第1章 集合与常用逻辑用语培优把关卷-【把关卷】2025-2026学年高一数学必修第一册单元培优把关卷（人教A版2019）

1 第一章培优把关卷 一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.“ x∈ R，x2-x ≥ 0”的否定是（　） A.  x∈ R，x2-x<0 B.  x∈ R，x2-x ≤ 0 C.  x∈ R，x2-x ≤ 0 D.  x∈ R，x2-x<0 2. 已知全集 U ＝ {x|-3<x<3}，集合 A ＝ {x|-2<x ≤ 1}，则綂U A ＝（　） A.{x|-2<x ≤ 1} B.{x|-3<x<-2 或 1 ≤ x<3} C.{x|-2 ≤ x<1} D.{x|-3<x ≤ -2 或 1<x<3} 3. 设全集 U ＝ {-2，-1，0，1，2}，集合 A ＝ {0，1，2}，B ＝ {-1，2}，则 A∩（綂U B）＝（　） A.{0，1} B.{0，1，2} C.{-1，1，2} D.{0，-1，1，2} 4. 命题 p ： x∈ {x|1 ≤ x ≤ 9}，使 ax-36 ≤ 0，若 p 是真命题，则实 数 a 的取值范围为（　） A.{a|a>4} B.{a|a ≤ 4} C.{a|a ≤ 36} D.{a|a>36} 5. 为了丰富同学们的课外生活，已知 58 名同学在选课外兴趣小组时， 选择篮球小组的有 28 人，选择乒乓球小组的有 36 人，既没有选择 篮球小组又没有选择乒乓球小组的有 12 人，那么选择篮球小组但 没有选择乒乓球小组的人数为（　） A. 8 B. 10 C. 18 D. 20 6. 设 U ＝ {0，1，2，3，4}，A 与 B 是 U 的两个子集，若 A∩ B ＝ {1，2}，则 称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定： 当 A ≠ B 时，（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 7.“|x+1|>x+1”的一个必要不充分条件是（　） A. x+1<0 B. x + 1 2 <0 C. x<0 D. x-4>0 8. 设集合 U ＝ {x∈ N|0<x ≤ 8}，S ＝ {1，2，3，4}，T ＝ {3，5，7}，则 S∩（綂U T）＝（　） A.{1，2} B.{1，2，3} C.{1，2，4} D.{1，2，4，5，6，8} 二、 选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部 分分，有选错的得 0 分。） 9. 若 U ＝ R，集合 A ＝ {x|-3 ≤ 2x-1 ≤ 3}，集合 B ＝ {x|x-1>0}，则 图中阴影部分对应集合的子集可以是（　） A. {x|-1<x<0} B. {x|0 ≤ x ≤ 1} C. {x|-2 ≤ x<1} D. {x|0<x ≤ 2} 10. 下列四个命题中是真命题的有（　） A. 方程 x − 2 +|y+2| ＝ 0 的解集为 {2，-2} B. 由 | |aa + | |b b（a，b∈ R）所确定的实数集合为 {-2，0，2} C. 集合 {（x，y）|3x+2y ＝ 16，x∈N，y∈N}可以化简为 {（0，8），（2， 5），（4，2）} D. A ＝     a a3− 6 a ∈ ∈N Z, 中含有 3 个元素 11. 当一个非空数集 F 满足条件“若对任意 a，b∈ F，则 a+b，a-b， ab∈ F，且当 b ≠ 0 时，b a∈ F”时，称 F 为一个数域 . 以下四个关 于数域的命题中，真命题有（　） A. 0 是任何数域的元素 B. 若数域 F 有非零元素，则 2 020∈ F C. 集合 P ＝ {x|x ＝ 3k，k∈ Z} 为数域 D. 有理数集为数域 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12. 若集合 A ＝ {1，2，3，4，5，6}，B ＝ {1，2，3}，集合 C 是 A 的子集， 且 C∩ B ≠，则这样的子集 C 有　　　　个 . 13. 已知 p ：|x-3|<5，q ：1-a<x<2a-3，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 实数 a 的取值范围是　　　　. 14. 已知集合 M ＝ {1，2，3，4，5}，A M，集合 A 中所有元素的乘积称 为集合 A 的“累积值”，且规定：当集合 A 只有一个元素时，其累积 值为该元素的数值，空集的累积值为 0，设集合 A 的累积值为 S. （1）若 S ＝ 3，则这样的集合 A 共有　　　　个； （2）若 S 为偶数，则这样的集合 A 共有　　　　个 . 四、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。） 15.（13 分）已知 p ：m-1 ≤ x<m+1，q ：-1 ≤ x ≤ 5. （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 m ＝ 5，p 和 q 有且仅有一个为真，求实数 x 的取值范围 . 16.（15 分）设全集 U ＝ R，集合 A ＝ {x|x ≤ -3 或 x ≥ 6}，B ＝ {x|-2 ≤ x ≤ 14}. （1）求 A∩ B 表示的集合 . （2）已知 C ＝ {x|2a ≤ x ≤ a+1}，若 C B，求实数 a 的取值范围 . 密 封 线 2 17.（15 分）已知集合 A ＝{x xx−+43 > 0}，集合 B ＝ {x|a-2 ≤ x ≤ 2a+1}. （1）当 a ＝ 3 时，求 A 和（綂R A）∪ B ； （2）若“x∈ A”是“x∈ B”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 . 18.（17 分）设全集 U ＝ R，集合 A ＝ {x|x2+4x+a ＝ 0}，B ＝ {x|x2+bx-2 ＝ 0}. （1）若 A 是非空集合，求实数 a 的取值范围； （2）若（綂U A）∩ B ＝ {2}，（綂U B）∩ A ＝ {-3}，求 A∪ B. 19.（17 分）已知集合 A ＝ {x|x2-3x+2 ＝ 0}，B ＝ {x|x2-ax+a-1 ＝ 0}， C ＝ {x|x2+2（m+1）x+m2-5 ＝ 0}. （1）若 A∪ B ＝ A，求实数 a 的值； （2）若 A∩ C ＝ C，求实数 m 的取值范围 . 13 第一章培优把关卷 1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.AB 10.BC 11.ABD 12.56 13.      a a≥112 14.（1）2　（2）25 1. D　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故题中命题的否定是 x∈ R，x2-x<0. 2. D　解析：由补集的定义可知綂U A ＝ {x|-3<x ≤ -2 或 1<x<3}. 3. A　解析：由 A ＝ {0，1，2}，綂U B ＝ {-2，0，1}，得 A∩（綂U B）＝ {0，1}. 4. C　解析：因为 {x|1 ≤ x ≤ 9}，所以由 ax-36 ≤ 0 a ≤36x . 因为 {x|1 ≤ x ≤ 9}，所以       36 36 x x4 36≤ ≤ . 因为 p 是真命题，所以 a ≤ 36. 5. B　解析：设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有 x 人， 则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有（28-x）人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有（36-x）人 . 由题意可得 12+（28-x）+（36-x）+x ＝ 58，解得 x ＝ 18， 所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为 28-x ＝ 10. 6. C　解析：对子集 A 分类讨论： 若 A ＝ {1，2}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，0}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，0，3}，{1，2，0，4}，{1，2，3，4}，{1，2，0，3， 4}，共 8 个结果； 若 A ＝ {0，1，2}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共 4 个结果； 若 A ＝ {1，2，3}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，0}，{1，2，4}，{1，2，0，4}，共 4 个结果； 若 A ＝ {1，2，4}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，0}，{1，2，3}，{1，2，0，3}，共 4 个结果； 若 A ＝ {0，1，2，3}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，4}，共 2 个结果； 若 A ＝ {0，1，2，4}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，3}，共 2 个结果； 若 A ＝ {1，2，3，4}，则集合 B 可以为 {1，2}，{1，2，0}，共 2 个结果； 若 A ＝ {0，1，2，3，4}，则集合 B 可以为 {1，2}，共 1 个结果 . 所以共有 8+4+4+4+2+2+2+1 ＝ 27（个）结果 . 7. C　解析：因为 |x+1|>x+1，所以 x+1<0，即 x<-1. 对于 A，x+1<0 x<-1，是“|x+1|>x+1”成立的充要条件； 对于 B，x + 1 2 <0 x<-2，是“|x+1|>x+1”成立的充分不必要条件； 对于 C，x<0 是“|x+1|>x+1”成立的必要不充分条件； 对于 D，x-4>0 x>4，是“|x+1|>x+1”成立的既不充分也不必要条件 . 8. C　解析：因为 U ＝ {1，2，3，4，5，6，7，8}，所以綂U T ＝ {1，2，4，6，8}， 所以 S∩（綂U T）＝ {1，2，3，4}∩ {1，2，4，6，8} ＝ {1，2，4}. 故选 C. 9. AB　解析：题图中阴影部分表示的集合为 A∩（綂U B）， 因为 A ＝ {x|-3 ≤ 2x-1 ≤ 3} ＝ {x|-1 ≤ x ≤ 2}，B ＝ {x|x>1}， 所以綂U B ＝ {x|x ≤ 1}，所以 A∩（綂U B）＝ {x|-1 ≤ x ≤ 1}. 故选 AB. 10. BC　解析：对于 A，方程的解为    x y = = − 2, 2, 解集为 {（2，-2）}，故 A 是假命题 . 对于 B，由 | |aa + | |b b（a，b∈ R）知 a ≠ 0，b ≠ 0， 当 a，b 同为正数时，| |aa + | |b b ＝ 2 ； 当 a，b 一正一负时，| |aa + | |b b ＝ 0 ； 当 a，b 同为负数时，| |aa + | |b b ＝ -2， 故由 | |aa + | |b b（a，b∈ R）所确定的实数集合为 {-2，0，2}，故 B 是真命题 . 对于 C，3x+2y ＝ 16，x∈ N，y∈ N，y ＝16 3−2 x， 当 x ＝ 0 时，y ＝ 8 ；当 x ＝ 2 时，y ＝ 5 ；当 x ＝ 4 时，y ＝ 2. 故集合 {（x，y）|3x+2y ＝ 16，x∈ N，y∈ N} 可以化简为 {（0，8），（2，5），（4，2）}，故 C 是真命题 . 对于 D，3− 6 a∈ N，a∈ Z，当 a ＝ -3 时，3− 6 a＝ 1 ； 当 a ＝ 0 时，3− 6 a＝ 2 ；当 a ＝ 1 时，3− 6 a＝ 3 ；当 a ＝ 2 时，3− 6 a＝ 6. 故 A ＝     a a3− 6 a ∈ ∈N Z, ＝ {-3，0，1，2} 中含有 4 个元素，故 D 是假命题 . 11. ABD　解析：若 a∈ F，则 a-a ＝ 0∈ F，故 A 是真命题； 若 a∈ F 且 a ≠ 0，则 aa＝ 1∈ F，由此可知 1+1 ＝ 2∈ F，1+2 ＝ 3∈ F，依此类推，2 020∈ F，故 B 是真命题； P ＝ {x|x ＝ 3k，k∈ Z}，3∈ P，6∈ P，但6 3 P，所以 P 不是数域，故 C 是假命题； 若 a，b 是两个有理数，则 a+b，a-b，ab，b a（b ≠ 0）都是有理数，所以有理数集是数域，故 D 是真命题 . 故选 ABD. 12. 56　解析：由于 A ＝ {1，2，3，4，5，6} 的所有子集个数为 26 ＝ 64， 若 C∩ B ＝，则 C {4，5，6}，满足此条件的集合 C 有 23 ＝ 8（个）， 所以满足 C∩ B ≠的子集 C 有 64-8 ＝ 56（个）. 13.      a a≥112 　解析：由 |x-3|<5，得 -2<x<8. 又 p 是 q 的充分不必要条件，所以      8 2 3, (2 3) (1 ) 8 ( 2), − ≥ −2 1 , ≤ − a a− − − ≠ − − a a 解得 a ≥112 ， 所以实数 a 的取值范围是     a a≥112 . 14. （1）2　（2）25　解析：（1）根据题意，M ＝ {1，2，3，4，5}，A M，结合“累积值”规定可知，当 S ＝ 3 时，集合 A 可 以是 {3} 或 {1，3}，共 2 个 . （2）由题意知 M ＝ {1，2，3，4，5}，A M，则 A 的个数为 25 ＝ 32. 当 S 为奇数时，共有 S ＝ 1，3，5，15 四种情况， 当 S ＝ 1 时，A ＝ {1} ；当 S ＝ 3 时，A ＝ {3} 或 {1，3} ； 当 S ＝ 5 时，A ＝ {5} 或 {1，5} ；当 S ＝ 15 时，A ＝ {3，5} 或 {1，3，5}. 故当 S 为偶数时，A 的个数为 32-7 ＝ 25. 15. 解：（1）p ：m-1 ≤ x<m+1，q ：-1 ≤ x ≤ 5，p 是 q 的充分条件，m-1<m+1 恒成立，则    m m − ≥− + ≤ 1 1, 1 5, 解得 0 ≤ m ≤ 4，即 {m|0 ≤ m ≤ 4}. （2）p ：4 ≤ x<6，q ：-1 ≤ x ≤ 5. 当 p 为假命题，q 为真命题时，x<4 或 x ≥ 6，且 -1 ≤ x ≤ 5，解得 -1 ≤ x<4 ； 当 p 为真命题，q 为假命题时，4 ≤ x<6，且 x>5 或 x<-1，解得 5<x<6. 综上所述，{x|-1 ≤ x<4 或 5<x<6}. 16. 解：（1）因为 A ＝ {x|x ≤ -3 或 x ≥ 6}，B ＝ {x|-2 ≤ x ≤ 14}， 所以 A∩ B ＝ {x|6 ≤ x ≤ 14}，即 A∩ B 表示的集合为 {x|6 ≤ x ≤ 14}. （2）当 2a>a+1，即 a>1 时，C ＝，C B 成立； 当 2a ＝ a+1，即 a ＝ 1 时，C B 成立； 当 2a<a+1，即 a<1 时，   2 2, a a + ≤ ≥− 1 14, 解得 -1 ≤ a<1，此时 C B 成立 . 综上所述，a 的取值范围为 {a|a ≥ -1}. 17. 解：（1）由题可知，当 a ＝ 3 时，B ＝ {x|1 ≤ x ≤ 7}. 因为 A ＝    x xx − + 4 3 >0    ＝ {x|x<-3 或 x>4}，则綂R A ＝ {x|-3 ≤ x ≤ 4}， 14 所以（綂R A）∪ B ＝ {x|-3 ≤ x ≤ 4}∪ {x|1 ≤ x ≤ 7} ＝ {x|-3 ≤ x ≤ 7}. （2）由“x∈ A”是“x∈ B”的必要不充分条件，则 B A. 当 B ＝时，a-2>2a+1，解得 a<-3 ； 当 B ≠时，   2 1 3 a a a − ≤ + + < − 2 2 1, 或    a a a − ≤ + − > 2 2 1, 2 4, 解得 -3 ≤ a<-2 或 a>6. 综上，实数 a 的取值范围是 {a|a<-2 或 a>6}. 18. 解：（1）因为 A 是非空集合，所以方程 x2+4x+a ＝ 0 有实数根， 所以 Δ ＝ 16-4a ≥ 0，即 a ≤ 4，所以实数 a 的取值范围为 {a|a ≤ 4}. （2）因为（綂U A）∩ B ＝ {2}，（綂U B）∩ A ＝ {-3}， 所以 2∈ B，-3∈ A，且 2 A，-3 B，所以   9 12 0, 4 2 2 0, − + = + − =b a 解得   b a = − = 3, 1, 所以 A ＝ {x|x2+4x+3 ＝ 0} ＝ {-1，-3}，B ＝ {x|x2-x-2 ＝ 0} ＝ {-1，2}， 所以 A∪ B ＝ {-3，-1，2}. 19. 解：（1）由 x2-3x+2 ＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝ 2，所以 A ＝ {1，2}. 由 x2-ax+a-1 ＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝ a-1，所以 1∈ B，a-1∈ B. 因为 A∪ B ＝ A，所以 B A，所以 a-1 ＝ 1 或 a-1 ＝ 2，所以 a ＝ 2 或 a ＝ 3. （2）因为 A∩ C ＝ C，所以 C A. 当 C ＝时，Δ ＝ 4（m+1）2-4（m2-5）<0，解得 m<-3 ； 当 C ＝ {1} 时，   1 2( 1) 5 0, ∆ + + + − = = + − − =4( 1) 4( 5) 0, m m m m2 2 2 无解； 当 C ＝ {2} 时，   4 4( 1) 5 0, ∆ + + + − = = + − − =4( 1) 4( 5) 0, m m m m2 2 2 解得 m ＝ -3 ； 当 C ＝ {1，2} 时，    1 2 2( 1), 1 2 5,× = − + = − + m2 m 无解 . 综上，实数 m 的取值范围是 {m|m ≤ -3}.