专题1.2 空间向量基本定理分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.2 空间向量基本定理 高中数学辅导资料 专题1.2 空间向量基本定理 一、知识归纳： 1．空间向量的共线共面定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使且． 2．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 . 3．单位正交基底与正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做 ，常用 表示． （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ． 自检自纠： 1.（1） （2） 2．,不共面,基底,基向量 3．两两互相垂直,1,单位正交基底,,正交分解 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面，假设与、共面，则存在，使得，而，则，整理得，从而，此方程组无解，假设不成立，因此与、不共面，可以是.故选：B 2．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点，故，， ，因为，所以，.故选：A 3．（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点，所以.故选：D. 4．（24-25高二上·辽宁·阶段）在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接，则点为底面中心，且在上，所以.故选D. 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 则 ，所以，故.故选：D. 6．（2023·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接并延长交于点.则为的中点，所以，所以.故选：A 7．（2024·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，不妨取则因，故，则.故选：A. 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意， 所以 ，所以，即.故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 【答案】ABC 【详解】因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点，，，，共面，所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.故选：ABC 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 11．（2023·重庆·一模）在正方体中，点E，F，G分别是棱上的点，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，由已知可得，，，. 对于A项， ，故A项正确； 对于B项，因为 ， 所以，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 当时，显然有，故C项错误； 对于D项，因为，，， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（2023·河北·模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , ，所以 ，所以, 故答案为： 13．（2023·陕西·一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则 ． 【答案】 【详解】因为 ， 所以．故答案：. 14．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）在平行六面体中，，，，点P在上，且，则 ．（用，，表示） 【答案】 【详解】由平面六面体法则可知， .故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可作为空间的一组基底，则，，不共面，当时，假设存在使，则，无解，即，，不共面成立，A选项错误；当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确；当时，假设存在使，则，无解，即，，不共面成立，D选项错误；故选：C. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 3．（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点，所以.故选：D. 4．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：令，则，，A正确； 选项B：因为，所以不能构成基底； 选项C：因为，所以不能构成基底； 选项D：因为，所以不能构成基底． 故选：A. 5．（10-11高三·陕西·阶段）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B. ． 6．（2022高二上·安徽阜阳·竞赛）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】 由题意，， 又，不共面，则，所以. 故选：B. 7．（23-24高二上·山东济南·阶段）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ，因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为.故选：D 8．（22-23高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以，所以， 所以．故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（21-22高二上·浙江金华·阶段）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知： ， 化简得：，显然有， 而，所以有， 当，时，，所以选项A不可能； 当，时，，所以选项B不可能； 当，时，，所以选项C可能； 当，时，，所以选项D可能， 故选：CD 10．（2023·湖北·模拟预测）在正方体中，，则（    ） A． B．与平面所成角为 C．当点在平面内时， D．当时，四棱锥的体积为定值 【答案】AC 【详解】因为在正方体中，， 所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）. 对于A，因为底面，底面，所以. 又，，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； 对于B，因为平面，所以等于与平面所成角，设正方体棱长为， 则，故B错误； 对于C，当点在平面内时，即点在线段上，所以正确，故C正确； 对于D，当时，取的中点，连结，点在线段上运动， 因为四边形的面积为定值，，所以点到平面的距离不是定值，所以四棱锥的体积不是定值，故D错误. 故选：AC. 11．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（    ） A．对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，则，所以，即，以，所以四点共面，故A正确；于B：因为，，与的夹角为钝角，所以且与不共线反向，若，则，解得；若与共线，则，解得，综上可得或，故B错误；对于C：若、同向且，此时，即不成立，故C错误；对于D：若，，显然与共线，但是不存在使得，故D错误.故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（19-20高二上·江苏南京·期中）在正方体中，点O是的中点，且，则的值为 . 【答案】 【详解】在正方体中得，又因为，所以 所以.故答案为： 13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则 . 【答案】 【详解】因为，，则，， ， 所以，，，，故.故答案为：. 14．（2023·四川达州·二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 【答案】 【详解】设，其中，， ，， 因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故答案为：. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.2 空间向量基本定理 高中数学辅导资料 专题1.2 空间向量基本定理 一、知识归纳： 1．空间向量的共线共面定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使且． 2．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 . 3．单位正交基底与正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做 ，常用 表示． （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ． 自检自纠： 1.（1） （2） 2．,不共面,基底,基向量 3．两两互相垂直,1,单位正交基底,,正交分解 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·阶段）在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2023·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）   A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2023·重庆·一模）在正方体中，点E，F，G分别是棱上的点，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（2023·河北·模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ． 13．（2023·陕西·一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则 ． 14．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）在平行六面体中，，，，点P在上，且，则 ．（用，，表示） B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（10-11高三·陕西·阶段）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 6．（2022高二上·安徽阜阳·竞赛）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．（23-24高二上·山东济南·阶段）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（22-23高二上·广东江门·阶段练习）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（21-22高二上·浙江金华·阶段）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2023·湖北·模拟预测）在正方体中，，则（    ） A． B．与平面所成角为 C．当点在平面内时， D．当时，四棱锥的体积为定值 11．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（    ） A．对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面 B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，共线，则 D．若，共线，则一定存在实数使得 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（19-20高二上·江苏南京·期中）在正方体中，点O是的中点，且，则的值为 . 13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则 . 14．（2023·四川达州·二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 . 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$