培优01 二次函数的图像与性质（基础）（6种题型14重难点突破）（专项训练）数学人教版九年级上册

培优01 二次函数的图像与性质（基础） （6种题型14重难点突破） 题型1 利用坐标和函数的性质求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 重难点一 一般式 1（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 重难点二 顶点式 3．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 重难点三 变换式 5．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为 ． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为 ． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为 ． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，则的值为 ． 7．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 重难点四 根据二次函数的性质求解析式 8．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B．此抛物线对应的函数表达式； 9．（2025·山东济宁·三模）已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线．求出直线和抛物线的表达式； 题型2 利用坐标和函数图像求二次函数解析式 重难点一 已知抛物线与坐标轴的交点 10．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点是二次函数的图象的对称轴与直线的交点，点是二次函数图象的顶点，求的长． 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线（、为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 重难点二 已知抛物线与坐标轴的交点、对称轴 12．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 13．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数图象过原点，直线为抛物线对称轴且，，求该二次函数的解析式． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 题型3 函数值的大小比较 方法一 代入比较法 解题方法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小. 方法二增减性比较法 解题方法：首先要确定二次函数图像的对称轴，然后判断所给点是否在对称轴的同一侧，若在同一侧，可根据函数的性质比较函数值的大小.若不在同一侧，可根据对称性转化到同一侧，然后比较函数值的大小. 方法三 根据点到坐标轴的距离比较大小 条件：已知二次函数解析式（顶点式）及抛物线上几个点的坐标比较函数的大小. 图示： 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 15．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 17．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是 ． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象上的两点．、，若，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较的大小 22．（24-25九年级下·河南商丘·期中）点,都在二次函数的图象上，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 题型4 二次函数与最值问题 类型一：自变量x取全体实数 解题方法：即当a＞0时，当x=时，y有最小值，；当a＜0时，当x=时，y有最大值，. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 重难点一 顶点处取得最值 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，二次函数的最小值是 ． 24．（2025·山东滨州·模拟预测）二次函数的最大值为 ． 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的最大值为4，则实数的值为 ． 重难点二 定轴定区间 26．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 27．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 28．（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 重难点三 定轴动区间 30．（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 32．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 33．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 重难点四 动轴定区间 34．（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 35．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 36．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 37．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 重难点五 动轴动区间 38．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 题型5 二次函数的图像与各项系数间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 重难点一 二次函数图像与各项系数符号 39．（2025·贵州遵义·一模）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 40．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．    42．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 重难点二 二次函数图像与各项式子符号 43．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线经过点，且满足下列四个结论：①；②；③若，则不等式的解集或；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是 ．（填写序号） 44．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图是抛物线（，，是常数，且）的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，则下列结论中正确的有 （填序号） ①；②；③关于的一元二次方程的根分别是，则；④若，则或． 45．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 46．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 47．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 48．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 重难点三 函数图像综合 49．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象如图，则和的图象为（   ） A．B．C．D． 51．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A．B．C．D． 题型6 二次函数与方程、不等式 与函数和二次函数有关的交点问题 ①求交点，联立方程组，并代入求解. ②求交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式情况. ③求交点关系，联立方程组，消元得到一元二次方程，先看判别式情况，再用韦达定理求解. 53．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 54．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． (2)若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 55．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为它们的“密接点”．例如：函数与函数有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为它们的“密接点”． (1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的有 （填写编号）． ①与；②与；③与 (2)一次函数与二次函数（其中为常数，）是“亲密函数”，求的值； (3)一次函数与反比例函数（其中为常数，）是“亲密函数”，且它们的“密接点”到原点的距离等于3，求的值． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 57．（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 58．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 二次函数的图像与性质（基础） （6种题型14重难点突破） 题型1 利用坐标和函数的性质求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 重难点一 一般式 1（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案． 【详解】解：把，、，和，代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴当时，的值为． 故选：D 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】解析式为；开口向下；顶点为；对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由判断开口方向，配方得到顶点式即可求解顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 重难点二 顶点式 3．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标． 【答案】，与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，再分别求出函数值为0时的自变量的值和自变量的值为0时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值． (1)求这个二次函数的表达式 (2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可； （2）求出时y的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）点在此函数图象上； 理由：当时，， 在此函数图象上． 重难点三 变换式 5．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为 ． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为 ． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）与翻折的规律（沿x轴翻折，x不变y变为相反数，沿y轴翻折，y不变，x变为相反数）分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解， （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与翻折规律，熟练掌握二次函数图象的平移与翻折规律是解题的关键． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”得到h、k的值，然后问题可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，对照可得：， ∴， ∴； 故答案为． 7．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象旋转和平移变换规律“左加右减、上加下减”是解答的关键． 根据旋转的性质和平移变换规律“左加右减、上加下减”即可得出答案． 【详解】解：把抛物线绕原点旋转，开口方向变为相反数，故变为，对称轴直线变为相反数，故不变，变为，可得：， 再向右平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 重难点四 根据二次函数的性质求解析式 8．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B．此抛物线对应的函数表达式； 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； 9．（2025·山东济宁·三模）已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线．求出直线和抛物线的表达式； 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上，对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 题型2 利用坐标和函数图像求二次函数解析式 重难点一 已知抛物线与坐标轴的交点 10．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点是二次函数的图象的对称轴与直线的交点，点是二次函数图象的顶点，求的长． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2) 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一般式化为顶点式、求抛物线与坐标轴交点等知识，数形结合求出抛物线及直线的解析式是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求抛物线表达式，将，代入得，解二元一次方程组即可得到答案； （2）将（1）中抛物线化为顶点式，得到抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标为，根据点的坐标特征即可求出的长． 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为（），将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴与直线的交点为， 当时，，即点的坐标为， ∴． 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线（、为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的函数解析式为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得抛物线的函数解析式为，则设，由，故有，再根据在轴下方，所以，再建立方程，最后解方程即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴， 由（）得抛物线的函数解析式为， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 重难点二 已知抛物线与坐标轴的交点、对称轴 12．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 13．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数图象过原点，直线为抛物线对称轴且，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，求二次函数解析式．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为，即可设其顶点式，再根据二次函数图象过原点，即将代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴顶点B的坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过原点， ∴， 解得：， ∴． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)函数向下平移3个单位得到的二次函数为 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的平移等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）根据二次函数图象的对称性可求出点的坐标； （2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，根据平移规律解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴点的坐标为； （2）解：把，分别代入，得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为， 将二次函数的图象向下平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为． 题型3 函数值的大小比较 方法一 代入比较法 解题方法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小. 方法二增减性比较法 解题方法：首先要确定二次函数图像的对称轴，然后判断所给点是否在对称轴的同一侧，若在同一侧，可根据函数的性质比较函数值的大小.若不在同一侧，可根据对称性转化到同一侧，然后比较函数值的大小. 方法三 根据点到坐标轴的距离比较大小 条件：已知二次函数解析式（顶点式）及抛物线上几个点的坐标比较函数的大小. 图示： 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 15．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴和开口方向，再根据所给点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，得出其对称轴和函数图象开口方向，然后利用二次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，且二次函数的图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 17．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可知二次函数抛物线开口向上，且对称轴为，根据图象上的点到对称轴的距离来判断纵坐标的大小． 【详解】解：二次函数， ， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：， 点，，是二次函数图象上的三点， 点与对称轴的距离为：， 点与对称轴的距离为：， 点与对称轴的距离为：， ，，与对称轴的距离按由远到近排序为：A、B、C， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是根据函数关系式找出抛物线的对称轴． 18．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先确定二次函数的对称轴，再计算各点横坐标到对称轴的距离，根据开口方向判断y值的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∴点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． ∵．二次项系数，开口向上，因此离对称轴越远的点，y值越大． ∴， 故选：A． 19．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的增减性，二次函数的最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，即距离对称轴越近函数值越大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象经过、， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 距离对称轴越近函数值越大， ， 、、三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远， ， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用函数图像上的点的关系和函数解析式解得对称轴分别为，，得，代入二次函数变为，将点和点代入求得m，n即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数的对称轴为， ∵当时，的取值范围为或， ∴二次函数与直线的交点为和， ∴对称轴为， ∴，解得， 则二次函数， ∵点和点过二次函数， ∴，， ∵， ∴， 故选∶A． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象上的两点．、，若，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像性质以及函数值的大小比较，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的对称性及开口方向，结合已知条件判断两点纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象的对称轴为，开口向上， ∵， ∴，， ∵ ， ，即． 故选：B． 22．（24-25九年级下·河南商丘·期中）点,都在二次函数的图象上，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式得出对称轴为直线，根据，得出不等式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点,都在二次函数的图象上，， ∴， 解得：； 故选：D． 题型4 二次函数与最值问题 类型一：自变量x取全体实数 解题方法：即当a＞0时，当x=时，y有最小值，；当a＜0时，当x=时，y有最大值，. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 重难点一 顶点处取得最值 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 【详解】解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：，． 24．（2025·山东滨州·模拟预测）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值． 【详解】解：二次函数 ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的最大值为4，则实数的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据配方法得到，即可求解． 【详解】解：∵的最大值为4， ∴ 解得：或 故答案为：或． 重难点二 定轴定区间 26．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 27．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 28．（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．分或两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解； 【详解】解：当时， 对称轴为， 当时，有最小值为，当时，有最大值为， ． ， 当时，同理可得 有最大值为； 有最小值为， ， ， 综上，的值为 故选：C 重难点三 定轴动区间 30．（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据y的取值范围可以求得相应的的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为：直线， 把代入解析式可得：， 把代入解析式可得：， 所以函数值的取值范围为时，自变量的范围为， 故可得：， 故选：C． 31．（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 32．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 重难点四 动轴定区间 34．（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大． ∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， ∴， 解得． 故答案为：． 35．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为． ， 抛物线开口向下． 当时，； 当时，． ①当，即时，如图1． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ②当，即时，如图2． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当，即时，如图3． 当时，最大值， 当时，， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 36．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据题意可求出原函数的对称轴为直线，当，即时，则原函数在时取到最大值，当，即时，则原函数在时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，原函数对称轴为直线， ①若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． ②若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． 综上，可知当时，． 故选：C． 37．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 故选：C． 重难点五 动轴动区间 38．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 题型5 二次函数的图像与各项系数间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 重难点一 二次函数图像与各项系数符号 39．（2025·贵州遵义·一模）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据抛物线开口方向向上，得出，当时，，进而可得出答案． 【详解】解：如图，∵抛物线开口方向向上， ∴， 当时，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D 40．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对对应结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，且在直线的右侧， ∴， ∴，， ∴，，故①错误，④正确； ∵抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，即，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； 故选：C． 41．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．    【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴， ∴，，， ∴故①不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为， 故②正确； 由图象可知时，，即， 故③不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④不正确； ∵对称轴为直线，， ∴， 由图象可知，时，， 故⑤正确． 故答案为：②⑤． 42．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性，特殊点，判断②；对称轴判断③；与轴的交点个数判断④；根据图象即可判断． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确，③错误， ∵二次函数图象经过，对称轴为， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∴，②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，④错误， 观察图象得，时，y随x的增大而增大，⑤正确． 综上①②⑤正确， 故答案为：①②⑤． 重难点二 二次函数图像与各项式子符号 43．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线经过点，且满足下列四个结论：①；②；③若，则不等式的解集或；④抛物线上的两个点，，当，且时，．其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线过点和条件，推导出抛物线的对称轴及参数关系；接着分析各结论的正确性，涉及对称轴方程、参数符号、二次不等式解集及点坐标比较． 【详解】解：∵抛物线经过点 ， ∴，即，故①正确， ∴ ∴对称轴为直线 又∵满足 ∴抛物线经过点 代入 ∴ ∴ ∴ 若，则，，此时，成立； 若，则，，此时，仍成立． 因此，无论正负，，故结论②正确 ∵，代入， ． 解得： 不等式，整理为：． 代入，： ，即：． 当时，，解得：或． 因此结论③正确 当时，由得，抛物线开口向上，对称轴为． 比较点和的纵坐标： ， ． 代入，： 展开化简：， 故． 同理， 展开化简：， 故． 由得：（因，可两边除以）： ． 因此，正确答案为①②③． 故答案为：①②③． 44．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图是抛物线（，，是常数，且）的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，则下列结论中正确的有 （填序号） ①；②；③关于的一元二次方程的根分别是，则；④若，则或． 【答案】②③④ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据图象开口方向、对称轴即可判断①；由对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴交点坐标即可判断③；判断出抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，据此即可判断④． 【详解】解：由图象知：，， ∵对称轴是直线， ， ， ，故①错误； ， ，故②正确； 根据抛物线的对称性，点关于直线的对称点是， ∴抛物线与轴的交点坐标是和， ∴关于的一元二次方程的根是， ∴，故③正确； ， ， ∴对于函数， 当时的函数值应小于当时的函数值． ，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， ∴或，故④正确． 综上，正确的有②③④． 故答案为：②③④． 45．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：对称轴是直线， ， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值， 故，即不等式总成立，故④正确； 故答案为：①③④． 46．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ， ，故①正确； ③经过， 又由①得，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 47．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上可得，再根据二次函数的对称轴可得，则，由此即可判断①错误；根据当时，即可判断②错误；根据即可判断③正确；先求出，代入抛物线的解析式可得，再将代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由得：， 由图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 当时，， ∴， 由函数图象可知，， ∵， ∴，即， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， 将点代入函数得：， ∵， ∴，即， 将代入得： ， ∴关于的方程有一个根为，则结论④正确； 综上，正确的结论为③④， 故答案为：③④． 48．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 重难点三 函数图像综合 49．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的右侧． 故选：C． 50．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象如图，则和的图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，关键是通过二次函数图象确定的符号，再推导其他函数的图象特征．通过二次函数图象的开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置确定的符号，再依据一次函数和反比例函数的图象性质判断对应图象． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ； 二次函数图象与y轴交点在负半轴， 当时； ，， ， 对于一次函数的图象，当，直线经过第一、二、四象限， 对于双曲线，当时，双曲线的两个分支在第二、四象限，选项C符合题意； 故选：C． 51．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 52．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，图象交点位置，图象与坐标轴的交点，二次函数的对称轴的位置，解答即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故两个函数的交点为， 又， ∴交点位于x轴的上方， 由，得， 直线与x轴交于负半轴， 由抛物线得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴位于y轴的左侧， 故A， B，C都不符合题意；D一致，符合题意， 故选：D． 题型6 二次函数与方程、不等式 与函数和二次函数有关的交点问题 ①求交点，联立方程组，并代入求解. ②求交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式情况. ③求交点关系，联立方程组，消元得到一元二次方程，先看判别式情况，再用韦达定理求解. 53．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． (2)若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】(1)①见解析；②2 (2) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①先求出时的函数解析式并化成顶点式，据此确定顶点坐标；假设顶点坐标在第三象限列出关于的不等式组，根据不等式组的解集情况即可证明结论； ②由二次函数与一元二次方程的关系结合题意可得，进而得到，从而确定函数解析式．最后求出、，然后作差即可解答； （2）先根据一次函数的性质得到，解得：；则，解得；抛物线解析式可化为，然后将点的坐标代入直线和抛物线解析式求得、，即可确定抛物线解析式，再确定对称轴，最后分三种情况分别根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得： ， 顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， 该不等式组无解， 抛物线的顶点不在第三象限； ②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和， ． ， ， 抛物线为， 当时，，．则； （2）解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和， ． 解得：． ． ， ． ， 直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线为． 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， 当时，取最小值为． 综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为． 55．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为它们的“密接点”．例如：函数与函数有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为它们的“密接点”． (1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的有 （填写编号）． ①与；②与；③与 (2)一次函数与二次函数（其中为常数，）是“亲密函数”，求的值； (3)一次函数与反比例函数（其中为常数，）是“亲密函数”，且它们的“密接点”到原点的距离等于3，求的值． 【答案】(1)①③； (2)， (3) 【分析】（1）根据“亲密函数”的定义，分别找出每组函数之间的交点坐标，能求出交点坐标，即为“亲密函数”，否则不是“亲密函数”，即可作答． （2）理解题意，得，故， 则，运用配方法解方程，得，，即可作答． （3）理解题意，得，结合“亲密函数”的定义，得，故，；因为，运用公式法得，再得，即一次函数与反比例函数的“密接点”的坐标为，因为 “密接点”到原点的距离等于3，列式，整理得，再结合，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 则， 解得， ∴， 即与有且只有一个交点， 故①是“亲密函数”； 依题意，， 则， 此时无解 ∴， 即与无交点， 故②不是“亲密函数”； 依题意，， ∴， 整理得， 解得， ∴， 即与有且只有一个交点， 故③是“亲密函数”； 故答案为：①③； （2）解：∵一次函数与二次函数是“亲密函数”， ∴， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵一次函数与反比例函数（其中为常数，）是“亲密函数”， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴把代入，得， 即一次函数与反比例函数的“密接点”的坐标为 ∵“密接点”到原点的距离等于3， ∴， ∴， 整理得， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵， 则． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的应用，一次函数的性质，反比例函数的性质，勾股定理，判别式的应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． （1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式； （2）描点连线即可作出函数图象，根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：描点作图如下： 由图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 57．（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 58．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)①；②＞ (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）①由题意，∵， ∴． ②∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点，点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：>． （2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵，都有， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴ ， ∴． ∴t的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$