第2章 一元二次函数、方程和不等式培优把关卷-【把关卷】2025-2026学年高一数学必修第一册单元培优把关卷（人教A版2019）

14 第二章培优把关卷 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.AC 10.BC 11.ACD 12. 3　 {b|-6 ≤ b ≤ 6} 13. 16 14. 2　16 1. B　解析：若 mn>0，即 m，n 同号，则mn >0，m n >0，所以mn + m n ≥2 m nn m ＝ 2， 当且仅当 m ＝ n 时等号成立，所以充分性不成立； m n + m n ＝m n 2 2 mn + >2>0，显然 mn>0，所以必要性成立 . 综上，“mn>0”是“mn + m n >2”的必要不充分条件 . 2. D　解析：因为不等式（mx-1）（x-2）>0 的解集为{x m1 < <x 2}，所以二次项的系数 m 小于 0，即 m<0. 3. C　解析：因为正实数 a，b 满足 a+3b ＝b 1 - 1a，所以b 1 -3b ＝ a+ 1a≥2 a 1 a ＝ 2， 当且仅当 a ＝ 1a，即 a ＝ 1 时取等号，所以b 1 -3b ≥ 2. 因为 b>0，所以 3b2+2b-1 ≤ 0，解得 0<b ≤13，所以 b 的最大值为 1 3 . 4. C　解析：当 x>0 时，由 x2-mx+16>0 得 m<x+ 16x . 因为 x>0，所以 x+ 16x ≥2 x 16 x ＝ 8，当且仅当 x ＝ 16 x ，即 x ＝ 4 时等号成立 . 因为当 x>0 时，m<x+ 16x 恒成立，所以 m<8. 5. B　解析：因为 0<x<1，所以 1x -1>0，所以 1 x + 1 2 − x x＝ 1 x -1+ 1 x 2 −1 +1 ≥ 2      1 2 x −1  1 x −1 +1 ＝ 1+ 2 2， 当且仅当 1x -1 ＝ 1 x 2 −1 ，即 x ＝ 2 -1 时等号成立 . 6. C　解析：由 x2-（1+2a）x+2a<0 可得（x-1）（x-2a）<0， 当 a ＝ 12时，（x-1）（x-2a）＝（x-1） 2 ≥ 0，即原不等式无解，不满足题意 . 当 a> 12时，解原不等式得 1<x<2a. 因为解集中恰有 2 个整数，所以整数解为 2 和 3，所以 3<2a ≤ 4，即 32 <a ≤ 2. 当 a< 12时，解原不等式得 2a<x<1. 因为解集中恰有 2 个整数，所以整数解为 -1 和 0，所以 -2 ≤ 2a<-1，即 -1 ≤ a<- 12 . 综上，-1 ≤ a<- 12或 3 2 <a ≤ 2. 7. C　解析：由题意，可得 4x+y ＝ 12（4x+y）      2 3 6 x y+ ＝ 1 24 2 2       12+ +3yx y x ≥ 12 ×（12+ 2 36）＝ 12， 当且仅当 x ＝ 32，y ＝ 6 时取等号，故 12>7m-m 2，解得 m>4 或 m<3. 8. C　解析：因为 x<0，y<0，所以 x+y<0，x+2y<0，所以 x y x y + + 2 >0， 所以 x y+ 2y 2 - x y+ y ＝y     x y x y+ + 2 1 2 − ＝［（x+2y）-（x+y）］      x y x y+ + 2 1 2 − ＝ 3-     x y x y x y x y + + + + 2 2( )+ 2 ≤ 3- 2 x y x y x y x y + + + + 2 2( )  2 ＝ 3- 2 2， 当且仅当 x+2y ＝ 2（x+y），即 xy ＝ 2时等号成立，所以原式的最大值为 3- 2 2 . 9. AC　解析：因为不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 {x|m<x<n}，其中 m>0， 所以 a<0，m，n 是方程 ax2+bx+c ＝ 0 的两个根，所以 A 正确 . 所以      m n mn + = − = a c , b a ,解得    anmb mnac = = − +( ) , . 因为 m>0，m<n，所以 n>0. 又因为 a<0，所以 c ＝ mna<0，所以 B 错误 . 所以 cx2+bx+a>0 可化为 mnax2-（m+n）ax+a>0，即 mnx2-（m+n）x+1<0，即（mx-1）（nx-1）<0. 因为 n>m>0，所以 mn>0，1n < m 1 ， 所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为    x 1n <x< m 1    ，所以 C 正确，D 错误 . 10. BC　解析：因为 a，b 均为正数，且 a+2b ＝ 1，所以 a+2b ＝ 1 ≥2 2ab，所以 ab ≤18， 当且仅当 a ＝ 2b，即 a ＝ 12，b ＝ 1 4时，等号成立，所以 A 错误； 1 a + b 2＝     1 2 a b+ （a+2b）＝ 1+4+ 2 a b + 2b a≥ 5+ 2 2 2a b b a  ＝ 9， 当且仅当 2a b＝ 2b a，即 a ＝ b ＝13时，等号成立，所以 B 正确； a2+4b2 ＝（a+2b）2-4ab ≥（a+2b）2- 2     a b+ 2 2 2＝ 12， 当且仅当 a ＝ 2b，即 a ＝ 12，b ＝ 1 4时，等号成立，所以 C 正确； （a+2）（2b+1）≤     a b+ + +2 2 1 2 2 ＝ 4， 当且仅当 a+2 ＝ 2b+1，即 a ＝ 0，b ＝ 12时，等号成立， 而 a，b 均为正数，故等号不成立，所以 D 错误 . 11. ACD　解析：对于 A，若 ac2<bc2，则 c2>0，则 a<b，故 A 正确； 对于 B，若 0<a<1，则 a- a＝ a（ a -1）<0，故 B 错误； 对于 C，若 a>b>0 且 c>0，则 a-b>0，则 b ca c + + - ba＝ a b c b a c( ) ( )+ − + a a c( )+ ＝ a a c c a b( ) ( ) − + >0，所以 b ca c + + > ba，故 C 正确； 15 对于 D，a2+b2-（2a-4b-5）＝（a2-2a+1）+（b2+4b+4）＝（a-1）2+（b+2）2 ≥ 0， 当且仅当 a ＝ 1，b ＝ -2 时，等号成立，所以 a2+b2 ≥ 2a-4b-5，故 D 正确 . 12. 3　{b|-6 ≤ b ≤ 6}　解析：由题意知，1-a<0，且 -3 和 1 是方程（1- a）x2 -4x+6 ＝ 0 的两根， 所以       1 0, 1 1 − < − − 6 4 a a a = − = − 2, 3, 解得 a ＝ 3. 所以 ax2+bx+3 ≥ 0 即 3x2+bx+3 ≥ 0，此不等式的解集为 R， 所以 Δ ＝ b2-4×3×3 ≤ 0，解得 -6 ≤ b ≤ 6. 13. 16　解析：如图，连接 OC，设 |OB| ＝ x cm（0<x<4）， 则 |BC| ＝ | | | |OC OB2 2− ＝ 16− x2 cm，|AB| ＝ 2|OB| ＝ 2x cm， 所以矩形 ABCD 的面积为 |AB|·|BC| ＝2 16x x− 2 cm， 2 16x x− 2 ≤ x2+（16-x2）＝ 16，当且仅当 x2 ＝ 16-x2，即 x ＝2 2时，等号成立， 所以矩形 ABCD 面积的最大值为 16 cm2. 14. 2　16　解析：由 x+2y+xy-6 ＝ 0，得 x+2y ＝ 6-xy. 因为 x>0，y>0，所以 x+2y ＝ 6-xy>0，所以 0<xy<6. x+2y ≥2 2xy，当且仅当 x ＝ 2y 时等号成立， 所以 6-xy ≥2 2xy，解得 0<xy ≤ 2，故 xy 的最大值为 2. 由 x+2y+xy-6 ＝ 0，得（x+2）（y+1）＝ 8，所以（x+2）2+（y+1）2 ≥ 2（x+2）（y+1）＝ 2×8 ＝ 16， 当且仅当 x+2 ＝ y+1，即 x ＝2 2 -2，y ＝2 2 -1 时等号成立，故（x+2）2+（y+1）2 的最小值为 16. 15. 解：对于 p ：对任意 x∈ {x|0 ≤ x ≤ 1}，不等式 2x-3 ≥ m2-4m 恒成立，只需（2x-3）min ≥ m2-4m 成立 . 因为 x∈ {x|0 ≤ x ≤ 1}，所以（2x-3）min ＝ -3，所以 -3 ≥ m2-4m，所以 1 ≤ m ≤ 3. 对于 q ：存在 x∈ {x|-1 ≤ x ≤ 1}，使得不等式 x2-2x+m-1 ≤ 0 成立，只需（x2-2x+m-1）min ≤ 0. 因为 x∈ {x|-1 ≤ x ≤ 1}，所以（x2-2x+m-1）min ＝ -2+m，所以 -2+m ≤ 0，所以 m ≤ 2. （1）若 p 为真命题，则 m 的取值范围是 {m|1 ≤ m ≤ 3}. （2）若 p，q 有且只有一个为真命题，则 p，q 一真一假 . 若 p 为真命题，q 为假命题，则    1 3, m ≤ ≤ > m 2, 所以 2<m ≤ 3 ； 若 p 为假命题，q 为真命题，则    m m m < > ≤ 1 3, 2, 或 所以 m<1. 综上，m 的取值范围是 {m|m<1 或 2<m ≤ 3}. 16. 解：（1）由题意，-1 和 b 为方程 2ax2-8x-3a2 ＝ 0 的两根，且 a>0， 所以      − + = − × = − 1 , 1 ,b b 2 8 a 3 2 a a 2 解得    b a a = = = − 3. 2 ,     4 3舍去 （2）由（1）知 a ＝ 2，b ＝ 3，所以 2x + 3 y ＝ 1， 所以 3x+2y ＝（3x+2y）     2 3 x y+ ＝ 12+ 4 x y + 9y x≥ 12+ 2 4x y y  9x ＝ 24， 当且仅当 4x y ＝9y x，即 x ＝ 4，y ＝ 6 时等号成立， 所以 3x+2y 的最小值为 24，所以 m ≤ 24，即实数 m 的取值范围为 {m|m ≤ 24}. 17. （1）证明：因为正数 a，b 满足 a+b ＝ 1， 所以（ 2 1a + + 2 1b + ）2 ＝ 2a+1+2b+1+ 2 (2 1)(2 1)a b+ + ≤ 4+（2a+1+2b+1）＝ 8， 当且仅当 a ＝ b ＝ 12时等号成立 . 所以 2 1a + + 2 1b + ≤2 2 . （2）解：因为 1a +1 + b 1 +1＝ b a+a +1 + a b b + +1＝ 2+ ba + 2+ b a ， 所以       1 1 a b+ + +1 1 2 ＝       2 2+ + +b aa b 2 ＝ 4+      b a a b+ + 2 2 2         + +b aa b ＝ 4+      b a a b+ + 2 5 2+ +      b a a b ≥ 4+ 2 b a a b + 2 5 4+ b a a b ＝ 12，当且仅当 a ＝ b ＝ 1 2时，等号成立 . 所以 1a +1 + b 1 +1≥2 3 . 因此， 1a +1 + b 1 +1的最小值为2 3 . 18. 解：（1）设 h（x）＝ f（x）-g（x）＝ 6x2+12x-4-k， 问题转化为当 x∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3} 时，h（x）≤ 0 恒成立，故 h（x）max ≤ 0. 由二次函数的性质可知 h（x）max ＝ h（3）＝ 86-k，所以 86-k ≤ 0，所以 k ≥ 86，即 k 的取值范围为 {k|k ≥ 86}. （2）设 h（x）＝ f（x）-g（x），由题意得 h（x）＝ 6x2+12x-4-k ≤ 0 在 x∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3} 时有解，故 h（x）min ≤ 0. 由二次函数的性质可知 h（x）min ＝ h（-1）＝-10-k，所以-10-k ≤ 0，所以 k ≥ -10，即 k 的取值范围为 {k|k ≥ -10}. （3）对任意 x1，x2∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3}，都有 f（x1）≤ g（x2）成立，所以 f（x）max ≤ g（x）min，x∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3}. 由二次函数的性质可得 f（x）max ＝ f（3）＝ 120-k，g（x）min ＝ g（-1）＝ 2. 所以 120-k ≤ 2，所以 k ≥ 118，即 k 的取值范围为 {k|k ≥ 118}. 19. 解：（1）由矩形 ABCD（AB>BC）的周长为 24，AB ＝ x，可得 AD ＝ 12-x. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AB ＝ CD，AB ∥ CD，所以∠ BAC ＝∠ PCA. 由翻折的性质可知 AB ＝ AB′，∠ BAC ＝∠ PAC， 所以 AB′＝ CD，∠ PAC ＝∠ PCA，所以 AP ＝ PC，所以 DP ＝ PB′，所以 AP ＝ AB′ -PB′＝ AB-DP ＝ x-DP. 在 Rt △ ADP 中，由勾股定理可得（12-x）2+DP2 ＝（x-DP）2，整理可得 DP ＝ 12- 72x . 又 AB>BC>0，即 x>12-x>0，解得 6<x<12，所以 DP ＝ 12- 72x（6<x<12）. （2）在 Rt △ ADP 中，S △ ADP ＝ 1 2 AD·DP ＝ 1 2（12-x）      12− 72x ＝ 108-      6x + 432x （6<x<12）. 当 6<x<12 时，6x+ 432x ≥2 6x 432 x ＝72 2，当且仅当 6x ＝ 432 x ，即 x ＝6 2时取等号， 所以 S △ ADP ＝ 108-      6x + ≤ 108- 72 2，所以△ ADP 面积的最大值为 108- 72 2，此时 x ＝6 2 . 3 第二章培优把关卷 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 已知 m，n∈ R，则“mn>0”是“mn + m n >2”的（　）条件 . A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 若关于 x 的不等式（mx-1）（x-2）>0 的解集为      x xm 1 < < 2  ，则 m 的 取值范围是（　） A. {m|m>0} B. {m|0<m<2} C.       m m > 12 D. {m|m<0} 3. 若正实数 a，b 满足 a+3b ＝b 1 - 1a，则 b 的最大值为（　 ） A. 3 B. 2 C. 13 D. 1 2 4. 已知当 x>0 时，不等式 x2-mx+16>0 恒成立，则实数 m 的取值范围 是（　） A.{m|-8<m<8} B.{m|m ≤ 8} C.{m|m<8} D.{m|m>8} 5. 若 0<x<1，则 1x + 1 2 − x x的最小值为（　） A. 2 2 B. 1+ 2 2 C. 2+ 2 2 D. 3+ 2 2 6. 若关于 x 的不等式 x2-（1+2a）x+2a<0 的解集中恰有 2 个整数，则实 数 a 的取值范围是（　） A.{a|-2 ≤ a<-1 或 3<a ≤ 4} B.{a|-2 ≤ a ≤ -1 或 3 ≤ a ≤ 4} C.      a a a− ≤ < − < ≤1 21 32 2或 D.      a a a− ≤ ≤− ≤ ≤1 21 32 2或 7. 已知 x>0，y>0，且 2 3 x + 6 y ＝ 2. 若 4x+y>7m-m 2 恒成立，则 m 的取值 范围为（　） A. {m|3<m<4} B. {m|-4<m<3} C. {m|m<3 或 m>4} D. {m|m<-4 或 m>-3} 8. 已知 x<0，y<0，则 x y+ 2y 2 - x y+ y 的最大值为（　） A. 2- 2 B. 1 C. 3- 2 2 D. 3+ 2 2 二、 选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0 分。） 9. 已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 {x|m<x<n}，其中 m>0，则以下选 项正确的有（　） A. a<0 B. c>0 C. cx2+bx+a>0 的解集为       x 1 1 n m< <x D. cx2+bx+a>0 的解集为       x x x< >1 1n m或 10. 若 a，b 均为正数，且 a+2b ＝ 1，则下列结论正确的有（　） A. ab 的最大值为19 B. 1 a + b 2的最小值为 9 C. a2+4b2 的最小值为 12 D.（a+2）（2b+1）的最小值为 4 11. 若 a，b，c∈ R，则下列命题正确的有（　） A. 若 ac2<bc2，则 a<b B. 若 0<a<1，则 a> a C. 若 a>b>0 且 c>0，则 b ca c + + > ba D. a2+b2 ≥ 2a-4b-5 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12. 若不等式（1-a）x2-4x+6>0 的解集为 {x|-3<x<1}，不等式 ax2+bx+3 ≥ 0的解集为R，则实数a＝　　　　，实数b的取值范围是　　　　. 13. 如图，在半径为 4 cm 的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形 材料 ABCD，其顶点 A，B 在直径上，顶点 C，D 在半圆周上，则矩形 ABCD 面积的最大值为 　　　　 cm2. 14. 已知 x>0，y>0，x+2y+xy-6 ＝ 0，则 xy 的最大值为　　　　，（x+ 2）2+（y+1）2 的最小值为　　　　. 四、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。） 15.（13 分）设 p ：对任意 x∈ {x|0 ≤ x ≤ 1}，不等式 2x-3 ≥ m2-4m 恒成立；q ：存在 x∈ {x|-1 ≤ x ≤ 1}，使得不等式 x2-2x+m-1 ≤ 0 成立 . （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 p，q 有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围 . 16.（15 分）已知关于 x 的不等式 2ax2-8x-3a2<0 的解集为 {x|-1<x<b}. （1）求实数 a，b 的值； （2）当 x>0，y>0，且 ax + b y ＝ 1 时，若 m ≤ 3x+2y 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 密 封 线 4 17.（15 分）若正数 a，b 满足 a+b ＝ 1. （1）求证： 2 1a + + 2 1b + ≤2 2 . （2）求 1a +1 + b 1 +1的最小值 . 18.（17 分）已知两函数 f（x）＝ 8x2+16x-k，g（x）＝ 2x2+4x+4，其中 k 为实数 . （1）对任意 x∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3}，都有 f（x）≤ g（x）成立，求 k 的取 值范围； （2）存在 x∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3}，使 f（x）≤ g（x）成立，求 k 的取值范围； （3）对任意 x1，x2∈ {x|-3 ≤ x ≤ 3}，都有 f（x1）≤ g（x2），求 k 的取 值范围 . 19.（17 分）如图所示，设矩形 ABCD（AB>BC）的周长为 24，把它沿 AC 翻折，翻折后 AB′交 DC 于点 P，设 AB ＝ x. （1）用 x 表示 DP，并求出 x 的取值范围； （2）求△ ADP 面积的最大值及此时 x 的值 .