第4章 指数函数与对数函数培优把关卷-【把关卷】2025-2026学年高一数学必修第一册单元培优把关卷（人教A版2019）

7 第四章培优把关卷 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.“ m≥ n”是“ln m ≥ ln n”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数 f（x）＝   3 , 0, log , 0, x x 2 x x ≤ > 则f f          1 2 ＝（　） A. - 13 B. 1 3 C. 3 D. -3 3. 函数 y ＝ 12 ln x+x- 1 x -2 的零点所在的区间是（　） A.      1 e ,1 B. （1，2） C. （2，e） D. （e，3） 4. 已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在（- ∞，0）上单调递减，则（　） A. f（2 − 34）<f（log 1 4 6）<f      log4 1 5 B. f（2 − 34）<f      log4 1 5 <f（log 14 6） C. f（log 1 4 6）<f（2 − 34）<f      log4 1 5 D. f（log 1 4 6）<f      log4 1 5 <f（2 − 34） 5.已知实数 a，b满足 lg （3a）+lg b＝ lg （2a+b），则 a+2b的最小值是（　） A. 9 B. 3 C. 2 D. 6 6. 若 a ＝ e0.6，b ＝ 2eln 1.2，c ＝ 1.2e-0.21，则 a，b，c 的大小关系是（　） A. b>a>c B. c>a>b C. a>b>c D. a>c>b 7. 研究显示在某山峰附近某区域，某段时间内暴风雪的强度 F（t）与 开始的时间 t（单位：h）的变化规律近似符合模型 F（t）＝ Keat-1（其 中 K，a 为参数），其中参数 K 随着区域的不同而变化 . 一处区域 K ＝ 60，暴风雪开始 1 h 后，暴风雪的强度为 90. 若使得暴风雪的强 度达到 120，则需要时间的小时数大约为（精确到 0.1）（参考数据： ln 2 ≈ 0.69，ln 3 ≈ 1.10）（　） A. 0.5 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.8 8. 已知函数 f（x）＝ 1- 4 1x a + （a∈ R）是奇函数，若存在实数 k，使得关 于 x 的方程 f（x）＝ 4 k x 在 R 上有两个不相等的实数根，则实数 k 的 取值范围是（　） A. （2 2 -3，0） B. ［2 2 -3，0］ C. （2 2 -3，+ ∞） D. ［2 2 -3，+ ∞） 二、 选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0 分。） 9. 已知 a>b，则（　） A. ln （a2+1）>ln （b2+1） B. a3>b3 C. 1a < b 1 D.      1 2 a <      1 2 b 10. 下列命题中是真命题的有（　） A. 函数 y ＝ e e x x+ 2 − 为偶函数 B. 函数 y ＝ e 1 e 1 x x + − 在 R 上单调递增 C. 函数 y ＝ lg |x| 在区间（0，+ ∞）上单调递减 D. 函数 y ＝     1 3 x 与 y ＝ -log3x 的图象关于直线 y ＝ x 对称 11. 已知函数 f（x）＝    1 |1 |,0 2, 2 ( 2), 2, − − ≤ ≤ f x x− > x x 以下关于函数 f（x）的结论中 正确的有（　） A. f      9 2 ＝ 2 B. 当 x∈［0，8］时，函数 f（x）的值域为［0，8］ C. 当 k∈   5 4 ,1时，方程 f（x）＝ kx 恰有四个实根 D. 当 x∈［0，8］时，若 f（x）≤22 x +a 恒成立，则 a ≥ 1- 2 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12. 如图所示，已知 A，B 是函数 f（x）＝ log2（16x）图 象上的两点，C 是函数 g（x）＝ log2x 图象上的一 点，且直线 BC 垂直于 x 轴 . 若△ ABC 为等腰直 角三角形（其中 A 为直角顶点），则点 A 的横坐 标为　　　　. 13. 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残 留含量不得超过原污染物总量的 0.25%. 已知在过滤过程中的污染 物的残留数量 P（单位：mg/L）与过滤时间 t（单位：h）之间的函数关 系为 P ＝ P0·e kt，其中 e 是自然对数的底数，k 为常数，P0 为原污 染物总量 . 若前 4 个小时废气中的污染物被过滤掉了 80%，则 k ＝ 　　　　 ；设要能够按规定排放废气，还需要过滤 n h，则正整数 n 的最小值为　　　　.（参考数据：log52 ≈ 0.43） 14. 定义在   1 2 ,8上的函数 f（x）满足 f（4x）＝ 3f（x），且当 x∈     1 2 ,2时， f（x）＝ |log2x|. 若方程 f（x）＝ t 有四个不相等的实数根，则 t 的取 值范围是　　　　，这四个实数根的乘积为　　　　. 四、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。） 15.（13 分）计算： （1） 3 3 3 2 2× × ×5 5 2 1− × 32 ×5 ×      3 2 ×5 −1 ； （2）ln（e e）+log2（log3 81）+ 2 1 log 3+ 2 + log log 125 log 2 2log 5 9 3 1 1 4 3 3 − + 3 . 16.（15 分）已知函数 f（x）＝ ln（2x2+ ax+ 3）. （1） 若 f（x）是定义在 R 上的偶函数，求 a 的值及 f（x）的值域； （2）若 f（x）在区间［-3，1］上是减函数，求 a 的取值范围 . 密 封 线 8 17.（15 分）已知 log2 x + 2 4·log 2 x 3 + 4 ≤ 0. （1）求 x 的取值集合 A ； （2）当 x∈ A 时，求函数 f（x）＝ 4x+1-2x+3 的值域； （3）设 g（x）＝    2 1,0 32, x x x + − ≤ < − ≤ ≤ 2, 2 0, x 若 y ＝ g（x）-a 有两个零点 x1，x2 （x1<x2），求 ax1 的取值范围 . 18.（17 分）已知函数 f（x）＝ e 1x a + +1 为奇函数 . （1）求 a 的值，并用函数单调性的定义证明函数 f（x）在 R 上是增 函数； （2）求不等式 f（4-x）+f（4-5×2-x）≤ 0 的解集 . 19.（17 分）已知函数 f（x）＝ 1+log2x，g（x）＝ 2 x. （1）若 H（x）＝ g x( ) 2 g x( ) + . ①求证：H（x）+H（1-x）＝ 1. ②求H     2 023 1 + H     2 023 2 + H     2 023 3 +…+ H      2 022 2 023 的值 . （2）令 h（x）＝ f（x）-1，则 G（x）＝ h2（x）+（4-k）f（x），已知函数 G（x） 在区间［1，4］上有零点，求实数 k 的取值范围 . 17 第四章培优把关卷 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.A 9.BD 10.ABD 11.ABD 12. 23 13.- ln 5 4 　11 14.（0，1） 16 1. B　解析：当 m≥ n时，m ≥ n ≥ 0，若 m ＝ n ＝ 0，则推不出 ln m ≥ ln n ； y ＝ ln x 在（0，+ ∞）上单调递增，当 ln m ≥ ln n 时，可得到 m ≥ n>0，则有 m≥ n . 故“ m≥ n”是“ln m ≥ ln n”的必要不充分条件 . 故选 B. 2. B　解析：由题意可得f      1 2 ＝ log2 1 2＝ -1，所以f f            1 2 ＝ f（-1）＝ 3 -1 ＝13 . 3. C　解析：因为函数 y ＝ 12 ln x+x- 1 x -2 在定义域（0，+ ∞）上是增函数， 当 x ＝ 2 时，y ＝ 12 ln 2+2- 1 2 -2 ＝ 1 2 ln 2- 1 2 <0， 当 x ＝ e 时，y ＝ 12 ln e +e- 1 e -2 ＝ 1 2 +e- 1 e -2>0， 所以函数 y ＝ 12 ln x+x- 1 x -2 的零点在（2，e）内 . 4. B　解析：因为偶函数 f（x）在（- ∞，0）上单调递减， 所以函数 f（x）在（0，+ ∞）上单调递增，且 f（log 1 4 6）＝ f（|log 1 4 6|），f      log4 1 5 ＝f       log4 1 5 . 又 |log 1 4 6| ＝ log46，log4 1 5 ＝ log45，所以 |log 14 6|> log4 1 5 >1，2 − 34 <1， 所以 f（|log 1 4 6|）> f      log4 1 5 >f（2 − 34），即 f（2 − 34）< f      log4 1 5 <f（log 14 6）. 故选 B. 5. B　解析：由 lg （3a）+lg b ＝ lg （2a+b）得 3ab ＝ 2a+b，变形得 1a + b 2＝ 3. 因为     1 2 a b+ （a+2b）＝ 5+ 2 a b + 2b a≥ 5+ 2 2 2a b b a× ＝ 9，当且仅当 a ＝ b ＝ 1 时取等号，所以 a+2b ≥ 3. 故选 B. 6. D　解析：因为 a ＝ e0.6>e0.5 ＝ e >1.6，c ＝ 1.2e-0.21<1.23-0.21 ＝ 1.518，所以 a>c. 又 c ＝ 1.2e-0.21>1.22-0.21 ＝ 1.23，1.25 ＝ 2.488 32<e，则 ln 1.2< 15，b ＝ 2eln 1.2< 5 2 e<1.2，所以 c>b， 所以 a，b，c 的大小关系是 a>c>b. 7. C　解析：根据已知条件，因为变化规律近似符合模型 F（t）＝ Keat-1（其中 K，a 为参数）， 又因为一处区域 K ＝ 60，故 F（t）＝ 60eat-1. 设使得暴风雪的强度达到 120，还需要大约 t h，则有 60ea-1 ＝ 90，60eat-1 ＝ 120，即有 ea-1 ＝ 32，e at-1 ＝ 2， 所以 ea ＝ 32 e， 1 e（e a）t ＝ 2，所以（ea）t ＝ 2e，所以     3 2 e t ＝ 2e. 两边取对数，可得 tln      3 2 e ＝ ln （2e），所以 t ＝ ln ln 2e      ( 3 2 e ) ＝ ln 3e ln 2 1 ln 2+ − ＝1 ln 3 ln 2+ − 1 ln 2+ ≈ 1.2， 故需要大约 1.2 h，故 C 正确 . 8. A　解析：因为 f（x）＝ 1- 4 1x a + 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f（x）+f（-x）＝ 1- 4 1x a + +1- 4 1−x a + ＝ 2- 4 1 4 (4 1)x x x a a + + − − 4x ＝ 2- a(1 4 ) 4 1x + + x ＝ 2-a ＝ 0，解得 a ＝ 2， 所以关于 x 的方程 f（x）＝ 4 k x 可写为 1- 4 1x 2 + ＝ 4 k x ， 所以 k ＝ 4x- 2 4 4 1x × + x ＝ 4x- 2(4 1 1) 4 1 x x + − + ＝ 4x-2+ 4 1x 2 + ＝（4x+1）+ 4 1x 2 + -3. 18 令 t ＝ 4x+1（t>1），则关于 t 的方程 k ＝ t+ 2t -3 在 t∈（1，+ ∞）时至少有两个不相等的实数根 . 由 k ＝ t+ 2t -3 可得 t 2-（k+3）t+2 ＝ 0. 令 g（t）＝ t2-（k+3）t+2，则函数 g（t）在（1，+ ∞）上至少有两个零点， 所以      ∆ g k k (1) 0, 2 + = − + − > 3 [ ( 3)] 8 0, = − > > k 1, 2 解得2 2 -3<k<0. 所以实数 k 的取值范围是（2 2 -3，0）. 9. BD　解析：对于 A，函数 y ＝ ln x 在（0，+ ∞）上单调递增， 又 a>b，不妨取 a ＝ -1，b ＝ -2，此时 a2+1<b2+1，所以 ln （a2+1）<ln （b2+1），故 A 错误； 对于 B，因为函数 y ＝ x3 在 R 上单调递增，a>b，所以 a3>b3，所以 B 正确； 对于 C，由 a>b，不妨取 a ＝ 1，b ＝ -1，此时 1a > b 1，故 C 错误； 对于 D，因为函数 y ＝     1 2 x 在 R 上单调递减，a>b，所以     1 2 a <      1 2 b ，故 D 正确 . 10. ABD　解析：对于 A，f（x）的定义域为 R，关于原点对称，又 f（x）＝ e e x x+ 2 − ，f（-x）＝ e e −x x 2 + ， 即 f（x）＝ f（-x），所以 f（x）为偶函数，A 正确 . 对于 B，f（x）＝ e 1 e 1 x x + − ＝ 1- e 1x 2 + ，因为函数 y ＝ ex+1 在 R 上单调递增， 所以 y ＝ e 1x 1 + 在 R 上单调递减，所以 f（x）＝ 1- e 1x 2 + 在 R 上单调递增，B 正确 . 对于 C，函数 y ＝ lg |x| 为定义域上的偶函数， 当 x>0 时，y ＝ lg x 在区间（0，+ ∞）上单调递增，C 错误 . 对于 D，因为函数 y ＝     1 3 x 与 y ＝ log 1 3 x ＝ -log3x 互为反函数， 所以两者的图象关于直线 y ＝ x 对称，D 正确 . 11. ABD　解析：当 x∈［0，2］时，f（x）＝   2 ,1 2, x x,0 1, − < ≤x x ≤ ≤ 把 f（x）的图象向右平移 2 个单位长度变成 f（x-2）的图象后， 再把纵坐标变为原来的 2 倍，得到 2f（x-2）的图象，如图 . 因为f      9 2 ＝2 f      5 2 ＝4 f      1 2 ＝ 4×       1 1− − 12 ＝ 2，故 A 正确； 由题意知在［0，2］上函数 f（x）的值域为［0，1］，在［2，4］上函数 f（x）的值域为［0，2］， 在［4，6］上函数 f（x）的值域为［0，4］，在［6，8］上函数 f（x）的值域为［0，8］，故当 x∈［0， 8］时，函数 f（x）的值域为［0，8］，故 B 正确； 当 k ＝ 1 时，方程 f（x）＝ kx 有无数个实数根，故 C 错误； 当 a ＝ 1- 2时，函数 f（x）的图象与 y ＝22 x +a 的图象交于点（1，1）， 结合图象知当 f（x）≤22 x +a 恒成立时，2 1 2 +a ≥ 1，即 a ≥ 1- 2，故 D 正确 . 12. 2 3　解析：设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则 y1 ＝ log2（16x1），y2 ＝ log2（16x2），y3 ＝ log2x3，x2 ＝ x3. 由△ ABC 是等腰直角三角形（其中 A 为直角顶点）， 可得 y2-y3 ＝ 2（x2-x1），y2+y3 ＝ 2y1， 即有 log2（16x2）-log2x3 ＝ 2（x2-x1），log2（16x2）+log2x3 ＝ 2log2（16x1）， 化简可得 x2-x1 ＝ 2，log2x2 ＝ 2+log2x1，即 2+x1 ＝ 4x1，解得 x1 ＝ 2 3 . 故答案为 2 3 . 13. - ln 5 4 　11　解析：根据题意，前 4 个小时废气中的污染物被过滤掉了 80%， 因为 P ＝ P0·e kt，所以（1-80%）P0 ＝ P0·e 4k，得 0.2 ＝ e4k，即 k ＝ - ln 54 . 由 0.25%P0 ≥ P0·e kt，得 ln 0.002 5 ≥ - ln 54 t， 所以 tln 5 ≥ 8ln 20，即 t ≥8ln 20ln 5 ＝ 8log520 ＝ 8（2log52+1）≈ 14.88. 故整数 n 的最小值为 15-4 ＝ 11. 14.（0，1）　16　解析：当 x∈   1 2 ,2时，f（x）＝ |log2x|，当 x∈     1 2 ,1时，f（x）＝ -log2x，f（x）单调递减， 当 x∈［1，2）时，f（x）＝ log2x，f（x）单调递增，且f      1 2 ＝ -log2 1 2＝ 1，x → 2 时，f（x）→ 1. 当 x∈［2，8）时，4 x∈   1 2 ,2， 又 f（4x）＝ 3f（x），所以 f（x）＝3 f     4 x ＝3 log2 4 x . 方程 f（x）＝ t 有四个不相等的实数根， 即 y ＝ f（x）的图象与直线 y ＝ t 有四个交点 . 将 f（x）的大致图象与直线 y ＝ t 画在同一平面直角坐标系内，如图所示， 可知 t 的取值范围是（0，1）. 设四个不相等的实数根从小到大分别为 x1，x2，x3，x4，则 -log2x1 ＝ log2x2，-log2 x 4 3 ＝ log2 x 4 4 ，故 x1x2 ＝ 1，x3x4 ＝ 16， 所以这四个实数根的乘积为 x1x2x3x4 ＝ 16. 15. 解：（1）原式＝        75 3 2 10×      1 2 1 3 ×      15 2 1 2 × 15 2 ＝5 1 3 ×      15 2 1 3 ×     10 3 1 6 ×      15 2 1 2 × 15 2 ＝5 1 3 ×      15 2 5 6 ×     10 3 1 6 × 15 2 ＝5 1 3 ×      5 34 6 2 × 6 1 6 × 15 2 ＝ 5× 32 × 15 2 ＝ 1. （2）原式＝ ln e 3 2 +log24+2 1× 2log 32 + log log 125 2log 2 2log 5 32 1 4 3 3 − + 3 3 ＝ 32 +2+2×3+ 2(log 2 log 5) 1 1 2 4log log 5 3 3 3 3 + − ＝ 32 +2+6+ 1 2 2(log 2 log 5) log 2 log 53 3 3 3 −2 + − ＝ 32 +2+6+ 2(log 2 log 5) − −log 2 log 5 3 3 3 3 + ＝ 32 +2+6-2 ＝ 15 2 . 16. 解：（1）因为 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以 f（x）＝ f（-x）， 所以 ln（2x2+ax+3）＝ ln（2x2-ax+3），故 a ＝ 0. 此时，f（x）＝ ln（2x2+3），定义域为 R，符合题意 . 令 t ＝ 2x2+3，则 t ≥ 3，所以 ln t ≥ ln 3，故 f（x）的值域为［ln 3，+ ∞）. （2）设 u（x）＝ 2x2+ax+3，因为 f（x）在［-3，1］上是减函数， 所以 u（x）＝ 2x2+ax+3 在［-3，1］上是减函数，且 u（x）>0 在［-3，1］上恒成立， 故   u a − ≥ (1) 5 0, a 4 = + > 1, 解得 -5<a ≤ -4，即 a 的取值范围为（-5，-4］. 17. 解：（1）由 log 2 x + 2 4·log 2 x 3 + 4 ≤ 0，得［log 2（x+4）-1］［log 2（x+4）-log 29］≤ 0， 所以 1 ≤ log 2（x+4）≤ log 29，所以 -2 ≤ x ≤ 5，故 A ＝ {x|-2 ≤ x ≤ 5}. （2）当 x∈ A 时，f（x）＝ 4x+1-2x+3 ＝ 4×（2x）2-8×2x ＝ 4（2x-1）2-4. 因为 -2 ≤ x ≤ 5，所以 14≤ 2 x ≤ 32， 所以 -4 ≤ f（x）≤ 3 840，即 f（x）的值域为 [-4，3 840]. （3）作出函数 g（x）的大致图象，如图 . 因为 y ＝ g（x）-a 有两个零点 x1，x2，且 x1<x2，所以 -2 ≤ x1<0，0 ≤ a<2， 且 a ＝ g（x1）＝ x1+2， 所以 ax1 ＝ g（x1）x1 ＝（x1+2）x1 ＝（x1+1） 2-1. 因为 -2 ≤ x1<0，所以 -1 ≤ ax1 ≤ 0，即 ax1 的取值范围为［-1，0］. 18. 解：（1）因为 f（x）＝ e 1x a + +1 是奇函数，定义域为 R， 所以 f（0）＝ a2 +1 ＝ 0，则 a ＝ -2，所以 f（x）＝ e 1x − + 2 +1. 此时 f（-x）＝ e 1− − x 2 + +1 ＝ 1 e − + 2ex x +1 ＝ − + +2(1 e ) 2 1 e+ x x +1 ＝1 e+ 2 x -1 ＝ -f（x），故 f（x）为奇函数 . 证明：任取 x1，x2∈ R，且 x1<x2，则 f（x1）-f（x2）＝ e 1x − 1 2 + +1+ e 1x2 2 + -1 ＝ (e 1)(e 1)x x 2(e e ) 1 2+ + x x1 2− . 易知ex1 +1>0，ex2 +1>0. 由 x1<x2，可得e x1 < ex2，则ex1 - ex2 <0. 所以 f（x1）-f（x2）<0，即 f（x1）<f（x2），所以函数 f（x）在 R 上是增函数 . （2）由 f（4-x）+f（4-5×2-x）≤ 0，得 f（4-x）≤ -f（4-5×2-x）. 因为函数 f（x）在 R 上是奇函数，所以 -f（4-5×2-x）＝ f（5×2-x-4），所以 f（4-x）≤ f（5×2-x-4）. 又函数 f（x）在 R 上是增函数，所以 4-x ≤ 5×2-x-4. 令 2-x ＝ t（t>0），则 t2-5t+4 ≤ 0，解得 1 ≤ t ≤ 4，即 -2 ≤ x ≤ 0， 所以不等式的解集为 {x|-2 ≤ x ≤ 0}. 19.（1）①证明：因为 H（x）＝ g x( ) 2 g x( ) + ，g（x）＝ 2x，所以 H（x）＝ 2 2x + 2x . 则 H（x）+H（1-x）＝ 2 2x + 2x + 2 21− 2 x 1 + −x ＝ 2 2x + 2x + 2 2 2+ × 2 x ＝ 2 2x + 2x + 2 2+ 2 x ＝ 1. ②解：由（1）知 H（x）+H（1-x）＝ 1，设H     2 023 1 + H     2 023 2 + H     2 023 3 +…+ H      2 022 2 023 ＝ S， 则H      2 022 2 023 + H      2 023 2 021 +…+ H     2 023 2 + H     2 023 1 ＝ S， 两式相加得 2 022       H H          2 023 2 023 1 + 2 022 ＝ 2S，即 2S ＝ 2 022，则 S ＝ 1 011， 故H     2 023 1 + H     2 023 2 + H     2 023 3 +…+ H      2 022 2 023 ＝ 1 011. （2）解：因为 f（x）＝ 1+log2x，所以 h（x）＝ f（x）-1 ＝ log2x， 所以 G（x）＝（log2x） 2+（4-k）log2x+4-k. 设 t ＝ log2x，x∈［1，4］，则 t∈［0，2］，则函数等价于 y ＝ t2+（4-k）t+4-k，t∈［0，2］. 若函数 G（x）在区间［1，4］上有零点，则 y ＝ t2+（4-k）t+4-k 在［0，2］上有零点， 即 t2+（4-k）t+4-k ＝ 0 在［0，2］上有解， 即 t2+4t+4-k（1+t）＝ 0 在［0，2］上有解， 即 k ＝ t t 2 + + 1 4 4 + t ＝ ( 1) 2( 1) 1t t+ + + +2 t +1 ＝ t+1+ t + 1 1 +2 在［0，2］上成立 . 设 m ＝ t+1，则 m∈［1，3］，则 k ＝ m+ m 1 +2. 根据对勾函数的性质可知，y ＝ m+ m 1 +2 在［1，3］上单调递增， 所以 4 ≤ m+ m 1 +2 ≤163 ，所以 4 ≤ k ≤ 16 3 ，即实数 k 的取值范围是      4,163 .