7思想方法专题 运用数学思想求角度-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

∠4=∠PFC,∴∠1+∠2+∠PFC=∠BE0+∠3+∠4， 即，∠EOP十∠PFC=∠BEO+∠OPF 8.解：如图，过点F作FK∥AB,过点A G作GHCD. :PF平分∠BPE,QG平 分∠CQE, ∴.可设∠BPF=∠EPF=x,∠CQG =∠EQG=y. ∠BPE+∠DQE=250°， .2x十180°-2y=250°， ∴.x-y=35 又AB∥CD,.AB∥FK/GH//CD ∴.∠PFK=∠BPF=x,∠HGQ=∠CQG=y,∠KFG ∠HGF,∴.∠PFG-∠FCQ=∠PFK+∠KFG-(∠HGF 十∠HGQ)=x+∠KFG-∠HGF-y=x-y=35" 9.解：(1D∠E+∠G=∠B+∠F+∠D. 理由：如图，过点E,F,G分别作EM∥AB,A FN∥AB,GH∥AB. AB∥CD, .AB∥EMFN/GH//CD, ∠1=∠B,∠2=∠3，∠5=∠4，∠6C =∠D, ∴∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+ ∠4+∠D=∠B+∠EFG+∠D. (2)∠E1十∠E2十∠E:十·十∠E.=∠B十∠F1十∠F +…+∠F-1十∠D. 思想方法专题运用数学思想求角度 1.解：(1D正明：：AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∠BDA十∠EDA=18O° ∴.∠EDA=∠B十∠BAD :∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EAD=∠EDA: ∴.∠EAC十∠CAD=∠B+∠BAD, ∴.∠EAC=∠B. (2)由(1)知，∠EAC=∠B=50 设∠CAD=x,则∠BAD=x,∠E=3x ∴.∠BAE=∠CAD+∠BAD十∠EAC=2x十S0 :∠E+∠B+∠BAE=180', .3x十50"+2x+50°=180，解得x=16, ∴.∠E=48. 2.解：(1)证明：：AD平分∠BAC,.∠BAD=∠DAC '∠CFE=∠G,∠CFE=∠AFG,∴∠AFG=∠G. :∠AFG+∠G+∠GAF=180°，∠BAC+∠GAF=180, ∴.∠BAC=2∠DAC=∠G+∠AFG, ∴.2∠DAC=2∠AFG, ∴.∠DAC=∠AFG,,AD∥EG. (2)'AD∥EC,÷∠BAD=∠G=y. 又：∠ADC十∠BDA=180°， ∠B+∠BAD+∠BDA=180°，.∠ADC=∠B+∠BAD =110°， x+y=110 联立/+y=110, 1x-y=30°， 解得/-70， y=40°， ∴.∠B=70 3.解：(1)①55 ②∠P=360°-2∠M. 192 /八年级数学BS版 (2)AM平分∠BAP, ∠BAM=∠MAP=Z∠BAP 设∠BAM=∠MAP=y,∠MCD=x,则∠PCM=2x AB//CD, .∠BAP-∠ANC,∠BAM=∠AHC. '∠ANC+∠CNP-18o°，∠PCD+∠P+∠CNP-180", ∠PCM=2∠MCD,∠PCD=∠PCM+∠MCD, .∠BAP=3∠MCD+∠P, .∠P=2y-3x. 同班，得∠BAM=∠M十∠MCD, ∠M=y-x, 2∠M-∠P=10° .2(y-x)-(2y-3x)=10°，解得x=10", ∴∠PCD=∠MCD+∠PCM=3x=30. 4,解：'∠E十∠ADE十∠EAD=180°，∠DAC+∠EAD= 180°，∠E=∠ADE, .∠DAC=∠E+∠ADE=2∠E ∠BAD=26°，∴∠BAC=2∠E+26 :∠B+∠C+∠BAC=180°， ,∠B+∠C十2∠E+26°=180°， .∠B十∠C+2∠E=154 :∠B=∠C,∠C+∠E=77 ∠BDE+∠CDE=180°，∠C+∠E十∠CDE=180', .∠BDE=∠E十∠C=77°. 5.解：(1)∠B=35°，∠C=60,.∠A=180°一∠B-∠C= 180°-35°-60°=85， (2)∠A=70,∠ADE+∠AED=180°-70°=110 由题意，得∠NDE=∠ADE,∠NED=∠AED,∴∠I十∠2 =180-(∠NDE十∠ADE)十180°-（∠NED十∠AED) =360°-2×110°=140. 6.解：1)①90°②∠F=∠E十30. (2)如图，过点F向左作FHEP. B 设∠BEF=2x°.由(2)知，∠EFD E =∠BEF+30°， ∴∠EFD=(2x十30)°.EP平分 ∠BEF,FG平分∠EFD,∠PEF=号∠BEF=x, 1 ∠EFG=Z∠EFD=(x+1S),·FH∥EP,·∠PEF ∠EFH=x°，∠P=∠HFG.'∠HFG=∠EFG-∠EFH =15,∠P=15 7.解：分两种情况讨论： ①当△ABC是锐角三角形时，如图①. BD,CE是△ABC的高， ,∠ADB=90°，∠BEC=90 在△ABD中，∠A=40°， ∠ABD=90°-40°=50， ∠ABD+∠BEC+∠BHE=180° ∠BHC+∠BHE-180°， ∴.∠BHC=∠ABD+∠BEC=50°+90=140'： 砂当△ABC是纯角三角形时，如图②， BD,CE是△ABC的高， ∴.∠A十∠ACE=90',∠BHC十∠HCD=90. ,∠ACE=∠HCD, ∴.∠BHC=∠A=40 综上所述，∠BHC的度数是140或40. 章未对点导练 1.C2.B3.①① 4.解：(1)是命题.政写：如果两个数同号，那么这两个数的和一 定不是负数.条件：两个数同号.结论：这两个数的和一定不 是负数」 (2)是命题，改写：如果x=2,那么1一5x=0.条件：x=2.结 论：1-5x=0. (3)不是命题 (4)是命题.改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积 为1.条件：两个数互为间数.结论：这两个数的积为1. 5.B 6.解：已年：如图，在△ABC和△A'B'C中，AB=A'B',BC= B'C',AD,A'D分别是BC,B'C'边上的中线，AD=AD,求 证：△ABC≌△AB'C', 证明：：AD,AD分别是BC,B'C边上的中线， ∴BD=2BC,BD'=2BC .BC=B'C', (AB=A'B', ∴BD=B'D,在△ABD和△AB'D中，{AD=AD, BD-B'D', ∴.△ABD2△A'B'D'(SSS). (AB=A'B', ∴∠B=∠B'.在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B', BC=B'C', ∴.△ABC2△A'B'C'(SAS) 7.C8.C9.61°或119 10.解：(1)①BD⊥AC,EF⊥AC, .∠BDC=∠F=90°， .BD∥EF, .∠E=∠DBC=36 ②∠BDG=∠E. 理由：：∠AGD=∠ABC, .DG∥BC,∴∠BDG=∠DEC. 又∠E=∠DBC, ∴·∠BDG=∠E. (2),∠BDG=∠E 薄由：如图，：BD⊥AC,EF⊥AC, .∠BDC=∠F=90°， :BD∥EF, .∠E=∠DBC ∠AGD=∠ABC,∴DG∥BC, .∠BDG=∠DBC, ∴.∠BDG=∠E. 11.B12.B13.A14.C15.C 限时周测 周测-(1.1~1.3) 1.C2.C3.A4.C5.B6.B7.1288.1009.9 101e14.5得 12.解：由题意，得AB=A,B,∠BCA1=90°，设BC=xm,则AB A1B=(4一x)m. 在Rt△A1BC中，由勾股定理，得A1C2+BC=A,B, 所以2十x2=(4-x)产，解得x=1.5, 所以点B到地面的距离为1.5m, 13解：如图，作点B关于MN的对称点 B',连接AB,交MN于点P,连接 BP,则AP+BP=AP+PB=M AB',则P即为到点A,B距离之和 最短的点.过点A作AE⊥BB'于点 E,则AE=A:B1=8km,B'E=AA十BB1=2十4= 6(km).由勾股定理，得AB-AE2+B'E2-82+62-100, 所以AB'=10km,即AP+BP=AB-10km.故出口P 到A,B两个村庄的最短距离之和是10km, 14.解：设线段AF的长为x,因为AC=7,BC=5,CE=1,所以 CF=AC-AF=7-x,BE=BC-CE=4,因为∠C=90°， 所以在Rt△CEF中，CF2+CE=EF2,即EF2=(7-x) 十1因为AF3+BE2=EF2,所以x2+43=(7-x)3+1,解 得x-号故线段F的长为号 15.解：(1)M,N是线段AB的“勾股分割点”，理由如下： 因为AM+NB=7+24=625,MN2=252=625, 所以AM十NB2=MN,所以以AM,MN,NB为边的三 角形是一个直角三角形 故M,N是线段AB的“勾股分制点” (2)设NB=x,则MN=12-AM-BN=7-x, ①当MN为最长线段时，依题意，得MN=AM°+NB, 即(7-)=25十，解得工=号， ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM+MN2,即 -25+(?-识，部得x- 综上所述，NB的长为号或号 周二(2.1~2.2) 1.C2.D3.C4.A5.C6.A 7.1000(②0080(8@0&号是 9.-6910.1311.512.0或1 8解，0两边都廉以16，得一得 5 开平方，得工=土 (2)开平方，得x一3=士3，所以x=6或x=0 (3)移项，得3x’=一24， 两边都除以3，得x=一8， 开立方，得工=一2， （移项，相号x--一32， 1 两边都除以名，得(2江一3)■一64， 44444 上册参者答案 193思想方法专题 运用数学思想求角度 题型① 方程思想 (2)设∠B=x,∠G=y.若x-y=30°， 1.如右图，在△ABC中，AD平分 ∠ADC=110°，求∠B的度数. ∠BAC,∠EAD=∠EDA (1)求证：∠EAC=∠B. B DC (2)若∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3,求 ∠E的度数 3.已知ABCD,AM平分∠BAP. (1)①如图①，CM平分∠PCD.若∠P= 110°，则∠M的度数为 ②如图②，点P,M在直线AC异侧，CM平 分∠PCD.请直接写出∠P与∠M的数量 关系 (2)如图③，∠PCM=2∠MCD.若2∠M ∠P=10°，求∠PCD的度数. 2.如右图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,EF交BA的延长线于 点G,∠CFE=∠G (1)求证：AD∥EG. 上册第七章 题型②整体思想 4.如下图，∠B=∠C,D为BC上一点，点E 在CA的延长线上，连接AD,DE.若∠E= 用② ∠ADE,∠BAD=26°，求∠BDE的度数. 题型了分类讨论思想 5.如右图，在折纸活动中，小明制 7.已知△ABC不是直角三角形，∠A=40°， 作了一张三角形纸片ABC,点 △ABC的两条高BD和CE所在直线相交 D,E分别在边AB,AC上.将 于点H,求∠BHC的度数. △ABC沿着DE所在直线折叠压平，使点A 与点N重合， (1)若∠B=35,∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠A=70°，求∠1十∠2的度数. 6.如图①，AB∥CD,∠B=30°，∠D=120°. (1)①若∠E=60°，则∠F的度数为 ②请直接写出∠E与∠F之间满足的数量 关系 (2)如图②，已知EP平分∠BEF,FG平分 ∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P 的度数 /八年级数学BS版