数加法运算律的运用． ▲难点 能运用有理数加法运算律简化加法运算． ◆活动1　新课导入 (1)(－4)＋(－7)＝__－11__； (2)0＋(－)＝__－__； (3)－＋＝__0__； (4)67＋(－73)＝__－6__； (5)(－3.8)＋(＋4.9)＝__1.1__． ◆活动2　探究新知 1．教材P28　探究． 提出问题： (1)计算30＋(－20)和(－20)＋30，它们的结果相同吗？ (2)换几个加数再试一试，结果如何？ (3)通过以上计算，你能得出什么结论？换两个加数，是否仍然满足上述规律？ 学生完成并交流展示． 2．教材P29　探究． 提出问题： (1)计算[8＋(－5)]＋(－4)和8＋[(－5)＋(－4)]，它们的结果相同吗？ (2)换几个加数再试一试，结果如何？ (3)通过以上计算，你能得出什么结论？ (4)学习这种运算律有什么好处？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．加法交换律：在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和__不变__，即a＋b＝__b＋a__． 2．加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和__不变__，即(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P29　例2. 例2　教材P29　例3. 例3　计算： (1)(－46)＋(＋25)＋(－54)＋(－25)； 解：原式＝[(－46)＋(－54)]＋[(＋25)＋(－25)] ＝－100＋0 ＝－100； (2)4.1＋(＋)＋(－)＋(－10.1). 解：原式＝[4.1＋(－10.1)]＋[(＋)＋(－)] ＝(－6)＋(＋) ＝－5.5. 练习 1．教材P30　练习第1，2，3题． 2．计算(－)＋＋(－)＋(＋)时，下列所运用的运算律恰当的是(B) 　A．[(－)＋]＋[(－)＋(＋)] 　B．[＋(－)]＋[(－)＋(＋)] 　C．(－)＋[＋(－)]＋(＋) 　D．以上都不对 3．绝对值小于2 024的所有整数的和为__0__． 4．用简便方法计算： (1)23＋(－17)＋6＋(－22)； (2)1＋(－)＋＋(－)； (3)1.125＋(－3)＋(－)＋(－0.6)； (4)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33). 解：(1)原式＝(23＋6)＋[(－17)＋(－22)]＝29＋(－39)＝－10； (2)原式＝(1＋)＋[(－)＋(－)]＝＋(－)＝； (3)原式＝[1.125＋(－)]＋[(－3)＋(－0.6)]＝1－4＝－3； (4)原式＝[(－2.48)＋(－7.52)]＋(4.33－4.33)＝－10＋0＝－10. ◆活动5　课堂小结 1．有理数加法运算律 2．有理数加法运算律的实际应用． 1．作业布置 (1)教材P34　习题2.1第2题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 2.1.2　有理数的减法 第1课时　有理数的减法法则 教师备课　素材示例 ●置疑导入　某地周六这一天的最高温度为3 ℃，最低温度为－3 ℃，这天的温差为多少？你是怎样计算的？ 【教学与建议】教学：利用温差问题导入新课，感受有理数减法运算的现实意义．建议：学生列出减法算式后，提出问题：怎样进行这里的减法运算呢？有理数的减法运算法则是什么呢？ ●类比导入　利用你所学过的知识回答下列问题． 问题1：口算： (1)12＋(－4)；(2)(－5)＋(－6)；(3)12＋(－4)；(4)(＋6)＋(－2). 问题2：口算： (1)12－(＋4)；(2)－5－(＋6)；(3)12－(＋4)；(4)＋6－(＋2). 问题3：你发现了什么，怎样计算有理数的减法？ 【教学与建议】教学：回顾有理数的加法运算法则，类比减法计算，感受减法计算法则．建议：学生单独完成后，小组讨论减法计算法则． ·命题角度1　有理数的减法法则 计算有理数减法的一般顺序为：判断两数的符号→变减为加→改变减数的符号→计算求和． 【例1】下列计算错误的是(C) A．－2－(－2)＝0 B．－3－4＝－7 C．－7－(－3)＝－10 D．12－15＝－3 【例2】计算－－(－)的结果是__－__． ·命题角度2　结合数轴利用法则判断符号 判断有理数减法计算结果的符号，首先要确定各数的符号，再将其转化为加法．也可以利用结论：大数减小数结果为正；小数减大数结果为负来进行判断. 【例3】数a对应的点在数轴上的位置如图所示，则|a－3.5|的值为(B) A．a－3.5 B．3.5－a C．a＋3.5 D．－a－3.5 【例4】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则(C) A．a＋b＜0 B．a＋b＝0 C．a－b＞0 D．a－b＜0 ·命题角度3　有理数减法的应用 利用有理数的减法解决实际问题的一般步骤：(1)审清题意；(2)列出正确的算式；(3)按照减法运算法则进行正确的计算；(4)答：写出实际问题的答案． 【例5】甲、乙、丙三家商场都以8万元购进了同一种货物，一周后全部销售完，结果甲、乙、丙三家商场收回资金分别为10万元，7.8万元，8.2万元． (1)若记盈利为正，用正、负数表示三家商场的盈利情况； (2)哪家商场的效益最好？哪家最差？差距是多少万元？ 解：(1)甲：10－8＝＋2(万元)，乙：7.8－8＝－0.2(万元)，丙：8.2－8＝＋0.2(万元)； (2)－0.2＜＋0.2＜＋2，2－(－0.2)＝2.2(万元). 答：甲商场的效益最好，乙商场的效益最差，差距是2.2万元． 高效课堂　教学设计 1．理解有理数减法法则并能熟练运用． 2．通过对有理数减法法则的探究，让学生体验数学中的转化思想． 3．培养学生观察、分析、归纳及运算能力． ▲重点 有理数减法法则的理解和运用． ▲难点 有理数减法法则的推导． ◆活动1　新课导入 1．口算： (1)2.5＋(－3.6)＝__－1.1__； (2)(－8)＋3＝__－5__； (3)8＋(－5)＝__3__； (4)(－8)＋0＝__－8__． 2．化简下列各数： －(－2)＝__2__，－(＋8)＝__－8__，＋(＋5)＝__5__，＋(－3)＝__－3__． 3．(1)加法交换律：在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和__不变__，即a＋b＝__b＋a__； (2)加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和__不变__，即(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． ◆活动2　探究新知 1．教材P31　探究． 提出问题： (1)计算3－(－3)与3＋(＋3)，它们的结果是否相同？ (2)再换几个不同的数试一试，结果如何？ (3)由此你能得出什么结论？ 学生完成并交流展示． 2．教材P32　思考． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 减去一个数，等于加这个数的__相反数__，即a－b＝a＋__(－b)__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P31　例4. 例2　已知一个数与3的和是－10，求这个数． 解：(－10)－3＝(－10)＋(－3)＝－13. 答：这个数是－13. 例3　若a，b，c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b异号，b，c同号，求a－b－(－c)的值． 解：因为|a|＝3，所以a＝3，或a＝－3.因为|b|＝10，所以b＝10，或b＝－10. 因为|c|＝5，所以c＝5，或c＝－5.又因为a，b异号，b，c同号， 所以a＝－3，b＝10，c＝5，或a＝3，b＝－10，c＝－5. 当a＝－3，b＝10，c＝5时，a－b－(－c)＝－3－10－(－5)＝－8； 当a＝3，b＝－10，c＝－5时，a－b－(－c)＝3－(－10)－[－(－5)]＝8. 综上所述，a－b－(－c)的值为－8或8. 练习 1．教材P32　练习第1，2题． 2．下列结论不正确的是(C) 　A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0 　B．若a＜0，b＞0，则a－b＜0 　C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＞0 　D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则|a－b|＞0 3．最大的负整数减去最小的正整数的相反数，差为__0__． 4．－的绝对值的相反数与3的相反数的绝对值的差是__－4__． 5．已知A，B，C三地的海拔高度分别为A：139 m，B：－127 m，C：－54 m，求三地之间的高度差分别为多少． 解：A与B：139－(－127)＝266(m)； B与C：－54－(－127)＝73(m)； A与C：139－(－54)＝193(m). ◆活动5　课堂小结 1．有理数的减法法则． 2．运用有理数的减法法则解决问题． 1．作业布置 (1)教材P34～35　习题2.1第3，4，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　有理数的加减混合运算 教师备课　素材示例 ●类比导入　一架飞机进行特技表演，雷达记录起飞后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升4.5 km ＋4.5 km 下降3.2 km －3.2 km 上升1.1 km ＋1.1 km 下降1.4 km －1.4 km 　　此时飞机比起点高多少千米？ 小组探究此时飞机与起飞点的高度，得出以下两种计算方法： (1)4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)＝1.3＋1.1＋(－1.4)＝2.4＋(－1.4)＝1(km)； (2)4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1(km). 比较以上两种算法，你发现了什么？ 【教学与建议】教学：老师借助学生熟悉的情景引入新课，类比加减混合计算方法．建议：让学生感受加减混合运算在生活中的应用，进而引入新课． ●复习导入　问题1：叙述有理数的加法法则、减法法则． 问题2：口算： (1)3－7＝__－4__； (2)(－3)－7＝__－10__； (3)(－4)－(－5)＝__1__； (4)4＋(－5)＝__－1__； (5)(－1)＋(－6)＝__－7__； (6)6－1＝__5__； (7)(－3)＋8＝__5__； (8)3－(－8)＝__11__． 问题3：计算：(－25)＋(＋2)－(－5)－(＋8). 【教学与建议】教学：通过复习回顾，问题质疑导入新课．建议：问题3会引起学生质疑，这个式子中有加法，也有减法，如何计算？教师从而引入课题． ●悬念激趣　内容：小强和小玲两位同学比赛演算一道题目：1－1＋1－1＋1－1＋….小强一看，这个题目很有规律，从第一项起，每两项结合：原式＝(1－1)＋(1－1)＋(1－1)＋…＋(1－1)＝0＋0＋0＋…＋0＝0.而小玲却说，可以从第二项开始结合：原式＝1＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)＝1.一个题目出现两个结果0和1，问题出现在哪里？请同学们说一说. 【教学与建议】教学：通过一道有争议的趣味性题目，激发学生对有理数加减混合运算的兴趣．建议：让学生动手计算并验证两个答案，体会减法转变为加法的重要性． ·命题角度1　加减法统一成加法 在有理数的加减混合运算中，加号可以省略． 【例1】算式(－2)－(－3)＋(－5)写成省略括号和加号的和的形式，正确的是(A) A．－2＋3－5 B．－2＋3＋5 C．－2－3－5 D．2＋3－5 【例2】把18－(＋10)＋(－7)－(－5)写成省略加号和括号的代数和的形式是__18－10－7＋5__. ·命题角度2　有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的一般步骤：(1)将减法转化为加法；(2)省略括号和加号；(3)运用加法交换律和结合律进行计算． 【例3】计算： (1)－(－0.75)＋|(－2.8)＋(－0.2)|－1.25； 解：原式＝0.75＋3－1.25 ＝2.5； (2)－＋. 解：原式＝－＋ ＝－＋ ＝. ·命题角度3　定义新运算 定义新运算的题目是在对题目尤其是给出的例题有准确的认识和理解的基础上，仿照例子进行的运算． 【例4】对有理数a，b规定一种新运算“*”：a*b＝－(a－5)－b＋|b|，则(－3)*(－2)＝__12__． 【例5】规定图形表示运算a－b＋c，图形表示运算x＋z－y－w，则＋＝__0__． ·命题角度4　求数轴上两点之间的距离 利用减法求数轴上两点之间的距离，用大数减小数得到的结果就是两点之间的距离. 【例6】已知数轴上的点A，B，C，D，M，N分别表示数－4，－2，2.5，5，m，n(m＞n).解答下列问题： (1)C，D两点之间的距离是__2.5__； (2)A，B两点之间的距离是__2__； (3)B，D两点之间的距离是__7__，A，C两点之间的距离是__6.5__； (4)M，N两点之间的距离是__m－n__(用含m，n的式子表示)． ·命题角度5　有理数混合运算的实际应用 解决实际问题常用的思路：通过正负数的实际意义将问题数学化，并列式计算，然后结合计算结果确定实际问题的答案． 【例7】水利勘察队沿一条河向上游走了5.5 km，又继续向上游走了4.8 km，然后又向下游走了5.2 km，又向下游走了4.1 km，这时勘察队在出发点的(A) A．上游1 km处 B．下游9 km处 C．上游10.3 km处 D．下游1 km处 【例8】某次数学单元检测，七(1)班A1小组六名同学计划平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数记为正，不足80分的分数记为负，成绩记录如下(单位：分)：＋10，－2，＋15，＋8，－13，－7. (1)本次检测成绩最高得分为多少分？ (2)该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足？超过或不足多少分？ (3)本次检测小组成员中最高得分与最低得分相差多少分？ 解：(1)本次检测成绩最高得分为80＋15＝95分； (2)10＋(－2)＋15＋8＋(－13)＋(－7)＝11(分). 所以与计划相比是超过，超过11分； (3)由题意，得15－(－13)＝28.即最高得分与最低得分相差28分． 高效课堂　教学设计 1．理解有理数的加减混合运算统一为加法运算的意义． 2．通过具体例子体会合理运用加法的运算律让加减混合运算变得简便． 3．借助数轴，思考、归纳数轴上两点间的距离，培养学生的分析、归纳能力． ▲重点 将有理数的加减混合运算统一为加法运算． ▲难点 运用加法的运算律合理地进行混合运算． ◆活动1　新课导入 口算：(1)(－81)＋(－29)＝__－110__； 　　　　(2)(－17)＋21＝__4__； (3)3.5＋(－2.3)＝__1.2__； 　　　　(4)(－13)＋13＝__0__； (5)0－45＝__－45__； 　　　　(6)(－6)－11＝__－17__． ◆活动2　探究新知 1．一架飞机做特技表演，它起飞后的高度变化情况为：上升4.5 km、下降3.2 km、上升1.1 km、下降1.4 km，求此时飞机比起飞点高了多少千米． 提出问题： (1)本题求的是飞机比起飞点高了多少千米，那么飞机上升就加，下降就减，该如何列式？ (2)如果上升和下降的高度用正数和负数表示，求飞机比起飞点高了多少千米，该如何列式？ (3)比较(1)和(2)，你有什么发现？ 学生完成并交流展示． 2．教材P32　例5. 提出问题： (1)请谈谈例5是如何完成加减混合运算的； (2)例5解题过程中运用了哪些运算律？ (3)式子“(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)”是如何省略算式中的括号和加号的，要注意什么？ (4)式子“－20＋3＋5－7”有哪两种读法？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 有理数的加减混合运算可以统一为__加法__运算，即a＋b－c＝__a＋b＋(－c)__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P33　例6. 例2　计算： (1)7.8＋(－1.2)－(－0.2)；　　　　 　 (2)－＋－－. 解：原式＝－－－ ＝－ ＝－1. 例3　一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期内调入、调出的电脑记录是：调入38台、调出42台、调入27台、调出33台、调出40台，则这个仓库现有电脑多少台？ 解：由题意，得 　100＋38－42＋27－33－40 ＝100＋38＋27－42－33－40 ＝165－115 ＝50(台). 答：这个仓库现有电脑50台． 练习 1．教材P34　练习第1，2题． 2．不改变原式的值，将6－(＋3)－(－7)＋(－2)写成省略加号的和的形式是(C) 　A．－6－3＋7－2 B．6－3－7－2 　C．6－3＋7－2 D．6＋3－7－2 3．下列关于算式－7－3的读法中，错误的是(C) 　A．－7与3的差 B．－7与－3的和 　C．－7与－3的差 D．－7减3 4．计算： (1)(－3)－(－1.2)＋(－2)； 解：原式＝－3＋1－2 ＝(－3＋1－2)＋(－＋－) ＝－4－ ＝－4； (2)(－0.3)＋(－)－(－1). 解：原式＝－－＋1 ＝(－＋1)－ ＝1－ ＝. ◆活动5　课堂小结 有理数加减混合运算的步骤： (1)将减法转化为加法； (2)省略括号与加号； (3)按有理数的加法法则计算，能运用加法运算律计算的，使用运算律计算． 1．作业布置 (1)教材P35～36　习题2.1第5，7，8，9，10，13题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$